24章勾股定理全章教案

年4周8年級班第3節(jié)課時教案新科題目17.1勾股定理〔1〕教學目標知識目標:讓學生通過觀察、計算、猜想直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結論．能力目標:1．在學生充分觀察、歸納、猜想、探索直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的過程中，開展合情推理能力，體會數(shù)形結合的思想．2．在探索上述結論的過程中，開展學生歸納、概括和有條件地表達活動的過程和結論．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．培養(yǎng)學生積極參與、合作交流的意識．2．在探索勾股定理的過程中，體驗獲得結論的快樂，鍛煉克服困難的勇氣．重點探索直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結論，從而開展勾股定理．難點以直角三角形的邊為邊的正方形面積的計算．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課一、創(chuàng)設問題情境，引入新課．問題1：在我國古代，人們將直角三角形中的短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．根據(jù)我國古算書?周髀算經(jīng)?記載，在約公元前1100年，人們已經(jīng)知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是為什么嗎？問題2：某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊員取出6.5米長的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請問消防隊能否進入三樓滅火？問題3：我們再來看章頭圖，在下角的圖案，它有什么意義？為什么選定它作為2024年在北京召開的國際數(shù)學大會的會徽？教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計二、實際操作，探索直角三角形的三邊關系活動1問題1：畢達哥拉斯是古希臘著名的哲學家、數(shù)學家、天文學家，相傳2500年前，一次，畢達哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，高談闊論，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地而發(fā)起呆來．原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的，黑白相間，非常美觀大方．主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他．誰知畢達哥拉斯突破恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了．同學們，我們也來觀察下面圖中的地面，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？是否也和大哲學家有同樣的發(fā)現(xiàn)呢？問題2：你能發(fā)現(xiàn)以以下列圖中等腰直角三角形ABC有什么性質(zhì)嗎？問題3：等腰直角三角形都有上述性質(zhì)嗎？活動2問題1：等腰三角形有上述性質(zhì)，其他的三角形也有這個性質(zhì)嗎？如以以下列圖，每個小方格的面積均為1，請分別計算出以以下列圖中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面積，看看能得出什么結論．〔提示：以斜邊為邊長的正方形的面積，等于虛線標出的正方形的面積減去四個直角三角形問題2：給出一個邊長為0.5，1.2，1.3，這種含小數(shù)的直角三角形，也滿足上述結論嗎？生：從圖中不難觀察出A、B兩個正方形分別含有4個小方格和9個小方格；A′、B′兩個正方形分別含有9個小方格和25個小方格．師生共析：如果將虛線標出的正方形C和C′周圍的四個直角三角形分別沿斜邊折疊進去，你會得出什么結論呢？正方形C的面積就等于1+4××2×3=13．正方形C′的面積就等于4+4××3×5=34．和前面的結論一樣．師：很正確．我們通過對A、B、C，A′、B′、C′幾個正方形面積關系的分析可知：一般的以整數(shù)為邊長的直角三角形兩直角邊的平方和也等于斜邊的平方．一個邊長為小數(shù)的直角三角形是否也有此結論？我們不妨設小方格的邊長為0.1，我們不妨在你準備好的方格紙上畫出一個兩直角邊為0.5，1.2的直角三角形來進行驗證．生：也有上述結論．師：這一結論，在國外就叫做“畢達哥拉斯定理〞，而在中國那么叫做“勾股定理〞．而活動1中的問題1提到的“勾三，股四，弦五〞正是直角三角形三邊關系的重要表達．勾股定理到底是誰最先發(fā)現(xiàn)的呢？我們可以自豪地說：是我們中國人最早發(fā)現(xiàn)的．證據(jù)就是?周髀算經(jīng)?，不僅如此，我們漢代的趙爽曾用2024年在北京召開的國際數(shù)學家大會的徽標的圖案證明了此結論，也正因為為了紀念這一偉大的發(fā)現(xiàn)而采用了此圖案作徽標．下節(jié)課我們將要做更深入的研究．大哲學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)這一結論后，就已認識到，他的這個發(fā)現(xiàn)太重要了．所以，按照當時的傳統(tǒng)，他快樂地殺了整整一百頭牛來慶賀．三、例題剖析問題1：小明的媽媽買了一部29英寸〔74厘米〕的電視機．小明量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了．你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？問題2：〔1〕如右圖，一根旗桿在離地面9m處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前有多高？〔2〕求斜邊長17cm，一條直角邊長15cm的直角三角形的面積．問題1：我們通常所說的29英寸和74厘米的電視機，是指其熒屏的對角線的長度，而不是其熒屏的長和寬，同時，熒屏的邊框遮蓋了一局部，所以實際測量存在一些誤差．問題2：〔1〕解：由勾股定理可求得旗桿斷裂處到桿頂?shù)拈L度是：=15〔m〕；15+9=24〔m〕．所以旗桿折斷之前高為24m．〔2〕解：另一直角邊的長為=8〔cm〕，所以此直角三角形的面積為×8×15=60〔cm2〕．師：你能用直角三角形的三邊關系解答活動1中的問題2．請同學們在小組內(nèi)討論完成．四、課時小結1．掌握勾股定理及其應用；2．會構造直角三角形，利用勾股定理理解簡單應用題．能力測評題作業(yè)24頁練習〔1〕課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年4周年級8班第4節(jié)課時教案新科題目17.1勾股定理〔2〕教學目標知識目標:1．掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法．2．運用勾股定理解決一些實際問題．能力目標:1．