運(yùn)籌學(xué)期末試題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁《運(yùn)籌學(xué)》試題樣卷（一）題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分一、判斷題（共計(jì)10分，每小題1分，對(duì)的打√，錯(cuò)的打X）1.無孤立點(diǎn)的圖一定是連通圖。2.對(duì)于線性計(jì)劃的原問題和其對(duì)偶問題，若其中一個(gè)有最優(yōu)解，另一個(gè)也一定有最優(yōu)解。3.倘若一個(gè)線性計(jì)劃問題有可行解，那么它必有最優(yōu)解。4．對(duì)偶問題的對(duì)偶問題一定是原問題。5．用單純形法求解標(biāo)準(zhǔn)形式（求最小值）的線性計(jì)劃問題時(shí)，與對(duì)應(yīng)的變量都可以被選作換入變量。6．若線性計(jì)劃的原問題有無窮多個(gè)最優(yōu)解時(shí)，其對(duì)偶問題也有無窮多個(gè)最優(yōu)解。7.度為0的點(diǎn)稱為懸掛點(diǎn)。8.表上作業(yè)法實(shí)質(zhì)上就是求解運(yùn)輸問題的單純形法。9.一個(gè)圖G是樹的充足須要條件是邊數(shù)最少的無孤立點(diǎn)的圖。10.任何線性計(jì)劃問題都存在且有唯一的對(duì)偶問題。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨二、建立下面問題的線性計(jì)劃模型（8分）某農(nóng)場(chǎng)有100公頃土地及15000元資金可用于發(fā)展生產(chǎn)。農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)力情況為秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如勞動(dòng)力本身用不了時(shí)可外出打工，春秋季收入為25元/人日，秋冬季收入為20元/人日。該農(nóng)場(chǎng)種植三種作物：大豆、玉米、小麥，并飼養(yǎng)奶牛和雞。種作物時(shí)不需要專門投資，而飼養(yǎng)每頭奶牛需投資800元，每只雞投資3元。養(yǎng)奶牛時(shí)每頭需撥出1.5公頃土地種飼料，并占用人工秋冬季為100人日，春夏季為50人日，年凈收入900元/每頭奶牛。養(yǎng)雞時(shí)不占用土地，需人工為每只雞秋冬季0.6人日，春夏季為0.3人日，年凈收入2元/每只雞。農(nóng)場(chǎng)現(xiàn)有雞舍允許最多養(yǎng)1500只雞，牛欄允許最多養(yǎng)200頭。三種作物每年需要的人工及收入情況如下表所示：大豆玉米麥子秋冬季需人日數(shù)春夏季需人日數(shù)年凈收入（元/公頃）205030003575410010404600試決定該農(nóng)場(chǎng)的經(jīng)營(yíng)計(jì)劃，使年凈收入為最大。三、已知下表為求解某目標(biāo)函數(shù)為極大化線性計(jì)劃問題的總算單純形表，表中為松弛變量，問題的約束為形式（共8分）5/201/211/2０5/21－1/20－1/61/30－４0－４－２(1)寫出原線性計(jì)劃問題；（4分）(2)寫出原問題的對(duì)偶問題；（3分）(3)直接由上表寫出對(duì)偶問題的最優(yōu)解。（1分）四、用單純形法解下列線性計(jì)劃問題（16分）s.t.3x1+x2+x3￡60x1-x2+2x3￡10x1+x2-x3￡20x1,x2,x330五、求解下面運(yùn)輸問題。（18分）某公司從三個(gè)產(chǎn)地A1、A2、A3將物品運(yùn)往四個(gè)銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如表所示：?jiǎn)枺簯?yīng)如何調(diào)運(yùn)，可使得總運(yùn)輸費(fèi)最小?銷地產(chǎn)地產(chǎn)量1089523674768252550銷、靈巧度分析（共8分）線性計(jì)劃maxz=10x1+6x2+4x3s.t.x1+x2+x3￡10010x1+4x2+5x3￡6002x1+2x2+6x3￡300x1,x2,x330的最優(yōu)單純形表如下：6x2200/305/615/3–1/6010x1100/311/60-2/31/600x6100040-201j0–8/30-10/3–2/30(1)C1在何范圍內(nèi)變化，最優(yōu)計(jì)劃不變？(4分)(2)b1在什么范圍內(nèi)變化，最優(yōu)基不變？(4分)七、試建立一個(gè)動(dòng)態(tài)計(jì)劃模型。