概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用（13大核心考點(diǎn)）（講義）（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

專(zhuān)題21概率與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用【目錄】 2 3 4 6 10考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望 10考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布 11考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題 13考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用 14考點(diǎn)五：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 16考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征 18考點(diǎn)七：線(xiàn)性回歸與非線(xiàn)性回歸分析 21考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn) 24考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題 27考點(diǎn)十：決策型問(wèn)題 28考點(diǎn)十一：遞推型概率命題 30考點(diǎn)十二：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式 32考點(diǎn)十三：高等背景下的概統(tǒng)問(wèn)題 33概率統(tǒng)計(jì)在高考中扮演著很重要的角色，概率統(tǒng)計(jì)解答題是新高考卷及多數(shù)省市高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，考查熱點(diǎn)為古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的實(shí)際應(yīng)用等．回顧近幾年的高考試題，可以看出概率統(tǒng)計(jì)解答題，大多緊密結(jié)合社會(huì)實(shí)際，以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題，注重知識(shí)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用，作為考查實(shí)踐能力的重要載體，命題者要求考生會(huì)收集，整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息，建立數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題．考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征2023年乙卷第17題，12分2023年II卷第19題，12分2022年II卷第19題，12分【命題預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)2024年高考，以解答題形式出現(xiàn)，具體估計(jì)為：（1）以解答題壓軸題形式出現(xiàn)，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算四大核心素養(yǎng)．（2）熱點(diǎn)是與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題及高等背景下的概統(tǒng)問(wèn)題.期望與方差2023年上海卷第19題，14分2023年I卷第21題，12分2022年甲卷第19題，12分2021年I卷第18題，12分獨(dú)立性檢驗(yàn)2023年甲卷第17題，12分2022年I卷第20題，12分

（一）涉及的概率知識(shí)層面主要考查隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷是等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件還是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，以便選擇正確的計(jì)算方法，進(jìn)行概率計(jì)算及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，也要掌握幾種常見(jiàn)常考的概率分布模型：離散型有二項(xiàng)分布、超幾何分布，連續(xù)型有正態(tài)分布．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，1、離散型隨機(jī)變量的期望與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．（1）離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)=1\*GB3①；=2\*GB3②．（2）均值與方差的性質(zhì)若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且（3）分布列的求法=1\*GB3①與排列、組合有關(guān)分布列的求法．由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列．=2\*GB3②與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法．可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列．=3\*GB3③與互斥事件有關(guān)分布列的求法．弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．=4\*GB3④與獨(dú)立事件（或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)）有關(guān)分布列的求法．先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出分布列．（4）常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型=1\*GB3①二項(xiàng)分布；=2\*GB3②超兒何分布．2、常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布模型正態(tài)分布．（二）概率分布與不同知識(shí)背景結(jié)合考查對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力1、與數(shù)列結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題2、與函數(shù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題3、與分段函數(shù)求最值、解不等式結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題4、與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題5、與其他背景結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題1．（2023?乙卷）某廠(chǎng)為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，，2，．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號(hào)12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，2，，，記，，，的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高．