經(jīng)歷用拼圖的方法驗證勾股定理，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力．2．在拼圖的過程中，鼓勵學生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的意識．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．利用拼圖的方法驗證勾股定理，是我國古代數(shù)學家的一大奉獻，借助此過程對學生進行愛國主義的教育．2．經(jīng)歷拼圖的過程，并從中獲得學習數(shù)學的快樂，提高學習數(shù)學的興趣．重點經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值．難點經(jīng)歷用不同的拼圖方法證明勾股定理．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課問題：我們曾學習過整式的運算，其中平方差公式〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2；完全平方公式〔a±b〕2=a2±2ab+b2是非常重要的內(nèi)容．誰還能記得當時這兩個公式是如何推出的？師：你能類似的方法證明上一節(jié)猜想出的命題嗎？教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計一、探索研究活動1我們已用數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊關系，拼一拼，完成以下問題：〔1〕在一張紙上畫4個與圖〔4〕全等的直角三角形，并把它們剪下來．〔2〕用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用拼圖的方法，面積之間的關系說明上節(jié)課關于直角三角形三邊關系的猜想嗎？(4)(5)〔3〕有人利用圖〔4〕這4個直角三角形拼出了圖〔5〕，你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎？大正方形的面積可以表示為：__________，又可以表示為__________．比照兩種表示方法，你得到直角三角形的三邊關系了嗎？教師深入小組參與活動，傾聽學生的交流，并幫助、指導學生完成任務，用計算面積的方法比較得出直角三角形的三邊關系．在本次活動中，教師應關注：①能否通過拼圖計算面積的方法得到直角三角形的三邊關系．②學生能否積極主動地參與拼圖活動．生：我也拼出了圖〔5〕，而且圖〔5〕用兩種方法表示大正方形的面積分別為〔a+b〕2或4×ab+c2，由此可得〔a+b〕2=4×ab+c2．化簡得：a2+b2=c2．由于圖〔4〕的直角三角形是任意的，因此a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．生：我拼出了和這個同學不一樣的圖，如圖〔6〕大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為a-b，利用這個圖形也可以說明勾股定理．因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab×4+〔b-a〕2．比照兩種表示方法可得c2=ab×4+〔b-a〕2．化簡得c2=a2+b2，(6)同樣得到了直角三角形的三邊關系．師：這樣就通過推理證實了命題1的正確性，我們把經(jīng)過證明被確定為正確的命題叫做定理．命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理．我國古代的學者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它為了弘揚我國古人趙爽的證法，大家從中一定會領略到我國古代數(shù)學家的智慧．活動2圖〔6〕這個圖案和3世紀我國漢代的趙爽在注解?周髀算經(jīng)?時給出的圖案一模一樣，人們稱它為“趙爽弦圖〞，趙爽利用弦圖證明命題1〔即勾股定理〕的根本思路如下，如圖〔7〕．把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積為a2+b2，另一方面這個圖形由四個全等的直角三角形和一個正方形組成．把圖〔7〕中左、右兩個三角形移到圖〔9〕所示的位置，就會形成一個c為邊長的正方形．因為圖〔7〕與圖〔9〕都是由四個全等的直角三角形和一個正方形組成，所以它們的面積相等．因此a2+b2=c2．二、課時小結你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認識？會構造直角三角形，并理解構造原理，深刻理解勾股定理的意義．能力測評題作業(yè)28頁習題〔1〕課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年周年級8班第5節(jié)課時教案新科題目17.1勾股定理〔3〕教學目標知識目標:能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．能力目標:1．經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型過程，并能用勾股定理來解決此問題，開展學生的應用意識．2．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，開展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神．3．在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結果，形成反思的意識．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．在用勾股定理探索實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．2．在解決實際問題的過程中形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣．重點將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型．難點如何用解直角三角形的知識和勾股定理解決實際問題．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課問題：欲登12米高的建筑物，為完全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？由勾股定理可知，兩直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊，也就是說，在直角三角形中，兩邊就可求出第三邊的長．教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計一、講授新課活動1問題：一個門框的尺寸如以下列圖，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？生：從題意可以看出，木板橫著進，豎著進，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過．生：在長方形ABCD中，對角線AC是斜著能通過的最大長度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否通過．