第3章 相關(guān)分析

第3章相關(guān)分析

相關(guān)分析的任務(wù)，是揭示地理要素之間相互關(guān)系的密切程度。而地理要素之間相互關(guān)系密切程度的測定，主要是通過對相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗來完成的。本節(jié)主要內(nèi)容：兩要素之間相關(guān)程度的測定多要素間相關(guān)程度的測定簡單相關(guān)分析是對兩個變量之間的相關(guān)程度進(jìn)行分析。簡單相關(guān)分析所用的指標(biāo)稱為簡單相關(guān)系數(shù)，又稱為Pearson（皮爾森）相關(guān)系數(shù)。通常以ρ表示總體的相關(guān)系數(shù)，以ｒ表示樣本的相關(guān)系數(shù)（一）相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗總體相關(guān)系數(shù)的定義式是：

其中，Cov（X，Y）是隨機變量X和Y的協(xié)方差；Var(X)和Var(Y)分別為變量X和Y的方差?？傮w相關(guān)系數(shù)是反映兩變量之間線性相關(guān)程度的一種特征值，表現(xiàn)為一個常數(shù)。

樣本相關(guān)系數(shù)的計算

（3.1.1）兩個要素標(biāo)準(zhǔn)化后的積的平均數(shù)

和為兩要素的平均值。

公式（3.1.1）可簡化為（3.1.2）（1）說明：-1<=<=1

大于0時正相關(guān)，小于0時負(fù)相關(guān)。的絕對值越接近于1，兩要素的關(guān)系越密切；越接近于0，兩要素的關(guān)系越不密切。（2）x與y是對稱的，說明x與y的相關(guān)系數(shù)等同于y與x的相關(guān)系數(shù)。（3）由于相關(guān)系數(shù)是x和y標(biāo)準(zhǔn)化后的結(jié)果，因此簡單相關(guān)系數(shù)是無量綱的。（4）對x和y做線性變換后可能會改變他們之間相關(guān)系數(shù)的符號（相關(guān)的方向），但不會改變相關(guān)系數(shù)的值。（5）相關(guān)系數(shù)能夠度量兩變量之間的線性關(guān)系，但并不是度量非線性關(guān)系的有效工具。（6）樣本相關(guān)系數(shù)是根據(jù)樣本觀測值計算的，抽取的樣本不同，其具體的數(shù)值也會有所差異。樣本相關(guān)系數(shù)是總體相關(guān)系數(shù)的一致估計量。表3.1.1倫敦的月平均氣溫與降水量

資料來源：.tw/V4/climate/wta_station/wta20.htm

相關(guān)分析實例

(1)根據(jù)表3.1.1中的數(shù)據(jù)，我們可以利用公式（3.1.1），計算倫敦市月平均氣溫（t）與降水量(p)之間的相關(guān)系數(shù)

(2)計算結(jié)果表明，倫敦市的月平均氣溫（t）與降水量(p)之間呈負(fù)相關(guān)，即異向相關(guān)。又如:根據(jù)甘肅省53個氣象臺站的多年平均數(shù)據(jù)（見教材表3.1.2），可以利用公式（3.1.1）對降水量（p）和緯度（y）之間的相關(guān)系數(shù)以及蒸發(fā)量（v）和緯度（y）之間的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行計算，結(jié)果如下