（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）2．（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽(yáng)性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率（c）時(shí)，求臨界值和誤診率（c）；（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．3．（2023?甲卷）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表；對(duì)照組試驗(yàn)組（ⅱ）根據(jù)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.6354．（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車(chē)博覽會(huì)在上海舉行，已知某汽車(chē)模型公司共有25個(gè)汽車(chē)模型，其外觀(guān)和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：紅色外觀(guān)藍(lán)色外觀(guān)棕色內(nèi)飾128米色內(nèi)飾23（1）若小明從這些模型中隨機(jī)拿一個(gè)模型，記事件為小明取到紅色外觀(guān)的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨(dú)立；（2）該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車(chē)模型，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀(guān)和內(nèi)飾均為同色、外觀(guān)和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀(guān)或僅內(nèi)飾同色；假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為：一等獎(jiǎng)600元，二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元；請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎(jiǎng)金額，寫(xiě)出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．5．（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．6．（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出的估計(jì)值．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.8287．（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001．考點(diǎn)一：求概率及隨機(jī)變量的分布列與期望求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）【例1】（2024·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）一只螞蟻位于數(shù)軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)它向右移動(dòng)的概率為，向左移動(dòng)的概率為.(1)已知螞蟻2秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為非負(fù)數(shù)，求2秒后這只螞蟻在處的概率；(2)記螞蟻4秒后所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為，求的分布列與期望.【變式1-1】（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某學(xué)校為了學(xué)習(xí)、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識(shí)比賽，甲、乙兩位教師進(jìn)行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時(shí)甲、乙同時(shí)回答這一個(gè)問(wèn)題，若一人答對(duì)且另一人答錯(cuò)，則答對(duì)者獲得10分，答錯(cuò)者得分；若兩人都答對(duì)或都答錯(cuò)，則兩人均得0分．根據(jù)以往答題經(jīng)驗(yàn)，每道題甲、乙答對(duì)的概率分別為，且甲、乙答對(duì)與否互不影響，每次答題的結(jié)果也互不影響．(1)求在一局比賽中，甲的得分的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)這次比賽共有3局，若比賽結(jié)束時(shí)，累計(jì)得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．【變式1-2】（2024·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）某校高一年級(jí)開(kāi)設(shè)建模，寫(xiě)作，籃球，足球，音樂(lè)，朗誦，素描7門(mén)選修課，每位同學(xué)須彼此獨(dú)立地選3門(mén)課程，其中甲選擇籃球，不選擇足球，丙同學(xué)不選素描，乙同學(xué)沒(méi)有要求.(1)求甲同學(xué)選中建模且乙同學(xué)未選中建模的概率；(2)用表示甲、乙、丙選中建模的人數(shù)之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)二：超幾何分布與二項(xiàng)分布超幾何分布與二項(xiàng)分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問(wèn)題都可以利用這兩個(gè)概率模型來(lái)解決．一般地，在含有件產(chǎn)品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，其中，且，稱(chēng)為超幾何分布列．一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則．此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱(chēng)為成功概率．此時(shí)有．【例2】（2024·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬(wàn)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬(wàn)元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿(mǎn)足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物愛(ài)好調(diào)查，①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來(lái)自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【變式2-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話(huà)或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序.當(dāng)一個(gè)問(wèn)題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答.在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%.