2019年高考全國卷Ⅲ文數(shù)試題解析

2019年高考全國卷m文數(shù)解析

1.已知集合A={-1,0,1,2},B=41},則AcB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-U}D.{0,1,2}

【答案】A

先求出集合8再求出交集.

【解析】vx2,

.?.3={止1。＜1}，則Ac8={-1,0,1},

故選A.

2.若z(l+i)=2i,則z=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【答案】D

根據(jù)復數(shù)運算法則求解即可.

2i2i(l-i),.

【解析】z=丁一=:.、=1+1.故選D.

1+1(l+i)(l-i)

3.兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進而得解.

【解析】兩位男同學和兩位女同學排成一列，因為男生和女生人數(shù)相等，兩位女生相鄰與不

相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是:?故選D.

4.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小

說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀

過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀

過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)

與該校學生總數(shù)比值的估計值為()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解.

【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學生人數(shù)

之比為70?100=0.7.故選C.

5.函數(shù)/(x)=2siax-sin2x在[0,2句的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

令/(x)=0,得sinx=0或cosx=l,再根據(jù)x的取值范圍可求得零點.

【解析】由/(%)=25m%—§由2%=25由%—20111%以)5%=25由%(1—85%)=(),

彳導sinx=0或cosx=l,???x￡[0,2;r],

x=0>1或2冗.

.?J(X)在[0,2句的零點個數(shù)是3,

故選B.

6.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)歹！J｛q,｝的前4項和為15,且%=34+4卬，貝114=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

利用方程思想列出關于4，q的方程組，求出4，夕，再利用通項公式即可求得為的值.

a1+。聞+。]9"+=15,

【解析】SIE數(shù)的等比數(shù)列｛而的公比為4，則「4：2A，

%q=3a]q+44

4=1,o

解得，?.?％=〃q=4,故選c.

17=2

7.已知曲線y=ae'+xlnx在點(l,ae)處的切線方程為y=2x+8，貝(J()

A.a=e,h=-\B.a=e,b=\C.a=e~',b=\D.

a=e~',b=-\

【答案】D

通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得。，將點的坐標代入直線方程，求得。.

【解析】解析：y'=ae'+\nx+l,

女=y'3=ae+l=2,：.a=e~'

將(1,1)代入y=2x+。得2+人=1力=-1,故選D.

8.如圖，點N為正方形ABCO的中心，A￡CD為正三角形，平面ECE>_L平面ABC。,“

是線段EO的中點，則()

B

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMKEN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM^EN,且直線BM,EN是異面直線

【答案】B

利用垂直關系，再結(jié)合勾股定理進而解決問題.

【解析】如圖所示，作EOLC。于。，連接ON,過/作于P.

連BE,?.?平面CDEL平面ABC。.

￡0_1。）,后0匚平面。?！?.?.￡O_L平面ABC。,MF，平面MCE,

AMFB與AEON均直角三角形.設正方形邊長為2,易知

EO=6，ON=\EN=2,

MF=—,BF==/1-：.BM^EN,故選B.

22

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出$的值等于（）

/輸

【答案】c

根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關系進行運算，可得結(jié)果.

【解析】輸入的￡為0.01,

x=l.S=0+l,x=0.5<0.01?不滿足條件；

5=0+1+-,》=工<0.01?不滿足條件；

24

S=0+l+-+...+-L,x=-!-=0.0078125<0.01?滿足條件

22128

輸出S=l+g+…+/=2（1—?）=1-/,古嫡D.

22

】。.已知F是雙曲線。：亍-々=1的一個焦點，點。在C上’。為坐標原點,若

\OP\^\OF\,則的面積為（）

【答案】B

設P（』,為），因為|。"=|。F|再結(jié)合雙曲線方程可解出|%|,再利用三角形面積公式可求

出結(jié)果.

22

【解析】設點P（X。,%），則號--微-=1①,

又|0"=|0■=7^=3,

V+^（）2=9②.

25

2

由①②得y0=—,

即閭<.

