2019年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷及答案合集

2019年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（每小題2分，共12分）

1.（2分）（2019?吉林）如圖，數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的數(shù)可能為（）

A.3B.2C.1D.-1

2.（2分）（2019?吉林）如圖，由6個相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的俯視圖為

（）

正面

□E

A.I_IB.___—

c.m.mnn

3.（2分）（2019?吉林）若。為實數(shù)，則下列各式的運算結(jié)果比。小的是（）

A.a+\B.a-1C.axlD.a+1

4.（2分）（2019?吉林）把圖中的交通標志圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合,

則這個旋轉(zhuǎn)角度至少為（）

A.30°B.90°C.1200D.180°

5.（2分）（2019?吉林）如圖，在OO中，AB所對的圓周角NACB=50。，若P為48上一

點，ZAOP=55°,則NPO3的度數(shù)為（)

A.30°B.45°C.55°D.60°

6.（2分）（2019?吉林）曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的

路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光.如圖，A、8兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增

加了橋的長度，其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是（）

B

A.兩點之間，線段最短

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.垂線段最短

D.兩點確定一條直線

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.（3分）（2019?吉林）分解因式：6—1=.

8.（3分）（2019?吉林）不等式次-2>1的解是.

9.（3分）（2019?吉林）計算：工上=___.

2x~y

10.（3分）（2019?吉林）若關(guān)于X的一元二次方程（x+3）2=c有實數(shù)根，貝Ijc的值可以為

（寫出一個即可）.

11.（3分）（2019?吉林）如圖，E為AABC邊C4延長線上一點，過點E作瓦）//BC.若

ZBAC=10°,ZCED=50°,貝°.

12.（3分）（2019?吉林）如圖，在四邊形中，AB=10,BD1AD.若將沿瓦）

折疊，點C與邊A8的中點E恰好重合，則四邊形的周長為.

13.（3分）（2019?吉林）在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3,〃，同時同地測

得一棟樓的影長為90〃?，則這棟樓的高度為—m.

14.（3分）（2019?吉林）如圖，在扇形。中，4408=90。.D,E分別是半徑。4,OB

上的點，以“>,OE為鄰邊的QODCE的頂點C在AB上.若8=8,OE=6,則陰影部

分圖形的面積是—（結(jié)果保留；r）.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.（5分）（2019?吉林）先化簡，再求值：（“-I）?+〃5+2）,其中“=也.

16.（5分）（2019?吉林）甲口袋中裝有紅色、綠色兩把扇子，這兩把扇子除顏色外無其他

差別；乙口袋中裝有紅色、綠色兩條手絹，這兩條手絹除顏色外無其他差別.從甲口袋中隨

機取出一把扇子，從乙口袋中隨機取出一條手絹，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的扇子

和手絹都是紅色的概率.

甲口袋乙口袋

17.（5分）（2019?吉林）已知y是x的反比例函數(shù)，并且當x=2時，y=6.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當x=4時，求y的值.

18.（5分）（2019?吉林）如圖，在中，點E在邊4D上，以。為圓心，AE長為半

徑畫弧，交邊BC于點F,連接BE、DF.求證：AAfiE=ACDF.

19.（7分）（2019?吉林）圖①，圖②均為4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格

點.在圖①中已畫出線段43,在圖②中已畫出線段CD,其中A、B、C、D均為格點,

按下列要求畫圖：

（1）在圖①中，以為對角線畫一個菱形且E,F為格點；

（2）在圖②中，以CD為對角線畫一個對邊不相等的四邊形CGDH,且G,H為格點，

ZCGD=ZCHD=90°.

圖①圖②

20.（7分）（2019?吉林）問題解決

糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂，再蘸以冰糖制作而成.現(xiàn)將一些山楂分別串在若干根竹簽

上.如果每根竹簽串5個山楂，還剩余4個山楂；如果每根竹簽串8個山楂，還剩余7根竹

簽.這些竹簽有多少根？山楂有多少個？

反思歸納

現(xiàn)有。根竹簽，分個山楂.若每根竹簽串c個山楂，還剩余d個山楂，則下列等式成立的是

（填寫序號）.