假設(shè)每次輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為10%.(1)求一個(gè)問(wèn)題的應(yīng)答被采納的概率；(2)在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.【變式2-2】（2024·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為不斷改進(jìn)勞動(dòng)教育，進(jìn)一步深化勞動(dòng)教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)抽取3人做問(wèn)卷調(diào)查.已知某單位有N名員工，其中是男性，是女性.(1)當(dāng)時(shí)，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個(gè)體足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.現(xiàn)在全市范圍內(nèi)考慮.從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的概率記作；有二項(xiàng)分布中（即男性員工的人數(shù)）男性員工恰有2人的概率記作.那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過(guò)0.001（即）的前提下認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布.（參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)三：概率與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)試題是高考命題的指導(dǎo)思想之一，概率作為高中數(shù)學(xué)具有實(shí)際應(yīng)用背景的主要內(nèi)容，除與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題相交匯，還常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯．求解此類(lèi)問(wèn)題要充分理解題意．根據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．這類(lèi)題型具體來(lái)說(shuō)有兩大類(lèi)：1、所給問(wèn)題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等知識(shí)為載體的概率問(wèn)題．求解時(shí)需要利用相關(guān)知識(shí)把所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率知識(shí)求解．2、所給問(wèn)題是概率問(wèn)題，求解時(shí)有時(shí)需要把所求概率轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解；或者把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系式，再通過(guò)構(gòu)造特殊數(shù)列求通項(xiàng)或求和．【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）乒乓球被稱(chēng)為我國(guó)的“國(guó)球”，是一種深受人們喜愛(ài)的球類(lèi)體育項(xiàng)目．在某高校運(yùn)動(dòng)會(huì)的女子乒乓球單打半決賽階段，規(guī)定：每場(chǎng)比賽采用七局四勝制，率先取得四局比賽勝利的選手獲勝，且該場(chǎng)比賽結(jié)束．已知甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了一場(chǎng)比賽，且均充分發(fā)揮出了水平，其中甲運(yùn)動(dòng)員每局比賽獲勝的概率為，每局比賽無(wú)平局，且每局比賽結(jié)果互不影響．(1)若前三局比賽中，甲至少贏得一局比賽的概率為，求乙每局比賽獲勝的概率；(2)若前三局比賽中甲只贏了一局，設(shè)這場(chǎng)比賽結(jié)束還需要比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求當(dāng)為何值時(shí)，最大．【變式3-1】（2024·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．【變式3-2】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.（1）求概率的值；（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)四：期望與方差的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)期望反映的是隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差則是反映隨機(jī)變量取值在其平均值附近的離散程度．現(xiàn)代實(shí)際生活中，越來(lái)越多的決策需要應(yīng)用數(shù)學(xué)期望與方差來(lái)對(duì)事件發(fā)生大小的可能性和穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)計(jì)算分析可以比較科學(xué)地得出各個(gè)方案的預(yù)期效果及出現(xiàn)偏差的大小，從而決定要選擇的最佳方案．（1）若我們希望實(shí)際的平均水平較理想，則先求隨機(jī)變量的期望，當(dāng)時(shí)，不應(yīng)認(rèn)為它們一定一樣好，還需要用來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的方差，確定它們的偏離程度．（2）若我們希望比較穩(wěn)定性，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或接近．（3）方差不是越小就越好，而是要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要來(lái)判斷．【例4】（2024·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了解顧客對(duì)五種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿(mǎn)意度，廠(chǎng)家隨機(jī)選取了2000名顧客進(jìn)行回訪(fǎng)，調(diào)查結(jié)果如表：運(yùn)動(dòng)鞋款式ABCDE回訪(fǎng)顧客（人數(shù)）700350300250400滿(mǎn)意度注：①滿(mǎn)意度是指：某款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪(fǎng)顧客中，滿(mǎn)意人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比值；②對(duì)于每位回訪(fǎng)顧客，只調(diào)研一種款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿(mǎn)意度．假設(shè)顧客對(duì)各款式運(yùn)動(dòng)鞋是否滿(mǎn)意相互獨(dú)立，用顧客對(duì)某款式運(yùn)動(dòng)鞋的滿(mǎn)意度估計(jì)對(duì)該款式運(yùn)動(dòng)鞋滿(mǎn)意的概率．