河南省洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

洛陽(yáng)強(qiáng)基聯(lián)盟5月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第三冊(cè)第六章~第八章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量的分布列如表：則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題知，解得．故選：A2.五一期間，人民商場(chǎng)推出促銷(xiāo)活動(dòng)：將購(gòu)買(mǎi)商品的顧客分成10人一組，在每組10名顧客中隨機(jī)選出3名贈(zèng)送紀(jì)念品，則顧客甲得到紀(jì)念品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由古典概型的計(jì)算公式計(jì)算概率即可.【詳解】從10名顧客中隨機(jī)選出3名顧客有（種）方法，其中甲被選中有（種）方法，所以顧客甲得到紀(jì)念品的概率是．故選：C．3.已知，則（）A.0.75 B.0.6 C.0.48 D.0.2【答案】A【解析】【分析】由條件概率的公式即可求出答案.【詳解】由條件概率的公式，得，解得．故選：A．4.根據(jù)分類(lèi)變量X與Y的抽樣數(shù)據(jù)，計(jì)算得到依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)（）則下面說(shuō)法正確的是（）A.變量X與Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1B.變量X與Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不低于0.1C.變量X與Y獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1D.變量X與Y獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不低于0.1【答案】A【解析】【分析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體檢驗(yàn)規(guī)則判斷即可得出答案.【詳解】由獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體檢驗(yàn)規(guī)則及，得變量X與Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1．故選：A5.已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的洗衣機(jī)中，甲廠產(chǎn)品占80%，乙廠產(chǎn)品占20%，甲廠產(chǎn)品的合格率是90%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一臺(tái)合格洗衣機(jī)的概率是（）A.0.16 B.0.72 C.0.76 D.0.88【答案】D【解析】【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】從某地市場(chǎng)上購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)洗衣機(jī)，設(shè)“買(mǎi)到的洗衣機(jī)是甲廠產(chǎn)品”為事件，“買(mǎi)到的洗衣機(jī)是乙廠產(chǎn)品”為事件，“買(mǎi)到的洗衣機(jī)是合格品”為事件B，所以，即從該地市場(chǎng)上買(mǎi)到一臺(tái)合格洗衣機(jī)的概率是0.88．故選：D6.已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，求解方程組可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由求導(dǎo)，得,所以，即解得．故選：C．7.6名研究人員在3個(gè)無(wú)菌研究艙同時(shí)進(jìn)行工作，由于空間限制，每個(gè)艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（）A.360種 B.180種 C.720種 D.450種【答案】D【解析】【分析】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案，共有（種）不同的安排方案.【詳解】方案一：每個(gè)艙各安排2人，共有（種）不同的方案；方案二：分別安排3人，2人，1人，共有（種）不同的方案.所以共有（種）不同的安排方案.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造，由導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而由單調(diào)性解不等式求出答案.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩個(gè)變量X，Y的數(shù)據(jù)如下表：其中數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，并且計(jì)算得相關(guān)系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.變量X，Y負(fù)相關(guān) B.C.一定成立 D.一定成立【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，由相關(guān)系數(shù)的正負(fù)可判斷正負(fù)相關(guān)，對(duì)于B，由相關(guān)系數(shù)與的關(guān)系進(jìn)行判斷，對(duì)于CD由回歸方程的性質(zhì)判斷.【詳解】因?yàn)?，所以變量X，Y正相關(guān)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以一定成立，故C正確；因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程求出的函數(shù)值是估計(jì)值，所以不一定等于，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（）A.組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60 B.在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為30C.在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30 D.