師生共析：解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52．因此AC≈≈2.236．因為AC>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過．活動2問題：如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？生：梯子底端B隨著梯子頂端A沿墻下滑而外移到D，即BD的長度就是梯子外移的距離．觀察圖形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．師：OB，OD如何求呢？生：根據(jù)勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．OB≈1.658m〔精確到0.001m〕在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．OD≈2.336m〔精確到0.001〕BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m〔精確到0.01m〕，所以梯子頂端沿墻下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．活動3問題：“執(zhí)竿進屋〞：笨人持竿要進屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭．有個鄰居聰明者，教他斜竿對兩角．笨伯依言試一試，不多不少剛抵足．借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服．──當代數(shù)學教育家清華大學教授許莼舫著作?古算題味?生：解：設竿長為x尺，門框的寬度為〔x-4〕尺，高度為〔x-2〕尺，根據(jù)題意和勾股定理，得x2=〔x-4〕2+〔x-2〕2．化簡，得x2-12x+20=0，〔x-10〕〔x-2〕=0，x1=10，x2=2〔不合題意，舍去〕．所以竿長為10尺．二、穩(wěn)固提高活動4練習：1．有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長〔結果保存整數(shù)〕．2．如以以下列圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B兩點間的距離嗎？生：1．解：設圓的直徑為xdm，根據(jù)勾股定理，得502+502=x2，解得x≈71．所以圓的直徑改為71dm．2．解：如右圖，在Rt△ABC中，AC=20m，BC=60m，根據(jù)勾股定理，得AB2=BC2-AC2=602-202=3200，AB=40．所以A，B兩點間的距離為40m．三、課時小結問題：談談你這節(jié)課的收獲有哪些？會用勾股定理解決簡單應用題；學會構造直角三角形．能力測評題1．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200米，結果他在水中實際游了520米，求該河流的寬度．作業(yè)26頁練習課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年5周年級8班第1節(jié)課時教案新科題目17.1勾股定理〔4〕教學目標知識目標:1.利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點．2.進一步學習將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．能力目標:1．經(jīng)歷在數(shù)軸上尋找表示地理數(shù)的總的過程，開展學生靈巧勾股定理解決問題的能力．2．在用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，開展學生的動手操作能力和創(chuàng)新精神．3．在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結果，形成反思的意識．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．在用勾股定理尋找數(shù)軸上表示無理數(shù)點的過程中，體驗勾股定理的重要作用，并從中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．2．在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣．重點在數(shù)軸上尋找表示，，，，……這樣的表示無理數(shù)的點．難點利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課【例1】飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每小時飛行多少千米？【例2】如右圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的A物體，物體A到平面鏡的距離為6米，向B點到物體A的像A′的距離是多少？教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計一、講授新課活動1問題：我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出的點嗎？的點呢？設計意圖：上一節(jié)，我們利用勾股定理可以解決生活中的不少問題．在初一時我們只能找到數(shù)軸上的一些表示有理數(shù)的點，而對于象，，……這樣的無理數(shù)的數(shù)點卻找不到，學習了勾股定理后，我們把，，……可以當直角三角形的斜邊，只要找到長為，的線段就可以，勾股定理的又一次得到應用．此活動，教師應重點關注：①學生能否找到含長為，這樣的線段所在的直角三角形；②學生是否有克服困難的勇氣和堅強的意志；③學生能否積極主動地交流合作．師：由于在數(shù)軸上表示的點到原點的距離為，所以只需畫出長為的線段即可．我們不妨先來畫出長為的線段．生：長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊．師：長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？生：設c=，兩直角邊為a，b，根據(jù)勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．假設a，b為正整數(shù)，那么13必須分解為兩個平方數(shù)的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，那么a=2，b=3．所以長為的線段是直角邊為2，3的直角三角形的斜邊．師：下面就請同學們在數(shù)軸上畫出表示的點．生：步驟如下：1．在數(shù)軸上找到點A，使OA=3；2．作直線L垂直于OA，在L上取一點B，使AB=2；3．以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C，那么點C即為表示的點．活動2練習：在數(shù)軸上作出表示的點．此活動中，教師應重點關注：①學生能否積極主動地思考問題；②能否找到斜邊為，另外兩個角直邊為整數(shù)的直角三角形．