(1)從所有的回訪(fǎng)顧客中隨機(jī)抽取1人，求此人是C款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪(fǎng)顧客且對(duì)該款鞋滿(mǎn)意的概率；(2)從A、E兩種款式運(yùn)動(dòng)鞋的回訪(fǎng)顧客中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)其中滿(mǎn)意的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”和“”分別表示對(duì)A款運(yùn)動(dòng)鞋滿(mǎn)意和不滿(mǎn)意，用“”和“”分別表示對(duì)B款運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)意和不滿(mǎn)意，試比較方差與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【變式4-1】（2024·山東濰坊·高三統(tǒng)考期末）某人從地到地有路程接近的2條路線(xiàn)可以選擇，其中第一條路線(xiàn)上有個(gè)路口，第二條路線(xiàn)上有個(gè)路口.(1)若，，第一條路線(xiàn)的每個(gè)路口遇到紅燈的概率均為；第二條路線(xiàn)的第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為，從“遇到紅燈次數(shù)的期望”考慮，哪條路線(xiàn)更好？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知；隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，.則，且.若第一條路線(xiàn)的第個(gè)路口遇到紅燈的概率為，當(dāng)選擇第一條路線(xiàn)時(shí)，求遇到紅燈次數(shù)的方差.【變式4-2】（2024·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：場(chǎng)次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；(2)在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來(lái)又將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.考點(diǎn)五：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）對(duì)稱(chēng)軸標(biāo)準(zhǔn)差分布區(qū)間．利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱(chēng)軸為．【例5】（2024·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某大型公司招聘新員工，應(yīng)聘人員簡(jiǎn)歷符合要求之后進(jìn)入考試環(huán)節(jié).考試分為筆試和面試，只有筆試成績(jī)高于75分的考生才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，已知2023年共有1000人參加該公司的筆試，筆試成績(jī).(1)從參加筆試的1000名考生中隨機(jī)抽取4人，求這4人中至少有一人進(jìn)入面試的概率；(2)甲?乙?丙三名應(yīng)聘人員進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，且他們通過(guò)面試的概率分別為.設(shè)這三名應(yīng)聘人員中通過(guò)面試的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，【變式5-1】（2024·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某地區(qū)教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研室為了了解本區(qū)高三學(xué)生一周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間的分布情況，做了全區(qū)8000名高三學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查，現(xiàn)抽取其中部分問(wèn)卷進(jìn)行分析（問(wèn)卷中滿(mǎn)時(shí)長(zhǎng)為12小時(shí)），將調(diào)查所得學(xué)習(xí)時(shí)間分成，，，，，6組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．

(1)求a的值；(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間近似服從正態(tài)分布，試估計(jì)該地區(qū)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在，內(nèi)的學(xué)生隨機(jī)抽取8人，并從這8人中再隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，設(shè)3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為變量X，求X的期望．【變式5-2】（2024·河南開(kāi)封·河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：年高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門(mén)選考科目組成，將每門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績(jī)，．(1)若規(guī)定等級(jí)、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線(xiàn)的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時(shí)，，．考點(diǎn)六：統(tǒng)計(jì)圖表及數(shù)字特征1、制作頻率分布直方圖的步驟．第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表；第四步：畫(huà)頻率分布直方圖．2、解決頻率分布直方圖問(wèn)題時(shí)要抓住3個(gè)要點(diǎn)．（1）直方圖中各小矩形的面積之和為1；（2）直方圖中縱軸表示，故每組樣本的頻率為組距（3）直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率總體個(gè)數(shù)．3、用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法．（1）眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線(xiàn)與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形面積與小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和．【例6】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過(guò)抽樣，獲得了某年200位居民家庭的月平均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值；(2)該市決定設(shè)置議價(jià)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，用水量低于的居民家庭按照“民用價(jià)”收費(fèi)，不低于的按照“商業(yè)價(jià)”收費(fèi)，為保障有的居民能享受“民用價(jià)”，請(qǐng)?jiān)O(shè)置該標(biāo)準(zhǔn)；(3)以每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作為該組數(shù)據(jù)的代表，分別是.規(guī)定“最佳穩(wěn)定值”是這樣一個(gè)量：與各組代表值的差的平方和最小.依此規(guī)定，請(qǐng)求出的值.