（共8分）某工廠購(gòu)進(jìn)100臺(tái)機(jī)器，決定生產(chǎn)p1,p2兩種產(chǎn)品。若生產(chǎn)產(chǎn)品p1，每臺(tái)機(jī)器每年可收入45萬元，損壞率為65%；若生產(chǎn)產(chǎn)品p2，每臺(tái)機(jī)器每年可收入35萬元，損壞率為35%；預(yù)計(jì)三年后將有新的機(jī)器浮上，舊的機(jī)器將所有淘汰。試問每年應(yīng)如何安頓生產(chǎn)，使在三年內(nèi)收入最多？八、求解對(duì)策問題。（共10分）某種子商店希翼訂購(gòu)一批種子。據(jù)已往經(jīng)驗(yàn)，種子的銷售量可能為500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤種子的訂購(gòu)價(jià)為6元，銷售價(jià)為9元，剩余種子的處理價(jià)為每公斤3元。要求：（1）建立損益矩陣；（3分）（2）用悲觀法決定該商店應(yīng)訂購(gòu)的種子數(shù)。（2分）（3）建立悔恨矩陣，并用悔恨值法決定商店應(yīng)訂購(gòu)的種子數(shù)。（5分）九、求下列網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖的各時(shí)光參數(shù)并找出關(guān)鍵問題和關(guān)鍵路徑。（8分）66812345756379342783工序代號(hào)工序時(shí)光最早開工時(shí)光最早完工時(shí)光最晚開工時(shí)光最晚完工時(shí)光機(jī)動(dòng)時(shí)光1-281-371-462-432-553-423-634-534-674-745-796-78十、用標(biāo)號(hào)法求V1到V6的最短路。（6分）33V4V5V3V1V2V6465664384《運(yùn)籌學(xué)》試題樣卷（二）題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分一、判斷題（對(duì)的打√，錯(cuò)的打X.共計(jì)10分，答在下面的表格中）1、單純形法計(jì)算中，選取最大正檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)的變量作為換入變量，可使目標(biāo)函數(shù)值得到最快的減少。2、單純形法計(jì)算中，如不按最小非負(fù)比值原則選出換出變量，則在下一個(gè)解中至少有一個(gè)基變量的值是負(fù)的。3、對(duì)于一個(gè)動(dòng)態(tài)計(jì)劃問題，應(yīng)用順推法和逆推法可能會(huì)得到不同的最優(yōu)解。4、應(yīng)用對(duì)偶單純形法計(jì)算時(shí)，若單純形表中某一基變量，且所在行的所有元素都大于或等于零，則其對(duì)偶問題具有無界解。5、用位勢(shì)法計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)時(shí)，每一行（或列）的位勢(shì)的值是唯一的，所以每一個(gè)空格的檢驗(yàn)數(shù)是唯一的。6、動(dòng)態(tài)計(jì)劃的最短路問題也可以用圖論中求最短路問題的主意求解。7、圖論中的圖是為了研究問題中有哪些對(duì)象及對(duì)象之間的關(guān)系，它與圖的幾何形狀無關(guān)。8、動(dòng)態(tài)計(jì)劃只是用來解決和時(shí)光有關(guān)的問題。9、在畫網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖時(shí)，允許有多個(gè)起點(diǎn)和多個(gè)盡頭。10、因?yàn)檫\(yùn)輸問題是一種異常的線性計(jì)劃模型，因而求其解也可能浮上下列四種情況：有唯一最優(yōu)解；有無窮多個(gè)最優(yōu)解；無界解；無可行解。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨10二、試建立此問題的數(shù)學(xué)模型。（8分）某工廠Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種產(chǎn)品在下一年個(gè)季度的合同預(yù)定數(shù)如下表所示，該三種產(chǎn)品第一季度初無庫存，要求在在第四季度末每種產(chǎn)品的庫存為150件。已知該廠每季度生產(chǎn)工時(shí)為15000小時(shí)，生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需3，4，3小時(shí)。