2020-2021學年高中數(shù)學（人教A版2019）專項復習：第七章 復數(shù)

2020-2021學年高一數(shù)學下學期期中專項復習(人教A版2019)

知識梳理

第七章復數(shù)

一、復數(shù)的有關概念及代數(shù)表示

1.復數(shù)

把形如a+bi(a,bGR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位,a叫做復數(shù)的實部,b叫做復數(shù)的虛部.把

z=a+bi(a,bGR)這一表示形式叫做復數(shù)的代數(shù)形式.

2.復數(shù)集

全體復數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集，即復數(shù)集C={a+bi|a,beRi，

3.復數(shù)相等

在復數(shù)集C={a+bi|a,beR}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,deR),

我們規(guī)定:a+bi與c+di相等當且僅當a=c且b=d.

4.復數(shù)的分類

'實數(shù)(b=0),

復數(shù)z=a+bi(a,beR)ZC、(純虛數(shù)(a=0),

虛數(shù)(匕40)《

II非純虛數(shù)(a*0).

二、復數(shù)的幾何意義

(復數(shù)("上eR):

I復平而內(nèi)的.亦二!里(平而言量誣。是原點1

三、復數(shù)的四則運算

設Zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR),則

(1)zi±Z2=(a±c)+(b±d)i;

(2)zi?Z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

z_a+bi_ac+bdbc-ad

I-1=---~~~~

(3>2222i⑵WO).

z2c+dic+dc+d

對任意Z1,Z2,Z3￡C,有Z|+Z2=Z2+Z],(Z]+Z2)+Z3=Z[+(Z2+Z3),Z1Z2=Z2Z|,(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3),

Z1(Z2+Z3尸Z1Z2+Z1Z3.

第七章復數(shù)

考點一復數(shù)的有關概念

解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項

(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)

化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為〃十歷(a,bGR)的形式，以確定實部和虛部.

一.選擇題

1.設i是虛數(shù)單位，復數(shù)1-27的虛部是

A.-2B.2C.-2/D.2(

【答案】A

【解析】復數(shù)l-2i的虛部是-2.

故選A.

2.設復數(shù)z=l+biSeR),且z2=—3+4i,則N的虛部為

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【解析】z2=-3+4i,(1+W)2=-3+4z,\-b2+2bi=-3+4i,

:A-b2=-3,2b=4,

解得h=2.

貝ij2=1-2，的虛部為一2.

故選A.

7

3.若——=a+bi(a,beR),PIOa2019+b2020=

1+i

A.一1B.0C.1D.2

【答案】D

2

【解析】*.*---=a+hi,:A-i=a^bi,貝=b=-\,

\+i

...。2。19+/02°=2,

故選D.

4.己知復數(shù)2=-----,則下列說法正確的是

3+4z

A.復數(shù)z的實部為3

4

B.復數(shù)z的虛部為一i

25

C.復數(shù)z的共掘復數(shù)為』+巴，

2525

D.復數(shù)的模為1

【答案】C

【解析】vz=—!—=—=

3+4/252525

34

z的實部為—，虛部為---，

2525

Z的共輾復數(shù)為9+巴i,模為j（2）2+（&）2=」,

2525V25255

故選C.

4

5.已知i為虛數(shù)單位，z-,--則--復-數(shù)Z的虛部為

1+Z

A.-2/B.2;C.2D.

【答案】D

44(1-0_4(1-/)

【解析】=2-2/,

1+z(l+z)(l-02

則復數(shù)z的虛部為-2,

故選D.

6.若（療—5加+4）+（加之—2加?>0,則實數(shù)機的值為

A.1B.0或2C.2D.0

【答案】D

【解析】?/(m2-5w+4)+(nr-2ni)i>0,

ivr-5m+4>0.m2-2m=0,解得〃？=0.

故選D.

7.已知Z]=—3加+加2,,z2=4+(5加+6)i,其中根為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，若4—Z2=0,則機的

值為

A.4B.-1C.6D.—1或6

【答案】B

【解析】由題意可得4=Z2，即/-3旭+加2/=4+（5加+6）i,根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件可得

■“一3加=4,解得加一，

m~=5機+6

故選B.

8.已知i為虛數(shù)單位，則i+/+產(chǎn)+...+嚴19等于

A.iB.1C.-zD.-1

【答案】D

；/1；2OI9\-504x4+3\

【解析】i+『+f+...+嚴19J')=——)

\-i\-i

i(\+i)(-l+f)(l+Q=-2=[

-1-z-(l-z)(l+/)2-,

故選D.

