2024年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(249套63專題)專題57：探索規(guī)律型問題(圖形類)

第1頁共52頁2024年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(159套63專題〕專題57：探索規(guī)律型問題(圖形類〕一、選擇題1.〔2024重慶市4分〕以以下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，那么第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為【】A．50B．64C．68D．72【答案】D。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：每一個圖形左右是對稱的，第①個圖形一共有2＝2×1個五角星，第②個圖形一共有8＝2×〔1+3〕＝2×22個五角星，第③個圖形一共有18＝2×〔1+3+5〕＝2×32個五角星，…，那么第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為2×62=72。應(yīng)選D。2.〔2024廣東深圳3分〕如圖，：∠MON=30o，點A1、A2、A3在射線ON上，點B1、B2、B3…．．在射線OM上，△A1B1A2.△A2B2A3、△A3B3A4……均為等邊三角形，假設(shè)OA1=l，那么△A6BA．6B．12C．32D．64【答案】C。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°?！唷?=120°。∵∠MON=30°，∴∠1=180°－120°－30°=30°。又∵∠3=60°，∴∠5=180°－60°－30°=90°?！摺螹ON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1。∴A2B1=1?！摺鰽2B2A3、△A3B3A∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°。∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A以此類推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的邊長為3.〔2024浙江麗水、金華3分〕小明用棋子擺放圖形來研究數(shù)的規(guī)律．圖1中棋子圍城三角形，其棵數(shù)3，6，9，12，…稱為三角形數(shù)．類似地，圖2中的4，8，12，16，…稱為正方形數(shù)．以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是【】A．2024B．2012C．2024D．2024【答案】D。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕。【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，三角數(shù)都是3的倍數(shù)，正方形數(shù)都是4的倍數(shù)，所以既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的一定是12的倍數(shù)，然后對各選項計算進行判斷即可得解：∵2024÷12＝167…6，2024÷12＝167…8，2024÷12＝167…10，2024÷12＝168，∴2024既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)。應(yīng)選D。4.〔2024浙江紹興4分〕在一條筆直的公路邊，有一些樹和路燈，每相鄰的兩盞燈之間有3棵樹，相鄰的樹與樹，樹與燈間的距離是10cm，如圖，第一棵樹左邊5cm處有一個路牌，那么從此路牌起向右510m～550m之間樹與燈的排列順序是【】A． B．C．D．【答案】B?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，解一元一次不等式。【分析】根據(jù)題意得：第一個燈的里程數(shù)為10米，第二個燈的里程數(shù)為50，第三個燈的里程數(shù)為90米…第n個燈的里程數(shù)為10+40〔n﹣1〕=〔40n﹣30〕米，由，解得，∴n=14。當(dāng)n=14時，40n﹣30=530米處是燈，那么510米、520米、540米處均是樹。∴從此路牌起向右510m～550m之間樹與燈的排列順序是樹、樹、燈、樹。應(yīng)選B。5.〔2024浙江紹興4分〕如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交與點P1；設(shè)P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設(shè)P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；…；設(shè)Pn﹣1Dn﹣2的中點為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn﹣1重合，折痕與AD交于點Pn〔n＞2〕，那么AP6的長為【】 A． B． C．D． 【答案】A?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，翻折變換〔折疊問題〕。【分析】由題意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=。故AP1=，AP2=，AP3=…APn=?！喈?dāng)n=14時，AP6=。應(yīng)選A。6.〔2024江蘇南通3分〕如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠B＝30o，AC＝1，AC在直線l上．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到位置①，可得到點P1，此時AP1＝2；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點P2，此時AP2＝2＋eq\r(3)；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點P3，此時AP3＝3＋eq\r(3)；…，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到得到點P2024為止，那么AP2024＝【】A．2024＋671eq\r(3)B．2024＋671eq\r(3)C．2024＋671eq\r(3)D．2024＋671eq\r(3)【答案】B?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥繉ふ乙?guī)律，發(fā)現(xiàn)將Rt△ABC繞點A，P1，P2，···順時針旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一次，APi〔i=1,2,3,···〕的長度依次增加2，eq\r(3)，1，且三次一循環(huán)，按此規(guī)律即可求解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=eq\r(3)。根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將Rt△ABC繞點A，P1，P2，···順時針旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一次，APi〔i=1,2,3,···〕的長度依次增加2，eq\r(3)，1，且三次一循環(huán)?！?024÷3==670…2，∴AP2024=670〔3+eq\r(3)〕+2+eq\r(3)=2024+671eq\r(3)。應(yīng)選B。7.〔2024江蘇鎮(zhèn)江3分〕邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形。取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形。取這個正六邊形不相鄰的三邊中點順次連接，又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形。取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形〔如圖〕…，按此方式依次操作。那么第6個正六邊形的邊長是【】A.B.C.D.【答案】A?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，等邊三角形和判定和性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥咳鐖D，雙向延長EF分別交AB、AC于點G、H。