小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的幾何模型在運(yùn)算中的應(yīng)用 論文

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的幾何模型在運(yùn)算中摘要：計(jì)算教學(xué)的一個(gè)重要的功能是發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，運(yùn)算能力的提高應(yīng)是基于對(duì)算理的充分理解，教學(xué)中遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，尊重教材編寫的科學(xué)性，采取低段用實(shí)物表征算理，中段操作圖形外化算理，高段利用圖形高度概括算理，也即“化數(shù)為形—以形明理—借理建模”的計(jì)算教學(xué)順序。關(guān)鍵詞：幾何模型化數(shù)為形推理算理算法引言：在實(shí)際的教學(xué)中師生們?yōu)榱俗非蠛玫目荚嚦煽?jī)往往把焦點(diǎn)集中在了對(duì)計(jì)算[1]熟練度和準(zhǔn)確性的培養(yǎng)上，為此，老師和學(xué)生付出了大量的時(shí)間和精力進(jìn)行訓(xùn)練。在考試的巨大壓力下這實(shí)屬無(wú)奈之舉，由此也帶來(lái)了一連串的問題：學(xué)生不明白數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)，對(duì)算式意義的認(rèn)識(shí)過(guò)于狹隘，多數(shù)學(xué)生即使會(huì)正確計(jì)算也未必明白算理。計(jì)算教學(xué)的意義不僅僅是能夠讓學(xué)生熟練、準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，更重要的是從中感悟到利用原理進(jìn)行推理的過(guò)程，體會(huì)到其中的邏輯關(guān)系和算法的合理性，因此，我們必須回歸到對(duì)算法的理解上。算理是內(nèi)隱的、抽象的，而小學(xué)生以形象思維為主，邏輯思維和抽象概括能力不高，理解算理肯定是有難度的。那么該如何借助幾何模型理解算理呢？其實(shí)各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材已經(jīng)為講明算理設(shè)計(jì)了豐富的幾何模型資源，我們只需要讀懂它、理解它、用好它便可借形明理達(dá)到事半功倍的效果。因此，很有必要對(duì)教材中的幾何模型助力下的計(jì)算教學(xué)進(jìn)行更高維度的研究和認(rèn)識(shí)。下面筆者將按由低年級(jí)到高年級(jí)順序，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律闡述教材中的幾何模型在計(jì)算教學(xué)中的明理應(yīng)用。一、用實(shí)物表征運(yùn)算事實(shí)的低年小學(xué)一年級(jí)是計(jì)算教學(xué)的開始階段，低年級(jí)學(xué)生對(duì)幾何圖形的理解還處在直觀感知層面。為了向?qū)W生說(shuō)明整數(shù)的意義和整數(shù)加、減運(yùn)算的本質(zhì)，教科書采用實(shí)物以“直觀的幾何模型進(jìn)行算理的推演，借助觀察和實(shí)際的操作把過(guò)程依托在實(shí)物上，這樣學(xué)生在探索計(jì)算方法上就變的有形可依。1.算理初探。以十進(jìn)制計(jì)算法為基礎(chǔ)的加、減運(yùn)算的算理探索為后續(xù)擴(kuò)展數(shù)系的計(jì)算教學(xué)積累原始的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通常會(huì)借助擺小棒、分卡片、撥計(jì)數(shù)器等，來(lái)幫助學(xué)生把算法推理的過(guò)程外化成幾何模型。例如，從北師大版和人教版教科書在“9加幾”進(jìn)位加法教學(xué)上的編排特點(diǎn)來(lái)看，都借助了具體的情景提出問題，由此，學(xué)生很容易結(jié)合數(shù)的實(shí)際意義與生活的聯(lián)系列出算式，對(duì)于算法的探索則要根據(jù)算式的意義經(jīng)過(guò)形象的推理過(guò)程，兩種教材都采用了小棒作為算式意義的表征”，即：移動(dòng)小棒是一變形。北師版教材引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，鼓勵(lì)呈現(xiàn)多樣性化的算法，可以一個(gè)一個(gè)的數(shù)，可以從5根小棒中拿出1根和9根湊在一起變成10根，還可以從9根小棒中拿出5根和另外5根湊在一起變成10根，雖然最終我們更傾向于選折第二種算法，但其余兩種算法的探索在幫助學(xué)生發(fā)展推理能力也起到了很大的作用。2.靈魂一問。為什么要湊成10呢？”學(xué)生會(huì)回答：因?yàn)楹盟?。那作為老師又該怎樣理解孩子”的口中的“好算”呢？