備考2024屆高考數(shù)學一輪復習講義第九章統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第3講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

第3講成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析課標要求命題點五年考情命題分析預測1.了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關關系與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關系；會通過相關系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關性.2.了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法；針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.3.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義；了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應用.成對數(shù)據(jù)的相關性2023天津T7，2022全國卷乙T19；2020全國卷ⅡT18本講是高考命題熱點.對于回歸分析，主要考查散點圖，回歸方程類型的識別，求相關系數(shù)和回歸方程，利用回歸方程進行預測等；對于獨立性檢驗，主要考查列聯(lián)表和依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，常與概率綜合命題.題型以解答題為主，難度中等.預計2025年高考會以創(chuàng)新生產生活實踐情境為載體考查回歸分析和獨立性檢驗.回歸模型及其應用2020全國卷ⅠT5列聯(lián)表與獨立性檢驗2023全國卷甲T19；2022新高考卷ⅠT20；2022全國卷甲T17；2021全國卷甲T17；2020新高考卷ⅠT19；2020全國卷ⅢT181.變量的相關關系（1）正相關和負相關：從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)①增加的趨勢，我們就稱這兩個變量②正相關；當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)③減小的趨勢，則稱這兩個變量④負相關.（2）線性相關：一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)⑤正相關或⑥負相關，而且散點落在⑦一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.（3）非線性相關或曲線相關：一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.2.樣本相關系數(shù)（1）樣本相關系數(shù)r＝∑i（2）樣本相關系數(shù)r的性質①當r＞0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)⑧正相關；當r＜0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)⑨負相關；當r＝0時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系，但不排除它們之間有其他相關關系.②｜r｜≤1.當｜r｜越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關性越⑩強；｜r｜越接近于0，成對樣本數(shù)據(jù)線性相關性越?弱.3.一元線性回歸模型（1）一元線性回歸模型我們稱Y＝bx＋a＋e，E（e）=0，D（e）＝σ2為Y關于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或（2）經驗回歸方程與最小二乘估計經驗回歸方程：y＝b^x＋a最小二乘估計：b^＝∑ni=1（xi－x)(yi說明經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數(shù)或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線.經驗回歸直線過點（x，y）.（3）殘差對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的y稱為預測值，觀測值減去?預測值稱為殘差.（4）決定系數(shù)決定系數(shù)R2用來比較兩個模型的擬合效果，R2＝1－∑i=1n（yi－yi）2∑i=1n（yi－y4.列聯(lián)表與獨立性檢驗（1）2×2列聯(lián)表一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值為{0，1}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d（2）獨立性檢驗χ2=n（ad－bc）2（a＋b)(c＋（3）臨界值對于任何小概率值α，可以找到相應的正實數(shù)xα，使得P（χ2≥xα）＝α成立，我們稱xα為α的臨界值，這個臨界值可作為判斷χ2大小的標準.概率值α越小，臨界值xα?下表給出了2獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應的臨界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828（4）基于小概率值α的檢驗規(guī)則當χ2≥xα時，我們就推斷H0?不成立，即認為X和Y?不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α當χ2＜xα時，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y?獨立說明若2越大，則兩個分類變量有關的把握越大.1.下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關關系的是（D）2.下列說法正確的是（D）A.在經驗回歸方程y＝－0.85x＋2.3中，當解釋變量x每增加1個單位時，響應變量平均減少2.3個單位B.