根據(jù)三角形中位線定理，得GE=FH=，GB=CH=。∴AG=AH=。又∵△ABC中，∠A=600，∴△AGH是等邊三角形。∴GH=AG=AH=。EF=GH－GE－FH=?！嗟?個等邊三角形的邊長為。同理，第3個等邊三角形的邊長為，第4個等邊三角形的邊長為，第5個等邊三角形的邊長為，第6個等邊三角形的邊長為。又∵相應(yīng)正六邊形的邊長是等邊三角形的邊長的，∴第6個正六邊形的邊長是。應(yīng)選A。8.〔2024福建莆田4分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)．把一條長為2024個單位長度且沒有彈性的細(xì)線(線的粗細(xì)忽略不計)的一端固定在點A處，并按A—B—C－D—A一…的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上，那么細(xì)線另一端所在位置的點的坐標(biāo)是【】A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－1，－2)D．(1，－2)9.〔2024湖北荊門3分〕：順次連接矩形各邊的中點，得到一個菱形，如圖①；再順次連接菱形各邊的中點，得到一個新的矩形，如圖②；然后順次連接新的矩形各邊的中點，得到一個新的菱形，如圖③；如此反復(fù)操作下去，那么第2024個圖形中直角三角形的個數(shù)有【】A．8048個B．4024個C．2024個D．1066個【答案】B?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕。【分析】寫出前幾個圖形中的直角三角形的個數(shù)，并找出規(guī)律：第1個圖形，有4個直角三角形，第2個圖形，有4個直角三角形，第3個圖形，有8個直角三角形，第4個圖形，有8個直角三角形，…，依次類推，當(dāng)n為奇數(shù)時，三角形的個數(shù)是2〔n+1〕，當(dāng)n為偶數(shù)時，三角形的個數(shù)是2n個，所以，第2024個圖形中直角三角形的個數(shù)是2×2024=4024。應(yīng)選B。10.〔2024湖北鄂州3分〕在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如以下列圖，點A的坐標(biāo)為〔1，0〕，點D的坐標(biāo)為〔0，2〕，延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2BA. B.C. D.【答案】D?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥俊哒叫蜛BCD，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA。∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°?！唷螦DO=∠BAA1?！摺螪OA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1。∴。∵AB=AD=，∴BA1=?！嗟?個正方形A1B1C1C的邊長A1C=A1B+BC=同理第3個正方形的邊長是，面積是：。第4個正方形的邊長是，面積是…第2024個正方形的邊長是，面積是。應(yīng)選D。11.〔2024湖北荊州3分〕：順次連接矩形各邊的中點，得到一個菱形，如圖①；再順次連接菱形各邊的中點，得到一個新的矩形，如圖②；然后順次連接新的矩形各邊的中點，得到一個新的菱形，如圖③；如此反復(fù)操作下去，那么第2024個圖形中直角三角形的個數(shù)有【】A．8048個B．4024個C．2024個D．1066個【答案】B?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉懗銮皫讉€圖形中的直角三角形的個數(shù)，并找出規(guī)律：第1個圖形，有4個直角三角形，第2個圖形，有4個直角三角形，第3個圖形，有8個直角三角形，第4個圖形，有8個直角三角形，…，依次類推，當(dāng)n為奇數(shù)時，三角形的個數(shù)是2〔n+1〕，當(dāng)n為偶數(shù)時，三角形的個數(shù)是2n個，所以，第2024個圖形中直角三角形的個數(shù)是2×2024=4024。應(yīng)選B。12.〔2024湖南常德3分〕假設(shè)圖1中的線段長為1，將此線段三等分，并以中間的一段為邊作等邊三角形，然后去掉這一段，得到圖2，再將圖2中的每一段作類似變形，得到圖3，按上述方法繼續(xù)下去得到圖4，那么圖4中的折線的總長度為【】A.2B.C.D.【答案】D。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，等邊三角形的性質(zhì)?！痉治觥繉ふ乙?guī)律，從兩方面考慮：〔1〕每個圖形中每一條短線段的長：圖2中每一條短線段的長為，圖3中每一條短線段的長為，圖4中每一條短線段的長為。〔2〕每個圖形中短線段的根數(shù)：圖2中有4根，圖3中有16根，圖4中有64根。∴圖4中的折線的總長度為。應(yīng)選D?！就茝V到一般，圖n中的折線的總長度為】13.〔2024湖南永州3分〕如圖，一枚棋子放在七角棋盤的第0號角，現(xiàn)依逆時針方向移動這枚棋子，其各步依次移動1，2，3，…，n個角，如第一步從0號角移動到第1號角，第二步從第1號角移動到第3號角，第三步從第3號角移動到第6號角，…．假設(shè)這枚棋子不停地移動下去，那么這枚棋子永遠(yuǎn)不能到達(dá)的角的個數(shù)是【】A．0B．1C．2D．3【答案】D?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：因棋子移動了k次后走過的總角數(shù)是1+2+3+…+k=k〔k+1〕，當(dāng)k=1時，棋子移動的總角數(shù)是1，棋子移動到第1號角；當(dāng)k=2時，棋子移動的總角數(shù)是3，棋子移動到第3號角；當(dāng)k=3時，棋子移動的總角數(shù)是6，棋子移動到第6號角；當(dāng)k=4時，棋子移動的總角數(shù)是10，棋子移動到第10－7=3號角；當(dāng)k=5時，棋子移動的總角數(shù)是15，棋子移動到第15－2×7=1號角；當(dāng)k=6時，棋子移動的總角數(shù)是21，棋子移動到第21－3×7=0號角；當(dāng)k=7時，棋子移動的總角數(shù)是28，棋子移動到第28－4×7=0號角。發(fā)現(xiàn)第2，4，5角沒有停棋。當(dāng)k=7n＋t〔n≥0，1≤t≤7，都為整數(shù)〕時，棋子移動的總角數(shù)是，∵中和是連續(xù)數(shù)，∴是7的倍數(shù)?！嗍?的倍數(shù)?！嗥遄右苿拥奈恢门ck=t移動的位置相同。故第2，4，5格沒有停棋，即這枚棋子永遠(yuǎn)不能到達(dá)的角的個數(shù)是3。應(yīng)選D。14.〔2024貴州銅仁4分〕如圖，第①個圖形中一共有1個平行四邊形，第②個圖形中一共有5個平行四邊形，第③個圖形中一共有11個平行四邊形，…那么第⑩個圖形中平行四邊形的個數(shù)是【】A．54B．110C．19D．109【答案】D。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：第①個圖形中有1個平行四邊形；第②個圖形中有1+4=5個平行四邊形；第③個圖形中有1+4+6=11個平行四邊形；第④個圖形中有1+4+6+8=19個平行四邊形；…第n個圖形中有1+2〔2+3+4+…+n〕個平行四邊形；那么第⑩個圖形中有1+2〔2+3+4+5+6+7+8+9+10〕=109個平行四邊形。應(yīng)選D。15.〔2024山東日照4分〕如圖，在斜邊長為1的等腰直角三角形OAB中，作內(nèi)接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作內(nèi)接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作內(nèi)接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，那么第n個正方形AnBnCn〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：∵等腰直角三角形OAB中，∠A=∠B=450，∴△AA1C1和△BB1D1都是等腰直角三角形?！郃C1=A1C1，BD1=B1D又∵正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，∴AC1=C1D1=D又∵AB=1，∴C1D1=，即正方形A1B1C1D1的邊長為。同理，正方形A2B2C2D2的邊長為，正方形A3B3C3D3的邊長為，……正方形AnBnCnDn的邊長為。應(yīng)選B。16.〔2024山東煙臺3分〕一個由小菱形組成的裝飾鏈，斷去了一局部，剩下局部如以下列圖，那么斷去局部的小菱形的個數(shù)可能是【】A．3B．4C．5D．6【答案】C?