因更換工藝裝備，產(chǎn)品Ⅰ在第二季度無法生產(chǎn)。規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品不能按期交貨時(shí)，產(chǎn)品Ⅰ、Ⅱ每件每遲交一個(gè)季度賠償20元，產(chǎn)品Ⅲ賠償15元，又生產(chǎn)出來的產(chǎn)品不在本季度交貨的，每件每季度的庫存費(fèi)為5元。問應(yīng)如何安頓生產(chǎn)，使總的賠償加庫存費(fèi)用最小。產(chǎn)品季度1234Ⅰ1500100020001200Ⅱ1500150012001500Ⅲ1500200015002500三、用單純形法求解線性計(jì)劃問題（16分）MaxZ=1500x1+2500x2s.t.3x1+2x2￡652x1+x2￡403x2￡75x1,x230四、寫出下面線性計(jì)劃的對(duì)偶問題(8分)；五、求解下面運(yùn)輸問題。（18分）某公司從三個(gè)產(chǎn)地A1、A2、A3將物品運(yùn)往四個(gè)銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如表所示銷地產(chǎn)地產(chǎn)量311310719284741059銷量365620問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，可使得總運(yùn)輸費(fèi)最小?六、靈巧度分析（8分）線性計(jì)劃的總算單純形表如下：4150045１－1/301/3－1/353011－1/52/5sj0－8/3０－１/3－2/3的系數(shù)C1在什么范圍變化，上述最優(yōu)解不變？（4分）（2）b2在什么范圍變化，最優(yōu)基不變？（4分）七、建動(dòng)態(tài)計(jì)劃模型。（8分）某公司擁有資金10萬元，若投資于項(xiàng)目i(i＝1，2，3)的投資額為xi時(shí)，其收益分離為g1(x1)=4x1,g2(x2)=9x2,g3(x3)=2x32,問應(yīng)如何分配投資數(shù)額才干使總收益最大?八、解決對(duì)策問題。（10分）按照已往的資料，一家超級(jí)商場(chǎng)天天所需面包數(shù)（當(dāng)天市場(chǎng)需求量）可能是下列當(dāng)中的某一個(gè)：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。倘若一個(gè)面包當(dāng)天賣不掉，則可在當(dāng)天結(jié)束時(shí)每個(gè)0.5元處理掉。清新面包每個(gè)售價(jià)1.2元，進(jìn)價(jià)0.9元，假設(shè)進(jìn)貨量限制在需求量中的某一個(gè)，要求（1）建立面包進(jìn)貨問題的損益矩陣；（3分）（2）用積極法決定進(jìn)貨量。（2分）（3）建立悔恨矩陣，并用悔恨值法決定進(jìn)貨量。（5分）九、用雙標(biāo)號(hào)法求下列圖中到的最短路線及其長(zhǎng)度。（6分）44323483331221十、下圖是商業(yè)中央建設(shè)項(xiàng)目的網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖，請(qǐng)用標(biāo)號(hào)法計(jì)算出表中的各個(gè)參數(shù)，最后指出關(guān)鍵問題，并畫出關(guān)鍵線路。（8分，直接答在下面）AABCDGHEFJI314591068720108248141061262工序時(shí)光開工時(shí)光完工時(shí)光機(jī)動(dòng)時(shí)光最早最晚最早最晚A（20）B（10）C（8）D（24）E（8）F（14）G（10）H（6）I（12）J（6）運(yùn)籌學(xué)樣卷（一）答案判斷題。共計(jì)10分，每小題1分①②③④⑤⑥⑦⑧⑨10X√X√√√X√X√二、建線性計(jì)劃模型。共計(jì)8分（酌情扣分）解：用分離表示大豆、玉米、麥子的種植公頃數(shù)；分離表示奶牛和雞的飼養(yǎng)數(shù)；分離表示秋冬季和春夏季的勞動(dòng)力（人日）數(shù)，則有三、對(duì)偶問題。共計(jì)8分解：（１）原線性計(jì)劃問題：；……4分（２）原問題的對(duì)偶計(jì)劃問題為：；……3分（３）對(duì)偶計(jì)劃問題的最優(yōu)解為：T。……1分四、單純形表求解線性計(jì)劃。