微積分 第七版 課件 4.7 不定積分分部積分法則

1第七節(jié)

不定積分分部積分法則本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)010203了解分部積分法則主要運用的情況理解不定積分分部積分法則能熟練進行不定積分分部積分法則計算一、不定積分分部積分法則求解不定積分的基礎(chǔ)是不定積分基本公式,求解不定積分的重要方法除不定積分換元積分法則外,還有不定積分分部積分法則.∫udv=uv-∫vdu1.不定積分分部積分法則如果函數(shù)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo),且一階導(dǎo)數(shù)u'(x),v'(x)都連續(xù),則不定積分3不定積分分部積分法則證明∫uv'dx=∫(uv)'dx-∫u'vdx證:根據(jù)§2.2導(dǎo)數(shù)基本運算法則2,有一階導(dǎo)數(shù)(uv)'=u'v+uv'即有uv'=(uv)'-u'v等號兩端皆取不定積分,得到不定積分∫udv=uv-∫vdu根據(jù)§2.7函數(shù)微分表達式,有關(guān)系式u'dx=du,v'dx=dv,又由于任何函數(shù)都為其一階導(dǎo)數(shù)的一個原函數(shù),因此函數(shù)uv為其一階導(dǎo)數(shù)(uv)'的一個原函數(shù),所以不定積分42.不定積分分部積分法則說明

所求不定積分等于兩項之差：被減項為原被積表達式中微分記號d前后兩個函數(shù)的積,減項為原被積表達式中微分記號d前后兩個函數(shù)調(diào)換位置所構(gòu)成的不定積分.這樣就將所求不定積分∫udv歸結(jié)為求作為減項的不定積分∫vdu,再應(yīng)用§4.2不定積分基本公式或§4.4不定積分第一換元積分法則求解.51.第一種基本情況被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù),這時直接應(yīng)用不定積分分部積分法則求解.6

不定積分分部積分法則主要能夠解決對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)的不定積分及一部分但不是全部函數(shù)乘積的不定積分,分下列兩種基本情況討論這些不定積分.二、不定積分分部積分法則常見情況例1求不定積分∫lnxdx.解:這是對數(shù)函數(shù)的不定積分,應(yīng)直接應(yīng)用不定積分分部積分法則求解.注意到：被積表達式lnxdx中微分記號d前面的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)lnx,后面的函數(shù)為冪函數(shù)x,因而微分記號d前后兩個函數(shù)的積為函數(shù)lnx·x,微分記號d前后兩個函數(shù)調(diào)換位置所構(gòu)成的不定積分為不定積分∫xd(lnx).7例1=xlnx-x+c所以所求不定積分∫lnxdx=lnx·x-∫xd(lnx)

=xlnx-∫dx8例2求不定積分∫arctanxdx.解:∫arctanxdx=xarctanx-∫xd(arctanx)

92.第二種基本情況(2)被積函數(shù)為乘積xnsinx或xncosx(n為正整數(shù)),這時必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積sinxdx或cosxdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;(1)被積函數(shù)為乘積xnex(n為正整數(shù)),這時必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積exdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;10(3)被積函數(shù)為乘積xαlnx(α≠-1),這時必須首先應(yīng)用§4.3非線性湊微分將乘積xαdx湊微分,然后應(yīng)用不定積分分部積分法則求解;例3=xex-ex+c求不定積分∫xexdx.解:∫xexdx=∫xd(ex)=xex-∫exdx11例4=-xcosx+sinx+c求不定積分∫xsinxdx.解:∫xsinxdx=-∫xd(cosx)

=-(xcosx-sinx)+c12例5求不定積分∫xlnxdx.解:∫xlnxdx

13對于上述兩種基本情況,在應(yīng)用不定積分分部積分法則求解時,雖然不能立即得到結(jié)果,但是若作為減項的不定積分比原不定積分簡單,還可以連續(xù)應(yīng)用不定積分分部積分法則,直至得到結(jié)果.14例6求不定積分∫ln2xdx.解:∫ln2xdx=xln2x-∫xd(ln2x)

=xln2x-2∫lnxdx

15

=xln2x-2(xlnx-x)+c=xln2x-2xlnx+2x+c例7求不定積分∫x2sinxdx.解:∫x2sinxdx=-∫x2d(cosx)

=-x2cosx+2∫xcosxdx=-x2cosx+2∫xd(sinx)

=-x2cosx+2(xsinx+cosx)+c=-x2cosx+2xsinx+2cosx+c16例8

=∫cost·2tdt=2∫tcostdt=2∫td(sint)

=2(tsint+cost)+c

17例9=xe-x+e-x+c不定積分∫xd(e-x)=

.

解:根據(jù)不定積分分部積分法則,因而所求不定積分∫xd(e-x)=xe-x-∫e-xdx=xe-x+∫e-xd(-x)xe-x+e-x+c18例10已知函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)連續(xù),則不定積分∫xf″(x)dx=

.

解:應(yīng)用§4.3一般湊微分,有關(guān)系式f″(x)dx=df'(x),根據(jù)不定積分分部積分法則,并