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥咳缫韵铝袌D，斷去局部的小菱形的個數(shù)為5：應(yīng)選C。17.〔2024山東淄博4分〕骰子是6個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6的小立方體，它任意兩對面上所寫的兩個數(shù)字之和為7．將這樣相同的幾個骰子按照相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6擺成一個幾何體，這個幾何體的三視圖如以下列圖．圖中所標(biāo)注的是局部面上的數(shù)字，那么“※〞所代表的數(shù)是【】(A)2 (B)4(C)5 (D)6【答案】B?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，幾何體的三視圖?！痉治觥坑扇我鈨蓪γ嫔纤鶎懙膬蓚€數(shù)字之和為7，相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6，結(jié)合左視圖知，幾何體下面5個小立方體的左邊的數(shù)字是1，右邊的數(shù)字是6；結(jié)合主視圖知，幾何體右下方的小立方體前面的數(shù)字是3，反面的數(shù)字是4；根據(jù)相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6，幾何體右下方的小立方體上面的數(shù)字只能是2〔如圖〕。根據(jù)相接觸的兩個面上的數(shù)字的積為6，幾何體右上方的小立方體下面的數(shù)字是3；根據(jù)任意兩對面上所寫的兩個數(shù)字之和為7，幾何體右上方的小立方體上面的數(shù)字是4?！喔┮晥D上“※〞所代表的數(shù)是4。應(yīng)選B。18.〔2024山東濟南3分〕如圖，矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸，物體甲和物體乙分別由點A〔2，0〕同時出發(fā)，沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運動，物體甲按逆時針方向以1個單位/秒勻速運動，物體乙按順時針方向以2個單位/秒勻速運動，那么兩個物體運動后的第2024次相遇地點的坐標(biāo)是【】A．〔2，0〕B．〔－1，1〕C．〔－2，1〕D．〔－1，－1〕【答案】D。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，點的坐標(biāo)，相遇問題及按比例分配的運用?！痉治觥坷眯谐虇栴}中的相遇問題，由于矩形的邊長為4和2，物體乙是物體甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地點，找出規(guī)律作答：∵矩形的邊長為4和2，物體乙是物體甲的速度的2倍，時間相同，∴物體甲與物體乙的路程比為1：2。由題意知：①第一次相遇物體甲與物體乙行的路程和為12×1，物體甲行的路程為12×=4，物體乙行的路程為12×=8，在BC邊相遇；②第二次相遇物體甲與物體乙行的路程和為12×2，物體甲行的路程為12×2×=8，物體乙行的路程為12×2×=16，在DE邊相遇；③第三次相遇物體甲與物體乙行的路程和為12×3，物體甲行的路程為12×3×=12，物體乙行的路程為12×3×=24，在A點相遇；…此時甲乙回到原出發(fā)點，那么每相遇三次，兩點回到出發(fā)點，∵2024÷3=670…2，故兩個物體運動后的第2024次相遇地點的是：第二次相遇地點，即物體甲行的路程為12×2×=8，物體乙行的路程為12×2×=16，在DE邊相遇。此時相遇點的坐標(biāo)為：〔－1，－1〕。應(yīng)選D。19.〔2024山東聊城3分〕如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的同心圓的半徑由內(nèi)向外依次為1，2，3，4，…，同心圓與直線y=x和y=﹣x分別交于A1，A2，A3，A4…，那么點A30的坐標(biāo)是【】A．〔30，30〕B．〔﹣8，8〕C．〔﹣4，4〕D．〔4，﹣4〕【答案】C?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，一次函數(shù)綜合題，解直角三角形?！痉治觥俊逜1，A2，A3，A4…四點一個周期，而30÷4=7余2，∴A30在直線y=﹣x上，且在第二象限。即射線OA30與x軸的夾角是45°，如圖OA=8，∠AOB=45°，∵在直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心的同心圓的半徑由內(nèi)向外依次為1，2，3，4，…，∴OA30=8?！逜30的橫坐標(biāo)是﹣8sin45°=﹣4，縱坐標(biāo)是4，即A30的坐標(biāo)是〔﹣4，4〕。應(yīng)選C。二、填空題1.〔2024山西省3分〕如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，那么第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是▲．【答案】4n﹣2?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥坑蓤D可知：第一個圖案有陰影小三角形2個，第二圖案有陰影小三角形2+4=6個，第三個圖案有陰影小三角形2+8=12個，···那么第n個就有陰影小三角形2+4〔n﹣1〕=4n﹣2個。2.〔2024廣東廣州3分〕如圖，在標(biāo)有刻度的直線l上，從點A開始，以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓；以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓，…按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，那么第4個半圓的面積是第3個半圓面積的▲倍，第n個半圓的面積為▲〔結(jié)果保存π〕【答案】4；?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，半圓的面積，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，冪的乘方，同底冪乘法?！痉治觥坑?，第3個半圓面積為：，第4個半圓的面積為：，∴第4個半圓的面積是第3個半圓面積的=4倍。由，第1個半圓的半徑為，第2個半圓的半徑為，第3個半圓的半徑為，······第n個半圓的半徑為?！嗟趎個半圓的面積是。3.〔2024廣東梅州3分〕如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長都為1cm，一個微型機器人由點A開始按ABCDEFCGA…的順序沿正方形的邊循環(huán)移動．①第一次到達(dá)G點時移動了▲cm；②當(dāng)微型機器人移動了2012cm時，它停在▲點．【答案】7；E。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥竣儆蓤D可知，從A開始，第一次移動到G點，共經(jīng)過AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七條邊，所以共移動了7cm；②∵機器人移動一圈是8cm，而2024÷8=251…4，∴移動2012cm，是第251圈后再走4cm正好到達(dá)E點。4〔2024廣東湛江4分〕如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三個正方形AEGH，如此下去…．假設(shè)正方形ABCD的邊長記為a1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，…，an，那么an=▲．【答案】?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，正方形的性質(zhì)，勾股定理，同底冪乘法?！痉治觥糠治鲆?guī)律：∵a2=AC，且在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴。同理∴。5.〔2024浙江紹興5分〕如圖，矩形OABC的兩條邊在坐標(biāo)軸上，OA=1，OC=2，現(xiàn)將此矩形向右平移，每次平移1個單位，假設(shè)第1次平移得到的矩形的邊與反比例函數(shù)圖象有兩個交點，它們的縱坐標(biāo)之差的絕對值為0.6，那么第n次〔n＞1〕平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為▲〔用含n的代數(shù)式表示〕【答案】或。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，反比例函數(shù)綜合題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。