在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20【答案】AD【解析】【分析】將個(gè)數(shù)字選個(gè)排列即可判斷A，確定個(gè)位，即可計(jì)算出奇數(shù)，從而判斷B、D，計(jì)算“凸數(shù)”時(shí)對(duì)十位分三種情況討論，即可判斷D.【詳解】依題意，組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；個(gè)位為，或時(shí)，三位數(shù)是奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；則偶數(shù)有（個(gè)），故C錯(cuò)誤；將這些“凸數(shù)”分三類(lèi)：①十位為，則有（種），②十位為，則有（種），③十位為，則有（種），所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為，故D正確．故選：AD．11.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為a為常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)即可求出的值，由此即可求出，，則可求出，的值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量的分布列為由分布列的性質(zhì)可知，解得，A正確；，，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確．故選：ACD12.有一座高度是10級(jí)（第1級(jí)~第10級(jí)）臺(tái)階的樓梯，小明在樓梯底部（第0級(jí)）從下往上走，每跨一步只能向上1級(jí)或者向上2級(jí)，且每步向上1級(jí)與向上2級(jí)的概率相同，設(shè)第n步后小明所在臺(tái)階級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.中最大【答案】ABD【解析】【分析】每步向上1級(jí)與向上2級(jí)的概率都是，求出第n步后小明所在臺(tái)階級(jí)數(shù)隨機(jī)變量的概率，即可判斷A、C、D的正誤，再計(jì)算，可得B正確.【詳解】小明每步向上1級(jí)與向上2級(jí)的概率都是，表示跨2步到達(dá)第2級(jí)臺(tái)階，所以每步向上1個(gè)臺(tái)階，，故A正確；的所有可能取值為2，3，4，，，，所以，故B正確；表示跨4步到達(dá)第6級(jí)臺(tái)階，所以有2步每步向上1個(gè)臺(tái)階，有2步每步向上2個(gè)臺(tái)階，；表示跨4步到達(dá)第7級(jí)臺(tái)階，所以有1步向上1個(gè)臺(tái)階，有3步每步向上2個(gè)臺(tái)階，，故C錯(cuò)誤；由題意，表示跨5步到達(dá)第10級(jí)臺(tái)階，所以每步向上2個(gè)臺(tái)階，，表示跨6步到達(dá)第10級(jí)臺(tái)階，所以有2步每步向上1個(gè)臺(tái)階，有4步每步向上2個(gè)臺(tái)階，，以此類(lèi)推可得，，，，其中最大，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則______．【答案】##0.6【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，得到，再結(jié)合條件求解.【詳解】解：由隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，得，又因?yàn)?，所以．故答案為?4.已知隨機(jī)變量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量，由求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以．故答案為?.6315.某校排球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有5個(gè)排球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），2個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出1個(gè)球，用完后放回，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】記A，B分別為第一次，第二次訓(xùn)練取到新球，由全概率公式，得．故答案為：.16.一個(gè)筆袋內(nèi)裝有10支同型號(hào)簽字筆，其中黑色簽字筆有7支，藍(lán)色簽字筆有3支，若從筆袋內(nèi)每次隨機(jī)取出1支筆，取后不放回，取到藍(lán)色簽字筆就停止，最多取5次，記取出的簽字筆個(gè)數(shù)為X，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相應(yīng)的概率，再利用期望公式求解.【詳解】解：X可能取值是1，2，3，4，5，則，，，，，所以．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.某醫(yī)藥研究小組在研究治療某疾病的藥品A的臨床實(shí)驗(yàn)中得到了如下數(shù)據(jù)：服用藥品A的患者有200名，其中治愈140名；服用安慰劑的患者有200名，其中未治愈90名．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下2×2列聯(lián)表（單位：人）：未治愈治愈合計(jì)服用藥品A服用安慰劑合計(jì)（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥品A對(duì)治療此疾病有效？參考公式其中0.10.050.012.70638416.635【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析（2）認(rèn)為藥品A對(duì)治療此疾病有效【解析】【分析】（1）根據(jù)服用藥品A的患者有200名，其中治愈140名；服用安慰劑的患者有200名，其中未治愈90名，完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論；【小問(wèn)1詳解】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到2×2列聯(lián)表如下：未治愈治愈合計(jì)服用藥品A60140200服用安慰劑90110200合計(jì)150250400【小問(wèn)2詳解】零假設(shè)為：藥品A對(duì)治療此疾病無(wú)效，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為藥品A對(duì)治療此疾病有效，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．