（1）bc+d=a;（2）ac+d=b;（3）ac—d=b-

21.（7分）（2019?吉林）墻壁及淋浴花灑截面如圖所示.已知花灑底座A與地面的距離反

為170ca,花灑AC的長為30cm,與墻壁的夾角為43。.求花灑頂端C到地面的距

離CE（結(jié)果精確到kvn）.（參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93）

BE

22.（7分）（2019?吉林）某地區(qū)有城區(qū)居民和農(nóng)村居民共80萬人.某機構(gòu)準備采用抽取樣

本的方法調(diào)查該地區(qū)居民“獲取信息的最主要途徑”.

（1）該機構(gòu)設(shè)計了以下三種調(diào)查方案：

方案一：隨機抽取部分城區(qū)居民進行調(diào)查；

方案二：隨機抽取部分農(nóng)村居民進行調(diào)查；

方案三：隨機抽取部分城區(qū)居民和部分農(nóng)村居民進行調(diào)查.

其中最具有代表性的一個方案是一；

（2）該機構(gòu)采用了最具有代表性的調(diào)查方案進行調(diào)查.供選擇的選項有：電腦、手機、電

視、廣播、其他，共五個選項.每位被調(diào)查居民只選擇一個選項.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下

統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題：

①這次接受調(diào)查的居民人數(shù)為—人；

②統(tǒng)計圖中人數(shù)最多的選項為—；

③請你估計該地區(qū)居民和農(nóng)村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的總?cè)?/p>

數(shù).

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.（8分）（2019?吉林）甲、乙兩車分別從A,8兩地同時出發(fā)，沿同一條公路相向行駛,

相遇后，甲車繼續(xù)以原速行駛到8地，乙車立即以原速原路返回到5地.甲、乙兩車距3地

的路程y（km）與各自行駛的時間武力）之間的關(guān)系如圖所示.

（2）求乙車距5地的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3）當甲車到達B地時，求乙車距8地的路程.

24.（8分）（2019?吉林）性質(zhì)探究

如圖①，在等腰三角形ABC中，ZACB=120°,則底邊4?與腰AC的長度之比為.

理解運用

（1）若頂角為120。的等腰三角形的周長為8+46,則它的面積為；

（2）如圖②，在四邊形E/7GH中，EF=EG=EH.

①求證：NEFG+NEHG=NFGH；

②在邊FG,G”上分別取中點M,N,連接MN.若NR3H=120。，EF=\0,直接寫出

線段MN的長.

類比拓展

頂角為2a的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為（用含a的式子表示）.

圖①圖②

六、解答題（每小題10分，共20分）

25.（10分）（2019?吉林）如圖，在矩形A88中，AD=4cm,AB=3cm,E為邊8c上

一點，BE=AB,連接AE.動點P、。從點A同時出發(fā)，點P以亞cm/s的速度沿AE向

終點E運動；點。以濟/s的速度沿折線A￡>-QC向終點C運動.設(shè)點Q運動的時間為

x（s）,在運動過程中，點尸，點Q經(jīng)過的路線與線段尸。圍成的圖形面積為

（1）AE=cm,/FAD=°；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3）當PQ=°5J時，直接寫出x的值.

26.（10分）（2019?吉林）如圖，拋物線y=（x-iy+Z與x軸相交于A,3兩點（點A在

點B的左側(cè)），與y軸相交于點C（0,-3）.P為拋物線上一點，橫坐標為機，且相>0.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當點P位于x軸下方時，求AAB尸面積的最大值；

(3)設(shè)此拋物線在點C與點P之間部分(含點C和點尸)最高點與最低點的縱坐標之差為〃.

①求h關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量機的取值范圍；

②當/?=9時，直接寫出ABCP的面積.

2019年吉林省中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題（每小題2分，共12分）

1.（2分）如圖，數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的數(shù)可能為（）

A.3B.2C.1D.-1

【分析】直接利用數(shù)軸得出結(jié)果即可.

【解答】解：數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的數(shù)可能為-1,

故選：D.

2.（2分）如圖，由6個相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的俯視圖為（）

正囿

□I

A.I_IB.

c.mD.EE

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可.

【解答】解：從上面看可得四個并排的正方形，如圖所示:

故選：D.

3.（2分）若。為實數(shù)，則下列各式的運算結(jié)果比。小的是（）

A.。+1B.a—\C.6zxlD.a+1

【分析】根據(jù)一個數(shù)加上一個正數(shù)的和大于本身，加上一個負數(shù)小于本身，減去一正數(shù)小于

本身，減去一個負數(shù)大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一進行比較便可.

