知識資料方程根的證明問題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁方程根的證實(shí)問題6.1基本概念、內(nèi)容、定理、公式1.存在性的證法普通地，證實(shí)有一個根（即有一點(diǎn)，使），用延續(xù)函數(shù)的介值定理或根的存在性定理；而證實(shí)有根，用羅爾定理比較方便.1)延續(xù)函數(shù)的根的存在性定理2)羅爾定理(1)若存在函數(shù)，使得.而在上滿意羅爾定理的條件，則存在，使得，即.(2)若存在兩個函數(shù)，使得，在上滿意羅爾定理的條件，因而存在，使得，即，而，則必有.(3)拉格朗日中值定理和柯西中值定理(4)費(fèi)爾瑪定理（極值須要條件）若在取得極值且存在，則=0.因此，若存在函數(shù)，使得，而在給定區(qū)間內(nèi)取得極值，則一定存在，使得，從而=0.2.根的個數(shù)的求法1)利用單調(diào)性：（普通適用于函數(shù)表達(dá)式是顯式表示時(shí)）函數(shù)在每個單調(diào)區(qū)間（鄭重單調(diào)）內(nèi)最多只能有一個零點(diǎn).2)羅爾定理加反證法：（普通適用于函數(shù)表達(dá)式是抽象表示時(shí)）3.類型分析1）欲證結(jié)論：至少存在一點(diǎn)，使得的命題類型：此類命題的證法普通有以下三條思路：（1）驗(yàn)證在上滿意羅爾定理?xiàng)l件由該定理即可得命題的證實(shí)；（2）驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn)，由費(fèi)爾瑪定理即得命題的證實(shí)；（3）個別命題也可用泰勒公式證實(shí).2）欲證結(jié)論：至少存在一點(diǎn)，使得及其代數(shù)式的命題類型：輔助函數(shù)的構(gòu)造是證題的關(guān)鍵，下面推薦輔助函數(shù)的幾種作法：Ⅰ不定積分求積分常數(shù)法（1）將欲證結(jié)論中的化為；（2）通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號的形式（即易積分形式）；（3）利用看見法或不定積分法，方程兩邊同時(shí)積分；（4）解出積分常數(shù)，則即為所求的輔助函數(shù).以拉格朗日及柯西中值定理為例說明其輔助函數(shù)的作法.拉格朗日中值定理的結(jié)論：，將化為,有，方程兩邊同時(shí)積分得，解出常數(shù)，則.令輔助函數(shù).柯西中值定理的結(jié)論：，將化為，有，直接積分消不去導(dǎo)數(shù)，故需變形為，方程兩邊同時(shí)積分得，解出常數(shù)，則.即作輔助函數(shù).Ⅱ常數(shù)變易法此法適用于常數(shù)已分離出來的命題.構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟：將常數(shù)部分設(shè)為；（2）恒等變形，將等式一端變?yōu)橛杉皹?gòu)成的代數(shù)式，另一端為由及構(gòu)成的代數(shù)式；（3）分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對稱式或輪換對稱式，若是，只要把端點(diǎn)改成，改成，則換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式為輔助函數(shù).3）欲證結(jié)論：存在，滿意某種關(guān)系式的命題類型：這類命題的證實(shí)普通不作輔助函數(shù)，其解法是按照題意，求出一個函數(shù)在不同區(qū)間上的兩個拉格朗日中值公式（或柯西中值公式），或者一個拉格朗日中值公式與一個柯西中值公式，然后再舉行某種運(yùn)算.6.2例題選講一、關(guān)于方程根的個數(shù)及存在性例1設(shè)常數(shù)，函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)為。例2設(shè)在上到處有，且，證實(shí)方程在內(nèi)有且僅有一個實(shí)根。例3研究在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個數(shù)。例4證實(shí)方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有三個實(shí)根。例5設(shè)當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一個實(shí)根，求的取值范圍。例6-1（達(dá)布定理）（1）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，且有，則，使得.（2）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，，且介于和之間，則，使得.分析：（1）中條件，起到的作用類似于羅爾定理中的，證實(shí)思路類似于羅爾定理的證實(shí).（2）也稱為導(dǎo)數(shù)的介值性定理，類似于延續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的介值性定理.例6-2設(shè)函數(shù)滿意：在閉區(qū)間上有定義且有階延續(xù)導(dǎo)數(shù)；在開區(qū)間上有階導(dǎo)數(shù)；.試證：在上至少存在一點(diǎn)，使.下面的題是時(shí)的特例.設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且而，則在內(nèi)至少有方程的一個根.