18.在的展開(kāi)式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍．（1）求n的值；（2）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式系數(shù)的概念求解；（2）由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，令求解即可.【小問(wèn)1詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式可知，，所以由題意知，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.19.盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性，只有打開(kāi)才會(huì)知道自己抽到了什么.但有些經(jīng)營(yíng)者用盲盒清庫(kù)存，損害消費(fèi)者合法權(quán)益，擾亂市場(chǎng).2022年7月26日，《上海市消費(fèi)者權(quán)益保護(hù)條例》對(duì)盲盒等隨機(jī)銷(xiāo)售經(jīng)營(yíng)行為作出規(guī)范，明確經(jīng)營(yíng)者采取隨機(jī)抽取的方式向消費(fèi)者銷(xiāo)售特定范圍內(nèi)商品或者提供服務(wù)的，應(yīng)當(dāng)按照規(guī)定以顯著方式公示抽取規(guī)則、商品或者服務(wù)分布、提供數(shù)量、抽取概率等關(guān)鍵信息.現(xiàn)有一款盲盒套裝，有5個(gè)不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2個(gè)，女孩卡通人物3個(gè)，現(xiàn)從盲盒套裝中隨機(jī)取2個(gè)不同的盲盒.（1）求取出的2個(gè)盲盒中，至少有1個(gè)男孩卡通人物的概率；（2）在取出的2個(gè)盲盒中，女孩卡通人物的個(gè)數(shù)設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率求出沒(méi)有男孩卡通人物的概率，再利用對(duì)立事件概率公式求解作答.（2）求出X的可能值，并求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.【小問(wèn)1詳解】從盲盒套裝中隨機(jī)取2個(gè)不同的盲盒的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，其中至少有1個(gè)男孩卡通人物的事件，其對(duì)立事件有個(gè)基本事件，所以至少有1個(gè)男孩卡通人物的概率.【小問(wèn)2詳解】依題意，X的可能值為0，1，2，，所以隨機(jī)變量X的分布列為012數(shù)學(xué)期望為.20.在政策的扶持下，小華計(jì)劃在某鄉(xiāng)開(kāi)快遞站，為了解市場(chǎng)行情，在該市調(diào)查了家農(nóng)村快遞站，統(tǒng)計(jì)得到了它們的營(yíng)業(yè)面積（單位：）和日均客流量（單位：人）的數(shù)據(jù)，初步判斷x與y線性相關(guān)，并計(jì)算得，，，，.（1）求與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）現(xiàn)有營(yíng)業(yè)面積為的商鋪正在出租，小華準(zhǔn)備租用此商鋪開(kāi)快遞站，請(qǐng)預(yù)估小華的快遞站的日均客流量（結(jié)果精確到個(gè)位數(shù)）．參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程中，，；參考數(shù)據(jù).【答案】（1）（2）預(yù)估小華的快遞站的日均客流量為人【解析】【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出和，代入相關(guān)系數(shù)公式求解即可.（2）利用公式求出線性回歸方程，代入數(shù)據(jù)即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以．小?wèn)2詳解】，．所以關(guān)于的回歸直線方程為．當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)估小華的快遞站的日均客流量為人．21.2023年4月23日第二屆全民閱讀大會(huì)在杭州舉辦，目的是為了弘揚(yáng)全民閱讀風(fēng)尚，共建共享書(shū)香中國(guó)．某市響應(yīng)號(hào)召，推進(jìn)全體學(xué)生閱讀，在全市100000名學(xué)生中抽取1000名學(xué)生調(diào)查每周閱讀時(shí)間，得到頻率分布直方圖如下圖：由頻率分布直方圖可以認(rèn)為該市學(xué)生每周閱讀時(shí)間X服從正態(tài)分布，其中可以近似為1000名學(xué)生的每周閱讀時(shí)間的平均值（同組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示），．（1）試估計(jì)全市學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)；（2）若從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)選出的5人中每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列，均值與方差．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則P，，．【答案】（1）（人）（2）分布列見(jiàn)解析，均值為，方差為【解析】【分析】（1）由正態(tài)分布求出概率，估計(jì)人數(shù)即可；（2）由題意可知每周閱讀時(shí)間在10.6小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)為Y服從二項(xiàng)分布，然后由二項(xiàng)分布求概率分布列及均值與方差即可.【小問(wèn)1詳解】由題意知樣本中1000名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的平均值為，所以，又，所以，所以，所以．所以全市學(xué)生中每周閱讀時(shí)間不高于6.8小時(shí)的人數(shù)估計(jì)為（人）．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，結(jié)合題意可得，故，，，，，．故隨機(jī)變量Y的分布列如下：Y012345P故，．22.已