2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 3-3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 學(xué)案

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件2會

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最

大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值

函數(shù)y=∕(x)在點x=a的函數(shù)值式。)比它在點x=”附近其他點的函數(shù)值都小，/(a)=0;

而且在點x=”附近的左側(cè)，右側(cè),則點“叫作函數(shù)>=段)的極小值點,尬)

叫作函數(shù)y=y(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值

函數(shù)y=√(x)在點x—b的函數(shù)值,大匕)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，/3)=0；

而且在點x=h附近的左側(cè),右側(cè),則點h叫作函數(shù)y=∕(x)的極大

值點，犬/叫作函數(shù)y=∕U)的極大值.

(3)極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最值

(1)函數(shù)在他，切上有最值的條件

一般地，如果在區(qū)間3,句上函數(shù)y=Λx)的圖象是一條的曲線，那么它必有最

大值和最小值.

(2)求函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間［”,切上的最大值與最小值的步驟

①求函數(shù)y=Ax)在區(qū)間(a,h)±.的；

②將函數(shù)y=Ax)的各極值與比較，其中最大的一個是最大值，最小的一

個是最小值.

［常用結(jié)論］

1.對于可導(dǎo)函數(shù)y(x),/(χo)=o是函數(shù)yu)在X=XO處有極值的必要不充分條件.

2.若函數(shù)/U)在開區(qū)間①，份內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點.

3.對于連續(xù)的函數(shù)y="r),在區(qū)間［α,句上，y=Λx)的極值有可能是最值，但最值只要

不在區(qū)間端點處取得，其必定是極值.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.()

(2)導(dǎo)數(shù)等于0的點一定是函數(shù)的極值點.()

(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()

(4)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值.()

2.(教材改編)函數(shù)式X)的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)HX)的圖象如圖所示，則函數(shù)HX)()

A.無極大值點，有四個極小值點

B.有三個極大值點、一個極小值點

C.有兩個極大值點、兩個極小值點

D.有四個極大值點、無極小值點

3.(教材改編)函數(shù)正X)=InX-X在區(qū)間(O,e］上的最大值為.

4.(易錯)函數(shù)以)=n?3-2mx2+尤在X=I處取得極大值，則實數(shù)，〃的值為()

A.1或3B.3

C.1D.0

5.(易錯)若函數(shù)KX)=4x+機(jī)在［0,3］上的最大值為4,則根=.

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值

角度一求函數(shù)的極值

例1⑴求函數(shù)y(x)=(x+l)ex的極值.

(2)求函數(shù)y(x)=dlnx—(x+l)(αGR)的極值.

題后師說

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟

一|確定函數(shù)的定義域

S二卻I求方程/'(X)=0的痕

用方程∣:(x)=O的根和不可導(dǎo)點的X的值順次將

函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格

I由/'(X)=O的根左右的符號以及/'(.r)在不可導(dǎo)點

芻四方T左右的符號來判斷/(X)在這個根或不可導(dǎo)點處

I取極值的情況

鞏固訓(xùn)練1

(l)［2023?河北石家莊模擬］已知函數(shù)"V)=T型，則該函數(shù)的極小值為()

A.eB.3

C.OD.1

(2)已知函數(shù)兀V)=Ox3-3Λ2+1一;3∈R,"≠0),求函數(shù)/U)的極大值與極小值.

角度二利用極值求參數(shù)

例2⑴已知√(x)=x3+30x2+fec+α2在χ=-ι處有極值0,則“+/>=()

A.11或4B.-4或一11

C.HD.4

(2)[2023?河南南陽模擬]已知函數(shù)7U)=Λ2—αlnx+l在(1,3)內(nèi)有極值點，則實數(shù)”的取

值范圍是()

A.[2,18)

B.(2,18)

C.(-8,2]U[18,+∞)

D.[2,18]

(3)若函數(shù)Tu)=eYsinx—α)在區(qū)間(O,π)上存在極值，則實數(shù)”的取值范圍是.