【變式6-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)代大學(xué)生有著購(gòu)物、精神、文化、社交等多元化需求，這些需求促進(jìn)大學(xué)城商圈的發(fā)展．某媒體調(diào)查了全國(guó)各地大學(xué)城中數(shù)千名消費(fèi)者在大學(xué)城里的月均消費(fèi)額及月均消費(fèi)次數(shù)，從中隨機(jī)抽取500名消費(fèi)者，把他們的月均消費(fèi)額（單位：千元）按照，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖：統(tǒng)計(jì)他們的月均消費(fèi)次數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：月均消費(fèi)次數(shù)12345678人數(shù)406080120120502010(1)從全國(guó)各地大學(xué)城中隨機(jī)抽取8000名消費(fèi)者，估計(jì)這8000名消費(fèi)者中月均消費(fèi)額大于2000元的人數(shù)及樣本中500名樣本消費(fèi)者的月均消費(fèi)額的眾數(shù)及平均數(shù)．(2)從月均消費(fèi)次數(shù)超過(guò)5次的樣本消費(fèi)者中按照月均消費(fèi)次數(shù)分層抽樣，從中抽取n個(gè)人，抽取的月均消費(fèi)6次的人數(shù)比月均消費(fèi)8次的多4人．①求n的值；②若從抽取的n個(gè)人中再隨機(jī)抽取2個(gè)人給予禮品獎(jiǎng)勵(lì)，求這2人的月均消費(fèi)次數(shù)不都是6次的概率．【變式6-2】（2024·北京·高三東直門(mén)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線(xiàn)調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成、、、、、、、、九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在、、三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取8名學(xué)生，用表示這8名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.（不需要說(shuō)明理由）考點(diǎn)七：線(xiàn)性回歸與非線(xiàn)性回歸分析線(xiàn)性回歸分析的原理、方法和步驟：（1）利用圖表和數(shù)字特征可以對(duì)數(shù)據(jù)做簡(jiǎn)單的分析，但是用回歸直線(xiàn)方程可以對(duì)數(shù)據(jù)的未來(lái)值進(jìn)行預(yù)測(cè)．在選取數(shù)據(jù)觀(guān)察的時(shí)候，要注意大量相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)據(jù)比不穩(wěn)定的數(shù)據(jù)更有價(jià)值，近期的數(shù)據(jù)比過(guò)去久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)更有價(jià)值．（2）判斷兩組數(shù)據(jù)是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的方法：散點(diǎn)圖，相關(guān)系數(shù)．（3）相關(guān)指數(shù)與相關(guān)系數(shù)在含有一個(gè)解釋變量的線(xiàn)性回歸模型中是等價(jià)的量，都是用來(lái)判斷線(xiàn)性回歸模型擬合效果好不好的量．（4）利用換元法，可以將一元非線(xiàn)性回歸轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性回歸．【例7】（2024·河南三門(mén)峽·高三統(tǒng)考期末）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來(lái)務(wù)工人員選擇就地過(guò)年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來(lái)務(wù)工人數(shù)與就地過(guò)年人數(shù)（單位：萬(wàn)），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來(lái)務(wù)工人數(shù)x/萬(wàn)3456就地過(guò)年人數(shù)y/萬(wàn)2.5344.5(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與x之間的關(guān)系可用線(xiàn)性回歸模型擬合，并求y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來(lái)務(wù)工人員中選擇就地過(guò)年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.①若該市E區(qū)有2萬(wàn)名外來(lái)務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過(guò)年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；②若A區(qū)的外來(lái)務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過(guò)年的概率分別為p，，其中，該市政府對(duì)甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)1400元，求p的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【變式7-1】（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某醫(yī)科大學(xué)實(shí)習(xí)小組為研究實(shí)習(xí)地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關(guān)系，分別到當(dāng)?shù)貧庀蟛块T(mén)和某醫(yī)院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日晝夜溫差x（℃）1011131286就診人數(shù)y（個(gè)）222529261612該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．參考公式：，．(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率；(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù)．①請(qǐng)根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程；②若某日的晝夜溫差為7℃，請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)日就診人數(shù)．（結(jié)果保留整數(shù)）．【變式7-2】（2024·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）為了加快實(shí)現(xiàn)我國(guó)高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.

