分數(shù)拆項與裂項

狀元堂分數(shù)的速算與巧算裂項：是計算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項與通項歸納是密不可分的，本講要求學生掌握裂項技巧及尋找通項進行解題的能力換元：讓學生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡單算式。循環(huán)小數(shù)與分數(shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運算，涉及循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的主要利用運算定律進行簡算的問題．4、通項歸納法通項歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計算，使計算過程更加簡便，而通項歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡為常見的一般形式．知識點撥一、裂項綜合（一）、“裂差”型運算(1)對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分數(shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分數(shù)，即：，形式的，我們有：裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算。（2）分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。（二）、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：（1）（2）裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉(zhuǎn)化為“分數(shù)湊整”型的，以達到簡化目的。三、整數(shù)裂項(1)(2)二、換元解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡．三、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)1、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)結(jié)論：純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分數(shù)字所組成的數(shù)的差分母n個9，其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9，不循環(huán)位數(shù)添0，組成分母，其中9在0的左側(cè)；；；，……2、單位分數(shù)的拆分：例：=====分析：分數(shù)單位的拆分，主要方法是：從分母N的約數(shù)中任意找出兩個m和n,有： =本題10的約數(shù)有:1,10,2,5.。例如：選1和2，有： 本題具體的解有： 例題精講模塊一、分數(shù)裂項原式原式計算：．如果式子中每一項的分子都相同，那么就是一道很常見的分數(shù)裂項的題目．但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2．相比較于2，4，6，……這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項都比其大3，所以可以先把原式中每一項的分子都分成3與另一個的和再進行計算．原式也可以直接進行通項歸納．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項公式為，所以，再將每一項的與分別加在一起進行裂項．后面的過程與前面的方法相同．計算：本題的重點在于計算括號內(nèi)的算式：．這個算式不同于我們常見的分數(shù)裂項的地方在于每一項的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當對分子進行適當?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．觀察可知，，……即每一項的分子都等于分母中前兩個乘數(shù)的和，所以所以原式．計算：觀察可知原式每一項的分母中如果補上分子中的數(shù)，就會是5個連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項的分子、分母都乘以分子中的數(shù)．即：原式現(xiàn)在進行裂項的話無法全部相消，需要對分子進行分拆，考慮到每一項中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：，，……原式原式本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分數(shù)裂差型裂項”問題。此類問題需要從最簡單的項開始入手，通過公式的運算尋找規(guī)律。從第一項開始，對分母進行等差數(shù)列求和運算公式的代入有，，……，原式原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝，，……，，所以原式原式.這題是利用平方差公式進行裂項：，原式計算：原式計算：．原式計算：．式子中每一項的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?，，，……，，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進行計算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了．原式（法1）：可先找通項原式（法2）：原式原式＝＝計算：先找通項公式原式先找通項：，原式找通項原式，通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項，所以有原式原式==原式計算：通項公式：，原式計算：本題的通項公式為，沒辦法進行裂項之類的處理．注意到分母，可以看出如果把換成的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分數(shù)兩兩組合起來，最后單獨剩下一個．將項數(shù)和為100的兩項相加，得，所以原式．（或者，可得原式中99項的平均數(shù)為1，所以原式）雖然很容易看出＝，＝……可是再仔細一看，并沒有什么效果，因為這不象分數(shù)裂項那樣能消去很多項．我們再來看后面的式子，每一項的分母容易讓我們想到公式，于是我們又有．．減號前面括號里的式子有10項，減號后面括號里的式子也恰好有10項，是不是“一個對一個”呢？ ＝＝ ＝ ＝＝＝＝．模塊二、換元與公式應(yīng)用計算：原式原式計算：原式計算：法一：利用等比數(shù)列求和公式。原式法二：錯位相減法．設(shè)則，，整理可得．法三：本題與例3相比，式子中各項都是成等比數(shù)列，但是例3中的分子為3，與公比4差1， 所以可以采用“借來還去”的方法，本題如果也要采用“借來還去”的方法，需要將每一項的分子變得也都與公比差1．由于公比為3，要把分子變?yōu)?，可以先將每一項都乘以2進行算，最后再將所得的結(jié)果除以2即得到原式的值．由題設(shè)，，則運用“借來還去”的方法可得到，整理得到．計算：原式⑴________；⑵________．⑴ 觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1，設(shè)，原式⑵ 原式計算：原式 計算：原式 ．原式 計算：．本題可以直接將兩個乘積計算出來再求它們的差，但靈活采用平方差公式能收到更好的效果． 原式 計算：．本題可以直接計算出各項乘積再求和，也可以采用平方差公式． 原式 其中可以直接計算，但如果項數(shù)較多，應(yīng)采用公式 進行計算．計算：．觀察發(fā)現(xiàn)式子中每相乘的兩個數(shù)的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式 看規(guī)律，，……，試求 原式 計算：令，，則： 原式 設(shè)，則原式化簡為：設(shè)，， 原式 設(shè)，， 原式 計算設(shè)， 原式()設(shè)，則有設(shè)，則有計算設(shè).原式=+=+=.()()()()換元的思想即“打包”，令，， 則原式()()()()() ()計算()()()()該題相對簡單，盡量湊相同的部分，即能簡化運算.設(shè)，，