6.〔2024江蘇宿遷3分〕按照如以下列圖的方法排列黑色小正方形地磚，那么第14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是▲.【答案】365?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕。尋找規(guī)律，【分析】畫樹狀圖：記第n個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是an，那么∴an－an－1=4〔n－1〕〔n=2，3，4，···〕，∴〔a2－a1〕＋〔a3－a2〕＋〔a4－a3〕＋···＋〔an－an－1〕=4＋8＋···＋4〔n－1〕，即an－a1=4=∴an=＋a1=。當(dāng)n=14時，a14=。7.〔2024江蘇南京2分〕在平面直角坐標(biāo)系中，規(guī)定把一個三角形先沿x軸翻折，再向右平移兩個單位稱為一次變換，如圖，等邊三角形ABC的頂點B、C的坐標(biāo)分別是，〔-1，-1〕，〔-3，-1〕，把三角形ABC經(jīng)過連續(xù)9次這樣的變換得到三角形A’B’C’，那么點A的對應(yīng)點A’的坐標(biāo)是▲【答案】〔16，〕。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，翻折變換〔折疊問題〕，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】先由△ABC是等邊三角形，點B、C的坐標(biāo)分別是〔－1，1〕、〔－3，－1〕，求得點A的坐標(biāo)；再尋找規(guī)律，求出點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)：如圖，作BC的中垂線交BC于點D，那么∵△ABC是等邊三角形，點B、C的坐標(biāo)分別是〔－1，1〕、〔－3，－1〕，∴BD=1，?！郃〔—2，〕。根據(jù)題意，可得規(guī)律：第n次變換后的點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)：當(dāng)n為奇數(shù)時為〔2n－2，〕，當(dāng)n為偶數(shù)時為〔2n－2，〕?！喟选鰽BC經(jīng)過連續(xù)9次這樣的變換得到△A′B′C′，那么點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是：〔16，〕。8.〔2024江蘇無錫2分〕如圖的平面直角坐標(biāo)系中有一個正六邊形ABCDEF，其中C．D的坐標(biāo)分別為〔1，0〕和〔2，0〕．假設(shè)在無滑動的情況下，將這個六邊形沿著x軸向右滾動，那么在滾動過程中，這個六邊形的頂點A．B．C．D．E、F中，會過點〔45，2〕的是點▲．【答案】B?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正多邊形和圓，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥坑烧呅蜛BCDEF中C．D的坐標(biāo)分別為〔1，0〕和〔2，0〕，得正六邊形邊長為1，周長為6?！嗾呅螡L動一周等于6。如以下列圖。當(dāng)正六邊形ABCDEF滾動到位置1，2，3，4，5，6，7時，頂點A．B．C．D．E、F的縱坐標(biāo)為2。位置1時，點A的橫坐標(biāo)也為2。又∵〔45－2〕÷6=7…1，∴恰好滾動7周多一個，即與位置2頂點的縱坐標(biāo)相同，此點是點B?！鄷^點〔45，2〕的是點B。9.〔2024廣東河源4分〕如圖，連接在一起的兩個正方形的邊長都為1cm，一個微型機器人由點A開始按ABCDEFCGA…的順序沿正方形的邊循環(huán)移動．①第一次到達(dá)點G時，微型機器人移動了▲cm；②當(dāng)微型機器人移動了2012cm時，它停在▲點．【答案】7；E。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥竣儆蓤D可知，從A開始，第一次移動到G點，共經(jīng)過AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七條邊，所以共移動了7cm；②∵機器人移動一圈是8cm，而2024÷8=251…4，∴移動2012cm，是第251圈后再走4cm正好到達(dá)E點。10.〔2024福建寧德3分〕如圖，點M是反比例函數(shù)y＝EQ\F(1,x)在第一象限內(nèi)圖象上的點，作MB⊥x軸于點B．過點M的第一條直線交y軸于點A1，交反比例函數(shù)圖象于點C1，且A1C1＝EQ\F(1,2)A1M，△A1C1B的面積記為S1；過點M的第二條直線交y軸于點A2，交反比例函數(shù)圖象于點C2，且A2C2＝EQ\F(1,4)A2M，△A2C2B的面積記為S2；過點M的第三條直線交y軸于點A3，交反比例函數(shù)圖象于點C3，且A3C3＝EQ\F(1,8)A3M，△A3C3B的面積記為S3；依次類推…；那么S1＋S2＋S3＋…＋S8＝▲．【答案】。【考點】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行線分線段成比例定理?！痉治觥窟^點M作MD⊥y軸于點D，過點A1作A1E⊥BM于點E，過點C1作C1F∵點M是反比例函數(shù)y＝EQ\F(1,x)在第一象限內(nèi)圖象上的點，∴OB×DM=1?！唷！逜1C1=A1M，即C1為A1∴C1到BM的距離C1F為A1到BM的距離A1∴?！??！逜2C2＝EQ\F(1,4)A2M，∴C2到BM的距離為A2到BM的距離的?！?。同理可得：S3=，S4=，…∴。11.〔2024湖北鄂州3分〕，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，將△OBC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，將△OB1C1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴大為原來的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，……，如此繼續(xù)下去，得到△OB2012C2024，那么m=▲。點C2024【答案】2；〔22024，－22024〕?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，坐標(biāo)與圖形的旋轉(zhuǎn)變化，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥吭凇鱋BC中，∵OB=1，BC=，∴tan∠COB=?！唷螩OB=60°，OC=2?！逴B1=mOB，OB1=OC，∴mOB=OC，即m=2?！呙恳淮蔚男D(zhuǎn)角是60°，∴旋轉(zhuǎn)6次一個周期〔如圖〕?！?024÷6=335…2，∴點C2024的坐標(biāo)跟C2的坐標(biāo)在一條射線OC6n+2上。∵第1次旋轉(zhuǎn)后，OC1=2；第2次旋轉(zhuǎn)后，OC1=22；第3次旋轉(zhuǎn)后，OC3=23；···第2024次旋轉(zhuǎn)后，OC2024=22024?！摺螩2024OB2024=60°，∴OB2024=22024。B2012C2024==22024。∴點C2024的坐標(biāo)為〔22024，－22024〕。12.〔2024湖北隨州4分〕平面內(nèi)不同的兩點確定一條直線，不同的三點最多確定三條直線，假設(shè)平面內(nèi)的不同的n個點最多可確定15條直線，那么n的值為▲.【答案】6?！究键c】分類歸納〔圖形的變化〕，直線確實定，解一元二次方程?！痉治觥扛鶕?jù)平面內(nèi)不同的兩點確定一條直線，不同的三點最多確定三條直線找出規(guī)律，再把15代入所得關(guān)系式進行解答即可：∵平面內(nèi)不同的兩點確定1條直線，，平面內(nèi)不同的三點最多確定3條直線，即，平面內(nèi)不同的四點最多確定6條直線，即，∴平面內(nèi)不同的n點最多確定〔n≥2〕條直線?！嗥矫鎯?nèi)的不同n個點最多可確定15條直線時，，解得n=－5〔舍去〕或n=6。13.〔2024湖南岳陽3分〕圖中各圓的三個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，據(jù)此規(guī)律，第n個圓中，m=▲〔用含n的代數(shù)式表示〕．【答案】?！究键c】分類歸納〔圖形和數(shù)字的變化類〕?！痉治觥繉ふ覉A中下方數(shù)的規(guī)律：第一個圓中，8=2×4=〔3×1－1〕〔3×1＋1〕；第二個圓中，35=5×7=〔3×2－1〕〔3×2＋1〕；第三個圓中，80=8×10=〔3×3－1〕〔3×3＋1〕；······第n個圓中，。14.〔2024湖南婁底4分〕如圖，如以下列圖的圖案是按一定規(guī)律排列的，照此規(guī)律，在第1至第2024個圖案中“〞，共▲個．