二.填空題

9.設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=(W+2m-8)+(m-2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)

【答案】-4

[解析】?.?復數(shù)z=(>+2〃?-8)+(加-2)z是純虛數(shù),

/.m2+2m—8=0>，”-2H0,

解得m=-4.

故答案為：-4.

10.已知x,yeR,i為虛數(shù)單位，且(x-2)i-y=-l+i,貝!|x+y=.

【答案】4

【解析】v(x-2)/-y=-l+Z,

[x-2=\

解得x=3,y=1,

x+y=4,

故答案為：4.

三.解答題

11.〃?為何實數(shù)時，復數(shù)z=(2+i)m2-3。+1)加-2(1-。是：

(1)實數(shù)；

(2)虛數(shù)；

(3)純虛數(shù).

【答案】(1)相=1或2;(2)加*1且(3)m=--.

2

【解析】復數(shù)z=(2+i)nr-3(i+1)機-2(1-i)=(2療-3m-2)+(nr-3m+2)i,

(1)實數(shù)；可得切2-3"?+2=0,解得機=1或2.

(2)虛數(shù)；可得〃/-3〃？+2#0,解得加k1且"？*2.

(3)純虛數(shù)可得：2m2-3m-2=0并且切2-3機+2^0,解得加=-■.

2

12.設復數(shù)z=(/+a-2)+(6-7.+6>,其中aeR,當a取何值時：

(1)zeR?

(2)z是純虛數(shù)？

(3)z是零？

【答案】(1)。=1或。=6;(2)o=-2;(3)a=\.

【解析】(1)當/-7a+6=0,即a=l或”=6時，zeR.

(2)當卜廠"2=0,即”=_2時，z是純虛數(shù).

(3)當卜了"2=0,即”=1時，%是零.

tz2-7a+6=0

考點二復教的幾何意義

判斷復數(shù)在平面內(nèi)的點的位置的方法

首先將復數(shù)化成〃+53,人GR)的形式，其次根據(jù)實部4和虛部b的符號來確定點所在的象限.

選擇題

1.已知i為虛數(shù)單位，則2=——在復平面內(nèi)對應的點位于

l-2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

i(l+2i)-2+i

【解析】z=

l-2z(l-2i)(l+2z)5

故z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限,

故選B.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z=i(l+i)對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】由z=i(l+i)=-l+i.

得復數(shù)z=i(l+i)對應的點為

在復平面內(nèi),復數(shù)z=i(l+i)對應的點位于第:象限.

故選B.

3.在復平面內(nèi)，復數(shù)口1-i)對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】???iLU-i)=l+i，.?.復數(shù)m-i)對應的點的坐標為(1,1)，顯然位于第一象限,

故選A.

4.若復數(shù)z滿足(3—4i+z)i=2+i,則復數(shù)z所對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】由(3-4i+z)i=2+i,得

?！?+i(2+0H),、

3-4/+z=—―=--------=1-2/>

i—i~

z=-2+2i.

復數(shù)z所對應的點的坐標為(-2,2),位于第二象限.

故選B.

5.己知復數(shù)z=l+i,則下列命題中正確的個數(shù)為

①|(zhì)z|=J5；②Z=l-i；③z的虛部為i；④z在復平面上對應點在第一象限.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①復數(shù)z=l+i,則|z|=>/L故①正確；

②三=1一『，故②正確；

③z的虛部為1,故③錯誤：

④z在復平面上對應點的坐標為(1,1),在第一象限，故④正確.

命題中正確的個數(shù)為3.

故選C.

6.復數(shù)」一在復平面上對應的點位于

z-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】???￡z(-l-z)1.

T

2

故復數(shù)￡在復平面上對應的點位于第四象限,

故選D.

7.已知復數(shù)z滿足(l+JM)z=2"(，為虛數(shù)單位)，則z在復平面內(nèi)對應的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】由(1+百i)z=26i,得

2有，2后L(l-后6+2而3立.

1+后一(1+扃(1-扃-4_22'

r.z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(|,弓)，是第一象限的點.

故選A.

8.若復數(shù)(1-i)(a+i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是

A.(-oo,l)B.(—oo,—l)C.(1,4-00)D.(—l,+oo)

【答案】B

［解析】復數(shù)(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在復平面內(nèi)對應的點在笫二象限，

a+l<0

解得”-1.

1-a>0

則實數(shù)a的取值范圍是(YO,-1).

故選B.

二.填空題

9.已知z(l-i)=l,則復數(shù)z在復平面上對應的點位于第象限.

【答案】一

11+/1+z11.

【解析】?.1z(l-/)=1,--=—I—I

l-z-(l-z)(l+i)222

此復數(shù)對應的點的坐標為g,I),在第一象限,

故答案為：一.