生：是兩直角邊為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示的點如右圖：三、穩(wěn)固提高活動3問題：〔1〕根據(jù)勾股定理，還可以作出長為無理數(shù)線段，你能做出哪些長為無理數(shù)的線段呢？〔2〕欣賞以以下列圖，你會得到什么啟示？本活動教師應重點關注：①能否將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為某個直角三角形的斜邊長．②能否積極參與，欣賞數(shù)學美．生：在上述方程找到了長度為，、、、，……的線段，因此在數(shù)軸上便可以表示出來，．教學時可以先畫出，，……之后，再畫，畫法不唯一，如以以下列圖：四、課時小結問題：你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認識？會利用勾股定理得到一些無理數(shù)并理解數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應．能力測評題【例1】如右圖所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的長．分析：△ABC是一般三角形，假設要求出BC的長，只能將BC置于一個直角三角形中．作業(yè)27頁練習課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年5周年級8班第2,3節(jié)課時教案新科題目習題17.1教學目標知識目標:能將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學模型，并能用勾股定理解決簡單的實際問題．能力目標:1．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，開展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神．2．在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結果，形成反思的意識．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．在用勾股定理探索實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心．2．在解決實際問題的過程中形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考的習慣．重點理解勾股定理難點運用勾股定理教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計習題17．11．解：AC==17．2．解：設旗桿折斷之前有xm，根據(jù)勾股定理，得〔x-6〕2=62+82，〔x-6〕2=100．因為x-6>0，所以x-6=10，∴x=16．所以旗桿折斷之前的高度為16m．3．解：根據(jù)勾股定理，得：AB==2.5，即AB的長為2.5cm．4．解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39〔cm〕．根據(jù)勾股定理，得：AB=≈43.4〔mm〕．即兩孔中心距離為43.4mm．5．解：根據(jù)勾股定理，得：=2〔m〕．所以地面鋼纜固定點A到電線桿底部B的距離是2m．6．解：根據(jù)勾股定理可知：兩直角邊的長分別為4，2時，斜邊的長為，如以以下列圖所示：7．解：〔1〕∠A=30°，AB=10，所以BC=5，因為∠C=90°，根據(jù)勾股定理，得AC==5≈8.66．〔2〕∠A=45°，所以△ABC為等腰直角三角形，即BC=AC．根據(jù)勾股定理，得2BC2=2AC2=100，所以BC=AC=5≈7.07．8．解：在△ABC中，∠C=90°．〔1〕△ABC的面積=×2.1×2.8=2.94〔cm2〕；〔2〕根據(jù)勾股定理：AB==3.5〔cm〕；〔3〕因為CD×AB=AC×BC，所以CD==1.68〔cm〕．即高CD為1.68cm．9．解：根據(jù)題意，得L=≈82〔mm〕．10．解：設水的深度為x尺，這根蘆葦?shù)拈L度為〔x+1〕尺，根據(jù)題意，設：〔x+1〕2=x2+〔10÷2〕2．解這個方程得x=12．x+1=13．所以水的深度為12尺，這根蘆葦?shù)拈L度為13尺．11．解；以AB為直徑的半圓的面積為××〔〕2=AB2；以BC為直徑的半圓的面積為××〔〕2=BC2；以AC為直徑的半圓的面積為×〔〕2=AC2．因為∠C=90°，所以AB2=BC2+AC2AB2=BC2+AC2即以直角三角形斜邊為直徑的半圓的面積等于兩直角邊為直徑的半圓的面積和．12．解：陰影局部的面積=以AC為直徑的半圓的面積+以BC為直徑的半圓的面積+Rt△ABC的面積-以AB為直徑的半圓的面積，根據(jù)11題的結論可知：陰影局部的面積=Rt△ABC的面積=20cm2．13．解：根據(jù)題意，可知：OB=1.6÷2=0.8m，OA=2÷2=1m，在Rt△OAB中，AB==0.6〔m〕，1-0.6=0.4≥0.2，所以這輛卡車能通過廠門．能力測評題【例1】如右圖所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的長．分析：△ABC是一般三角形，假設要求出BC的長，只能將BC置于一個直角三角形中．作業(yè)練習冊課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年5周年級8班第4節(jié)課時教案新科題目17.2勾股定理的逆定理〔1〕教學目標知識目標:1．掌握直角三角形的判別條件．2．熟記一些勾股數(shù)．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．能力目標:1．用三邊的數(shù)量關系來判斷一個三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想．2．通過對Rt△判別條件的研究，培養(yǎng)學生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．通過介紹有關歷史資料，激發(fā)學生解決問題的愿望．2．通過對勾股定理逆定理的探究，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和創(chuàng)新精神．重點探究勾股定理的逆定理，理解互逆命題，原命題、逆命題的有關概念及關系．難點歸納、猜想出命題2的結論．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課一、創(chuàng)設問題情境，引入新課活動1〔1〕總結直角三角形有哪些性質(zhì)．〔2〕一個三角形，滿足什么條件是直角三角形？前面我們剛學習了勾股定理，知道一個直角三角形的兩直角邊a，b，斜邊c具有一定的數(shù)量關系即a2+b2=c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人如何做？教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計二、講授新課活動2問題：據(jù)說古埃及人用以以下列圖的方法畫直角；把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角．