【解答】解：A.a+l>a,選項錯誤;

B.a-\<a,選項正確：

C.6!X1=67＞選項錯誤;

D.a+l=a,選項錯誤；

故選：B.

4.（2分）把圖中的交通標志圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則這個旋轉(zhuǎn)角

度至少為（）

A.30°B.90°C.120°D.180°

【分析】根據(jù)圖形的對稱性，用360。除以3計算即可得解.

【解答】解：?.?360。+3=120°,

旋轉(zhuǎn)的角度是120。的整數(shù)倍，

旋轉(zhuǎn)的角度至少是120。.

故選：C.

5.（2分）如圖，在OO中，所對的圓周角N4C8=50。，若尸為A3上一點，ZAOP=55°,

則NPO3的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

【分析】根據(jù)圓心角與圓周角關(guān)系定理求出NAO8的度數(shù)，進而由角的和差求得結(jié)果.

【解答】解：???NACB=50。，

.?.ZAOB=2ZACB=100°,

-.?ZAOP=55°,

:.ZPOB=45°,

故選：B.

6.（2分）曲橋是我國古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于

游人更好地觀賞風(fēng)光.如圖，A、3兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度,

其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是（）

B

A.兩點之間，線段最短

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.垂線段最短

D.兩點確定一條直線

［分析］利用兩點之間線段最短進而分析得出答案.

【解答】解：這樣做增加了游人在橋上行走的路程，其中蘊含的數(shù)學(xué)道理是：利用兩點之間

線段最短，可得出曲折迂回的曲橋增加了游人在橋上行走的路程.

故選：A.

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.(3分)分解因式：a2-1=_(a+\)(a-l)_.

【分析】符合平方差公式的特征，直接運用平方差公式分解因式.平方差公式:

a2-b2=(?+b)(a-b).

【解答】解：a2-l=(a+l)(?-l).

故答案為：（a+l）（a-l）.

8.（3分）不等式3x-2>l的解是_x>l

【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時加上2再除以3,不等號的方向不變.

【解答］解：；3_￥-2>1,

「?3x>3,

/.x>l,

原不等式的解集為：X>1.

故答案為X>1.

yx_1

9.（3分）計算:

2x2y~~2x~

【分析】根據(jù)分式乘除法的法則計算即可.

【解答】解：A--=—>

2xy2x

故答案為：—.

2x

10.（3分）若關(guān)于X的一元二次方程（x+3）2=，有實數(shù)根，則C,的值可以為5（答案不唯

一，只有C..0即可）（寫出一個即可）.

【分析】由于方程有實數(shù)根，則其根的判別式△..（）,由此可以得到關(guān)于c?的不等式，解不

等式就可以求出c的取值范圍.

【解答】解：一元二次方程化為d+6x+9—c=0,

=36-4（9-c）=4c..O,

解上式得c..O.

故答為5（答案不唯一，只有C..0即可）.

11.（3分）如圖，E為A48C邊C4延長線上一點，過點石作口>//8。.若"AC=70°,

ZCED=50°,則NB=60

【分析】利用平行線的性質(zhì)，即可得到NCE/）=NC=5O。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可

得到的度數(shù).

【解答】解：?.,&）/ABC,

.-.ZCE?=ZC=5O°,

又?.?44C=70。，

.?.AABC中，ZB=180o-50°-70o=60°,

故答案為：60.

12.（3分）如圖，在四邊形至8中，AB=1O.BDYAD.若將ABCZ）沿皮）折疊，點C

與邊A3的中點E恰好重合，則四邊形的周長為20.

B

E

C

D

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到OE=8E=，AB=5,再根據(jù)折疊的

2

性質(zhì)，即可得到四邊形8cDE的周長為5x4=20.

【解答】解：?.?8C4）,點￡是的中點，

:.DE=BE=-AB=5,

2

由折疊可得，CB=BE,CD=ED,

：.四邊形BCDE的周長為5x4=20,

故答案為：20.

13.（3分）在某一時刻，測得一根高為1.8加的竹竿的影長為3〃?，同時同地測得一棟樓的影

長為90,〃，則這棟樓的高度為54m.

【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)這棟樓的高度為加〃，

???在某一時刻，測得一根高為18〃的竹竿的影長為3ni,同時測得一棟樓的影長為60,〃，

,解得72=54（"?）.

390

故答案為：54.