10.復數(shù)(2+)在復平面上對應的點在第象限.

【答案】二

【解析】v(2+/)/=-1+2/

又2>()

故復數(shù)(2+i)i在復平面上對應的點在第二象限

故答案為：二

三.解答題

11.已知復數(shù)z=/(l+i)-〃?(3+i)-6i,則當〃7為何實數(shù)時，復數(shù)z是

(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)零；(5)對應的點在第三象限.

【答案】(1)機=-2或；(2)機工一2且〃2H3；(3)m=0-(4)tn=3；(5)mG(0,3).

【解析】由z=/7?2(14-z)-m(3+z)-6z=(zn2-3ni)+(zn2-m-6)i,

(1)當川—〃z—6=0,即防=一2或機=3時，z為實數(shù)；

(2)當前2-m一6。0,即加工一2目.加工3時，z為虛數(shù)；

(3)當，〃2-3/%=0,且小2_m_6H0,即〃2=0時，z為純虛數(shù)；

(4)當72?-3m=0,且加2一加—6=0,即〃?=3時，z=0；

⑸由[〃?：一3"<°?,

[加~一加一6<0②

解①得，0<加<3.

解②得，-2vmv3.

:.0<m<3.

即當加￡(0,3)時.，z對應的點在第三象限.

12.設復數(shù)z=(W-2m-3)+(裙+3"+2)i,試求實數(shù)機的取值，使得(1)z是純虛數(shù)；(2)z對應的點

位于復平面的第二象限.

【答案】(1)m=3；(2)

【解析】(1)復數(shù)是一個純虛數(shù)，實部等于零而虛部不等于0

,fzn2—2m—3=0卜加=一1或m=3/口

由《'=《，得機=3.

[m2+3m+200[m-1且〃zw—2

(2)當復數(shù)對應的點在第二象限時，

,[m2—2m—3<0[-1<m<3

由<2iTc，

[m+3AW4-2>0[團>一1或機<一2

得一1<mv3.

考點三復教的代數(shù)運算

復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略

(1)復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i

的看作另一類同類項，分別合并即可.

(2)復數(shù)的除法.除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共舸復數(shù)，解題中要注意把i的早寫成最簡形

式.

(3)利用復數(shù)相等求參數(shù).a+bi—c+di<^a—c,b—d(a,b,c,dWR).

一.選擇題

1.已知復數(shù)^--l=4-bi,a,beR,則a+〃=

i

A.2B.-2C.4D.6

【答案】D

【解析】?.2+ai=4_〃,.2+ai=z(4-bi)=b+4z,

i

則。=4,b=2,故〃+〃=6.

故選D.

2.已知"■二，(，為虛數(shù)單位，awR),則々=

l-2i

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】?.?*=，，

l-2i

:.a+i=i(l-2i)=2+if

故4=2,

故選D.

3.復數(shù)z滿足z(l+i)=l-i,則z的虛部等于

A.-iB.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】?.?復數(shù)z滿足z(l+i)=l-i,

1-z(1-z)21-2/+I2.

z=---=----------=-----—=—i,

l+i(1+z)(l-i)1-j2

.?.2的虛部為—1.

故選B.

c]:

4.已知復數(shù)2=-則彳的虛部為

1

An1.廠1

A.-H?—1C.D.-i

2222

【答案】A

【解析】復數(shù)嗎。=二二」，

l+z]2-i2222

則5=』+2i,所以彳的虛部為

222

故選A.

5.已知復數(shù)z=l+2i,則0=

A.N/3B.3C.V5D.5

【答案】D

【解析】?/z=1+2/,Z2=(1+2Z)2=-3+4Z,

則|z21=|-3+4+7(-3)2+42=5.

故選D.

6.復數(shù)z=工的虛部是

1-2/

6.3.廠3

AA.—iBn.-iC.一D.--

5555

【答案】C

…g3i3i(l+2i)3"66,3：

1用牛171，?z————?it

l-2i(1-20(1+2/)555

所以復數(shù)z的虛部是3,

5

故選C.

7.已知復數(shù)z滿足z(l+i),2+2i|(其中，?為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的虛部為

A.72B.-72C.匹D.-y/2i

【答案】B

【解析】?.?復數(shù)z滿足z(l+i)=|2+2i|(其中i為虛數(shù)單位)，

—)=2近，

272(1-/)

272=\/2(1—z)=>/2—>/2/'

1+/(1+0(1-0

復數(shù)z的虛部為-我.

故選B.

8.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z(l—i)=4+6i,則z的共軌復數(shù)三為

A.-1+5ZB.1-5/