共計(jì)16分解：引入松弛變量x4、x5、x6，標(biāo)準(zhǔn)化得，s.t.3x1+x2+x3+x4=60x1-x2+2x3+x5=10x1+x2-x3+x6=0x1,x2,x3，x4、x5、x6，≥0……………3分建初始單純形表，舉行迭代運(yùn)算：…………9分CBXbb’2-11000θx1x2x3x4x5x60x460311100200x510[1]-1201010*0x62011-100120s102*-110000x43004-51-307.52x1101-120100x6100[2]-30-115*s22001*-30-200x4100011-1-22x115100.500.50.5-1x2501-1.50-0.50.5s32500-1.50-1.5-0.5由最優(yōu)單純形表可知，原線性計(jì)劃的最優(yōu)解為：(15,5,0)T…2分最優(yōu)值為：z*=25。………2分五、求解運(yùn)輸問題。共計(jì)18分解：（1）最小元素法：（也可以用其他主意，酌情給分）設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的運(yùn)量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）,列表如下：銷地產(chǎn)地產(chǎn)量1231520302555252550銷…………3分所以，基本的初始可行解為：x14=25；x22=20；x24=5；X31=15；x33=30；x34=5其余的xij=0。…………3分（2）求最優(yōu)調(diào)運(yùn)計(jì)劃：1會(huì)求檢驗(yàn)數(shù)，檢驗(yàn)解的最優(yōu)性：s11=2；s12=2；s13=3；s21=1；s23=5；s32=-1…………3分2會(huì)求調(diào)節(jié)量舉行調(diào)節(jié)：=5…………2分銷地產(chǎn)地產(chǎn)量12315155302510252550銷3分3再次檢驗(yàn)…………2分4能夠?qū)懗鰷?zhǔn)確結(jié)論解為：x14=25；x22=15；x24=10x31=15，x32=5x33=30其余的xij=0。……1分最少運(yùn)費(fèi)為：535………1分。六、靈巧度分析。共計(jì)8分（1）（4分）（2）（4分）七、建動(dòng)態(tài)計(jì)劃模型。共計(jì)8分解：(1)設(shè)階段變量k表示年度，因此，階段總數(shù)n=3。(2)狀態(tài)變量sk表示第k年度初擁有的完好機(jī)床臺(tái)數(shù)，同時(shí)也是第k–1年度末時(shí)的完好機(jī)床數(shù)量。(3)決策變量uk，表示第k年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品p1的機(jī)器臺(tái)數(shù)。于是sk–uk便為該年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品p1的機(jī)器臺(tái)數(shù)．（4）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為（5）允許決策集合,在第k段為（6）目標(biāo)函數(shù)。設(shè)gk(sk,uk)為第k年度的產(chǎn)量，則gk(sk,uk)=45uk+35(sk–uk),因此，目標(biāo)函數(shù)為（7）條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)遞推方程。令fk(sk)表示由第k年的狀態(tài)sk出發(fā)，采取最優(yōu)分配計(jì)劃到第3年度結(jié)束這段時(shí)光的產(chǎn)品產(chǎn)量，按照最優(yōu)化原理有以下遞推關(guān)系：（8）.邊界條件為八、解決對(duì)策問題。共10分（1）益損矩陣如下表所示：……3分銷售訂購(gòu)S1500S21000S31500S42000A1500A21000A31500A4200015000－1500－3000150030001500015003000450030001500300045006000（2）悲觀法：A1，訂購(gòu)500公斤?！?分（3）悔恨矩陣如下表所示：……3分S1S2S3S4最大悔恨值A(chǔ)101500300045004500A215000150030003000A330001500015003000A445003000150004500按悔恨值法商店應(yīng)取決策為A2或A3，即訂購(gòu)1000公斤或1500公斤?！?