03兩直線相對位置（二）平面投影、平面內(nèi)點和直線

§２.2直線的投影（續(xù)）

§２.３平面的投影

兩直線垂直（相交或交叉垂直）（重點、難點）；平面的表達(dá)法；各種位置平面的投影特性及作圖方法（重點）。若兩直線互相垂直（相交或交叉），且其中一條直線平行于某一投影面（條件），則兩直線在該投影面上的投影仍垂直（投影特性）；反之，亦成立（判斷方法）。

BACcb’a’c’ba4.兩直線垂直（相交或交叉）—直角投影定理兩直線的相對位置AB垂直于BC,且AB平行于H面,則有ab

bc(相交垂直)。ab’c’cba’OXAB垂直于MN,且AB平行于H面,則有ab

mn。

(交叉垂直)O2024/2/28f例1:過點E作線段AB、CD的公垂線EF。f

e

e2024/2/28b

例2：作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。bca

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

aOBAC直角投影定理的應(yīng)用——求距離

例3：求點到直線的距離k’k得到點到直線距離的投影后再求實長。距離實長a’b’bacc’h’h距離實長投影必須完整（1）（2）OX（f）ef’e’g’gOX同習(xí)題集2-212、直線和直線外一點（直線AB、點C）

；3、兩條平行直線；4、兩條相交直線（AB、BC）

；5、平面圖形（ΔABC

）。一.用幾何元素表示平面(五種)1、不在一直線上的三點決定一個平面（點A、B、C）；平面的表示法——Oa’b’aba”b”c’c”cXZYHYW§２.３平面的投影平面在三投影面體系中的投影特性

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面平行于某一投影面與三個投影面都傾斜

水平面

正平面

側(cè)平面各種位置平面的投影投影面垂直面垂直于某一投影面，而且傾斜于另兩個投影面

鉛垂面

正垂面

側(cè)垂面PpP”P’水平面的投影特性：1.水平投影反映空間平面的實形；2.正面和側(cè)面投影都積聚為一條直線，且分別平行于OX軸和OY軸。投影面的平行面1.水平面——平行于H面的平面積聚性積聚性實形性投影面的平行面2.正平面——平行于V面的平面是什么位置的平面？qq’q”Qr’rr”投影面的平行面3.側(cè)平面——平行于W面的平面1.在其所平行的投影面上的投影，反映空間平面的實形。2.在其它兩個投影面上的投影，分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。投影面平行面的投影特性：

1.鉛垂面——垂直于H面，且傾斜于V面、W面的平面投影面的垂直面平面對投影面的傾角：對水平投影面的傾角——

對正立投影面的傾角——

對側(cè)立投影面的傾角——

鉛垂面的投影特性：1.水平投影積聚為一條傾斜線段,且該直線段與OX、OY軸的夾角反映空間平面對V面、W面的傾角；2.正面投影和側(cè)面投影為空間平面的類似形。類似性類似性積聚性2024/2/28類似形：邊數(shù)相同平行關(guān)系不變凹凸關(guān)系不變2024/2/28投影面的垂直面2.正垂面——垂直于V面，且傾斜于H面、W面的平面是什么位置的平面？正垂面2024/2/28投影面的垂直面3.側(cè)垂面——垂直于W面，且傾斜于V面、H面的平面投影面垂直面的投影特性：

1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線，且該直線與投影軸的夾角反映空間平面對其它兩投影面的傾角。2.其它兩個投影面上的投影，為空間平面的類似形。

2024/2/28投影特性：三個投影都是空間平面圖形的類似形。一般位置平面思考：從屬于投影面的平面的投影特性是什么？其投影圖如何？a

b

c

abcabca

c

b

例4:根據(jù)投影圖，判斷下列平面的空間位置.水平面鉛垂面OXOX一、平面上的直線必須滿足的幾何條件：通過平面上兩點，如BE。或

過平面內(nèi)一點（C），且平行于平面內(nèi)的一條直線（AB），如直線CD

。a’b’aba”b”c’c”cd’dd”e’ee”O(jiān)ZXYHYW平面上的點和直線二、平面內(nèi)的點：必在平面內(nèi)的一直線上，平面內(nèi)定點須先定線。e’dd”e

例5：已知D點在ABC平面內(nèi)，補全其投影。e”a’b’aba”b”c’c”cd’OZXYHYW作圖思路和要點：1、先過點的已知投影作平面內(nèi)直線的投影，并求出直線的其它投影；2、再在直線的其它投影上求點的相應(yīng)投影。2024/2/28例6：已知點Ｋ屬于

ABC平面，試求其水

平投影k。bacc

a

k

b

●k●OX2024/2/28例7：已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。d'dee'不屬于OXbc解法一：例8：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。ada

d

b

c

OXbckada

d

b

c

k

解法二：OXP平面上的特殊位置直線一例9：過C點作平面內(nèi)的水平線。dd’d’d”一、平面上的投影面平行線1.投影特點——同時滿足投影面平行線和平面上的直線的投影特點。解題思路：1、明確水平線的投影特性；2、從平行于投影軸的投影入手，在給定平面內(nèi)取線。a’b’aba”b”c’c”cOZXYHYW例10：已知點E在

ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'e在平面上取點、取直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用它可以解決三類問題：判別已知點、直線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。OX2024/2/28PPHCD

aS

AE二、平面的最大斜度線（對某一投影面而言）平面內(nèi)垂直于該平面的投影面平行線（或平面的跡線）的直線。

平面上的特殊位置直線二平面對某投影面的最大斜度線是平面上對該投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。2024/2/28平面的最大坡度線平面對H面的最大斜度線——平面的最大坡度線。最大斜度線的幾何意義——是用來測定平面對投影面的傾角。2024/2/28例11：求作

ABC平面對水平投影面的最大斜度線

BE及其傾角

。bd'de'eOX2024/2/28be

BEbOX2024/2/28aa

例12：已知直線EF為某平面對H面的最大斜度線，試作出該平面。OX本講小結(jié):重點掌握以下內(nèi)容

1、理解并熟練掌握直角投影定理；２．熟練掌握各種位置平面的投影特性和投影圖的畫法；。３．熟練掌握平面上取點、取線的作圖方法；

4.熟練掌握平面上的投影面平行線和最大斜度線的投影特性、作圖方法及最大斜度線的幾何意義。

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