更有：設(shè)函數(shù)在上延續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，銜接與的直線段，與曲線相交于，其中.則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.條件中相當(dāng)于給出：直線段與曲線共有3個交點(diǎn).即函數(shù)共有3個根.則用上述特例可得：，使得.進(jìn)一步，設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在上有階導(dǎo)數(shù)，并滿意，則對每個，都相應(yīng)存在著滿意。證實(shí)：構(gòu)造例5-3設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，，且對，.試證：對，，使得.分析：利用不定積分求常數(shù)法.即（1）將化為即；（2）方程兩邊對求不定積分；（3）解出積分常數(shù).引申：（1）若把題中的結(jié)論改成，則證實(shí)中所設(shè)的輔助函數(shù)應(yīng)設(shè)為什么？（2）若把題中的結(jié)論改成，（其中是上隨意一個可導(dǎo)的函數(shù)）則證實(shí)中所設(shè)的輔助函數(shù)應(yīng)設(shè)為什么？例6-3設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，，且，試證：在內(nèi)必有唯一的，使得.例6-4設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：，使得.分析：此題相當(dāng)于羅爾定理的推廣，可借助羅爾定理而證之.注：利用上例我們可以很容易證實(shí)下面的題目：設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且滿意，證實(shí)存在一點(diǎn)，使得.（容易考慮輔助函數(shù)，注重到.）例6-5設(shè)，函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，試證：至少，使得+=.分析：利用常數(shù)變易法.即令+=.這是關(guān)于端點(diǎn)的輪換對稱式（即式子不變）.令（也可令或，于是，得證法1：作輔助函數(shù)，其中+=.證實(shí)2：考慮到拉格朗日插值多項(xiàng)式可作輔助函數(shù)，例6-6設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，且，則存在，使得.分析：利用常數(shù)變易法.令，這是關(guān)于端點(diǎn)的對稱式，故所作的輔助函數(shù)為.證法1：令，則，由羅爾定理即可得證.證法2：倘若將結(jié)論變形為=.例6-7設(shè)在閉區(qū)間上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，則對隨意給定的個正數(shù)，在內(nèi)必有使下式成立..分析：先考慮最容易的情形：，.證實(shí)：要證結(jié)論成立，即證例6-7設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)延續(xù)，而，若時(shí)，，，求證：.分析：因延續(xù)，又，，則對于與之間的隨意，都有，故只要證實(shí)：.注：若條件中導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)延續(xù)缺少，則不能用上述主意，但結(jié)論仍成立.解法如下：存在，=又==，其中.故得證命題.注：倘若條件“”，則結(jié)論可能不成立！反例：設(shè)令，則，而，故有。例6-8設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，證實(shí)：.注：若知道洛必達(dá)法則的推廣形式，則直接可證得.（推廣的洛比達(dá)法則）設(shè)在上可導(dǎo)，且滿意：（1）；（2）；（3）；則。證實(shí)：由條件（3）得，對，又對，則按照柯西中值定理，，使得，于是。又因?yàn)闂l件（1），在上單調(diào)，不妨設(shè)在上單增，則有，故，現(xiàn)在對固定的，令，對上式取極限，條件（2）即得，再令，就得到。例6-9若函數(shù)在上滿意羅爾定理的條件，且不恒為常數(shù)，證實(shí)：，使得.證法1：不恒為常數(shù)，，使得.（1）若，在上用拉格朗日中值定理有，，證畢.（2）若，在上用拉格朗日中值定理有，，證畢.證法2：用反證法：假設(shè)，，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有，即.不恒為常數(shù)，，使得.在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有，即.這與矛盾！例6-10設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿意，證實(shí)：，使得.分析：題目中函數(shù)值含有定積分，普通都要用積分中值定理或利用可變上限積分.輔助函數(shù)利用看見法或不定積分求積分常數(shù)法很容易得到.證法1：設(shè)，在閉區(qū)間上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又利用積分中值定理，=，證法2：令，將在處展開并求處的值，得例6-11設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，又，證實(shí)：，使得.