湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)2.2.1 平方差公式 同步課件

2.2乘法公式2.2.1平方差公式1.使學(xué)生理解和掌握平方差公式.2.會(huì)利用公式進(jìn)行計(jì)算，能夠掌握平方差公式的一些應(yīng)用.3.經(jīng)歷探索平方差公式的過程，增強(qiáng)了數(shù)和符號(hào)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.4.在探索和交流的過程中，培養(yǎng)學(xué)生與人協(xié)作的習(xí)慣，質(zhì)疑的精神.【教學(xué)重點(diǎn)】弄清平方差公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，能用自己的語言說明公式及其特點(diǎn).【教學(xué)難點(diǎn)】準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式是如何相乘的？(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn思考計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：(a+1)(a-1)=a2-a+a-12=

，(a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22=

，(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32=

，(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=

.a2-12a2-22a2-32a2-42同學(xué)們通過觀察這幾個(gè)式子的左右兩邊，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)中，有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)項(xiàng)的平方。我們用多項(xiàng)式乘法來推導(dǎo)一般情況：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.(a+b

)(

a

-

b

)=a2-

ab+ab

-b2=

.a2-b2(a+b

)(

a

-

b

)=a2-b2平方差公式

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.1、公式特征:2、使用公式應(yīng)該注意:相乘的兩個(gè)括號(hào)中有一對(duì)相同的數(shù)（式子），有一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)（式子）找清哪個(gè)是相同的，即公式中的a；哪個(gè)是互為相反數(shù)的，即公式中的b3、平方差公式對(duì)我們的幫助:可以使我們?cè)谟?jì)算這種類型的多項(xiàng)式乘法時(shí)直接用公式更加快速和簡便1、口答下列各題：(l)(－a+b)(a+b)=_________.(2)(a－b)(b+a)=_________.(3)(－a－b)(－a+b)=________.(4)(a－b)(－a－b)=_________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a22、練一練相同項(xiàng)相反項(xiàng)結(jié)果(x+y)(x-y)(3x-5)(3x+5)（-2a-b)(b-2a)(-7m+8n)(-8n-7m)(2a-6b)(-2a-6b)x-6b-7m-2a3x-b,b-5,58m,-8m2a,-2a(-6b)2-(2a)2(-7m)2-(8m)2(-2a)2-b2(3x)2-52x2-y2y,-y討論如圖（1），將邊長為a的大正方形剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個(gè)長方形，再將這兩個(gè)長方形拼成如圖（2）所示的長方形，你能用這兩個(gè)圖解釋平方差公式嗎？ab（1）aba-b（2）圖（2）中的面積為：(a+b)(a-b)，圖（1）中的剩余部分的面積為a2-b2.由題可知，圖（2）的面積為圖（1）剩余部分的面積，所以(a+b)(a-b)=a2-b2.對(duì)于滿足平方差公式特征的多項(xiàng)式的乘法，可以利用該公式進(jìn)行簡便計(jì)算.（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).【例1】運(yùn)用平方差公式計(jì)算：分析：第（1）題，可以把“2x”看成平方差公式中的“a”，“1”看成“b”；第（2）題，可以把“x”看成平方差公式中的“a”，“2y”看成“b”.解：（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1.（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y21、利用平方差公式計(jì)算：(1)(5＋6x)(5－6x)；(2)

(x－2y)(x＋2y)；(3)

(－m＋n)(－m－n).解：(1)原式

＝52－(6x)2＝25－36x2.(2)原式

＝

x2－(2y)2＝

x2－4y2.(3)原式

＝(－m)2－n2＝

m2－n2.注意：1.先把要計(jì)算的式子與公式對(duì)照；

2.哪個(gè)是

a?哪個(gè)是

b?【例2】運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）；（2）(4a+b)(-b+4a).解：（1）（2）(4a+b)(-b+4a)

=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2

=16a2-b2.將括號(hào)內(nèi)的式子轉(zhuǎn)化為平方差公式形式.自主探究想一想：(1)計(jì)算下列各式，并觀察他們的共同特點(diǎn)：6×8=4814×16=22469×71=48997×7=49

15×15=225

70×70=4900

(2)從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用字母

表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？(a?1)(a+

1)=a2

?

1，【例3】計(jì)算：1002×998解：1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=9999962、計(jì)算：(1)103×97；(2)118×122.解：103×97=(100＋3)(100－3)=1002－32=10000－9=9991.解：118×122=(120－2)(120＋2)=1202－22=14400－4=14396.注意：不能直接應(yīng)用公式的，要適當(dāng)變形才可以應(yīng)用.1.下列式子可用平方差公式計(jì)算嗎?為什么?

如果能夠，怎樣計(jì)算

?(1)(a+b)(

a

b)；(2)(a?b)(b?a)；(3)(a+2b)(2b+a)；

(4)

(a?b)(a+b)；(5)(

2x+y)(y?2x).(不能)(不能)(不能)(能)(不能)?(a2

?b2)=

?a2

+b22、下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)怎樣改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

3、計(jì)算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2；(2)(2x－5)(2x+5)

－2x(2x－3).解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4.(2)原式

=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.4.運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（2）(3a+b)(3a-b)；（1）(m+2n)(m-2n)；（4）(-1+5a)(-1-5a).（3）=9a2-b2=m2-4n2

=1-25a2.=

x2-y2(1)(a+3b)(a-

3b)；解：原式

=(2a+3)(2a－3)=(2a)2－32=4a2－9.=a2－9b2.解：原式

=a2－(3b)2(2)(3+2a)(－3+2a)；5.利用平方差公式計(jì)算：(3)(－2x2－y)(－2x2+y)；解：原式

=(－2x2)2－y2=4x4－y2.(4)(－5+6x)(－6x－5).解：原式

=(－5+6x)(－5－6x)=(－5)2－(6x)2=25－36x2.6、先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，

其中

x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)

＝4x2－y2－(4y2－x2)

＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.

當(dāng)

x＝1，y＝2時(shí)，原式＝5×12－5×22＝－15.方法總結(jié)：利用平方差公式先化簡再求值，一般不要先直接代入數(shù)值計(jì)算．解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12

＝2500－1＝2499.(3)原式＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6)

＝3x2－5x－10.(1)51×49；(3)(3x+4)(3x-

4)-

(2x+3)(3x-

2).(2)13.2×12.8；7.利用平方差公式計(jì)算：(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22

＝169－0.04＝168.96.（1）202×198；（2）49.8×50.2.8.計(jì)算：解:（1）202×198=(200+2)(200-2)=40000–4