其?shí)學(xué)生所謂的“好算”，在找到好算之前學(xué)生經(jīng)歷了尋找思維捷徑過(guò)程，而這個(gè)過(guò)程并不是容易的，所以說(shuō)雖好算并“不好想”。小棒這一直觀解釋的出現(xiàn)讓思維找到了依托，反觀通的方式確實(shí)好想但并不好算，當(dāng)然不可否認(rèn)這種方法學(xué)生是完全認(rèn)同的因?yàn)樗Ａ粼趯W(xué)生的認(rèn)知范圍之內(nèi)，很容易理解。在第二個(gè)問題串中教材通過(guò)用計(jì)數(shù)器來(lái)直觀的描述位置的意義，把擺小棒的過(guò)程抽象為計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算，教材編寫的精妙之處可見一斑。人教版的教材更強(qiáng)調(diào)結(jié)合擺小棒的過(guò)程快速的將算理表達(dá)成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，著重借助了數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)理解算理。但從幾何模型的可操作性上、算法的多樣性的呈現(xiàn)、提供直觀素材的豐富性上來(lái)看我認(rèn)為北師大版教材更勝一籌。3.模型推演。再如，關(guān)于“20以內(nèi)大退位減法”的教學(xué)北師大版（圖3）與蘇教版（圖4）都借助了多樣的幾何模型對(duì)算理加以闡述，要實(shí)現(xiàn)學(xué)生最終形成表征圖像來(lái)支撐計(jì)算思維就要不斷的擺、畫、撥等活動(dòng)積累一定的思維經(jīng)驗(yàn)。由此看在計(jì)算教學(xué)的初級(jí)階段，算理的幾何解釋還沒有形成符號(hào)化的固有計(jì)算模型（如，豎式計(jì)算）而是允許學(xué)生通過(guò)化數(shù)為形的方式進(jìn)行實(shí)物推演算理，為計(jì)算法則建立計(jì)算模型做好鋪墊。二、用圖示建構(gòu)計(jì)算模型的中年在計(jì)算計(jì)算教學(xué)中，當(dāng)對(duì)實(shí)物表象的基本算理積累到一定程度到的時(shí)候就要外化成[5]一種便于運(yùn)算的計(jì)算模型，這種可操作性較強(qiáng)的模型就是最優(yōu)算法。同時(shí)這個(gè)階段的計(jì)算教學(xué)是建立在之前的教學(xué)之上的，如學(xué)生經(jīng)過(guò)“20以內(nèi)加減法”的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了一定的算理的積累完全可以開啟兩位數(shù)加減兩位數(shù)的教學(xué)。1.外化算理。由于多位數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，我們必須將算理外化成便于操作的計(jì)算程序，這些程序的累加就是算法，比如豎式計(jì)算這種模型所承載的就是抽象的算法，而需要的幾何模型就更為復(fù)雜，這個(gè)過(guò)程可以歸納為“化數(shù)為形—以形明理—借理建模”。下面我們通過(guò)不同版本的教材編寫說(shuō)明這一過(guò)程的可操作性。例如，在教學(xué)“進(jìn)位的兩位數(shù)加兩位數(shù)”時(shí)，三種教材呈現(xiàn)了如下的編寫特點(diǎn)，北師大版同人教版的編排方式很接近，都是現(xiàn)將抽像的數(shù)根據(jù)據(jù)位值的意義用形象直觀的小棒表示出來(lái)，1捆對(duì)應(yīng)十位上的1，一根對(duì)應(yīng)各位上的1，這就是“化數(shù)為形”的過(guò)程。通過(guò)圈一圈的操作，把散落的一根的小棒圈在一起進(jìn)行求和，把成捆的小棒圈在一起進(jìn)行求和，這個(gè)過(guò)程的建構(gòu)學(xué)生使可以清晰的認(rèn)識(shí)到加減運(yùn)算必須建立在計(jì)數(shù)單位的統(tǒng)一之上。當(dāng)發(fā)現(xiàn)散落的小棒的個(gè)數(shù)大于等于10的時(shí)相加后個(gè)位的位值已經(jīng)不能表達(dá)這個(gè)數(shù)的大小了，這時(shí)就需要進(jìn)行計(jì)數(shù)單位的換算，于是就把10根小棒捆成一捆，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)解釋是把10個(gè)一轉(zhuǎn)化成1個(gè)十，這就是我們利用“以形明理”推演“滿10進(jìn)1”這個(gè)事實(shí)的過(guò)程。最后，我們借助對(duì)算理的理解，把數(shù)學(xué)算式變?yōu)閿?shù)學(xué)豎式，建立起最優(yōu)算法的程序化模型，以便簡(jiǎn)化復(fù)雜的多步驟計(jì)算，這個(gè)過(guò)程就是計(jì)算教學(xué)的最—“借理建模、”。2.巧借橋梁。