14.（3分）如圖，在扇形OA8中，ZAOB=90°.D,E分別是半徑。4,08上的點，以O(shè)D,

OE為鄰邊的QQOCE的頂點C在AB上.若8=8,OE=6,則陰影部分圖形的面積是

25萬一48_（結(jié)果保留％）.

【分析】連接OC,根據(jù)同樣只統(tǒng)計得到口8CE是矩形，由矩形的性質(zhì)得到N8C=90。.根

據(jù)勾股定理得到OC=10,根據(jù)扇形的面積公式和矩形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接比，

-.-ZAOB=90°,四邊形ODCE■是平行四邊形，

"ODCE是矩形，

/.ZODC=90°.

-,-OD=8,OE=6,

.-.oc=io,

???陰影部分圖形的面積="RUt-8x6=25萬一48.

360

故答案為：25萬-48.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.（5分）先化簡，再求值：（a-l）2+a（a+2）,其中“=夜.

【分析】原式利用完全平方公式，單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果,

把a的值代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=片-2。+1+。2+2。=2，/+1,

當a=V5時，原式=5.

16.（5分）甲口袋中裝有紅色、綠色兩把扇子，這兩把扇子除顏色外無其他差別；乙口袋

中裝有紅色、綠色兩條手絹，這兩條手絹除顏色外無其他差別.從甲口袋中隨機取出一把扇

子，從乙口袋中隨機取出一條手絹，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的扇子和手絹都是紅

色的概率.

甲口袋乙口袋

【分析】畫出樹狀圖，共有4種可能結(jié)果，其中取出的扇子和手絹都是紅色的有1種可能，

由概率公式即可得出結(jié)果.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

共有4種可能結(jié)果，其中取出的扇子和手絹都是紅色的有1種結(jié)果，

則取出的扇子和手絹都是紅色的概率為上.

4

開始

甲/延即、子/綠色扇、子

乙紅色手絹綠色手絹紅色手絹綠色手絹

17.（5分）己知y是x的反比例函數(shù)，并且當x=2時,，y=6.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當x=4時，求y的值.

【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可;

（2）直接利用x=4代入求出答案.

【解答】解：（1）y是x的反例函數(shù),

k

所以，設(shè)y=—（ZwO）,

x

當x=2時，y=6.

所以，k=xy=12,

所以，y=-

X；

（2）當x=4時，y=3.

18.（5分）如圖，在中，點E在邊AD上，以C為圓心，AE長為半徑畫弧，交邊

BC于點、F,連接BE、DF.求證：AABE=ACDF.

【分析】直接利用已知作圖方法結(jié)合全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解答】證明：由題意可得：AE=FC,

在平行四邊形458中，AB=DC,NA=NC

AE=CF

在A45E和△CDF中，，乙4=NC,

AB=CD

所以，MBE=ACDF（SAS）.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.（7分）圖①，圖②均為4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.在圖①中

己畫出線段他，在圖②中已畫出線段8,其中A、B、C、。均為格點，按下列要求畫

（1）在圖①中，以AB為對角線畫一個菱形且E,F為格點；

（2）在圖②中，以CD為對角線畫一個對邊不相等的四邊形CGZJH,且G,，為格點,

【分析】（1）根據(jù)菱形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）.

（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖，菱形即為所求.

（2）如圖，四邊形CGOH即為所求.

糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂，再蘸以冰糖制作而成.現(xiàn)將一些山楂分別串在若干根竹簽

上.如果每根竹簽串5個山楂，還剩余4個山楂；如果每根竹簽串8個山楂，還剩余7根竹

簽.這些竹簽有多少根？山楂有多少個？

反思歸納

現(xiàn)有a根竹簽，。個山楂.若每根竹簽串c?個山楂，還剩余d個山楂，則下列等式成立的是

⑵（填寫序號）.

（1）bc+d=a\（2）ac+d=bi（3）ac-d=b.

【分析】問題解決設(shè)竹簽有x根，山楂有y個，由題意得出方程組：!?+4=）',解方程

?[8（x-7）=y

組即可；

反思歸納由每根竹簽串C個山楂，還剩余d個山楂，得出ac+d=匕即可.

【解答】問題解決

解：設(shè)竹簽有x根，山楂有y個，

5x+4=y

由題意得:

8(x-7)=y

x=20

解得:

y=104

答：竹簽有20根，山楂有104個；

反思歸納

解：?.?每根竹簽串c個山楂，還剩余4個山楂，

則ac+d=b,

故答案為：（2）.

