吉林省普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三十七屆基礎(chǔ)年段期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1吉林省普通高中友好學(xué)校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第三十七屆基礎(chǔ)年段期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，又，由并集的運算可知：.故選：.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故原命題的否定是：，.故選：D.3.已知，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由結(jié)合函數(shù)是上的增函數(shù)，可得，由結(jié)合函數(shù)是上的減函數(shù)，可得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：C.4.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，連續(xù)函數(shù)，且單調(diào)遞增，由零點存在性定理得：的零點所在區(qū)間為.故選：C.5.設(shè)函數(shù)，（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗.故選：C.6.半徑為2的扇形，其周長為12，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A.8 B.6 C.5 D.4〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)扇形的弧長為，所對的圓心角的弧度數(shù)為，則有，即，解得，所以該扇形圓心角的弧度數(shù)為4.故選：D.7.若，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.8.角的終邊經(jīng)過點，且，則（）A. B. C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，，所以，解得，所以，.故選：A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為符號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，，則 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗選項A：，在不等式兩邊同除以得，A正確；選項B：當(dāng)時，，B錯誤；選項C：同向不等式相加，不等號方向不變，C正確；選項D：，，兩邊同除以得，，D正確.故選：ACD.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則具有性質(zhì)（）A.周期為 B.圖象關(guān)于直線對稱C.圖象關(guān)于點對稱 D.在上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗由題意可得，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，故C錯誤；因為時，，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則（）A.的圖像經(jīng)過點B.的圖像關(guān)于原點對稱C.若，則D.當(dāng)時，恒成立〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)的圖像經(jīng)過點，，得，∴函數(shù)，由，故A錯誤；函數(shù)為奇函數(shù)，它的圖像關(guān)于原點對稱，故B正確；若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故C正確；當(dāng)時，，∴恒成立，故D正確.故選：BCD.12.下列四個結(jié)論中，正確的是（）A.當(dāng)時，函數(shù)的最小值為3B.若，y>1，x+y=4，則函數(shù)的最小值為4C.當(dāng)時，函數(shù)有最小值為D.當(dāng)時，函數(shù)的是大值為0〖答案〗ABC〖解析〗對于A：，設(shè)，則，由于，所以，因此，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取最小值3，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以B正確；，所以C正確；當(dāng)時，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時有最小值，所以D錯誤．故選：ABC.三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.其中第16題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.13.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則＝_____．〖答案〗3〖解析〗函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則.故〖答案〗為：3.14.不等式的解集為__________．〖答案〗{x|-a＜x＜3a}〖解析〗，因為，，不等式的解集為.故〖答案〗為：.15.數(shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關(guān).黃金分割常數(shù)也可以表示成，則_________.〖答案〗2〖解析〗.故〖答案〗為：2.16.已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是___________；若存在實數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個不同的根，則的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗時，函數(shù)的圖象如下圖所示：要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以的取值范圍是；要使關(guān)于的方程有三個不同的根，則，即，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：．四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明計算步驟.17.已知．（1）求的值；（2）求的值．解：（1），sinθ＝2cosθ，.（2）原式﹒18.已知集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，，因此，，∴.（2），①當(dāng)時符合題意，此時，即；②當(dāng)時，要滿足，則，綜上所述，當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是．19.已知函數(shù)，且.（1）求a的值及的定義域；（2）求不等式的解集.解：（1）因為，解得，由題意可得，解得，故的定義域為.（2）不等式等價于，即，由于在上單調(diào)遞增，則，解得，故不等式的解集為.20.為了加強“疫情防控”建設(shè)，某校決定在學(xué)校門口借助一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園應(yīng)急室.由于此應(yīng)急室的后背靠墻，無需建造費用，公司甲給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為x米（），公司甲的報價為y元.（1）試求y關(guān)于x的函數(shù)〖解析〗式；（2）現(xiàn)有公司乙也要參與此應(yīng)急室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若采用最低價中標(biāo)規(guī)則，哪家公司能競標(biāo)成功？請說明理由.解：（1）由題意，得：，即y關(guān)于x的函數(shù)〖解析〗式為.（2）對于公司甲：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，公司甲的報價最低為28800元；對于公司乙：當(dāng)時，，即公司乙的最高報價為26000元，因為所以無論x取何值，公司甲的報價都比公司乙高，故公司乙競標(biāo)成功.21.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且（1）確定函數(shù)的〖解析〗式；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式．解：（1）由題意可得，解得，所以，經(jīng)檢驗滿足奇函數(shù).（2）設(shè)