【答案】503?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥坑蓤D知4個圖形一循環(huán)，因為2024被4整除，從而確定是共有第503?。15.〔2024四川達(dá)州3分〕將邊長分別為1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐標(biāo)系第一象限，如圖中方式疊放，那么按圖示規(guī)律排列的所有陰影局部的面積之和為▲.【答案】210?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥坑蓤D可知：第一個陰影局部的面積=22－12，第二個陰影局部的面積=42－32，第三個圖形的面積=62－52由此類推，第十個陰影局部的面積=202—192，因此，圖中陰影局部的面積為：〔22－1〕＋〔42－32〕＋…＋〔202－192〕=〔2＋1〕〔2－1〕＋〔4＋3〕〔4－3〕+…+〔20＋19〕〔20－19〕=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20=210。16.〔2024四川內(nèi)江6分〕反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)x取1，2，3，…，n時，對應(yīng)在反比例圖象上的點分別為M1，M2，M3…，Mn，那么=▲【答案】?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線圖上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】如圖，延長MnPn-1交M1P1于N，∵當(dāng)x=1時，y=1，∴M1的坐標(biāo)為〔1，1〕；∵當(dāng)x=n時，y=，∴Mn的坐標(biāo)為〔n，〕?！?。17.〔2024四川樂山3分〕如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，…，∠An﹣1BC的平分線與∠An﹣1CD的平分線交于點An．設(shè)∠A=．那么：〔1〕∠A1=▲；〔2〕∠An=▲．【答案】；?！究键c】三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，分類歸納〔圖形的變化類〕。【分析】〔1〕∵A1B是∠ABC的平分線，A2B是∠A1BC的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD。又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴〔∠A+∠ABC〕=∠ABC+∠A1。∴∠A1=∠A?！摺螦=，∴∠A1=。〔2〕同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，∴∠An=。18.〔2024四川瀘州3分〕如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1,M2,M3,……Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2△BnCnMn的面積為Sn，那么Sn=▲。(用含n的式子表示)【答案】?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊遪個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1,M2,M3,……Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中點，∴S1＝×B1C1×B1M1＝×1×＝，，，，……，。∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴，即?！?。19.〔2024遼寧鞍山3分〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜邊AB邊中線CD，得到第一個三角形ACD；DE⊥BC于點E，作Rt△BDE斜邊DB上中線EF，得到第二個三角形DEF；依此作下去…那么第n個三角形的面積等于▲．【答案】。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥俊摺螦CB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=AD?！摺螦=60°，∴△ACD是等邊三角形。同理可得，被分成的第二個、第三個…第n個三角形都是等邊三角形。∵CD是AB的中線，EF是DB的中線，…，∴第一個等邊三角形的邊長CD=DB=AB=AC=a，第二個等邊三角形的邊長EF=DB=a，…第n個等邊三角形的邊長為a?！嗟趎個三角形的面積=。20.〔2024遼寧阜新3分〕如圖，△ABC的周長是32，以它的三邊中點為頂點組成第2個三角形，再以第2個三角形的三邊中點為頂點組成的第3個三角形，…，那么第n個三角形的周長為▲．【答案】。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，三角形中位線定理，負(fù)整指數(shù)冪，同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方。【分析】尋找規(guī)律：由△ABC的周長是32，以它的三邊中點為頂點組成第2個三角形，根據(jù)三角形中位線定理，第2個三角形的周長為32×；同理，第3個三角形的周長為32××=32×；第4個三角形的周長為32××=32×；…∴第n個三角形的周長為=32×。21.〔2024遼寧本溪3分〕如圖，以以下列圖是一組由菱形和矩形組成的有規(guī)律的圖案，第1個圖中菱形的面積為S〔S為常數(shù)〕，第2個圖中陰影局部是由連接菱形各邊中點得到的矩形和再連接矩形各邊中點得到的菱形產(chǎn)生的，依此類推……，那么第n個圖中陰影局部的面積可以用含n的代數(shù)式表示為▲_?！瞡≥2，且n是正整數(shù)〕【答案】。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，菱形和矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥坑^察圖形發(fā)現(xiàn)，第2個圖形中的陰影局部的面積為，第3個陰影局部的面積為，…第n個圖形中的陰影局部的面積為。22.〔2024遼寧錦州3分〕如圖，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,…,AnBnBn+1C所示放置，使點A1、A2、A3、A4、…、AnB1、B2、B3、B4、…、Bn∠AOB=45°，OB1=1，圖中陰影局部三角形的面積由小到大依次記作S1,S2，S3，…，Sn,那么Sn=▲.【答案】?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，冪的運算?！痉治觥扛鶕?jù)正方形的性質(zhì)，知正方形A1B1B2C1的邊長為1；正方形A2B2B3C2的邊長為2；正方形A3B3B4C3的邊長為4；正方形A4B4B5C4的邊長為8；……正方形AnBnBn+1C根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得Sn=。23.〔2024遼寧鐵嶺3分〕如圖，點E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，連接A1F、BC1H、D1E得四邊形A2B2C2D2，以此類推得四邊形A3B3C3D3…，假設(shè)菱形A1B1C1AnBnCnDn的面積為▲.【答案】?！究键c】分類歸納〔圖形的變化〕，菱形的性質(zhì)，平行四邊形、梯形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理。【分析】∵H為A1B1的中點，F(xiàn)為C1D1的中點，∴A1H=B1H，C1F=D1又A1B1C1D1為菱形，∴A1B1=C1D1?！郃1H=C1又A1H∥C1F，∴四邊形A1HC1F為平行四邊形。∴又，∴。又GD1=B1E，GD1∥B1E，∴GB1ED1為平行四邊形?！郍B1∥ED1。又G為A1D1的中點，∴A2為A1D2的中點。同理C2為C1B2的中點，B2為B1A2的中點，D2為D1C∴HB2=A1A2，D2F=C1C2又∵A1A2B2H和C1C2D2F都為梯形，且高與平行四邊形A2B2C2D2的高h(yuǎn)相等〔設(shè)高為h〕，下底與平行四邊形A2B2C2D2的邊A2D2∴?！?。又∵，∴。同理。以此類推得四邊形AnBnCnDn的面積為。24.〔2024貴州貴陽4分〕如圖，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一點C，延長AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一點D，延長A1A2到A3，使得A2A3=A2【答案】。