值得注意的是這個(gè)過(guò)程中計(jì)數(shù)器是連接形與數(shù)的重要橋梁，計(jì)數(shù)器對(duì)數(shù)的大小的表達(dá)介于小棒和數(shù)字之間，它即不像小棒那樣有實(shí)際的數(shù)量也不像數(shù)字那樣是完全的符號(hào)，它是珠子和數(shù)位組合體，數(shù)位的位值意義賦予每粒珠子不同的數(shù)值，計(jì)數(shù)器能將直觀的小棒再進(jìn)一步抽象成對(duì)算理的解釋，因此，北師大版教材安排計(jì)數(shù)器的多次出現(xiàn)在計(jì)算教學(xué)中，是遵循兒童認(rèn)知規(guī)律的，是用利用幾何直觀解釋算理的有效工具。3.借理建模。乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，乘法的意義建立在加法的意義之上，所以乘法的運(yùn)算過(guò)程實(shí)際上仍是求和的過(guò)程，那么這一計(jì)算過(guò)程的實(shí)際意義在教材中又是怎樣借助幾何模型來(lái)明晰算理的呢？下面以北師大版教材中的“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，再次審視算理滲透的巧妙之處。教材并沒有急于對(duì)豎式計(jì)算兩位數(shù)乘法展開教學(xué)，而是先編排了一節(jié)準(zhǔn)備課，讓學(xué)生在點(diǎn)子圖上“圈一圈”，目的是把點(diǎn)子圖劃分成若干個(gè)較小的點(diǎn)子圖，借助直觀的模型使未知轉(zhuǎn)化成已知。在畫圈點(diǎn)子圖的過(guò)程中學(xué)生積累了豐富的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)和方法，也借助這些幾何表達(dá)理解了算理，這時(shí)我們就將教學(xué)過(guò)渡到下一課時(shí)選取一種最優(yōu)的計(jì)算方法將其中的運(yùn)算邏輯關(guān)系用豎式計(jì)算表達(dá)出來(lái)從而實(shí)現(xiàn)“借理建?！钡霓D(zhuǎn)化提升過(guò)程，除法運(yùn)算亦是如此。三、利用圖形操作概括分?jǐn)?shù)運(yùn)算意義的高分?jǐn)?shù)的運(yùn)算不同于整數(shù)和小數(shù)的運(yùn)算，整數(shù)與小數(shù)的運(yùn)算是以十進(jìn)制計(jì)數(shù)法為基礎(chǔ)建立起來(lái)的，每個(gè)兩個(gè)相相鄰的計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率是十而分?jǐn)?shù)單位卻沒有固定的進(jìn)率。當(dāng)然，這里指的分?jǐn)?shù)運(yùn)算是不借助分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系或商不變規(guī)律等進(jìn)行轉(zhuǎn)化后的分?jǐn)?shù)運(yùn)算而是純分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。1.分?jǐn)?shù)墻的好處。分母不同的分?jǐn)?shù)不能之間相加、減強(qiáng)調(diào)的是分?jǐn)?shù)單位的統(tǒng)一，這一點(diǎn)和整數(shù)的加減運(yùn)算是一致的，但在實(shí)際教學(xué)中仍有相當(dāng)一部分學(xué)生不明白異分母分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算要先通分的道理。北師大版教材給出了“折紙”情境的圖形操作活動(dòng)（圖10）幫助學(xué)生理解算理，這是解釋算理的一個(gè)很好的幾何模型，說(shuō)到幾何模型還是很有必要回歸到分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)上，下面我們結(jié)合分?jǐn)?shù)墻和分?jǐn)?shù)單位的意義重新審視分?jǐn)?shù)墻利用了數(shù)形結(jié)合的思想將分?jǐn)?shù)單位間的大小關(guān)系用圖形表示出來(lái)，這種有效的幾何直觀工具給分?jǐn)?shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)帶來(lái)了很大的幫助。例如，+=？我們可以通過(guò)分?jǐn)?shù)墻觀察到相當(dāng)于3個(gè)，相當(dāng)于2個(gè)，因此+=，這種直觀的解釋其實(shí)就是回2636236到了分?jǐn)?shù)加、減計(jì)算的根上去即換算分?jǐn)?shù)單位使分?jǐn)?shù)單位統(tǒng)一起來(lái)。在分?jǐn)?shù)相關(guān)運(yùn)算的教學(xué)中，老師往往忽略了用分?jǐn)?shù)墻來(lái)說(shuō)理，這種教學(xué)是有損失的或是不完美的。2.操作圖形明算理。在學(xué)生看來(lái)分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算是最簡(jiǎn)單的運(yùn)算，認(rèn)為就是“分子乘分子，分母乘分母除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。甚至部分老師也會(huì)這樣認(rèn)為。