有原式()()三、循環(huán)小數(shù)與分數(shù)互化計算：，結(jié)果保留三位小數(shù)．方法一：方法二：⑴；⑵⑴法一：原式．法二：將算式變?yōu)樨Q式：可判斷出結(jié)果應(yīng)該是，化為分數(shù)即是．⑵原式計算：方法一：=方法二： 計算（1）（2）（1）原式 （2）原式某學生將乘以一個數(shù)時，把誤看成1.23，使乘積比正確結(jié)果減少0.3.則正確結(jié)果該是多少?由題意得：，即：，所以有：．解得，所以將循環(huán)小數(shù)與相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù)，那么該近似值的最后一位小數(shù)是多少?×循環(huán)節(jié)有6位，100÷6=16……4，因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8，第10l位是5．這樣四舍五入后第100位為9．有8個數(shù)，，,,,是其中6個，如果按從小到大的順序排列時，第4個數(shù)是，那么按從大到小排列時，第4個數(shù)是哪一個數(shù)?,,,顯然有即，8個數(shù)從小到大排列第4個是，所以有．(“□”，表示未知的那2個數(shù)).所以，這8個數(shù)從大到小排列第4個數(shù)是．真分數(shù)化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么是多少?，，，，，．因此，真分數(shù)化為小數(shù)后，從小數(shù)點第一位開始每連續(xù)六個數(shù)字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因為1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．真分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)之后，從小數(shù)點后第1位起若干位數(shù)字之和是，則是多少？我們知道形如的真分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由1、2、4、5、7、8這6個數(shù)字組成，只是各個數(shù)字的位置不同而已，那么就應(yīng)該由若干個完整的和一個不完整組成。，而，所以最后一個循環(huán)節(jié)中所缺的數(shù)字之和為6，經(jīng)檢驗只有最后兩位為4，2時才符合要求，顯然，這種情況下完整的循環(huán)節(jié)為“”，因此這個分數(shù)應(yīng)該為，所以。真分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)之后，小數(shù)點后第2009位數(shù)字為7，則是多少？我們知道形如的真分數(shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后，循環(huán)節(jié)都是由6位數(shù)字組成，，因此只需判斷當為幾時滿足循環(huán)節(jié)第5位數(shù)是7，經(jīng)逐一檢驗得。和化成循環(huán)小數(shù)后第100位上的數(shù)字之和是_____________.如果將和轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后再去計算第100位上的數(shù)字和比較麻煩，通過觀察計算我們發(fā)現(xiàn)，而，則第100位上的數(shù)字和為9.純循環(huán)小數(shù)寫成最簡分數(shù)時,分子和分母的和是,則三位數(shù)如果直接把轉(zhuǎn)化為分數(shù),應(yīng)該是,因此,化成最簡分數(shù)后的分母應(yīng)該是999的約數(shù),我們將分解質(zhì)因數(shù)得:,這個最簡分數(shù)的分母應(yīng)小于,而且大于,否則該分數(shù)就變成了假分數(shù)了,符合這個要求的的約數(shù)就只有37了,因此,分母應(yīng)當為37,分子就是,也就是說,因此.在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立．（1）；（2）單位分數(shù)的拆分，主要方法是從分母的約數(shù)中任意找出兩個數(shù)和，有：，從分母的約數(shù)中任意找出兩個和()，有：（1）本題的約數(shù)有：，10，2，5．例如：選1和2，有：； 從上面變化的過程可以看出，如果取出的兩組不同的和，它們的數(shù)值雖然不同，但是如果和的比值相同，那么最后得到的和也是相同的．本題中，從10的約數(shù)中任取兩個數(shù)，共有種，但是其中比值不同的只有5組：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本題共可拆分成5組．具體的解如下： ．（2）10的約數(shù)有1、2、5、10，我們可選2和5：另外的解讓學生去嘗試練習．在下面的括號里填上不同的自然數(shù)，使等式成立．先選10的三個約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式和連加式．則：如果選10、5、2，那么有：．另外，對于這類題還有個方法，就是先將單位分數(shù)拆分，拆成兩個單位分數(shù)的和或差，再將其中的一個單位分數(shù)拆成兩個單位分數(shù)的和或差，這樣就將原來的單位分數(shù)拆成了3個單位分數(shù)的和或差了．比如，要得到，根據(jù)前面的拆分隨意選取一組，比如，再選擇其中的一個分數(shù)進行拆分，比如，所以．=-=注：這里要先選10的三個約數(shù)，比如5、2和1，表示成連減式5-2-1和連加式5+2+1.所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分數(shù)相加，和是__________。小于30的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十個，分母為17的真分數(shù)相加，和等于。類似地，可以求出其它分母為質(zhì)數(shù)的分數(shù)的和。因此，所求的和是分母為1996的所有最簡分數(shù)之和是_________。因為1996=2×2×499。所以分母為1996的最簡分數(shù)，分子不能是偶數(shù)，也不能是499的倍數(shù)，499與3×499。因此，分母為1996的所有最簡真分數(shù)之和是==若，其中a、b都是四位數(shù)，且a<b，那么滿足上述條件的所有數(shù)對（a,b）是2004的約數(shù)有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，滿足題意的分拆有：如果，均為正整數(shù)，則最大是多少？從前面的例題我們知道，要將按照如下規(guī)則寫成的形式：，其中和都是的約數(shù)。如果要讓盡可能地大，實際上就是讓上面的式子中的盡可能地小而盡可能地大，因此應(yīng)當取最大的約數(shù)，而應(yīng)取最小