分68168123457563793427830871114182626141811980工序代號(hào)工序時(shí)光最早開工時(shí)光最早完工時(shí)光最晚開工時(shí)光最晚完工時(shí)光機(jī)動(dòng)時(shí)光1-28080801-37072921-460651162-4381181102-5581391413-427991123-63710151884-531114111404-671118111804-7411152226115-791423172636-78182618260關(guān)鍵問題是：①→②；2→④；④→⑤；④→6；6→⑦關(guān)鍵線路是：124612467②準(zhǔn)確寫出關(guān)鍵問題2分③準(zhǔn)確畫出關(guān)鍵線路２分十、用標(biāo)號(hào)法求v1到v6的最短路。（6分）44V4V5V3V1V2V6628737152(0,0)(4,v1)(6,v2)（8,v1）(9,v3)(10,v2)(10,v4)(11,v2)(13,v3)(12,v5)(14,v4)最短路為：v1,v2,v3,v4,v5,v6長(zhǎng)度為：12準(zhǔn)確標(biāo)號(hào)：4分；準(zhǔn)確寫出結(jié)論：2分運(yùn)籌學(xué)樣卷(二)答案判斷題。（共計(jì)10分，每小題1分）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨10X√XXX√√XXX二、建線性計(jì)劃模型。（8分）（酌情給分）解：設(shè)為第個(gè)季度生產(chǎn)的產(chǎn)品的數(shù)量；為第個(gè)季度末需庫存的產(chǎn)品的數(shù)量；為第個(gè)季度不能交貨的產(chǎn)品的數(shù)量；為第個(gè)季度對(duì)產(chǎn)品的預(yù)定數(shù)量，則有：三、求解線性計(jì)劃。（16分）解：引入松弛變量x3,x4,x5，標(biāo)準(zhǔn)化得，MaxZ=1500X1+2500X2s.t.3x1+2x2+x3=652x1+x2+x4=403x2+x5=75x1,x2≥0………………3分建初始單純形表，舉行迭代運(yùn)算：…………9分CBXbbx1x2x3x4x50x3653210032.50x44021010400x5750[3]0012.5*s1015002500*0000x315[3]010-2/35*0x4152001-1/37.52500x22501001/3s2625001500*000-2500/31500x15101/30-2/90x4500-2/311/92500x22501001/3s37000000-5000-500由最優(yōu)單純形表可知原線性計(jì)劃的最優(yōu)解為：(5,25,0,5,0)T…2分最優(yōu)值為：z*=70000?！?分四、解：原問題的對(duì)偶計(jì)劃問題為：（共8分）Maxf=7y1+5y2+3y3五、求解運(yùn)輸問題。（18分）解：（1）最小元素法：設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的運(yùn)量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）,列表如下：銷地產(chǎn)地產(chǎn)量123364133749銷量365620……………3分所以，基本的初始可行解為：x13=4；x14=3；x21=3x23=21x32=6x34=3其余的xij=0?！?分（2）求最優(yōu)調(diào)運(yùn)計(jì)劃：1會(huì)求檢驗(yàn)數(shù)，檢驗(yàn)解的最優(yōu)性：…………3分2會(huì)求調(diào)節(jié)量舉行調(diào)節(jié)：…………2分銷地產(chǎn)地產(chǎn)量123365213749銷量365620…………3分3再次檢驗(yàn)…………2分4能夠?qū)懗鰷?zhǔn)確結(jié)論解為：x13=5；x14=2；x21=3x24=1，x32=6x34=3其余的xij=0?！?分最少運(yùn)費(fèi)………1分六、靈巧度分析。（8分）（1）（4分）（2）（4分）七、建動(dòng)態(tài)計(jì)劃模型。（8分）1．分階段：設(shè)階段變量k表示依次對(duì)第k個(gè)項(xiàng)目投資，因此，階段總數(shù)n=3。(k=1,2,3)2.狀態(tài)變量：用sk表示已經(jīng)對(duì)第1至第k-1個(gè)項(xiàng)目投資后的剩余資金；即第k段初擁有的可以分配給第k到第3個(gè)項(xiàng)目的資金額（單位：萬元）。3.決策變量：用xk表示對(duì)第k個(gè)項(xiàng)目投資的資金數(shù)量（單位：萬元）。4．狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：５．決