這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5，有下面的關系“32+42=52畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的關系，“2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4cm、7.5cm、8.5cm，再試一試．生：我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第〔1〕個結到第〔4〕個結是3個單位長度即AC=3；同理BC=4，AB=5，因為32+42=52．我們圍成的三角形是直角三角形．生：如果三角形的三邊分別是2.5cm，6cm，6.5cm，我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對的角是直角，并且2.52+62=6.52．再換成三邊分別為4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目標可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對的角是直角，且也有42+7.52=8.52．是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢？活動3下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c．5，12，13；7，24，25；8，15，17．〔1〕這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？〔2〕分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？生：〔1〕這三組數(shù)都滿足a+b=c．〔2〕以每組數(shù)為邊作出的三角形都是直角三角形．師：很好，我們進一步通過實際操作，猜想結論．命題2如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2那么，這個三角形是直角三角形．同時，我們也進一步明白了古埃及人那樣做的道理．實際上，古代中國人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技興旺的今天──人類已跨入21世紀，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法〞．“三四五放線法〞是一種古老的歸方操作．所謂“歸方〞就是“做成直角〞譬如建造房屋，房角一般總是成90°，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？如右圖，欲過基線MN上的一點C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測繩的0和12尺處，固定在C點；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點，再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點，于是連結BC，就是MN的垂線．建筑工人用了3，4，5作出了一個直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．據(jù)說，我國古代大禹治水測量工程時，也用類似的方法確定直角．活動4問題：命題1如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．命題2如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形．它們的題設和結論各有何關系？生：我們可以看到命題2與命題1的題設．結論正好相反，我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中的一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題．例如把命題1當成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．生：我們前面學過平行線的性質(zhì)和判定．其中“兩直線平行，同位角相等〞和“同位角相等，兩直線平行〞是互逆命題，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等〞和“內(nèi)錯角相等，兩直線平行〞也是互逆命題．生：“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補〞和“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行〞也是互逆命題．……三、課時小結問題：你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認識？能力測評題作業(yè)33頁練習〔1,2〕課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年5周年級8班第5節(jié)課時教案新科題目17.2勾股定理的逆定理〔2〕教學目標知識目標:一、知識與技能1．了解證明勾股定理逆定理的方法．2．理解逆定理，互逆定理的概念．能力目標:1．經(jīng)歷證明勾股定理逆定理的過程，開展學生的邏輯思維能力和空間想象能力．2．經(jīng)歷互為逆定理的討論，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和實事求是求學精神．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．經(jīng)歷探索勾股定理逆定理證明的過程，培養(yǎng)學生克服困難的勇氣和堅強的意志．2．培養(yǎng)學生與人合作、交流的團隊意識．重點勾股定理逆定理的證明，及互逆定理的概念．難點互逆定理的概念．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課一、創(chuàng)設問題情境，引入新課活動1以以下各組線段為邊長，能構成三角形的是_______〔填序號〕，能構成直角三角形的是______．3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24能構成直角三角形的是：①④⑥⑦．教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計二、講授新課活動2問題：命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？師：△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，如果△ABC是直角三角形，它應與直角邊是a，b的直角三角形全等，實際情況是這樣嗎？我們畫一個直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°〔如以以下列圖〕把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？生：我們所畫的Rt△A′B′C′，A′B′2=a2+b2，又因為c2=a2+b2，所以A′B′2=C2，即A′B′=C．