???SAOPF=J°FH%|=；X3xg=|,

故選B.

x+V..6

11.記不等式組C-八表示的平面區(qū)域為。，命題〃：*,>0€。2+'.9；命題

2x-y>0

q:V（x,y）wO,2x+y,12.給出了四個命題,.①P~q?，②7^q:③P5:④ni,

這四個命題中，所有真命題的編號是（）

A.①③B.①②C.②③D.③④

【答案】A

根據(jù)題意可畫出平面區(qū)域再結(jié)合命題可判斷出真命題.

y=2xfx=2

【解析】如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由.〈，得,

x+y=6Iy=4

即A(2,4),直線2x+y=9與直線2x+y=12均過區(qū)域D,

則P真q假，有力假F真，所以①③真②④假.故選A.

12.設/（x）是定義域為R的偶函數(shù)，且在（0,+。）單調(diào)遞減，則（）

【答案】C

由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把/（log3；），/，/2行，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再

比較大小.

【解析】?."（％）是R的偶函數(shù)，

2_3_2_3

,/log34>log33=1,1=2°>2>22,log?4>2§>22，

又/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

y(iog34)</

(_3\(

f丁2>/

13.已知向量。=(2,2),B=(—8,6),貝！Jcos<a,B>=

【答案】一也

10

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.

—7a?b2x(—8)+2x6y/2,

r解析］cos<a^b>=|_i='>——I==———

［賄”卜陽萬兩xj(—8)2+6210-

【遷移】本題考查了向量夾角的運算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關鍵.

14記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若%=5,%=13,貝.

【答案】100

根據(jù)題意可求出首項和公差，進而求得結(jié)果.

%=4+2d=5=1

【解析】，得

%=4+61=13d=2'

inx9ir)x9

.-.5lo=10a.+--^^=10xl+--^-x2=100.

i°』22

【遷移】本題考點為等級列的求和，為基礎題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等

差數(shù)列的求和公式是解題的關鍵。

22

15股與F2為橢圓C:—+^-=1的兩個焦點，〃為C上一點且在第一象限.若AM和

3620

為等腰三角形，則M的坐標為.

【答案】（3,后）

根據(jù)橢圓的定義分別求出|崢|、|g|,設出M的坐標，結(jié)合三角形面積可求出M的坐標.

【解析】由已知可得“2=36,/=20,.?./=/—/=16,；.。=4,

?」叫|=忻段=20=8.:.\MF2\=4.

設點”的坐標為（』，%）（%>0,%>°），則5,轉(zhuǎn)=；?田用』=4%，

又S*?=；x4x正一2。=4小，「.4.%=4岳，解得%=后，

.片?（屏）=i，解得%=3（%=-3舍去），

"3620

\M的坐標為（3,岳）.

16.學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

A6CO-4月a。挖去四棱錐。―EEG〃后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，

E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,A4,=4cm,3D打印所用原料密度為

0.9g/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

【答案】118.8

根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型

的質(zhì)量.

1,

【解析】由題意得，SEFGH=4x6-4x-x2x3=l2cm-,

.1,

四棱錐O-&G的局13cm，，匕M-G”=§x12x3=12。/.

又長方體ABCO—A/CA的體積為匕=4x6x6=144(7,，

所以該模型體積為V=匕-匕=144-12=132C/,

其質(zhì)量為0.9x132=118.8g.

17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成

A8兩組，每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液，3組小鼠給服乙離子溶液.每只小

鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠

體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中“力的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代

表).

【答案】(1)a=0.35，人=0.10;(2)4.05,6.

⑴由尸(。)=Q70及頻率和為1可解得。和匕的值；⑵根據(jù)公式求平均數(shù)

【解析】(1)由題得。+0.20+().15=0.70,解得a=0.35由

0.05+6+0.15=1-尸(0=1-0.70,解得。=0.10.

(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

18.A4BC的內(nèi)角A&C的對邊分別為a,4c,已知asin-----=AsinA.

2

(1)求3；

(2)若小鉆C為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

【答案】Q)8=(;(2)(手,孚).

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角

JT|

解得8二號乂④根據(jù)三角形面積公式,八品二萬訛七足^,又根據(jù)正弦定理和C=1得到

JT

S.ABC關于C的函數(shù)，由于VABC是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于7來計算。的

定義域，最后求解S“BC(C)的值域.

A-L-CA+C

【解析】Q)根據(jù)題意小畝二-=以畝4,由正弦定理得sinAsin工一=sin8sinA

A+C

因為0<A<乃，故sinA>0,消去sinA得sin---=sinBo

A+C

0<B<n,0<—〈"因為故一^=8或者一^+6=?,而根據(jù)題意

222

A+「A+C

A+8+C=7T，故=一+8=萬不成立，所以下一=6，又因為4+3+。=萬，代入得

71

3B=TI，所以8=耳.

