數學北師大版必修2課時作業(yè)1-7-2-1柱體與錐體的體積

課時作業(yè)11柱體與錐體的體積時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．將兩個棱長為10cm的正方體銅塊熔化后鑄成底面邊長為5cm的正四棱柱，則該四棱柱的高為(B)A．8cm B．80cmC．40cm D．eq\f(16,5)cm解析：設正四棱柱的高為hcm，依題意得5×5×h＝2×103，解得h＝80(cm)．2．若一個圓錐的軸截面(過圓錐頂點和底面直徑的截面)是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的體積為(B)A．3π B．eq\f(\r(3),3)πC．eq\r(3)π D．eq\f(\r(3),2)π解析：設圓錐的底面半徑為R，依題意知該圓錐的高即軸截面的高h＝eq\f(\r(3),2)·2R＝eq\r(3)R，所以eq\f(1,2)·2R·eq\r(3)R＝eq\r(3)，解得R＝1.所以V＝eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.3．正三棱柱的側面展開圖是邊長為2和4的矩形，則該正三棱柱的體積是(D)A．eq\f(8\r(3),9) B．eq\f(4\r(3),9)C．eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)解析：當2為正三棱柱的底面周長時，正三棱柱底面三角形的邊長a＝eq\f(2,3)，底面面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),9)，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(4\r(3),9)；當4為正三棱柱的底面周長時，正三棱柱底面三角形的邊長a′＝eq\f(4,3)，底面面積S′＝eq\f(\r(3),4)a′2＝eq\f(4\r(3),9)，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的體積V′＝S′h′＝eq\f(8\r(3),9).所以正三棱柱的體積為eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9).4．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積是(A)A．eq\f(\r(3),24)πR3 B．eq\f(\r(3),8)πR3C．eq\f(\r(5),24)πR3 D．eq\f(\r(5),8)πR3解析：令母線長為l，底面半徑為r，則πl(wèi)＝2πr，∴l(xiāng)＝2r.∵l＝R，∴r＝eq\f(1,2)R.高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R.∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π·eq\f(1,4)R2·eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),24)πR3.5．已知直角三角形兩直角邊長分別為a、b，分別以這兩個直角邊為軸，旋轉所形成的幾何體的體積比為(B)A．ab B．baC．a3b3 D．b3a3解析：以a為軸的幾何體的體積為eq\f(πb2a,3)，以b為軸的幾何體的體積為eq\f(πa2b,3)，∴體積比為bA．6．設正棱錐的高和底面邊長都縮小為原來的eq\f(1,2)，則它的體積是原來的(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,16) D．eq\f(1,32)解析：∵V＝eq\f(1,3)·S·h，h′＝eq\f(1,2)h，S′＝eq\f(1,4)S，∴eq\f(V′,V)＝eq\f(1,8).7．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的凸多面體體積為(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(7,6)C．eq\f(4,5) D．eq\f(5,6)解析：每個截去的小三棱錐體積為eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4，則剩余部分的體積為V＝1－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))4×8＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).8．《算數書》竹簡于20世紀80年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統(tǒng)的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3，那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相當于將圓錐體積公式中的π近似取為(B)A．eq\f(22,7) B．eq\f(25,8)C．eq\f(157,50) D．eq\f(355,113)解析：V＝eq\f(1,3)πr2h≈eq\f(2,75)L2h，而L＝2πr，則π＝eq\f(25,8).二、填空題9．一個長方體的三個面的面積分別是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，則這個長方體的體積為eq\r(6).解析：設長方體的棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以長方體的體積V＝abc＝eq\r(6).10．若圓錐的側面積為2π，底面面積為π，則該圓錐的體積為eq\f(\r(3),3)π.解析：本題考查圓錐的側面積、體積以及圓錐中基本量的關系、運算，只需求出基本量代入公式即可．設圓錐底面半徑為r，母線長為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πr2＝π,\f(1,2)×2πr×l＝2π))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,l＝2))，∴圓錐的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.11．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為eq\f(\r(2),12)a3.解析：∵BA＝BC＝BD，∴B點在面ACD上的射影為△ACD的外心，即等腰Rt△ADC斜邊中點O，OD＝eq\f(\r(2),2)a，∴OB＝eq\f(\r(2),2)a，∴V＝eq\f(1,3)a2·eq\f(\r(2),2)a×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12)a3.三、解答題12．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐．(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐A－A1BD的體積及高．解：(1)V三棱錐A1－ABD＝eq\f(1,3)S△ABD·A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AB·AD·A1A＝eq\f(1,6)a3.故剩余部分的體積V＝V正方體－V三棱錐A1－ABD＝a3－eq\f(1,6)a3＝eq\f(5,6)a3.(2)V三棱錐A1－ABD＝V三棱錐A1－ABD＝eq\f(1,6)a3.設三棱錐A－A1BD的高為h，則V三棱錐A1－ABD＝eq\f(1,3)·S△A1BD·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)(eq\r(2)a)2h＝eq\f(\r(3),6)a2h，故eq\f(\r(3),6)a2h＝eq\f(1,6)a3，解得h＝eq\f(\r(3),3)A．13．如圖所示，圓錐的軸截面為等腰Rt△SAB，Q為底面圓周上一點．(1)若QB的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2eq\r(3)，求此圓錐的體積．解：(1)證明：連接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC．∵OH平面SOC，∴QB⊥OH.又OH⊥SC，∴OH⊥平面SBQ.(2)連接AQ，∵Q為底面圓周上一點，AB為直徑，∴AQ⊥QB．在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2eq\r(3)，∴AB＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝eq\f(1,2)AB＝2.∴V圓錐＝eq\f(1,3)π·OA2·SO＝eq\f(8,3)π.——能力提升類——14．如圖所示，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為4，動點E，F在棱AB上，且EF＝2，動點Q在棱D′C′上，則三棱錐A′－EFQ的體積(D)A．與定點E，F的位置有關B．與點Q的位置有關C．與點E，F，Q的位置有關D．與點E，F，Q的位置均無關，是定值解析：因為點Q到平面A′EF的距離為正方體的棱長4，A′到EF的距離為正方體的棱長4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×4＝eq\f(16,3)，是定值，因此與點E，F，Q的位置均無關．15．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)證明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱錐C1－ABA1的體積．解：(1)證明：如圖，連接AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