△ABC和△A′B′C′三邊對應相等，所以兩個三角形全等，∠C=∠C′=90°．△ABC為直角三角形．即命題2是正確的．師：很好，當我們證明了命題2是正確的，那么命題就成為一個定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互為逆定理．師：但是不是原命題成立，逆命題一定成立嗎？生：不一定，如命題“對頂角相等〞成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么它們是對頂角〞不成立．師：你還能舉出類似的例子嗎？生：例如：如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值也相等．逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等．顯示原命題成立，而逆命題不成立．活動3練習：1．如果三條線段長a，b，c滿足a2=c2-b2，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？2．說出以下命題的逆命題．這些命題的逆命題成立嗎？〔1〕兩條直線平行，內(nèi)錯角相等．〔2〕如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等．〔3〕全等三角形的對應角相等．〔4〕在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．師：我們先來完成練習第1題．生：a2=c2-b2，移項得a2+b2=c2，所以根據(jù)勾股定理的逆定理，這三條線段組成的三角形是直角三角形．生：2．〔1〕逆命題：如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行，此逆命題成立．〔2〕逆命題：如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)也相等，此逆命題不成立．〔3〕逆命題：如果兩個三角形的對應角相等，那么這兩個三角形全等，此逆命題不成立．〔4〕逆命題：到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上，此逆命題成立．三、穩(wěn)固提高活動4【例1】一個零件的形狀如以以下列圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角．工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此這個零件符合要求．四、課時小結問題：你對本節(jié)的內(nèi)容有哪些認識？掌握勾股定理的逆定理及其應用，熟記幾組勾股數(shù)．能力測評題【例1】〔1〕判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形．〔2〕：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm．求證：AB=AC．作業(yè)預習課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年6周年級8班第1節(jié)課時教案新科題目17.2勾股定理的逆定理〔3〕教學目標知識目標:能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題．能力目標:1．經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，開展學生的應用意識．2．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，開展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神．3．在解決實際問題的過程中，學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結果，形成反思的意識．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．在用勾股定理的逆定理探索解決實際問題的過程中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學習數(shù)學的自信心．2．在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進行質(zhì)疑和獨立思考問題的習慣．重點運用勾股定理的逆定理解決實際問題．難點將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學問題．教具多媒體，三角尺教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課一、創(chuàng)設問題情境，引入新課活動1問題1：小紅和小軍周日去郊外放風箏，風箏飛得又高又遠，他倆很想知道風箏離地面到底有多高，你能幫助他們嗎？問題2：如以以下列圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測正面的AD邊和BC邊是否垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺．〔1〕你能替他想想方法完成任務嗎？〔2〕李叔叔量得AD的的長是30厘米，AB的長是40厘米，BD的長是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？〔3〕小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有方法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計接下來，我們繼續(xù)用勾股定理的逆定理解決幾個問題．二、講授新課 活動2問題：【例1】判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形．〔1〕a=15，b=8，c=17；〔2〕a=13，b=14，c=15；〔3〕求證：m2-n2，m2+n2，2mn〔m>n，m，n是正整數(shù)〕是直角三角形的三條邊長．生：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方．解：〔1〕因為152+82=225+64=289，172=289，所以152+82=172，這個三角形是直角三角形．〔2〕因為132+142=169+196=365，152=365所以132+142≠152，這個三角形不是直角三角形．生：要證明它們是直角三角形的三邊，首先應判斷這三條線段是否組成三角形，然后再根據(jù)勾股定理的逆定理來判斷它們是否是直角三角形的三邊長．〔3〕證明：m>n，m，n是正整數(shù)〔m2-n2〕+〔m2+n2〕=2m2即〔m2-n2〕+〔m2+n2〕>2mn．又因為〔m2-n2〕+2mn=m2+n〔2m-n〕，而2m-n=m+〔m-n〕>0，所以〔m2-n2〕+2mn>m2+n2這三條線段能組成三角形．又因為〔m2-n2〕2=m4+n4-2m2n〔m2+n2〕2=m4+n4+2m2n〔2mn〕2=4m2n2所以〔m2-n2〕2+〔2mn〕2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=〔m2+n所以，此三角形是直角三角形，m2-n2，2mn，m2+n2〔m>n，m，n是正整數(shù)〕這三邊是直角三角形的三邊．