712

(2)因為VABC是銳角三角形，由(1)知8=],A+8+C=》得到A+C=§萬,

0<C<-

2.7171

故?/解得~C<—.

、2兀八71o2

0<-----C<—

32

ac

又應用正弦定理c=l,

sinAsinC

由三角形面積公式有：

,,,.,國sin(------C)

1.1tz._1smA.A/33

Se=—ac-smBn=—c2—smB=—c2-------sin8=--------------------

“*ABfiCr22c2sinC4sinC

y/3sin-cosC-cos—sinC

171131

33-(sin--------------F叵

TsinC43tanC8tanC8

V3旬M3A/3V3

又因工<C<±,tanC>J,故一<二d--<--

62388tanC82

百。百

故<S,BC<K-

o/

故S.ABC的取值范圍是

【遷移】這道題考查了三角函數(shù)的基礎知識，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以

用余弦定理求解)，最后考查VA8C是銳角三角形這個條件的利用。考查的很全面，是一道

很好的考題.

19.圖1是由矩形和菱形BFGC組成的Y平面圖形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿AB,折起使得BE與BF重合，連結(jié)

DG,如圖2.

(1)證明圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC1平面BCGE;

(2)求圖2中的四邊形4CGD的面積.

【答案】(1)見解析；(2)4.

⑴因為折紙和粘合不改變矩形ABE。，HAABC和菱形8FGC內(nèi)部的夾角，所以

AD//BE,BF//CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得證.因為AB是平面BCGE

垂線，所以易證.(2)欲求四邊形ACGD的面積，需求出CG所對應的高，然后乘以CG即

可。

【解析】(1)證：AD//BE,BF//CG,又因為￡和尸粘在一起.

AD//CG,A,C,G,D四點共面.

又?.?ABLBE,ABLBC.

AB_L平面BCGE,?「ABu平面ABC,平面ABCJ_平面BCGE,得證.

⑵取CG的中點“，連結(jié)EM,。例.因為AB//。七，43_L平面BCGE,所以。E_L平面

BCGE,t^DE±CG,

由已知，四邊形BCGE是菱形，且NEBC=60得，CG,故CG，平面DEM。

因此D0LCG。

在用△￡)?中，DE=1,EM=0＞，故ZW=2。

所以四邊形ACGD的面積為4.

【遷移】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問題，考查考生在粘合過程中哪些量是

不變的。再者粘合后的多面體不是直棱柱，最后將求四邊形ACGD的面積考查考生的空間

想象能力.

20.已知函數(shù)/(幻=2尤3一依2+2

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)當0<。<3時，記/(%)在區(qū)間［0,1］的最大值為M,最小值為切，求加一加的取值

范圍.

Q

【答案】(1)見解析；⑵［藥,2).

⑴先求八幻的導數(shù)，再根據(jù)。的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)討論。的范圍,利用函

數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終求得知-m的取值范圍.

【解析】Q)對/(%)=2？-ax2+2求導得/'(X)=6x2-2ax=6x(x-1).所以有

當"0時，(-畤)區(qū)間上單調(diào)遞增，與0)區(qū)間上單調(diào)遞減，(0,+8)區(qū)間上單調(diào)遞增；

當。=0時，(-8,例)區(qū)間上單調(diào)遞增；

當。>0時，(一雙0)區(qū)間上單調(diào)遞增，(0,￡)區(qū)間上單調(diào)遞減，(］,+8)區(qū)間上單調(diào)遞增.

⑵

若0<aW2,/(x)在區(qū)間(0,全單調(diào)遞減，在區(qū)間q,1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小

值為一()而八0)=2"(1)=2-a+22/(0),故所以區(qū)間上最大值為了⑴.

3

所以〃_加=/(l)_/(；)=(4_a)_［2(W)3_a(W)2+2］=|y_a+2,設函數(shù)

r3r2

g(x)=|y-x+2,求導g'(x)=}l當0<xW2時g'(x)<0從而g(x)單調(diào)遞減而

o3Q

0<a<2,所以二4二一。+2<2.即加一加的取值范圍是［二,2).