21.（7分）墻壁及淋浴花灑截面如圖所示.已知花灑底座A與地面的距離他為170cm,花

灑AC的長為30cm,與墻壁的夾角NG山為43。.求花灑頂端C到地面的距離CE（結(jié)果精

確到kro）.（參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan430=0.93）

BE

【分析】過C作CF_L/W于尸，于是得到/4FC=90。，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過C作于F,

則NAFC=90。，

在RtAACF中，AC=30,NC4尸=43°,

AF

■/cosZ.CAF=-----,

AF=AGcosZ.CAF=30x0.73=21.9,

...CE=8尸=AB+=170+21.9=191.9B192(cm),

答：花灑頂端C到地面的距離CE為192cm.

BE

22.(7分)某地區(qū)有城區(qū)居民和農(nóng)村居民共80萬人.某機構(gòu)準備采用抽取樣本的方法調(diào)查

該地區(qū)居民“獲取信息的最主要途徑”.

(1)該機構(gòu)設(shè)計了以下三種調(diào)查方案：

方案一：隨機抽取部分城區(qū)居民進行調(diào)查；

方案二：隨機抽取部分農(nóng)村居民進行調(diào)查；

方案三：隨機抽取部分城區(qū)居民和部分農(nóng)村居民進行調(diào)查.

其中最具有代表性的一個方案是方案三；

(2)該機構(gòu)采用了最具有代表性的調(diào)查方案進行調(diào)查.供選擇的選項有：電腦、手機、電

視、廣播、其他，共五個選項.每位被調(diào)查居民只選擇一個選項.現(xiàn)根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下

統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題：

①這次接受調(diào)查的居民人數(shù)為—人；

②統(tǒng)計圖中人數(shù)最多的選項為—；

③請你估計該地區(qū)居民和農(nóng)村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的總?cè)?/p>

數(shù).

【分析】(1)根據(jù)三個方案選出最具有代表性的一個方案即可；

(2)①把電腦、手機、電視、廣播、其他，這五個選項的總?cè)藬?shù)相加即可；

②從統(tǒng)計圖中找出人數(shù)最多的選項即可；

③用80x該地區(qū)居民和農(nóng)村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的人數(shù)所

占的百分比即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)最具有代表性的一個方案是方案三,

故答案為：方案三:

(2)①這次接受調(diào)查的居民人數(shù)為260+400+150+100+90=1000人;

②統(tǒng)計圖中人數(shù)最多的選項為手機;

260+400

③80x=52.8萬人,

1000

答：該地區(qū)居民和農(nóng)村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的總?cè)藬?shù)52.8

萬人.

故答案為：1000,手機.

五、解答題(每小題8分，共16分)

23.(8分)甲、乙兩車分別從A,8兩地同時出發(fā)，沿同一條公路相向行駛，相遇后，甲

車繼續(xù)以原速行駛到3地，乙車立即以原速原路返回到3地.甲、乙兩車距3地的路程

y(km)與各自行駛的時間x(/z)之間的關(guān)系如圖所示.

(1)m-4.n=；

(2)求乙車距5地的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

(3)當甲車到達B地時，求乙車距B地的路程.

(2)運用待定系數(shù)法解得即可；

(3)把x=3代入(2)的結(jié)論即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意可得nz=2x2=4,n=280—2804-3.5=120；

故答案為：4；120；

(2)設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=(噴衣2),

因為圖象經(jīng)過(2,120),

所以以=120,

解得％=60,

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=60x,

設(shè)y關(guān)于元的函數(shù)解析式為y=Kx+"(2領(lǐng)k4),

因為圖象經(jīng)過(2,120),(4,0)兩點,

2k1+6=120

所以

4&+6=0

k、=-60

解得

%=240

所以)，關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-60+240(2領(lǐng)k4)；

(3)當x=3.5時，y=-60*3.5+240=30.

所以當甲車到達B地時，乙車距3地的路程為30%”.

24.(8分)性質(zhì)探究

如圖①，在等腰三角形A8C中，ZACB=}20°,則底邊AB與腰AC的長度之比為

理解運用

(1)若頂角為120。的等腰三角形的周長為8+4石，則它的面積為—；

(2)如圖②，在四邊形EFG/7中，EF=EG=EH.