若兩個變量的相關性越強，則r越接近于1C.在回歸分析中，決定系數(shù)R2＝0.80的模型比決定系數(shù)R2＝0.98的模型擬合的效果要好D.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好解析對于A，根據(jù)經驗回歸方程，當解釋變量x每增加1個單位時，響應變量y平均減少0.85個單位，故A錯誤；對于B，若兩個變量的相關性越強，則｜r｜越接近于1，故B錯誤；對于C，用決定系數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好，所以C錯誤；對于D，由殘差的統(tǒng)計學意義知，D正確.3.為考查某種營養(yǎng)品對兒童身高增長的影響，選取部分兒童進行試驗，根據(jù)100個有放回簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表，由表可知下列說法正確的是（D）營養(yǎng)品身高合計有明顯增長無明顯增長食用a1050未食用b3050合計6040100A.a＝b＝30B.χ2≈C.從樣本中隨機抽取1名兒童，抽到食用該營養(yǎng)品且身高有明顯增長的兒童的概率是3D.根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，可以認為該營養(yǎng)品對兒童身高增長有影響解析由題可知a＝50－10＝40，b＝50－30＝20，所以A錯誤；χ2＝100×（40×30－10×20）250×50×60×40≈16.667＞10.828＝x4.[2023福州5月質檢]已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：x678910y3.54566.5若由表中數(shù)據(jù)得到經驗回歸方程為y＝0.8x＋a，則x＝10時的殘差為－0.1.（注：觀測值減去預測值稱為殘差）解析易知x＝8，y＝5，∴a＝5－0.8×8＝－1.4，∴x＝10時，y＝8－1.4＝6.6，∴x＝10時的殘差為6.5－6.6＝－0.1.研透高考明確方向命題點1成對數(shù)據(jù)的相關性角度1判斷兩個變量的相關性例1（1）已知變量x和y近似滿足關系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關.下列結論中正確的是（C）A.x與y正相關，x與z負相關B.x與y正相關，x與z正相關C.x與y負相關，x與z負相關D.x與y負相關，x與z正相關解析由y＝－0.1x＋1，知x與y負相關，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關，所以z隨y的增大而增大，隨y的減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負相關.（2）[2023湖北仙桃中學模擬]對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后，獲得了如圖所示的散點圖，四組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)分別為r1，r2，r3，r4，對各組的相關系數(shù)進行比較，正確的是（C） 第一組 第二組 第三組 第四組A.r3＜r2＜0＜r1＜r4 B.r4＜r1＜0＜r2＜r3C.r2＜r3＜0＜r4＜r1 D.r1＜r4＜0＜r3＜r2解析由題圖可知，第一、四組數(shù)據(jù)均正相關，第二、三組數(shù)據(jù)均負相關，當相關系數(shù)的絕對值越大時，數(shù)據(jù)的線性相關性越強.第一組數(shù)據(jù)的線性相關性較第四組強，則r1＞r4＞0，第二組數(shù)據(jù)的線性相關性較第三組強，則｜r2｜＞｜r3｜，且r2＜0，r3＜0，則r2＜r3＜0.因此，r2＜r3＜0＜r4＜r1.故選C.方法技巧判斷兩個變量相關性的3種方法畫散點圖若點的分布從左下角到右上角，則兩個變量正相關；若點的分布從左上角到右下角，則兩個變量負相關.利用樣本相關系數(shù)r＞0時，正相關；r＜0時，負相關；｜r｜越接近于1，線性相關性越強.利用經驗回歸方程b^＞0時，正相關；b^＜0角度2相關系數(shù)的計算例2[2022全國卷乙]某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得∑10i=1xi2＝0.038，∑10i=1y（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量.（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）.（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.附：相關系數(shù)r＝∑ni=1（解析（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積x＝∑i=110xi10＝0.610＝（2）∑i=110（xi－x）（yi－y）＝∑i=110xiyi∑i=110（xi－x∑i=110（yi－y所以∑i=110（xi－x）2∑i=110（yi－（3）設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為Ym3，由題意可知，該種樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，所以0.390.06＝Y186，所以即該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為1209m3.訓練1變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）.r1表示變量Y與X之間的線性相關系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關系數(shù)，則（C）A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1C.r2＜0＜r1 D.r2＝r1解析由題中的數(shù)據(jù)可知，變量Y與X正相關，相關系數(shù)r1＞0，變量V與U負相關，相關系數(shù)r2＜0，即r2＜0＜r1.故選C.