他們所認(rèn)為的只是運(yùn)算形式上的簡(jiǎn)單，對(duì)于算理我想很多學(xué)生應(yīng)該是不清楚或是沒思考過(guò)的。分?jǐn)?shù)乘、除法計(jì)算的教學(xué)重難點(diǎn)應(yīng)是將算式的意義通過(guò)等分圖形的操作概括出來(lái)，再根據(jù)操作的過(guò)程和結(jié)果理解算法的意義，其中難點(diǎn)在于如何通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S指導(dǎo)學(xué)生用畫的方式把算式的意義表達(dá)清楚，如果缺少通過(guò)幾何模型來(lái)理解算式的意義勢(shì)必會(huì)制約解決問題能力的發(fā)展。下面我們?nèi)詫⑼ㄟ^(guò)教材內(nèi)容的分析感知如何利用數(shù)形結(jié)合思想、借助幾何直觀外化分?jǐn)?shù)乘除法的算理。例如，北師大版教材和人教版教材在教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的策略上有著各自的特×的幾何模型之前要先理解算式表達(dá)的意義，即的是多少？用等分圖形的方式來(lái)表達(dá)運(yùn)算的過(guò)程。首先是把這張紙等分成4份取其中的，43再把等分成4份取其中的1份，經(jīng)過(guò)兩次等分這張紙被等分成4×4=20（份），此時(shí)被取走的部分是3×1=3（份），結(jié)果是。人教版教材也構(gòu)建了相同意義的幾何模型輔20助說(shuō)理，筆者特別注意到人教版教材在對(duì)圖形進(jìn)行第二次等分時(shí)并不是對(duì)整張紙進(jìn)行一次性5等分，而是先對(duì)其中的經(jīng)進(jìn)行5等分，這樣的呈現(xiàn)可以讓學(xué)生更深刻的體會(huì)到211分?jǐn)?shù)存在意義的前提是平均分，雖然我們并不從另外的中取走但仍要對(duì)整體平均分。學(xué)生在受到上述幾何模型的啟發(fā)后做出了對(duì)分?jǐn)?shù)乘法的理解：因?yàn)榉至擞址炙苑諿7]母相乘，因?yàn)槿×擞秩∷苑肿映朔肿印?.數(shù)形結(jié)合的歸納推理。北師大版教材中“分?jǐn)?shù)除法”內(nèi)容的教學(xué)是以多組算式結(jié)合多組幾何模型經(jīng)過(guò)合情推理歸納出：除以一個(gè)不為零的數(shù)等于成這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。這過(guò)關(guān)注結(jié)果進(jìn)行類比，而促使結(jié)果產(chǎn)生的數(shù)形結(jié)合的演繹過(guò)程卻沒能呈現(xiàn)，相較而言學(xué)生更喜歡圖16的推類方式，3(的意義是把每個(gè)單位“1”等分成4份把其中的3份作4為一個(gè)整體求有多少個(gè)這樣的整體，因此，可以將算式的計(jì)算過(guò)程寫成：344=3×4÷3=3×即得出算法。經(jīng)過(guò)對(duì)圖形的操作（折疊、等分再等分、涂色等）可以建構(gòu)3對(duì)算理的直觀解釋，這一解釋恰是對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算的高度概括。綜上所述，縱觀各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材，計(jì)算教學(xué)的策略無(wú)不應(yīng)用幾何模的直觀圖示實(shí)現(xiàn)以形明理的，可見幾何模型的直觀性在理解算法的過(guò)程中發(fā)揮著重要的作用，也正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“形可以使數(shù)更直觀，數(shù)可以使形更入微。”教師要根據(jù)實(shí)際教學(xué)內(nèi)容以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何模型把抽象的算理表征到形象的實(shí)物或圖形上，再通過(guò)觀察、思考、動(dòng)手操作積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生逐步用形象思維來(lái)理解算理，進(jìn)而發(fā)展抽象思維能力。通過(guò)對(duì)教材的再一次深入的研讀，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教材在利用幾何模型解釋算理的編寫上下足了功夫，幾何模型比比皆是它們無(wú)處不明理無(wú)處不育人。采取低段借助實(shí)物建構(gòu)模型表征意義，中高段以圖示外化、高段概括算理，這樣的編排可謂細(xì)致入微精妙絕倫。參考文獻(xiàn)[1]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].華東師范大學(xué)出版社2014年版，第67頁(yè)。[2]范月菊.促思明理使學(xué)習(xí)走向深入[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020(4)：28-29.[3]劉穎.幾