二次函數(shù)與幾何綜合講義及答案

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)二次函數(shù)與幾何綜合（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛“二次函數(shù)與幾何綜合”思量流程：關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)幾何特征轉(zhuǎn)幾何圖形函數(shù)表達(dá)式整合信息時(shí)，下面兩點(diǎn)可為我們提供方便：①_____________________．二次函數(shù)擔(dān)心四點(diǎn)一線，一次函數(shù)擔(dān)心k、b；②_____________________．找異常圖形、異常位置關(guān)系，尋求邊和角度信息．二、精講精練如圖，拋物線y=ax2-5ax+4（a＜0）經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使|MA-MB|最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．如圖，已知拋物線y=ax2-2ax-b（a>0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1，0)，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．銜接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且以B、A、F、E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8． （1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．已知，拋物線經(jīng)過A(-1，0)，C(2，)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q在線段MB上移動(dòng)，且∠MPQ=45°，設(shè)線段OP=x，MQ=，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A(1，0)，C(0，-3).（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A），①如圖1，當(dāng)△PBC的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，當(dāng)∠PCB=∠BCA時(shí)，求直線CP的解析式．圖1圖2三、回顧與思量__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【參考答案】一、知識(shí)點(diǎn)睛線段長(zhǎng)①研究函數(shù)表達(dá)式②關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)線段長(zhǎng)二、精講精練解：（1）令x=0，則y=4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），

∵BC∥x軸，∴點(diǎn)B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，又∵拋物線y=ax2-5ax+4的對(duì)稱軸是直線，即直線

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4），

∴AC=BC=5，在Rt△ACO中，OA=，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（，0），

∵拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過點(diǎn)A，

∴9a+15a+4=0，解得，

∴拋物線的解析式是（2）存在，M（，）理由：∵B，C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴MB=MC，

∴；∴當(dāng)點(diǎn)M在直線AC上時(shí)，值最大，

設(shè)直線AC的解析式為，則，解得，∴令，則，∴M（，）解：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（，0），∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴令y=0，則x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，令x=0，則y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a∵D為拋物線的頂點(diǎn)，∴D（1，4a）過點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，則∠AOC=∠CMD=90°，又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°∴∠MCD=∠1，∴△AOC∽△CMD，∴，∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a∴，∴，∵a>0，∴a=1∴拋物線的解析式為：（2）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，

則BA∥EF，并且EF=BA=4

因?yàn)閷?duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5或者3

將x=5代入得y=12，

∴F（5，12）．將x=-3代入得y=12，

∴F（-3，12）．

當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)F即為點(diǎn)D，∴F（1，4）．

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，12），（3，12）或（1，4）．3．解：（1）對(duì)于，當(dāng)y=0，x=2；當(dāng)x=8時(shí)，y=.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為由拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，得解得（2）設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)M當(dāng)x=0時(shí)，y=.∴OM=.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA=2，∴AM=∴OM：OA：AM=3：4：5.由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED.∴DE：PE：PD=3：4：5∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴PD=∴由題意知：4．解：(1)∵拋物線y1=ax22axb經(jīng)過A(1，0)，C(0，)兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線的解析式為y1=x2x（2）解法一：過點(diǎn)M作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N，銜接AM由y1=x2x可知頂點(diǎn)M(1，2)，A(1，0)，B(3，0)，N(1，0)∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.∴△AMN和△BMN為等腰直角三角形.∵∠MPA+∠QPB=∠MPA+∠PMA=135°∴∠QPB=∠PMA又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA∴將AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，可得，即.∵點(diǎn)P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）∴0x＜3則y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)解法二：過點(diǎn)M作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N.由y1=x2x易得M(1，2)，N(1，0)，A(1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，MBN=45.按照勾股定理有BM2BN2=PM2PN2.∴…①，又MPQ=45=MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y22由、得y2=x2x.∵0x<3，∴y2與x的函數(shù)關(guān)系式為y2=x2x(0x<3)5．解：（1）由題意，得，解得∴拋物線的解析式為.（2）①令，解得∴B（3，0）則直線BC的解析式為當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，∴設(shè)直線AP的解析式為，∵直線AP過點(diǎn)A（1，0），∴直線AP的解析式為，交y軸于點(diǎn).解方程組，得∴點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖1，按照點(diǎn)，可知需把直線BC向下平移2個(gè)單位，此時(shí)交拋物線于點(diǎn)，得直線的解析式