![3.4.1第2課時平面的法向量及其應(yīng)用課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性_第1頁](http://file4.renrendoc.com/view12/M00/06/20/wKhkGWXedxyAIJuRAADte-eemY0269.jpg)
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文檔簡介
3.4.1第2課時新授課平面的法向量及其應(yīng)用1.能用向量語言表述平面.2.理解平面的法向量,并且會求平面的法向量.3.會應(yīng)用平面的法向量解決一些簡單的問題.如果一條直線l與一個平面α垂直,那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量,則n⊥α.知識點(diǎn)1:平面的法向量如圖,設(shè)點(diǎn)M是平面α內(nèi)給定的一點(diǎn),向量n是平面α的一個法向量,那么對于平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P,必有思考:如何用平面的法向量來描述平面內(nèi)任意一點(diǎn)的位置呢?①αlMPn反過來,由立體幾何知識可以證明:滿足①式的點(diǎn)P都在平面α內(nèi),所以把①式稱為平面α的一個向量表示式.①注意:1.平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.2.一個平面的法向量有無限多個,它們相互平行.練一練1.若點(diǎn)A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,若l⊥平面α,則平面α的一個法向量為()A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)A知識點(diǎn)2:平面的方程如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,若n=(A,B,C),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),則對于平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P(x,y,z),有①代入①式,得②即由此可見,平面α內(nèi)任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y,z)都滿足方程②;反之,以滿足方程②的(x,y,z)為坐標(biāo)的任意一點(diǎn)也都在平面α內(nèi).所以方程②叫作平面α的方程.②練一練2.寫出經(jīng)過A(3,2,1)且與直線l的方向向量n=(-1,3,4)垂直的平面α的方程.解:由題意知平面α的法向量為n=(-1,3,4),即x-3y-4z+7=0.則-x+3y+4z-7=0,則-(x-3)+3(y-2)+4(z-1)=0,例1:已知點(diǎn)A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一個法向量的坐標(biāo).解:由已知可得設(shè)n=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量,則不妨取x=1,得y=z=-1.∴平面ABC的一個法向量的坐標(biāo)為(1,-1,-1).即歸納總結(jié)求平面法向量的方法與步驟(4)所求出向量中的三個坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系,設(shè)定一個坐標(biāo)為常數(shù)(常數(shù)不能為0)便可得到平面的一個法向量.(2)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z);(1)求平面ABC的法向量時,要選取平面內(nèi)兩不共線向量,如(3)聯(lián)立方程組
并求解;例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=1,AD=2,AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得AN⊥平面A'BD?(2)求證:AC'與平面A'BD的交點(diǎn)恰為線段AC'的三等分點(diǎn).(1)解:以點(diǎn)A為原點(diǎn),AB,AD,AA'所在直線分別為x軸、y軸、z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(0,2,0),A'(0,0,3).設(shè)N(1,y,z)是四邊形BCC'B'內(nèi)一點(diǎn),則例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=1,AD=2,AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得AN⊥平面A'BD?(2)求證:AC'與平面A'BD的交點(diǎn)恰為線段AC'的三等分點(diǎn).令得解得∴在四邊形BCC'B'內(nèi)存在一點(diǎn)
,使得AN⊥平面A'BD.(2)分析:要證明AC'與平面A'BD的交點(diǎn)恰為線段AC'的三等分點(diǎn),可以將直線AC'的方程與平面A'BD的方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo),再驗(yàn)證其恰為線段AC'的三等分點(diǎn);也可以先求出線段AC'三等分點(diǎn)的坐標(biāo),再驗(yàn)證其在平面A'BD內(nèi).例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=1,AD=2,AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得AN⊥平面A'BD?(2)求證:AC'與平面A'BD的交點(diǎn)恰為線段AC'的三等分點(diǎn).又B(1,0,0),化簡,得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0,即6x+3y+2z=6.①設(shè)點(diǎn)E為線段AC'的一個三等分點(diǎn),且滿足(2)證明:由(1)可知
是平面A'BD的一個法向量;∴平面A'BD的方程為例2:在長方體ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=1,AD=2,AA'=3.(1)在四邊形BCC'B'內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使得AN⊥平面A'BD?(2)求證:AC'與平面A'BD的交點(diǎn)恰為線段AC'的三等分點(diǎn).由可知代入方程①檢驗(yàn)可知,點(diǎn)E的坐標(biāo)滿足平面A'BD的方程①.說明:(2)中只展示了第二種證明方法,第一種證明方法請同學(xué)們課下完成.即點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴AC'的三等分點(diǎn)E
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