①求證：AEFG+ZEHG=ZFGH；

②在邊FG,GH上分別取中點M,N,連接用/V.若NFG〃=120。，跖=10,直接寫出

線段MN的長.

類比拓展

頂角為2a的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為—(用含。的式子表示).

圖①圖②

【分析】性質(zhì)探究

作CDJ.AB于。，WJZADC=ZBDC=90°,由等腰三角形的性質(zhì)得出AO=3。，

ZA=ZB=30°,由直角三角形的性質(zhì)得出AC=2CD,AD=6CD,得出

AB=2AD=2尿D,即可得出結(jié)果;

理解運用

（1）同上得出則AC=28,ADfCD,由等腰三角形的周長得出

4CD+2>/3CD=8+4^,解得：8=2,得出48=46,由三角形面積公式即可得出結(jié)果;

（2）①由等腰三角形的性質(zhì)得出ZEFG=/EGF,AEGH=■ZEHG,得出

ZEFG+ZEHG=NEGF+ZEGH=4FGH即可；

②連接切，作EPLFH于P,由等腰三角形的性質(zhì)得出尸尸=叨，由①得：

ZEFG+ZEHG=AFGH=120°,由四邊形內(nèi)角和定理求出NFE"=120。，由等腰三角形的

性質(zhì)得出NEFW=30。，由直角三角形的性質(zhì)得出「E=2EF=5,PF=^PE=50得出

2

FH=2PF=T06證明MN是AFG〃的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)果；

類比拓展

作ADJ.BC于O,由等腰三角形的性質(zhì)得出8D=C￡>,ABAD=-ABAC=a,由三角函數(shù)

2

得出8D=/Wxsina,得出8C=28￡>=2/Wxsina,即可得出結(jié)果.

【解答】性質(zhì)探究

解：作CDJ_AB于。，如圖①所示：

則NADC=N8ZX7=90°,

-.AC=BC,NAC8=120。，

:.AD=BD,ZA=N8=30°,

.\AC=2CD,AD=6CD,

AB=2AD=2辰D,

AB2-J3CDn

"'AC~2CD5

故答案為：\/3;

理解運用

（1）解：如圖①所不：

同上得：AC=2CD,AD=6CD,

AC+8C+A8=8+46，

4CD+2&￡>=8+46,

解得：8=2,

:.AB=4y/3,

.?.4^。的面積=148'8=、4員2=46；

22

故答案為：40

（2）①證明：-.■EF=EG=EH,

.-.ZEFG=ZEGF,ZEGH=ZEHG,

ZEFG+NEHG=/EGF+ZEGH=NFGH；

②解：連接FH,作EPLFH于P,如圖②所示：

則P尸=P",由①得：ZEFG+ZEHG=：ZFGH=120°,

NFEH=360°-120°-120°=120°,

.EF=EH,

:.ZEFH=30°,

:.PE=-EF=5,

2

:.PF=EPE=5后,

:.FH=2PF=H）5

?.?點、M、N分別是FG、G”的中點，

MN是AFGH的中位線，

:.MN=-FH=5y/3；

2

類比拓展

解：如圖③所示：作A￡>_LBC于。，

-,-AB=AC,

:.BD=CD,ZBAD=-ZBAC=a,

2

BD

sma=，

AB

BD=/Wxsinez,

...BC=2BD=2ABxsina,

BC2A8?sina

=2sina；

AB

故答案為：2sincr.

國①

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.(10分)如圖，在矩形438中，AD=4cm,AB=3cm,E為邊BC上一點,BE=AB,

連接動點P、Q從點A同時出發(fā)，點P以血c,〃/s的速度沿AE向終點E運動；點。

以2c〃?/s的速度沿折線4)-OC向終點C運動.設(shè)點。運動的時間為x(s),在運動過程中,

點P，點。經(jīng)過的路線與線段PQ圍成的圖形面積為y(cw2).

(1)AE=_3y/2_cm,ZEAD=°;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;

(3)當PQ=1c加時，直接寫出x的值.

(備用圖)

【分析】(1)由勾股定理可求AE的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求NE4Q的度數(shù);

（2）分三種情況討論，由面積和差關(guān)系可求解：

（3）分三種情況討論，由勾股定理可求解.