＝＝計算結(jié)果表明，降水量（p）和緯度（y）之間異向相關(guān)，而蒸發(fā)量（v）與緯度（y）之間同向相關(guān)。

相關(guān)系數(shù)的檢驗

相關(guān)系數(shù)是根據(jù)要素之間的樣本值計算出來，它隨著樣本數(shù)的多少或取樣方式的不同而不同，因此它只是要素之間的樣本相關(guān)系數(shù)，只有通過檢驗，才能知道它的可信度。檢驗是通過在給定的置信水平下，查相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表來實現(xiàn)的。在Ｘ與Ｙ都服從于正態(tài)分布，并且又有ρ＝０的條件下，可以采用ｔ檢驗來確定ｒ的顯著性。其步驟如下：首先，計算相關(guān)系數(shù)ｒ的ｔ值：其次，根據(jù)給定的顯著性水平和自由度（ｎ－２），查找ｔ分布表中相應(yīng)的臨界值ｔα/2（或p值）。若｜ｔ｜>ｔα/2（或p<α）表明ｒ在統(tǒng)計上是顯著的。若｜ｔ｜≤ｔα/2（或p≥α），表明ｒ在統(tǒng)計上是不顯著的。

SPSS將自動計算Pearson簡單相關(guān)系數(shù)、t統(tǒng)計量的觀測值和對應(yīng)的概率p值。秩相關(guān)系數(shù)又稱Spearman等級相關(guān)系數(shù)，或順序相關(guān)系數(shù),是將兩要素的樣本值按數(shù)據(jù)的大小順序排列位次，以各要素樣本值的位次代替實際數(shù)據(jù)而求得的一種統(tǒng)計量。

（二）秩相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗其中，di

=(xi?yi

),x

i和iy

分別是兩個變量按大小（或優(yōu)劣等）排位的等級（稱為秩），n是樣本的容量。（3.1.4）

與簡單相關(guān)系數(shù)類似，Spearman等級相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間為：?1≤r

s≤1。

r

s為正值時，存在正的等級相關(guān)，r

s取負(fù)值時，存在負(fù)的等級相關(guān)。

r

s=1,表明兩個變量的等級完全相同，存在完全正相關(guān)。r

s=-1，表明兩個變量的等級完全相反，存在完全的負(fù)相關(guān)。

教材中表3.1.4給出了2003年中國大陸各?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）的GDP（x）和總?cè)丝冢▂）數(shù)據(jù)及其位次，將數(shù)據(jù)代入公式（3.1.4），就可以計算它們之間的秩相關(guān)系數(shù)即：GDP（x）與總?cè)丝冢▂）之間的等級相關(guān)系數(shù)為0.7847。

示例：Spearman等級相關(guān)系數(shù)檢驗

Spearman等級相關(guān)系數(shù)是根據(jù)一定的樣本計算的。兩個變量的總體是否存在顯著的等級相關(guān)也需要進(jìn)行檢驗。當(dāng)樣本容量n大于20時，可利用以下t統(tǒng)計量，進(jìn)行等級相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗?？傮w等級相關(guān)系服從自由度為(n-2)的t分布。在給定的顯著水平α下，如按上式計算的t值（或者p值）大于臨界值tα/2(n?2)（或p<α）,則可以認(rèn)為ρs

與0顯著差別，即兩種現(xiàn)象（兩個變量）的總體是否存在顯著的等級相關(guān)。

SPSS將自動計算Spearman相關(guān)系數(shù)、t統(tǒng)計量的觀測值和對應(yīng)的概率p值。（三）Kendall（肯德爾）的tau（τ）相關(guān)系數(shù)及其檢驗（了解）

Kendall（肯德爾）的tau相關(guān)系數(shù)由統(tǒng)計學(xué)家Kendall提出，適用于度量兩個定序變量X與Y之間的相關(guān)。共有三種形式：tau-a、tau-b和tau-c，公式分別為：其中，Ns為X和Y的同序?qū)Φ臄?shù)目；N