根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：752.2582.54.512028.35表中，.(1)根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說(shuō)明理由；(2)（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿(mǎn)足（且），問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.考點(diǎn)八：獨(dú)立性檢驗(yàn)解獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問(wèn)題的注意事項(xiàng)．（1）兩個(gè)明確：①明確兩類(lèi)主體；②明確研究的兩個(gè)問(wèn)題．（2）在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆．（3）在實(shí)際問(wèn)題中，獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯(cuò)．（4）對(duì)判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí)，注意對(duì)象的選取要準(zhǔn)確無(wú)誤，應(yīng)是對(duì)假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率的判斷，而非其他．【例8】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）輕食是餐飲的一種形態(tài)、輕的不僅僅是食材分量，更是食材烹飪方式簡(jiǎn)約，保留食材本來(lái)的營(yíng)養(yǎng)和味道，近年來(lái)隨著消費(fèi)者健康意識(shí)的提升及美顏經(jīng)濟(jì)的火熱，輕食行業(yè)迎來(lái)快速發(fā)展.某傳媒公司為了獲得輕食行業(yè)消費(fèi)者行為數(shù)據(jù)，對(duì)中國(guó)輕食消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查.統(tǒng)計(jì)其中400名中國(guó)輕食消費(fèi)者（表中4個(gè)年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻率與年齡得到如下的頻數(shù)分布表.使用頻率偶爾1次3015510每周1~3次40403050每周4~6次25404530每天1次及以上552010(1)若把年齡在的消費(fèi)者稱(chēng)為青少年，年齡在的消費(fèi)者稱(chēng)為中老年，每周食用輕食的頻率不超過(guò)3次的稱(chēng)為食用輕食頻率低，不低于4次的稱(chēng)為食用輕食頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷食用輕食頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；(2)從每天食用輕食1次及以上的樣本消費(fèi)者中按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，從中抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，，，求的分布列與期望；(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用輕食，且早餐與晚餐在低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁3種輕食中選擇一種，已知小李在某天早餐隨機(jī)選擇一種輕食，如果早餐選擇低卡甜品、全麥夾心吐司、果蔬汁，則晚餐選擇低卡甜品的概率分別為，求小李晚餐選擇低卡甜品的概率.參考公式：，.附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【變式8-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）例某市近年來(lái)空氣污染較為嚴(yán)重，現(xiàn)隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣中PM2.5指數(shù)的檢測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：PM2.5指數(shù)空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染天數(shù)413183091115記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為S（單位：元），PM2.5指數(shù)為x．當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)沒(méi)有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)x在區(qū)間內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失成直線(xiàn)模型；當(dāng)PM2.5指數(shù)為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元；當(dāng)PM2.5指數(shù)為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元；當(dāng)PM2.5指數(shù)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元．(1)試寫(xiě)出的表達(dá)式；(2)試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失S大于500元且不超過(guò)900元的概率；(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該市本年度空氣重度污染是否與供暖有關(guān)．非重度污染重度污染合計(jì)供暖季非供暖季合計(jì)100附：0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．【變式8-2】（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）2024年1月18日是中國(guó)傳統(tǒng)的“臘八節(jié)”，“臘八”是中國(guó)農(nóng)歷十二月初八（即臘月初八）這一天．臘八節(jié)起源于古代祭祀祖先和神靈的儀式，后逐漸成為民間節(jié)日，盛行于中國(guó)北方．為調(diào)查不同年齡人群對(duì)“臘八節(jié)”民俗文化的了解情況，某機(jī)構(gòu)抽樣調(diào)查了某市的部分人群．(1)在100名受調(diào)人群中，得到如下數(shù)據(jù)：年齡了解程度不了解了解30歲以下162450歲以上1644根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析受調(diào)群體中對(duì)“臘八節(jié)”民俗的了解程度是否存在年齡差異；(2)調(diào)查問(wèn)卷共設(shè)置10個(gè)題目，選擇題、填空題各5個(gè)．受調(diào)者只需回答8個(gè)題：其中選擇題必須全部回答，填空題隨機(jī)抽取3個(gè)進(jìn)行問(wèn)答．某位受調(diào)者選擇題每題答對(duì)的概率為0.8，知道其中3個(gè)填空題的答案，但不知道另外2個(gè)的答案．求該受調(diào)者答對(duì)題目數(shù)量的期望．參考公式：①．獨(dú)立性檢驗(yàn)常用小概率值和相應(yīng)臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②隨機(jī)變量X，Y的期望滿(mǎn)足：考點(diǎn)九：與體育比賽規(guī)則有關(guān)的概率問(wèn)題1、在與體育比賽規(guī)則有關(guān)的問(wèn)題中，一般都會(huì)涉及分組，處理該類(lèi)問(wèn)題時(shí)主要借助于排列組合．對(duì)于分組問(wèn)題，要注意平均分組與非平均分組，另外，在算概率時(shí)注意“直接法”與“間接法”的靈活運(yùn)用．