若2<a<3,/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,在區(qū)間q,1)單調(diào)遞增，所以區(qū)間。1］上最小

值/(］)而/(0)=2,/(l)=2—a+2W/(0),故所以區(qū)間［0J上最大值為7(0).

3

所以聞_，〃=./?(())_/《)=2_［2(?3_以攵2+2］=探,而2<a<3,所以

o“3Q

a<幺<1.即"-加的取值范圍是(”」).

272727

Q

綜上得M-〃7的取值范圍是［二,2).

27

【遷移】⑴這是一道常規(guī)的函數(shù)導數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少.考查的

函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算.思考量不大，由計算量補充.

-1

21.已知曲線Uy,為直線y=-5上的動點，過。作。的兩條切線,切點分別為

(1)證明：直線A8過定點：

(2)若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.

【答案】(1)見解析；⑵f+(y—1)2=4或i+(y-}2=2.

(1)可設4X,%)，8(%,必)，。”,-}然后求出人，8兩點處的切線方程，比如4。：

另+；=X,(x,-r),又因為50也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線A3方程，最后求出

它所過的定點.

(2)由Q)得帶參數(shù)的直線A8方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過M為線段的中點，

麗，福得出f的值，從而求出M坐標和［EM\的值，最后求出圓的方程.

【解析】(1)證明：設。&一g),A(x，x),則y=；玉2。又因為y=,所以y'=x.則

切線DA的斜率為x，故y+；=%（%-/），整理得2州—2y+1=0.設8*2,%），同理

得2為-2y+1=0.A（xt，必），5（乙,%）都滿足直線方程2次-2y+1=0.于是直線

2a-2y+1=0過點A,B,而兩個不同的點確定一條直線，所以直線AB方程為

2tx-2y+l=O.gp2tx+（-2y+l）=0,當2x=0,-2y+l=0時等式恒成立。所以直線AB

恒過定點（0，1）.

2

⑵由⑴得直線43方程為2枕-2y+l=0,和拋物線方程聯(lián)立得：

2tx-2y+\=0

'12化簡得/_2狀_]=0.于是玉+工2=2乙%+/=/（玉+%）+1=2r+1

y=—x

I2

設M為線段A3的中點，則

由于麗，福，而麗=（7,產(chǎn)一2）,而與向量（1M平行，所以/+/（r一2）=0,

解得f=0或/=±L

當r=0時，EM=（0,-2）,同=2所求圓的方程為Y+（y—1）2=4；

當/=±1時，兩=（1,一1）或成=（一1,一1）,|月可=夜所求圓的方程為

d+（y_|）2=2.

所以圓的方程為爐+S—1）2=4或V+（y—1）2=2.

【遷移】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型,按部

就班的求解就可以.思路較為清晰，但計算量不小.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則

按所做的第一題計分

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

22.如圖，在極坐標系。i中，A(2,0),,C(V2,y),。(2,兀)，弧.,BC,

CD所在圓的圓心分別是(L0),(1，9,(1㈤,曲線必是弧A8，曲線“2是弧BC，

曲線M3是弧8.

(1)分別寫出加一M2,AT,的極坐標方程；

(2)曲線/由M,M2，%構(gòu)成，若點尸在M上，且|OP|=G,求P的極坐標.

TTTT3乃37r

【答案】(1)p=2cos^e[0,-]),p=2sin^e[-,—]),p=-2cos^€[—,^]),

4444

⑵(瓜芻,(6,勺,(瓜多,(省,斗).

6336

(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中。的取值范圍.

(2)根據(jù)條件。=6逐個方程代入求解，最后解出P點的極坐標.

【解析】(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2,并且都過原點.

陷：夕=2cose(ee[0,?]),

A/2:p=ZcosC^-y)=2sin0(0e《，苧D,

37r

A/3:p=2cos(0-7r)=-2cos0(0G,^]).

⑵解方程2cose=6(ee[0,f])得6=9,此時P的極坐標為(g,g)

466

解方程2sin。=而。e[g,當)得。=￡或。=與，此時P的極坐標為(8,￡)或

44333

(點爭

解方程-285。=6(。曰￥，萬])得夕=苧，此時P的極坐標為(后當

466

故P的極坐標為(瓜g),(瓜g),(百，多，(百，當.