d

為X和Y的異序?qū)Φ臄?shù)目；T

x

為X中同分對的數(shù)目；T

y

為Y中同分對的數(shù)目；n為樣本容量；m為X與Y等級數(shù)較小者。所謂同序?qū)κ侵缸兞看笮№樞蛳嗤膬蓚€樣本觀測值，即其X的等級高低順序與Y的等級順序相同，否則稱為異序?qū)?；所謂同分對是指等級相同的一對樣本觀測值，如果樣本容量為n，則樣本觀測值兩兩組對的話一共可以有n(n-1)/2對。一般情況下，tau-a是在沒有同分對時采用，它表示同序?qū)Φ臄?shù)目與異序?qū)Φ臄?shù)目的差在全部可能對數(shù)中所占的比例。如果有同分對時常用tau-b和tau-c；如果X和Y的等級數(shù)相同，則可用tau-b，否則用tau-c。在SPSS中采用tau-b。特別注意，對不同類型的變量應(yīng)采用不同的相關(guān)系數(shù)來度量。兩個連續(xù)變量間呈線性相關(guān)時，使用Pearson積差相關(guān)系數(shù)，不滿足積差相關(guān)分析的適用條件時，使用Spearman秩相關(guān)系數(shù)來描述.

Spearman相關(guān)系數(shù)又稱秩相關(guān)系數(shù)，是利用兩變量的秩次大小作線性相關(guān)分析，對原始變量的分布不作要求，屬于非參數(shù)統(tǒng)計方法，適用范圍要廣些。對于服從Pearson相關(guān)系數(shù)的數(shù)據(jù)亦可計算Spearman相關(guān)系數(shù)，但統(tǒng)計效能要低一些。Spearman相關(guān)系數(shù)的計算公式可以完全套用Spearman相關(guān)系數(shù)計算公式，但公式中的x和y用相應(yīng)的秩次代替即可。

Kendall‘stau-b等級相關(guān)系數(shù)：用于反映分類變量相關(guān)性的指標(biāo)，適用于兩個分類變量均為有序分類的情況。對相關(guān)的有序變量進(jìn)行非參數(shù)相關(guān)檢驗；取值范圍在-1-1之間，此檢驗適合于正方形表格；二、多要素間相關(guān)程度的測定偏相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗復(fù)相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗（一）偏相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗①

定義：在多要素所構(gòu)成的地理系統(tǒng)中，先不考慮其他要素的影響，而單獨研究兩個要素之間的相互關(guān)系的密切程度，這稱為偏相關(guān)。用以度量偏相關(guān)程度的統(tǒng)計量，稱為偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)的計算

在計算簡單相關(guān)系數(shù)時，只需要掌握兩個變量的觀測數(shù)據(jù)，并不考慮其他變量對這兩個變量可能產(chǎn)生的影響。而在計算偏相關(guān)系數(shù)時，需要掌握多個變量的數(shù)據(jù)，一方面考慮多個變量相互之間可能產(chǎn)生的影響，一方面又采用一定的方法控制其他變量，專門考察兩個特定變量的凈相關(guān)關(guān)系。

在多變量相關(guān)的場合，由于變量之間存在錯綜復(fù)雜的關(guān)系，因此偏相關(guān)系數(shù)與簡單相關(guān)系數(shù)在數(shù)值上可能相差很大，有時甚至符號都可能相反。簡單相關(guān)系數(shù)受其他因素的影響，反映的往往是表面的非本質(zhì)的聯(lián)系，而偏相關(guān)系數(shù)則較能說明現(xiàn)象之間真實的聯(lián)系。

例如，一種商品的需求既受收入水平的影響又受其價格的影響。按照經(jīng)濟學(xué)理論，在一定的收入水平下，該商品的價格越高，商品的需求量就越小。也就是說，需求與價格之間應(yīng)當(dāng)是負(fù)相關(guān)?？墒牵诂F(xiàn)實經(jīng)濟生活中，由于收入和價格常常都有不斷提高的趨勢，如果不考慮收入對需求的影響，僅僅利用需求和價格的時間序列數(shù)據(jù)去計算簡單相關(guān)系數(shù)，就有可能得出價格越高需求越大的錯誤結(jié)論。②計算：3個要素的偏相關(guān)系數(shù)（3.1.5）