2、與體育比賽有關(guān)的問(wèn)題中最常見(jiàn)的就是輸贏問(wèn)題，經(jīng)常涉及“多人淘汰制問(wèn)題”“三局兩勝制問(wèn)題”“五局三勝制問(wèn)題”“七局四勝制問(wèn)題”，解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是認(rèn)識(shí)“三局兩勝制”“五局三勝制”等所進(jìn)行的場(chǎng)數(shù)，贏了幾場(chǎng)與第幾場(chǎng)贏，用互斥事件分類(lèi)，分析事件的獨(dú)立性，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算概率，在分類(lèi)時(shí)要注意“不重不漏”．3、在體育比賽問(wèn)題中，比賽何時(shí)結(jié)束也是經(jīng)常要考慮的問(wèn)題，由于比賽賽制已經(jīng)確定，而比賽的平均場(chǎng)次不確定，需要對(duì)比賽的平均場(chǎng)次進(jìn)行確定，常用的方法就是求以場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，然后比較大?。?、有些比賽會(huì)采取積分制，考查得分的分布列與數(shù)學(xué)期望是常考題型，解題的關(guān)鍵是辨別它的概率模型，常見(jiàn)的概率分布模型有：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布，要注意分布是相互獨(dú)立的，超幾何分布不是，值得注意的是，在比賽中往往是偽二項(xiàng)分布，有的只是局部二項(xiàng)分布．【例9】（2024·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.(1)求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；(2)設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.【變式9-1】（2024·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日至20日在中國(guó)舉行，其中冰壺比賽項(xiàng)目是本屆奧運(yùn)會(huì)的正式比賽項(xiàng)目之一，冰壺比賽的場(chǎng)地如圖所示，其中左端（投擲線(xiàn)的左側(cè)）有一個(gè)發(fā)球區(qū)，運(yùn)動(dòng)員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線(xiàn)將冰壺?cái)S出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的營(yíng)壘，以場(chǎng)上冰壺最終靜止時(shí)距離營(yíng)壘區(qū)圓心O的遠(yuǎn)近決定勝負(fù)．某學(xué)校冰壺隊(duì)舉行冰壺投擲測(cè)試，規(guī)則為：①每人至多投3次，先在點(diǎn)M處投第一次，冰壺進(jìn)入營(yíng)壘區(qū)得3分，未進(jìn)營(yíng)壘區(qū)不得分；②自第二次投擲開(kāi)始均在點(diǎn)A處投擲冰壺，冰壺進(jìn)入營(yíng)壘區(qū)得2分，未進(jìn)營(yíng)壘區(qū)不得分；③測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過(guò)測(cè)試，并立即終止投擲．已知投擲一次冰壺，甲得3分和2分的概率分別為0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分別為0.2和0.4，甲，乙每次投擲冰壺的結(jié)果互不影響．(1)求甲通過(guò)測(cè)試的概率；(2)設(shè)為本次測(cè)試中乙的得分，求的分布列，【變式9-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩人組成“虎隊(duì)”代表班級(jí)參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都投中，則“虎隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人投中，則“虎隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)投中，則“虎隊(duì)”得0分.已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙投中與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.（1）假設(shè)“虎隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)的概率；（2）①設(shè)“虎隊(duì)”兩輪得分之和為，求的分布列；②設(shè)“虎隊(duì)”輪得分之和為，求的期望值.（參考公式）考點(diǎn)十：決策型問(wèn)題求解決策型問(wèn)題的求解流程為：第一步：先確定函數(shù)關(guān)系式；第二步：列出分布列，求出期望；第三步：根據(jù)期望進(jìn)行最后的決策．【例10】（2024·福建福州·高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）核酸檢測(cè)也就是病毒和的檢測(cè)，是目前病毒檢測(cè)最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測(cè).通過(guò)核酸檢測(cè)，可以檢測(cè)血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無(wú)病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測(cè)效率降低檢測(cè)成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，從標(biāo)本中隨機(jī)取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測(cè)，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測(cè)；若結(jié)果為陽(yáng)性，需對(duì)該組標(biāo)本逐一檢測(cè).以此類(lèi)推，直到確定所有樣本的結(jié)果：份陽(yáng)性，份陰性.若每次檢測(cè)費(fèi)用為元（為常數(shù)），記檢測(cè)的總費(fèi)用為元.(1)當(dāng)時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)以檢測(cè)成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選哪個(gè)？【變式10-1】（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的飛速發(fā)展，人們的生活發(fā)生了很大變化，其中在購(gòu)物時(shí)利用手機(jī)中的支付寶?微信等APP軟件進(jìn)行掃碼支付也日漸流行開(kāi)來(lái).某商場(chǎng)對(duì)近幾年顧客使用掃碼支付的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：年份20162017201820192020年份代碼x12345使用掃碼支付的人次y(單位：萬(wàn)人)512161921（1）觀(guān)察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，使用掃碼支付的人次y與年份代碼x的關(guān)系滿(mǎn)足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式：，通過(guò)散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)y與x之間具有相關(guān)性.