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)?！痉治觥肯雀鶕?jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A=?！逜1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A∴∠An=。25.〔2024貴州畢節(jié)5分〕在以以下列圖中，每個圖案均由邊長為1的小正方形按一定的規(guī)律堆疊而成，照此規(guī)律，第10個圖案中共有▲個小正方形?！敬鸢浮?00?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：第1個圖案中共有1=12個小正方形；第2個圖案中共有4=22個小正方形；第3個圖案中共有9=32個小正方形；第4個圖案中共有16=42個小正方形；……∴第10個圖案中共有102=100個小正方形。26.〔2024貴州黔東南4分〕如圖，第〔1〕個圖有2個相同的小正方形，第〔1〕個圖有2個相同的小正方形，第〔2〕個圖有6個相同的小正方形，第〔3〕個圖有12個相同的小正方形，第〔4〕個圖有20個相同的小正方形，…，按此規(guī)律，那么第〔n〕個圖有▲個相同的小正方形．【答案】n〔n+1〕。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：第〔1〕個圖有2個相同的小正方形，2=1×2，第〔2〕個圖有6個相同的小正方形，6=2×3，第〔3〕個圖有12個相同的小正方形，12=3×4，第〔4〕個圖有20個相同的小正方形，20=4×5，…，按此規(guī)律，第〔n〕個圖有n〔n+1〕個相同的小正方形。27.〔2024山東萊蕪4分〕將正方形ABCD的各邊按如以下列圖延長，從射線AB開始，分別在各射線上標(biāo)記點A1、A2、A3、…，按此規(guī)律，點A2024在射線▲上．【答案】AB。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律，從圖示知，各點按16次一循環(huán)：A1、A3、A10、A12、…在射線AB上；A2、A4、A9、A11、…在射線DC上；A5、A7、A14、A16、…在射線BD上；A6、A8、A13、A15、…在射線CA上?！?024÷16=125……12，∴點A2024與A12位置相同，即在射線AB上。28.〔2024山東濰坊3分〕以以下列圖中每一個小方格的面積為l，那么可根據(jù)面積計算得到如下算式：1+3+5+7+…+(2n－1)=▲.(用n表示，n是正整數(shù))【答案】n2?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥坑蓤D可知：當(dāng)k=1時，面積為12=1；當(dāng)k=2時，面積為1＋3=22=4；當(dāng)k=3時，面積為1＋3＋5=32=9；當(dāng)k=4時，面積為1＋3＋5＋7=42=16；······當(dāng)k=n時，面積為1＋3＋5＋···＋〔2n－1〕=n2。29.〔2024山東德州4分〕如圖，在一單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜邊在x軸上、斜邊長分別為2，4，6，…的等腰直角三角形．假設(shè)△A1A2A【答案】〔2，1006〕。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，點的坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)。【分析】∵2024是4的倍數(shù)，∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4個為一組，∴A2024在x軸上方，橫坐標(biāo)為2?！逜4、A8、A12的縱坐標(biāo)分別為2，4，6，∴A2024的縱坐標(biāo)為2024×=1006?！郃2024的坐標(biāo)為為〔2，1006〕。30.〔2024山東東營4分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A1，A2，A3，···和B1，B2，B3，···分別在直線和x軸上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1〔1，1〕，A2，那么點的縱坐標(biāo)是▲．【答案】?！究键c】一次函數(shù)綜合題，分類歸納〔圖形的變化類〕，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，等腰直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥坷么ㄏ禂?shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點的縱坐標(biāo)的規(guī)律：∵A1〔1，1〕，A2在直線y=kx+b上，∴，解得?！嘀本€解析式為。如圖，設(shè)直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別為A、D。當(dāng)x=0時，y=，當(dāng)y=0時，，解得x=－4?！帱cA、D的坐標(biāo)分別為A〔－4，0〕，D〔0，〕。∴。作A1C1⊥x軸與點C1，A2C2⊥x軸與點C2，A3C3∵A1〔1，1〕，A2，∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×=2+3=5，。∵△B2A3B3是等腰直角三角形，∴A3C3=B2C3同理可求，第四個等腰直角三角形。依次類推，點An的縱坐標(biāo)是。31.〔2024山東泰安3分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有假設(shè)干個橫坐標(biāo)分別為整數(shù)的點，其順序按圖中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕…根據(jù)這個規(guī)律，第2024個點的橫坐標(biāo)為▲．【答案】45?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，點的坐標(biāo)?！痉治觥坑^察圖形可知，到每一橫坐標(biāo)結(jié)束，經(jīng)過整數(shù)點的點的總個數(shù)等于最后點的橫坐標(biāo)的平方，并且橫坐標(biāo)是奇數(shù)時最后以橫坐標(biāo)為該數(shù)，縱坐標(biāo)為0結(jié)束，當(dāng)橫坐標(biāo)是偶數(shù)時，以橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)減1的點結(jié)束，根據(jù)此規(guī)律解答即可：橫坐標(biāo)為1的點結(jié)束，共有1個，1=12，橫坐標(biāo)為2的點結(jié)束，共有2個，4=22，橫坐標(biāo)為3的點結(jié)束，共有9個，9=32，橫坐標(biāo)為4的點結(jié)束，共有16個，16=42，…橫坐標(biāo)為n的點結(jié)束，共有n2個。∵452=2025，∴第2025個點是〔45，0〕?！嗟?024個點是〔45，13〕，即第2024個點的橫坐標(biāo)為45。32.〔2024山東威海3分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA1=1，OA1與x軸的夾角為300。線段A1A2=1，A1A2⊥OA1，垂足為A1；線段A2A3=1，A2A3⊥A1A2，垂足為A2；線段A3A4=1，A3A4⊥A2A【答案】?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，坐標(biāo)和圖形。含30度角直角三角形的性質(zhì)。【分析】尋找規(guī)律：如圖，過點A1，A2作x軸的垂線于點B，D，過點A1作y軸的垂線于點C，A1C和A2D相交于點E。由可知，△OA1B和△A2EA1都是含300角的直角三角形?！郞B=EA2=，EA1=BA1=DE=?！郃2的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。由可知，點A4的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是點A2的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的2倍；點A6的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是點A2的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的3倍；點A8的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是點A2的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的4倍；…∴點A2024的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是點A2的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的1006倍，即橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為?！