（3.1.6）

（3.1.7）

4個要素的偏相關(guān)系數(shù)（3.1.8）

（3.1.9）

（3.1.10）

（3.1.11）

例如：對于某4個地理要素x1，x2，x3，x4的23個樣本數(shù)據(jù)，經(jīng)過計算得到了如下的單相關(guān)系數(shù)矩陣：

利用公式計算一級偏向關(guān)系數(shù)，如表3.1.6所示：r12·3r13·2r14·2r14·3r23·1r24·1r24·3r24·1r34·20.8210.8080.6470.895-0.8630.9560.945-0.8750.371表3.1.6一級偏相關(guān)系數(shù)

利用公式計算二級偏相關(guān)系數(shù)，如表3.1.7所示：表3.1.7二級偏相關(guān)系數(shù)

r12·34r13·24r14·23r23·14r24·13r34·12-0.1700.8020.635-0.1870.821-0.337

4個要素的一級偏相關(guān)系數(shù)有12個，這里給出了9個；二級偏相關(guān)系數(shù)有6個，這里全部給出來了。偏相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

①

偏相關(guān)系數(shù)分布的范圍在-1到1之間；②

偏相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，表示其偏相關(guān)程度越大；③

偏相關(guān)系數(shù)的絕對值必小于或最多等于由同一系列資料所求得的復(fù)相關(guān)系數(shù)，即R1·23≥|r12·3|。偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

偏相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，一般采用t檢驗法。其統(tǒng)計量計算公式為式中：為偏相關(guān)系數(shù);n為樣本數(shù)；m為自變量個數(shù)。

（3.1.14）

查t分布表，在自由度為23-3-1=19時，t0.001=3.883，顯然，這表明在置信度水平=0.001上，偏相關(guān)系數(shù)r24·13是顯著的。譬如，對于上例計算得到的偏相關(guān)系數(shù)

，由于n=23，m=3，故選擇[Analyze]=>[Correlate]=>[Partial]

（二）復(fù)相關(guān)系數(shù)的計算與檢驗復(fù)相關(guān)系數(shù)：反映幾個要素與某一個要素之間的復(fù)相關(guān)程度。復(fù)相關(guān)系數(shù)的計算當(dāng)有兩個自變量時當(dāng)有三個自變量時（3.1.15）

（3.1.16）當(dāng)有k個自變量時（3.1.17）

復(fù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

①復(fù)相關(guān)系數(shù)介于0到1之間，即②

復(fù)相關(guān)系數(shù)越大，則表明要素（變量）之間的相關(guān)程度越密切。復(fù)相關(guān)系數(shù)為1，表示完全相關(guān)；復(fù)相關(guān)系數(shù)為0，表示完全無關(guān)。③

復(fù)相關(guān)系數(shù)必大于或至少等于單相關(guān)系數(shù)的絕對值。復(fù)相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

F檢驗法。其統(tǒng)計量計算公式為（3.1.18）例題：在上例中，若以x4為因變量，x1，x2，x3為自變量，試計算x4與x1，x2，x3之間的復(fù)相關(guān)系數(shù)。解：按照公式（3.1.16）計算檢驗：，故復(fù)相關(guān)達(dá)到了極顯著水平。相關(guān)分析中應(yīng)注意的問題相關(guān)系數(shù)不解釋兩個變量間的因果關(guān)系，它只是表明了兩個變量間互相影響的程度和方向。有時兩變量之間不存在相關(guān)關(guān)系，但卻可能出現(xiàn)較高的相關(guān)系數(shù)，要警惕虛假相關(guān)導(dǎo)致的錯誤結(jié)論。如何運用SPSS進(jìn)行相關(guān)分析數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：來自歷年河南統(tǒng)計年鑒年份化肥施用量折純量d萬噸糧食產(chǎn)量d萬噸1986148.732545.71987135.582948.41988150.5726631989184.253149.41990213.183303.71991239.73010.31992251.13109.6199328836391994292.473253.81995322.23466.51996345.33839.91997355.33894.71998382.84009.61999399.94253.32000419.54101.52001441.74119.92002468.842102003467.93569.52004493.2426020055