命題點2回歸模型及其應用角度1一元線性回歸模型例3[2023廣西聯(lián)考]某省為調查北部城鎮(zhèn)2022年GDP，抽取了20個城鎮(zhèn)進行分析，得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，20），其中xi和yi分別表示第i個城鎮(zhèn)的人口（單位：萬人）和該城鎮(zhèn)2022年GDP（單位：億元），計算得∑i=120xi＝100，∑i=120yi＝800，∑i=120（xi－x）2＝70，∑i=120（yi－y）2＝280，∑（1）請用相關系數(shù)r判斷該組數(shù)據(jù)中y與x之間線性相關關系的強弱（若｜r｜∈[0.75，1]，相關性較強；若｜r｜∈[0.30，0.75），相關性一般；若r∈[－0.25，0.25]，相關性較弱）.（2）求y關于x的線性回歸方程.（3）若該省北部某城鎮(zhèn)2024年的人口約為5萬人，根據(jù)（2）中的線性回歸方程估計該城鎮(zhèn)2024年的GDP.參考公式：相關系數(shù)r＝∑i=1n（xi－x)(yi－y）∑i=1n（xi－x）2∑i=1n（yi－y）解析（1）由題意知，相關系數(shù)r＝∑i=120（xi－因為y與x的相關系數(shù)r滿足｜r｜∈[0.75，1]，所以y與x之間具有較強的線性相關關系.（2）b^＝∑i=120（a＝y(tǒng)－b^x＝80020－127×10020＝2207，所以y（3）由（2）可估計該城鎮(zhèn)2024年的GDPy＝127×5＋2207＝40方法技巧回歸模型問題的類型及解題方法（1）求經驗回歸方程：①利用數(shù)據(jù)，求出x，y；②利用公式，求出回歸系數(shù)b^③利用經驗回歸直線過樣本點的中心（x，y），求a.（2）利用經驗回歸方程進行預測：直接將已知的自變量的某個數(shù)值代入經驗回歸方程求得特定要求下的預測值.（3）判斷回歸模型的擬合效果：利用殘差平方和或決定系數(shù)R2判斷，R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好.角度2非線性回歸模型例4[2023重慶市三檢]已知變量y關于x的經驗回歸方程為y=ebx-0.6，若對y=x12345yee3e4e6e7則當x＝6時，預測y的值為（C）A.9 B.8 C.e9 D.e8解析對y＝ebx－0.6兩邊取自然對數(shù)，得lny＝bx－0.6，令z＝lny，則z＝bx－0.6，數(shù)據(jù)為x12345yee3e4e6e7z13467由表格數(shù)據(jù)，得x＝1+2+3+4+55＝3，z＝1+3+4+6+75＝4.2.將（3，4.2）代入z＝bx－0.6，得4.2=3b-0.6,（方法技巧：經驗回歸方程只含一個未知數(shù)問題主要是依據(jù)經驗回歸直線y解得b＝1.6，所以z＝1.6x-0.6，即y=e1.6x-0.6.方法技巧1.解決非線性回歸模型問題的思路：根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)，用適當?shù)淖兞窟M行轉換，如通過換元或取對數(shù)等方法，把問題化為線性回歸模型問題，使之得到解決.2.常見的非線性回歸模型及轉換技巧（1）y=a+bx，令v＝1x（2）y=a+blnxb≠0，令v＝ln（3）y＝axb（a＞0，b≠0），令c＝lna，v＝lnx，u＝lny，則u＝c＋bv；（4）y＝aebx（a＞0，b≠0），令c＝lna，u＝lny，則u＝c＋bx.訓練2[2023合肥市質檢]研究表明，溫度的突然變化會引起機體產生呼吸道上皮組織的生理不良反應，從而導致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化.某中學數(shù)學建模社團成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學生患感冒人數(shù)多少之間的關系，他們記錄了某周連續(xù)六天的晝夜溫差，并到校醫(yī)務室查閱了這六天中每天高三學生新增患感冒而就診的人數(shù)（假設患感冒必到校醫(yī)務室就診），得到資料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x/℃47891412新增就診人數(shù)y/位y1y2y3y4y5y6參考數(shù)據(jù)：∑i=16yi2＝3160，∑i=16（1）已知第一天新增患感冒而就診的學生中有7位女生，從第一天新增患感冒而就診的學生中隨機抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為1724，求y1（2）已知兩個變量x與y之間的樣本相關系數(shù)r＝1516，試用最小二乘法求出y關于x的經驗回歸方程y＝b^x＋a，據(jù)此估計晝夜溫差為15℃參考公式：b^＝∑r＝∑i解析（1）∵1－C73C∴7×6×∴y1（y1－1）（y1－2）＝720＝10×9×8，∴y1＝10.（2）∵∑i=16xi＝54，∴x＝9，∴∑i=16（xi∵r＝∑i=16（xi－x)(yi－y）∑i=16（xi－∴b^＝∑i=16（又∑i=16（yi－y）2＝∑i=16yi2－2y·∑i=16yi＋6y2＝∑i=16yi2－6y2＝256∴y^＝418＋158x，當x＝15時，y^＝418＋15故可以估計晝夜溫差為15℃時，該校高三新增患感冒而就診的學生數(shù)為33.命題點3列聯(lián)表與獨立性檢驗例5[2022全國卷甲改編]甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營.為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；（2）依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，分析甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.10.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828解析（1）由題表可得A公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率為240240+20＝12B公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率為210210+30＝7（2）零假設為H0：甲、乙兩城之間的長途