帱cA2024的坐標(biāo)為。33.〔2024廣西桂林3分〕以以下列圖是在正方形網(wǎng)格中按規(guī)律填成的陰影，根據(jù)此規(guī)律，那么第n個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是▲．【答案】n2＋n＋2?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繉ふ乙?guī)律，正方形網(wǎng)格中陰影局部小正方形可分為兩局部：除最右一排的局部和最右一排的局部：除最右一排的小正方形個數(shù)最右一排的小正方形個數(shù)合計小正方形個數(shù)第1個圖1=1234=12＋3第2個圖4=224=3＋18=22＋3＋1第3個圖9=325=3＋214=32＋3＋2············第n個圖n23＋n－1=n＋2n2＋n＋234.〔2024廣西南寧3分〕有假設(shè)干張邊長都是2的四邊形紙片和三角形紙片，從中取一些紙片按如以下列圖的順序拼接起來〔排在第一位的是四邊形〕，可以組成一個大的平行四邊形或一個大的梯形．如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是5時，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是▲；如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是n，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是▲．35.〔2024云南省3分〕觀察以以下列圖形的排列規(guī)律〔其中、、分別表示三角形、正方形、五角星〕，假設(shè)第一個圖形是三角形，那么第18個圖形是▲.〔填圖形名稱〕【答案】五角星?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥繄D形的排列規(guī)律是6的循環(huán)，而余數(shù)為，所以第18個圖形也就是第六個圖形，即五角星。36.〔2024青海省2分〕觀察以下一組圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個圖形中共有▲個★．【答案】3n+1?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕。190187【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，第1個圖形五角星的個數(shù)是：1+3=4，第2個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×2=7，第3個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×3=10，第4個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×4=13，…依此類推，第n個圖形五角星的個數(shù)是：1+3×n=3n+1。37.〔2024黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西3分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為l的正方形OABC，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OBl為邊作第三個正方形OBlB2C2，照此規(guī)律作下去，那么點B2024【答案】〔－21006，－21006〕。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，點的坐標(biāo)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，冪的乘方運算法那么和二次根式的化簡?！痉治觥糠諳Bi的長度和點Bi的位置分別尋找規(guī)律：由正方形邊長為1，根據(jù)勾股定理可得OB=，OB1=2=，OB2=2=，OB3=·=，……OB2024=。如圖，點Bi的位置為i=8一個周期?！?024÷8=251……4，∴點B2024的坐標(biāo)與點B4的坐標(biāo)位置相同，都在第三象限。由正方形的性質(zhì)可知△OB2024B2024是等腰直角三角形。∴B2024B2024=OB2024=?！帱cB2024的坐標(biāo)為〔－21006，－21006〕。38.〔2024黑龍江龍東地區(qū)3分〕如圖，直線y=x，點A1坐標(biāo)為〔1，0〕，過點A1作x軸的垂線交直線于點B1，以原點O為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2，再過點A2作x軸的垂線交直線于點B2，以原點O為圓心，OB2長為半徑畫弧交x軸于點A3，……按此作法進行去，點Bn的縱坐標(biāo)為▲(n為正整數(shù))?！敬鸢浮俊！究键c】分類歸納〔圖形變化類〕，一次函數(shù)綜合題，等腰直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：由直線y=x的性質(zhì)可知，∵B2，B3，…，Bn是直線y=x上的點，∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且A2B2=OA2=OB1=OA1；A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；……。又∵點A1坐標(biāo)為〔1，0〕，∴OA1=1?！?，即點Bn的縱坐標(biāo)為。三、解答題1.〔2024安徽省8分〕在由m×n〔m×n＞1〕個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f，〔1〕當(dāng)m、n互質(zhì)〔m、n除1外無其他公因數(shù)〕時，觀察以以下列圖形并完成下表：mnm＋nf123213432354256357猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m、n的關(guān)系式是______________________________〔不需要證明〕；〔2〕當(dāng)m、n不互質(zhì)時，請畫圖驗證你猜想的關(guān)系式是否依然成立，【答案】解：〔1〕如表：mnm＋nf12321343235425763576f=m＋n－1〔2〕當(dāng)m、n不互質(zhì)時，上述結(jié)論不成立，如圖2×4：2×4【考點】作圖〔應(yīng)用與設(shè)計作圖〕，分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥俊?〕通過題中所給網(wǎng)格圖形，先計算出2×5，3×5，對角線所穿過的小正方形個數(shù)f，再對照表中數(shù)值歸納f與m、n的關(guān)系式。〔2〕根據(jù)題意，畫出當(dāng)m、n不互質(zhì)時，結(jié)論不成立的反例即可。2.〔2024浙江寧波6分〕用同樣大小的黑色棋子按如以下列圖的規(guī)律擺放：〔1〕第5個圖形有多少黑色棋子？〔2〕第幾個圖形有2024顆黑色棋子？請說明理由．【答案】解：〔1〕尋找規(guī)律：第一個圖需棋子6=3×2，第二個圖需棋子9=3×3，第三個圖需棋子12=3×4，第四個圖需棋子15=3×5，∴第五個圖需棋子3×6=18。答：第5個圖形有18顆黑色棋子?！?〕由〔1〕可得，第n個圖需棋子3〔n+1〕枚設(shè)第n個圖形有2024顆黑色棋子，那么3〔n+1〕=2024，解得n=670。答：第670個圖形有2024顆黑色棋子?！究键c】分類歸納〔圖形的變化類〕，一元一次方程的應(yīng)用?！痉治觥俊?〕根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，即可得出答案?！?〕根據(jù)〔1〕所找出的規(guī)律，列出方程，即可求出答案。3.〔2024浙江衢州10分〕課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙．請思考解決以下問題：〔1〕將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD〔AB＜BC〕對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙．