2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 4-8 正弦、余弦定理應(yīng)用舉例 學(xué)案

第八節(jié)正弦、余弦定理應(yīng)用舉例

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】會運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有

關(guān)的實際問題.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.仰角和俯角

罌-水平線

視線

(1)

與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線

的叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線的叫俯角，如圖(1)所示.

北

2.方位角

指從順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如圖(2)中B點的方位角為?.

北偏東,目標(biāo)

3.方向角

相對于某正方向的,如北偏東。，即由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)目標(biāo)方向,

如圖(3),其他方向角類似.

4.坡角：坡面與水平面所成的二面角的正切值.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)東南方向與南偏東45。方向相同.()

(2)從A處望8處的仰角為?,從8處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為a+尸

I8O°.(

(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍是［0,=］.()

(4)方位角大小的范圍是［O,2π),方向角的大小范圍一般是［0,柒.()

2.如圖，兩座燈塔A和8與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東

40。，燈塔B在觀察站的南偏東60。，則燈塔A在燈塔B的()

A.北偏東10oB.北偏西10o

C.南偏東10oD.南偏西10°

3.如圖所示，D,C,B三點在地面的同一直線上，DC=a,從點C,。測得點A的仰

角分別為60。，30。，則A點離地面的高度AB等于.

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一測量距離問題

例1[2023?江西景德鎮(zhèn)期末]江西浮梁地大物博，山清水秀.據(jù)悉某建筑公司在浮梁投

資建設(shè)玻璃棧道、摩天輪等項目開發(fā)旅游產(chǎn)業(yè)，考察后覺得當(dāng)?shù)貎勺街g適合建造玻璃棧

道,現(xiàn)需要測量兩山頂M,N之間的距離供日后施工需要,特請昌飛公司派直升機(jī)輔助測量，

飛機(jī)沿水平方向在A,B兩點進(jìn)行測量，A,B,M,N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖）.飛

o

機(jī)測量的數(shù)據(jù)有在4處觀察山頂M，N的俯角為：c≈l=60,小=30。，在8處觀察山頂

N的俯角為：a2=45。，?2=75。，飛機(jī)飛行的距離AB為500m,請問：用以上測得的數(shù)據(jù)能

否計算出兩山頂間的距離MN,若能，請幫助該建筑公司求出MM結(jié)果精確到1m,若不

能，請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414,√3≈1.732,√67≈8.2,√∑68≈1.64）

題后師說

鞏固訓(xùn)練1

[2023?河南南陽模擬]北京大興國際機(jī)場（如圖所示）位于中國北京市大興區(qū)和河北省廊

坊市交界處，為4F級國際機(jī)場、世界級航空樞紐.如圖，天安門在北京大興國際機(jī)場的正

北方向46km處，北京首都國際機(jī)場在北京大興國際機(jī)場北偏東16.28。方向上，在天安門北

偏東47.43。的方向上，則北京大興國際機(jī)場與北京首都國際機(jī)場的距離約為km?（結(jié)

果精確到整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin16.28o≡≡0.28,sin47.43°QO.74,sin31.15o≈?0.52）

題型二測量高度問題

例2[2023?遼寧朝陽期末]大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交

匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時刻撬動著人們認(rèn)識商丘、走進(jìn)商丘的

欲望.吳斌同學(xué)在今年國慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時，他想利用解三角形的

知識測量一下該雕塑的高度（即圖中線段AB的長度）.他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西

60。的方向前進(jìn)7痘米后達(dá)到。處（A,C,。三點在同一個水平面內(nèi)），測得圖中線段AB在

東北方向，且測得點B的仰角為71.565。，則該雕塑的高度大約是（參考數(shù)據(jù)：tan

71.565o≡≈3）（）

A.19米B.20米

C.21米D.22米

題后師說

測量物體高度的求解策略

高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思

想是把要求解的高度（某線段的長度）納入到一個三角形中，使用正、余弦定理或共他相關(guān)知

識求出該商度.

鞏固訓(xùn)練2

[2023?湖北襄陽五中月考]如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大

跳臺最高點P距地面的距離,小明同學(xué)在場館內(nèi)的點A測得P的仰角為30。，NABo=I20。，

/540=30。，AB=60(單位：m),(點A,B,。在同一水平地面上)，則大跳臺最高高度OP

=()

A.45mB.45Λ∕2m

C.60mD.6θV3m

題型三測量角度問題

例3[2023?山東東營期末]如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在

北偏東15。方向上，勻速向北航行20分鐘到達(dá)B處，此時測得燈塔底部C在北偏東60。方

向上，測得塔頂P的仰角為60。，已知燈塔高為2√5km.

(1)求巡邏船的航行速度；

(2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達(dá)D處，問此時燈塔底部C位于D處的南偏東什么方向？

題后師說

角度問題的解題方法

首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正

確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法

解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點.

鞏固訓(xùn)練3

[2023?河北保定期末]一艘船航行到點A處時,測得燈塔C與其相距30海里,如圖所示.隨

后該船以20海里/小時的速度，沿直線向東南方向航行1小時后到達(dá)點8,測得燈塔C在其

北偏東25。方向，則sinNACB=()

22

A.-sin70°B.-sin75°

33

C.IcOS70。D.在

3

第八節(jié)正弦、余弦定理應(yīng)用舉例

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.水平視線上方下方

2.正北方向

3.水平角

夯實雙基

1.答案：(I)J(2)×(3)×(4)√

2.解析：

觀察可知

ZACB=90o-40°+90°-60°=80°,

TAC=BC,

ΛZCBA=50o,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可知NC3O=60。，

：?ZABD=?0o,

???燈塔A在燈塔B北偏西10°.

故選B.

答案：B

3.解析：由三角形的外角和定理可知：

ZDAC=/ACB-No=60。-30。=30。,

?*?AC—CD=a,

在RtAABC中，

AB=ACsin60。=線，

2

A點離地面的高度AB等于，α.

答案：y

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：在AAMB中，由正弦定理得

50sinα

am=θ^=^?=500(√3-l),

sm(a+a)松+<2

124

在AABN中，由正弦定理得

AN=500SinB2=5OOX^^=500(6+1)

Sin(β2-βj)堂2-

在AAMN中，由余弦定理得

22

W=√AM+AN-2AM?AN-cos(a1-β1)

=500≈?500√0^7Λ=500×0.82=410m.

鞏固訓(xùn)練1解析：如圖，由題意可得AC=46km,ZACB=16.28o,ZBAC=132.57°,

BC_AC即BC=46

由正弦定理可得

sinzBACSinzABCsin132.57°sin31.15°

解得8C=焉於Sinl32.57。

答案：65

例2解析：在C。中，NCAD=I35。，ZACD=30o,CD=7√2,

由正弦定理ADCD

sinz_ACDsinZCAD,

CDxsinzACD

所以AD==7(米),

sinZ.CAD

在Rt?ABD中，NBD4=71.565。，

所以AB=AOXtan71.565°=?7X3=21(米).

故選C.

答案：C

鞏固訓(xùn)練2解析：在AABO中，NABo=I20。，NBAo=30。，所以NAoB=30。，又

A8=60,由正弦定理可得，

AB_Ao

SinzAOBsinZABO,

ABsinzABO60x申-

AO=—^=60√r3,

SinzAOBr

2

-,0POP-√3

在RtZ?APO中，tanQO

'AO60√33

所以O(shè)P=60(m).

故選C.

答案：C

例3解析:(1)在RtZ?BCP中，tan/PBC=裂，故BC=2.

在AABC中，∕BCA=180°-15°-120°=45°,

由正弦定理得一