設(shè)，利用與x的相關(guān)性及表格中的數(shù)據(jù)求出y與x之間的回歸方程，并估計(jì)2021年該商場(chǎng)使用掃碼支付的人次；（2）為提升銷(xiāo)售業(yè)績(jī)，該商場(chǎng)近期推出兩種付款方案：方案一：使用現(xiàn)金支付，每滿(mǎn)200元可參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)方法如下：在抽獎(jiǎng)箱里有8個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球有3個(gè)，黑球有5個(gè))，顧客從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出3個(gè)球，若摸到3個(gè)紅球，則打7折；若摸出2個(gè)紅球則打8折，其他情況不打折.方案二：使用掃碼支付，此時(shí)系統(tǒng)自動(dòng)對(duì)購(gòu)物的顧客隨機(jī)優(yōu)惠，據(jù)統(tǒng)計(jì)可知，采用掃碼支付時(shí)有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受立減10元優(yōu)惠.若小張?jiān)诨顒?dòng)期間恰好購(gòu)買(mǎi)了總價(jià)為200元的商品.（i）求小張選擇方案一付款時(shí)實(shí)際付款額X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）試比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個(gè)方案更劃算？附：最小二乘法估計(jì)公式：經(jīng)過(guò)點(diǎn)的回歸直線(xiàn)為相關(guān)數(shù)據(jù)：(其中.【變式10-2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱(chēng)為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的概率稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”（即正在使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備）．已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”（即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備）的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉．系統(tǒng)就能正常工作．設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為，它們之間相互不影響．(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992，求的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，求能使系統(tǒng)正常工作的設(shè)備數(shù)的分布列；(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可給該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)約50萬(wàn)的經(jīng)濟(jì)損失．為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在0.8，更換設(shè)備硬件總費(fèi)用為0.8萬(wàn)元；方案2：花費(fèi)0.5萬(wàn)元增加一臺(tái)可靠度是0.7的備用設(shè)備，達(dá)到“一用三備”．請(qǐng)從經(jīng)濟(jì)損失期望最小的角度判斷決策部門(mén)該如何決策？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)十一：遞推型概率命題遞推型概率命題，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類(lèi)型：1、求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵與找出概率或數(shù)學(xué)期望的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法（一般構(gòu)造等比數(shù)列），求出通項(xiàng)公式.2、求和：主要與數(shù)列中的倒序求和錯(cuò)位求和、裂項(xiàng)求和.3、利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限.【例11】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在2023年成都大運(yùn)會(huì)的射擊比賽中，中國(guó)隊(duì)取得了優(yōu)異的比賽成績(jī)，激發(fā)了全國(guó)人民對(duì)射擊運(yùn)動(dòng)的熱情．某市舉行了一場(chǎng)射擊表演賽，規(guī)定如下：表演賽由甲、乙兩位選手進(jìn)行，每次只能有一位選手射擊，用抽簽的方式確定第一次射擊的人選，甲、乙兩人被抽到的概率相等；若中靶，則此人繼續(xù)射擊，若未中靶，則換另一人射擊．已知甲每次中靶的概率為，乙每次中靶的概率為，每次射擊結(jié)果相互獨(dú)立．(1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射擊后甲得20分的概率；(2)求第n次射擊的人是乙的概率．【變式11-1】（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某品牌女裝專(zhuān)賣(mài)店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號(hào)登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會(huì)．已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為；從第二次摸球開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為．(1)求的值，并探究數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請(qǐng)給出證明過(guò)程．【變式11-2】（2024·貴州黔西·高三興義第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無(wú)關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.(1)求，和，；(2)證明：為等比數(shù)列（且）；(3)求的期望（用表示，且）.考點(diǎn)十二：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式【例12】俗話(huà)說(shuō)：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺(jué)．張老師準(zhǔn)備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱(chēng)為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱(chēng)為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率．【變式12-1】（2024·遼寧遼陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名．(1)若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)中隨機(jī)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來(lái)自高一的概率．(2)現(xiàn)學(xué)校欲對(duì)數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題