師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2-n2，m2+n2，2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m，n取值的不同會得到不同的勾股數(shù)．例如m=2，n=1時，m2-n2=22-12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3，4，5就是一組勾股數(shù)．你還能找到不同的勾股數(shù)嗎？生：當m=3，n=2時，m2-n2=32-22=5，m2+n2=13，2mn=2×3×2=12，所以5，12，13也是一組勾股數(shù)．當m=4，n=2時，m2-n2=42-22=12，m2+n2=20，2mn=2×4×2=16，所以12，16，20也是一組勾股數(shù)．……師：由此我們發(fā)現(xiàn)，勾股數(shù)組有無數(shù)個，而上面介紹的就是尋找勾股數(shù)組的一種方法．17世紀，法國數(shù)學家費爾馬也研究了勾股數(shù)組的問題，并且在這個問題的啟發(fā)下，想到了一個更一般的問題，1637年，他提出了數(shù)學史上的一個著名猜想──費馬大定理，即當n>2時，找不到任何的正整數(shù)組，使等式xn+yn=zn成立，費馬大定理公布以后，引起了各國優(yōu)秀數(shù)學家的關注，他們圍繞著這個定理頑強地探索著，試圖來證明它．1995年，英籍數(shù)學家懷爾斯終于證明了費馬大定理，解開了這個困惑世間無數(shù)智者300多年的謎．活動3問題：【例2】“遠航〞號，“海天〞號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航〞號每小時航行16海里，“海天〞號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航〞號沿東北方向航行，能知道“海天〞號沿哪個方向航行嗎？生：我們根據(jù)題意畫出圖形，〔如以以下列圖〕，可以看到，由于“遠航〞號的航向，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天〞號的航向了．解：根據(jù)題意畫出右圖PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30．因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2．所以∠QPR=90°由“遠航〞號沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，所以∠RPS=45°，即“海天〞號沿西北或東南方向航行．三、課時小結問題：談談這節(jié)課的收獲有哪些？掌握勾股定理及逆定理，來解決簡單的應用題，會判斷一個三角形是直角三角形．能力測評題問題：A、B、C三地兩兩距離如以以下列圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？作業(yè)34頁習題〔1,2〕課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年6周年級8班第2,3節(jié)課時教案新科題目習題17.2教學目標知識目標:1．了解證明勾股定理逆定理的方法．2．理解逆定理，互逆定理的概念，能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題．能力目標:1．經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的過程，體會用勾股定理的逆定理解決實際問題的方法，開展學生的應用意識．2．在解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，開展學生的實踐能力和創(chuàng)新精神．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．經(jīng)歷探索勾股定理逆定理證明的過程，培養(yǎng)學生克服困難的勇氣和堅強的意志．2．培養(yǎng)學生與人合作、交流的團隊意識．重點勾股定理逆定理的證明，及互逆定理的概念．難點互逆定理的概念．教具多媒體教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課什么叫原命題？什么叫逆命題？說一說勾股定理的逆定理？說一說命題2？教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計習題18．21.判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形？〔1〕a2=49，b2=576，c2=625〔2〕a2=2.25，b2=4，c2=6.25，〔3〕a2=，b2=1，c2=，b2+c2=1+=〔4〕a2=1600，b2=2500，c2=3600．解：〔1〕a2=49，b2=576，c2=625a2+b2=49+576=625，c2=625所以，a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，得由線段a=7，b=24，c=25能組成直角三角形．〔2〕a2=2.25，b2=4，c2=6.25，而a2+b2=2.25+4=6.25，所以，a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，得由線段a=1.5，b=2，c=2.5可組成直角三角形．〔3〕a2=，b2=1，c2=，b2+c2=1+=．即a2=b2+c2，所以，以a=，b=，c=為邊可組成直角三角形．〔4〕a2=1600，b2=2500，c2=3600．而a2+b2=4100≠3600，即a2+b2≠c2，不能構成直角三角形．2．以下各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？〔1〕同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行；〔2〕如果兩個角是直角，那么它們相等；〔3〕全等三角形的對應邊相等；〔4〕如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；解：〔1〕逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．此逆命題成立．〔2〕逆命題：如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，此逆命題不成立．〔3〕逆命題：如果兩個三角形三邊對應相等，那么這兩個三角形全等，此逆命題成立．〔4〕逆命題：兩個數(shù)，如果它們的平方相等，那么這兩個數(shù)也相等，此逆命題不成立．3．解：根據(jù)題意，如以以下列圖所示AB=80m，BC=60m，CA=100m．因為，802+602=1002，即AB2+BC2=AC2，所以△ABC為Rt△，即小明向東走了80m后又向北或向南走了60m，最后回到原地〔A點〕．4．