分析：題目中條件較為蘊(yùn)藏，但容易想到輔助函數(shù)為，從而，再利用費(fèi)爾瑪定理即可得證.6.3練習(xí)題6-1設(shè)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且（為常數(shù)），又，證實(shí)：在內(nèi)有唯一實(shí)根.6-2設(shè)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且不是線性函數(shù)，試證：至少存在一點(diǎn)，使得.6-3設(shè)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證實(shí)至少存在一點(diǎn)，使得.6-4設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，并且，，，試證：（1），；（2），使得.6-5若在上可導(dǎo)，且，，則，使得.6-6若在上延續(xù)，試證：，使得.6-7設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，又，證實(shí)：，使得.6-8設(shè)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，當(dāng)時(shí)，，試證：對，，使得.6-9設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，試證：，使得.6-10設(shè)在上可導(dǎo)，且，證實(shí)：至多惟獨(dú)一個零點(diǎn).6-11設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：，使得.6-12設(shè)在上有延續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，使，求證：，使得.6-13設(shè)在上延續(xù)，試證實(shí)：，使；若又設(shè)且單調(diào)減少，則這種是唯一的.6-14設(shè)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，，證實(shí)至少，使.6-15設(shè)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，試證：（1），使.（2）對，，使得.6-16設(shè)在上延續(xù)，且二次可微，，證實(shí)：，使得.6-17設(shè)在上可導(dǎo)，且，求證：，使得.6-18設(shè)是區(qū)間上任一非負(fù)延續(xù)函數(shù)，（1）試證：存在點(diǎn)，使得在區(qū)間上以為高的矩形面積，等于在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積；（2）又設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證實(shí)：（1）中的點(diǎn)是唯一的.6-19設(shè)函數(shù)在上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，，試證：存在，使得.6-20設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證實(shí)：在內(nèi)，；（2）在內(nèi)存在點(diǎn)，使得；（3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)，使得.6.4答案與提醒6-1設(shè)，顯然，（）.在應(yīng)用拉格朗日中值定理：，即=，由根的存在性定理，，使得.即至少有一個根.又因，是單增函數(shù)，則是的唯一根.6-2設(shè)，由拉格朗日中值定理知：=，.又因?yàn)椴皇蔷€性函數(shù)，則可適當(dāng)挑選分點(diǎn)，使得.于是取，故得證.6-3利用常數(shù)變易法或利用柯西中值定理.6-4（1）利用反證法加羅爾定理；（2）利用不定積分求常數(shù)法設(shè)輔助函數(shù)為應(yīng)用羅爾定理即得證.6.5利用不定積分求積分常數(shù)法令應(yīng)用羅爾定理即得證.6-6令輔助函數(shù)即得證.6-7注重到，故由羅爾定理得：，使得，又，故對用羅爾定理即得證.6-8利用不定積分求積分常數(shù)法令.6-9令輔助函數(shù)即得證.6-10利用反證法并考慮函數(shù).6-11解微分方程，并求出常數(shù)得：，即令.6-12利用解微分方程可令輔助函數(shù)，分兩種情況研究如下：（1），則因?yàn)?，故，使；即得證.（2），則因，所以；又，故.于是，所以由延續(xù)函數(shù)的介值定理即得證.6-13利用不定積分求積分常數(shù)法令即可得證.為證的唯一性，利用反證法，設(shè)，滿意，.兩式相減，得=，矛盾！6-14令即可.6-15（1）令；(2)由一階線性非齊次微分方程的通解公式，解得常數(shù)，即.作輔助函數(shù)即可.6-16當(dāng)或時(shí)，顯然成立，因此只須設(shè)，故，由此可設(shè)，使得等式成立.令，則，故，使得，即.6-17令，利用積分中值定理和羅爾定理即得證.6-18證法1：令，應(yīng)用羅爾定理即得證.欲證點(diǎn)是唯一的，只需證實(shí)在鄭重單調(diào)即可.因