【解答】解：（1）1.1AB=3cm>BE=AB-3cm,

AE=yjAB2+BE2=3ylictn,ZBAE=ABEA=45°

-.■ZBAD=90°

:.ZDAE=45°

故答案為：30,45

（2）當0<x,2時，如圖，過點P作

?:AP=0x,ZDAE=45°,PFA.AD

PF=x=AF,

12

(2)當2<%,3時，如圖，過點P作PP_LA￡),

-.■PF=AF=x,QD=2x-4

.\DF=4-xf

1?1?

y=—x2+—(2x-4+A:)(4-X)=-x2+8x-8

7

當3<x,‘時，如圖，點P與點E重合.

2

?/CQ=(3+4)—2x=7—2x,CE=4—3=\cm

y=g(l+4)x3-g(7-2x)x1=x+4

(3)當0<天,2時

VQF=AF=X,PFLAD

/.PQ=AP

'?'PQ——cm

4

\/2x=—

4

5>/2

x=-----

8

當2<天,3時，過點P作PM_LC￡>

四邊形乂尸短9是矩形

：.PM=DF=4-2x,MD=PF=x,

MQ=x-(2x-4)=4-x

MP2+MQ2=PQ2,

.-.(4-2x)2+(4-x)2=-p

-.?△<0

方程無解

當3"”7

PQ2=CP-+CQ2,

75

—=l+(7-2x)2,

16

..x=—25

8

綜上所述：工=竺或逆

88

26.(10分)如圖，拋物線y=(x-l)?+人與x軸相交于A,8兩點(點A在點3的左側(cè)),

與y軸相交于點C(O,-3).P為拋物線上一點，橫坐標為機，且相＞0.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)當點P位于x軸下方時，求面積的最大值;

(3)設(shè)此拋物線在點C與點尸之間部分(含點C和點P)最高點與最低點的縱坐標之差為/?.

①求"關(guān)于機的函數(shù)解析式，并寫出自變量加的取值范圍;

②當/?=9時，直接寫出ABCP的面積.

【分析】(1)將點C(0,-3)代入y=(x—l)2+A即可;

(2)易求A(-l,0),8(3,0),拋物線頂點為(1,-4),當P位于拋物線頂點時，A4BP的面積

有最大值;

(3))(1)當0＜門，1時，h=-3-(TH2-2m-3)=-nr4-2m；當2時、/z=-l-(-^4)=1；

當機>2時，h=irr-2m-3-(-4)=nr-2m+1；

②當〃=9時若一加2+2加=9,此時△<(),加無解；若加一2〃?+1=9,則m=4,則尸(4,5),

ABCPWlfil'^=-x8x4--x5xl--x(4+l)x3=6;

222

【解答】解：⑴將點CQ—3)代入yEx-lf+k,

得k=-4,

/.y=(x-l)2-4=x2-2x-3；

(2)令y=0,工=-1或x=3,

/.A(-1,O),8(3,0),

AB=4；

拋物線頂點為(1,-4),

當尸位于拋物線頂點時，43。的面積有最大值，

S=—x4x4=8；

2

(3)①當0<棋，1時，h=-3-(m2-2m-3)=-m2+2m；

當lv犯,2時,/z=-l-(-4)=l；

當>2時,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1；

②當〃=9時

若-m2+2m=9,此時△<(),根無解；

若m2_2m+1=9,則m=4,

/.尸(4,5),

???8(3,0),C(0,-3),

/.ABCP的面積=,x8x4-」x5x1-，x(4+l)x3=6;

222

2019年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）（2019?長春）如圖，數(shù)軸上表示-2的點A到原點的距離是（）

A

---1??----1---->

-3-2-101

A.-2B.2C.--D.-

22

2.（3分）（2019?長春）2019年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發(fā)送旅客

約為275000000人次，275000000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.27.5xlO7B.0.275xlO9C.2.75x10sD.2.75xlO9

3.（3分）（2019?長春）如圖是由4個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主

視圖是（）

5.（3分）（2019?長春）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載:

今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙

買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？

設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y,可列方程組為（）

AJ9x+11=yBf9x-11=y

[6x+16=y[6x-16=y

Cf9x4-11=yD1=y

[6x-16=y[6x+16=y

6.（3分）（2019?長春）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子他的長是3米.若

梯子與地面的夾角為則梯子頂端到地面的距離C為（）

B

二-米米

A.3sincr米B.3cosc米C.D.2—

sinacosa

7.（3分）（2019?長春）如圖，在AABC中，NAC3為鈍角.用直尺和圓規(guī)在邊4?上確定

一點。.使NWC=2ZB,則符合要求的作圖痕跡是（）

8.（3分）（2019?長春）如圖，在平面直角坐標系中，RtAABC的頂點A、C的坐標分別是

（0,3）、（3、0）.NAC8=90。，AC=2BC,則函數(shù)y=>0,*>0）的圖象經(jīng)過點8,則

X

我的值為（）

0C￡

9

9C

27一27

A.2-B.8D.4-

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）

9.（3分）（2019?長春）計算36-石=.