解：AD是BC邊上的中線，且BC=10cm，所以BD=DC=BC=5cm，AB=13cm，AD=12cm132=122+52，所以AB2=AD2+BD2．△ABD為Rt△且∠ADB=90°，所以∠ADC=90°，AC==13．7.3，4，5是一組勾股數(shù)，那么3k，4k，5k〔k是正整數(shù)〕也是一組勾股數(shù)，因為〔3k〕2+〔4k〕2=〔5k〕2；同樣a，b，c是一組勾股數(shù)，那么a2+b2=c2，而〔ak〕2=a2k2，〔bk〕2=b2k2，〔ck〕2=c2k2，所以a2k2+b2k2=c2k2，那么ak，bk，ck，〔k為正整數(shù)〕也是一組勾股數(shù)．能力測評題1．a(chǎn)，b，c為△ABC三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．試判斷△ABC的形狀．作業(yè)練習冊課后反思備課評價優(yōu)良合格不合格教研組長意見年月日年6周年級8班第4，5節(jié)課時教案新科題目17章小結教學目標知識目標:1．對直角三角形的特殊性質(zhì)全面地進行總結．2．讓學生回憶本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程；體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用．3．了解勾股定理的歷史．能力目標:1．體會在結論獲得和驗證過程中的數(shù)形結合的思想方法．2．在回憶與思考的過程中，提高學生解決問題，反思問題的能力，鼓勵學生具有創(chuàng)新精神．感情、態(tài)度與價值觀目標:1．在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡的樂趣．2．通過對勾股定理歷史的了解，培養(yǎng)學生的愛國主義精神，體驗科學給人類帶來的力量．重點1．回憶并思考勾股定理及其逆定理獲得和驗證的過程；總結直角三角形邊、角之間分別存在的關系．2．體會勾股定理及其逆定理在生活中的廣泛應用．難點1．勾股定理及其逆定理的廣泛應用．2．建立本章的知識框架圖．教具多媒體教學方式實驗課演示課電教課多媒體課√提前測評及導入新課一、引入新課勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過這一章的學習已深有體驗．勾股定理是我們數(shù)學史的奇跡，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個先人給我們留下來的珍貴的財富，這節(jié)課，我們將通過回憶與思考中的幾個問題更進一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應用．問題1：直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關系？問題2：舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形．問題3：請你舉生活中的一個實例，并運用勾股定理解決它．教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計〔教學內(nèi)容，方法，根底知識歸納能力測評〕教學過程設計二、回憶與思考問題1：直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關系？師：在上一學期我們已對直角三角形有所涉及，而這一章我們又重點研究了直角三角形的性質(zhì)．現(xiàn)在我們來答復以下問題1，從直角三角形的邊、角的特殊性角度全面地進行總結．生：從邊的關系來說，當然就是勾股定理；從角的關系來說，由于直角三角形中有一個特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互余．生：我認為直角三角形作為一個特殊的三角形，如果又有一個銳角是30°，那么30°的角所對的直角邊是斜邊的一半．師：很好．我們的學習就應該是一個不斷總結、概括、創(chuàng)新的過程．隨著以后的學習，你會發(fā)現(xiàn)，直角三角形還有它更吸引人的地方．下面我們來看第2個問題．問題2：舉例說明，如何判斷一個三角形是直角三角形．生：判斷一個三角形是直角三角形可以從角、邊兩個方面去判斷．例如：①在△ABC中，∠B=75°，∠C=15°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A=90°．根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形．②在△ABC中，∠A=∠B=∠C，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A+2∠A+3∠A=180°，所以∠A=30°，∠B=2∠A=60°，∠C=3∠A=90°，△ABC是直角三角形．上面兩個例子都是從定義即從角出發(fā)去判斷一個三角形是直角三角形．生：我來說一下從邊如何去判斷一個三角形是直角三角形吧．其實從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件〔即勾股定理的逆定理〕．例如：①△ABC的三條邊分別為a=7，b=25，c=24，而a2+c2=72+242=625=252=b2，即a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但這里要注意的是b所對的角∠B=90°．②△ABC三條邊的比為a：b：c=5：12：13，那么可設a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=25k2+144k2=169k2，c2=〔13k〕2=169k2，所以，a2+b2=c2，△ABC是直角三角形．師：同學們對我們所學知識能很靈巧地運用．在談到應用這些知識的同時，我們不妨重溫一下勾股定理的獲得和驗證的，體會驗證過程中的數(shù)形結合的思想和方法，對于我們將來學習和研究數(shù)學會大有益處．生：勾股定理獲得是從一些特例猜想得到的．我們在方格紙上任意畫出一個直角三角形，使它的每個頂點都在方格紙的交點上，然后以它的每個邊為邊長在外部長出三個正方形，我們通過討論、計算、數(shù)格子的方法得到了三個正方形的面積，并且發(fā)現(xiàn)以斜邊為邊長的正方形的面積等于那兩個以直角邊為邊長的正方形的面積和，我們設直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，大正方形的面積是c2，兩個小正方形的面積為a2、b2，由上面的關系，我們猜想，是不是所有的直角三角形都有a2+b2=c2這個結論呢？師：這位同學的思路很好．勾股定理又是如何驗證的呢？師：在我們的數(shù)學史上，好多結論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個過程，都是從幾個或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結論，然后以前面的理論作為根底，證明猜想，一個偉大的成果就誕生了．掌握這種研究數(shù)學的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆研，就不一定你就是未來的商高，第二個趙爽．問題3：請你舉生活中的一個實例，并運用勾股定理解決它．〔這個問題可讓學生在小組內(nèi)交流討論，實