請給予證明．〔2〕在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD〔AB＜BC〕進行如下操作：第一步：沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE〔如圖2甲〕；第二步：沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG〔如圖2乙〕，此時E點恰好落在AE邊上的點M處；第三步：沿直線DM折疊〔如圖2丙〕，此時點G恰好與N點重合．請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請說明理由．〔3〕不難發(fā)現(xiàn)：將一張標(biāo)準(zhǔn)紙按如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB=1，BC=，問第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是多少？探索直接寫出第2024次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長．【答案】解：〔1〕證明：∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴。由對開的含義知：AF=BC，∴?！嗑匦渭埰珹BEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙?！?〕是標(biāo)準(zhǔn)紙，理由如下：設(shè)AB=CD=a，由圖形折疊可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM。∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE，∴∠DAE=∠BAD=45°?！唷鰽DG是等腰直角三角形?！嘣赗t△ADG中，AD=，∴，∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙?！?〕對開次數(shù)：第一次，周長為：，第二次，周長為：，第三次，周長為：，第四次，周長為：，第五次，周長為：，第六次，周長為：，…∴第5次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長是：，第2024次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長為：。【考點】翻折變換〔折疊問題〕，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形，矩形的性質(zhì)，圖形的剪拼，分類歸納〔圖形的變化類〕?！痉治觥俊?〕根據(jù)，得出矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙?！?〕利用得出△ADG是等腰直角三角形，得出，即可得出答案?！?〕分別求出每一次對折后的周長，從而得出變化規(guī)律求出即可：觀察變化規(guī)律，得第n次對開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長=。4.〔2024江蘇淮安12分〕閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊局部；將余下局部沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重疊局部；…；將余下局部沿BnAnC的平分線AnBn+1小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情況。情形一：如圖2，沿等腰三角形△ABC頂角∠BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3，沿△ABC的∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重疊局部；將余下的局部沿B1A1C的平分線A1B2探究發(fā)現(xiàn)〔1〕△ABC中，∠B＝2∠C，經(jīng)過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？〔填“是〞或“不是〞〕〔2〕小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了∠BAC是△ABC的好角，請?zhí)骄俊螧與∠C〔不妨設(shè)∠B>∠C〕之間的等量關(guān)系。根據(jù)以上內(nèi)容猜想：假設(shè)經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，那么∠B與∠C不妨設(shè)∠B>∠C〕之間的等量關(guān)系為應(yīng)用提升〔3〕小麗找到一個三角形，三個角分別為150，600，1050，發(fā)現(xiàn)600和1050的兩個角都是此三角形的好角，請你完成，如果一個三角形的最小角是40，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角【答案】解：〔1〕是。

〔2〕∠B=3∠C。如以下列圖，在△ABC中，沿∠BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)局部；將余下局部沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)局部，將余下局部沿∠B2A2C的平分線A證明如下：∵根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2∴根據(jù)三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2∵根據(jù)四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1－∠A1B1C=∠BAC+2∠B－2C根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C。故假設(shè)經(jīng)過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，那么∠B與∠C〔不妨設(shè)∠B＞∠C〕之間的等量關(guān)系為∠B=n∠C?！?〕由〔2〕知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角?！嗳绻粋€三角形的最小角是4°，三角形另外兩個角的度數(shù)是88°、88°。【考點】分類歸納〔圖形的變化類〕，新定義，翻折變換〔折疊問題〕，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和外角定理?！痉治觥俊?〕理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3，∵沿∠BAC的平分線AB1折疊，∴∠B=∠AA1B1。又∵將余下局部沿∠B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，∴∠A1B1C=∠C?！摺螦A1B1=∠C+∠A〔2〕根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根據(jù)四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B－由小麗展示的情形一知，當(dāng)∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當(dāng)∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當(dāng)∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：∠B=n∠C?！?〕利用〔2〕的結(jié)論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，然后三角形內(nèi)角和定理可求得另外兩個角的度數(shù)可以是88°、88°。5.〔2024山東青島10分〕問題提出：以n邊形的n個頂點和它內(nèi)部的m個點，共(m＋n)個點作為頂點，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單和具體的情形入手：探究一：以△ABC的3個頂點和它內(nèi)部的1個點P，共4個點為頂點，可把△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時可把△ABC分割成3個互不重疊的小三角形．探究二：以△ABC的3個頂點和它內(nèi)部的2個點P、Q，共5個點為頂點，可把△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？在探究一