10.（3分）（2019?長春）分解因式：ab+2b=.

11.（3分）（2019?長春）一元二次方程V-3x+1=0的根的判別式的值是.

12.（3分）（2019?長春）如圖，直線MN//PQ,點A、3分別在M/V、PQ上，NM43=33。.過

線段4?上的點C作CD，AB交尸。于點。，則Z.CDB的大小為度.

13.（3分）（2019?長春）如圖，有一張矩形紙片A8C￡>,AB=S,AD=6.先將矩形紙片

ABCD折疊，使邊4）落在邊45上，點0落在點E處，折痕為釬；再將A4￡F沿叮翻

折，版與3c相交于點G,則AGCF的周長為.

14.（3分）（2019?長春）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=or?-2ar+g（a>0）與y軸

交于點A,過點A作x軸的平行線交拋物線于點M.P為拋物線的頂點.若直線OP交直

線AM于點5,且M為線段A3的中點，則。的值為.

。x

三、解答題（共10小題，滿分78分）

15.（6分）（2019?長春）先化簡，再求值：（2a+l）2-4a（a-l）,其中a=L

8

16.（6分）（2019?長春）一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，

分別是“家”、“家”“樂”，除漢字外其余均相同.小新同學(xué)從口袋中隨機摸出一個小球，記

下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字，用畫樹狀圖（或列表的）方

法，求小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率.

17.（6分）（2019?長春）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完

成任務(wù)，實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù).求該燈具廠

原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量.

18.（7分）（2019?長春）如圖，四邊形ABC￡）是正方形，以邊為直徑作G）O,點E在BC

邊上，連結(jié)隹交0。于點F,連結(jié)3尸并延長交CD于點G.

（1）求證：AABE'三ABCG；

（2）若NA￡B=55。，OA=3,求8/的長.（結(jié)果保留萬）

19.（7分）（2019?長春）網(wǎng)上學(xué)習(xí)越來越受到學(xué)生的喜愛.某校信息小組為了解七年級學(xué)

生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校七年級隨機抽取20名學(xué)生，進行了每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)的調(diào)查.數(shù)據(jù)

如下（單位：時）：

32.50.61.51223.32.51.8

2.52.23.541.52.53.12.83.32.4

整理上面的數(shù)據(jù)，得到表格如下：

網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間X（時）?！簇?，11<兀,22c工,33<x,4

人數(shù)2585

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：

統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

數(shù)值2.4mn

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）上表中的中位數(shù)加的值為—眾數(shù)的值為一.

（2）用樣本中的平均數(shù)估計該校七年級學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時

間.

（3）已知該校七年級學(xué)生有200名，估計每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間超過2小時的學(xué)生人數(shù).

20.（7分）（2019?長春）圖①、圖②、圖③均是6x6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點

稱為格點，小正方形的邊長為1,點A、B、C、D、E、F均在格點上.在圖①、圖②、

圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不

要求寫出畫法.

（1）在圖①中以線段4?為邊畫一個A4BM,使其面積為6.

(2)在圖②中以線段C￡＞為邊畫一個△CDV,使其面積為6.

(3)在圖③中以線段E/為邊畫一個四邊形EFG",使其面積為9,且NEFG=90。.

圖①圖②圖③

21.(8分)(2019?長春)已知A、3兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出

發(fā)，甲車以60千米/時的速度沿此公路從A地勻速開往5地，乙車從3地沿此公路勻速開

往A地，兩車分別到達目的地后停止.甲、乙兩車相距的路程y(千米)與甲車的行駛時間

x(時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(I)乙車的速度為千米/時，a=,h=.

(2)求甲、乙兩車相遇后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當甲車到達距3地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程.

22.(9分)(2019?長春)教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

例2如圖，在A/3C中，D,E分別是邊BC,的中點，AD,CE相交于點G,求證:

GEGD