題后師說

已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)

J根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為O和極值這兩個條件列方程

巧寸V組，利用待定系數(shù)法求解

,因為某點處的導(dǎo)數(shù)值等于O不是此點為極值點的

充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證

xx合理性

鞏固訓(xùn)練2

(1)函數(shù)√(x)=x3+0r2+3無一9,已知兒￥)在x=-3時取得極值，則〃=()

A.4B.5

C.6D.7

(2)函數(shù)y(x)=33+αx2+(α+2)χ-l有極大值又有極小值，則實數(shù)α的范圍是.

(3)[2023?河北滄州模擬]已知函數(shù)火X)=/-4x+αInX有一個極值點，則實數(shù)a的取值范

圍為.

題型二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值

角度一求函數(shù)的最值

例3（1）［2023?河南平頂山模擬］函數(shù)段）=52—271”在區(qū)間［1,2］上的最大值是（）

?-1B.1

cD.三

?12

（2）［2023?安徽六安模擬］已知函數(shù),/（x）=；+alnx,α∈R,求函數(shù)_/（x）在區(qū)間（O,e］上的最

小值.

題后師說

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的策略

當(dāng)函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)只有唯一的極?。ù螅┲禃r,

這個極?。ù螅┲稻褪亲钚。ù螅┲担@翁情況

下可以直接寫出最值

當(dāng)函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的極值有多個時，就要把這

些極值和區(qū)間端點處的函數(shù)進(jìn)行比較,比較大小

的基本方法之一就是作差法

若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則需對參數(shù)分類討論,

再求函數(shù)的最值

鞏固訓(xùn)練3

［2023?山東淄博模擬］已知函數(shù)/U）=αr+6+cosx（a,?∈R）,若兀0在點（0,火0））處的切

線方程為y=3+2.

⑴求α,?的值;

（2）求函數(shù)7U）在［0,2兀］上的最大值.

角度二利用最值求參數(shù)值

例4［2023?河北武安模擬］已知函數(shù)加)=*(a∈R).

(1)若a=-2,求火x)的極值；

(2)若KX)在［1,2］上的最大值為專，求實數(shù)。的值.

題后師說

利用最值求參數(shù)的值或范圍是新高考的熱點，?？汲Ｐ拢惠啅?fù)習(xí)一定要引起重視，有

時與恒成立問題綜合命題.

鞏固訓(xùn)練4

(1)當(dāng)X=I時，函數(shù)yU)=alnx+6∕+3取得最大值2,則|3)=()

A.21n3+2B.

3

C.21n3—6D.—4

(2)［2023?河南濟(jì)源模擬］若函數(shù)KX)=X3-3X在區(qū)間僅2—12,a)上有最大值，則實數(shù)a的

取值范圍是.

真題展臺］

LZHENTlZHAN

l.［2021?新高考I卷］函數(shù)yω=∣2x—l∣-21nx的最小值為.

2.［2022?全國乙卷］已知X=Xl和X=X2分別是函數(shù)7U)=2優(yōu)一e∕(a>O且aWl)的極小值

點和極大值點.若X1<X2，則a的取值范圍是.

3.［2021?北京卷］已知函數(shù)1x)=W^

(1)若“=0,求y=∕U)在(1,犬1))處切線方程；

(2)若函數(shù)兀V)在X=-I處取得極值，求IAX)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

4.［2022?新高考［卷］已知函數(shù)外)=e*—和g。)=OX-In無有相同的最小值.

求a.

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

必備知識?夯實雙基

知識梳理

L(Wa)<o/(χ)>o(2y>(x)>o/(χ)<o

2.(1)連續(xù)不斷(2)極值端點處的函數(shù)值犬”)，Λ?)

夯實雙基

1.(DX(2)×(3)√(4)√

2.解析：由題圖可知極大值點有兩個，極小值點有兩個，

故選C.

答案：C

3.解析：因為/(x)=［-1=?,

當(dāng)x∈(0,1)時，/(x)>0,

當(dāng)x∈(l,e］時,F(X)V0,

所以當(dāng)x=l時，7U)取得最大值Inι-ι=-ι.

答案：一1

4.解析：/(x)=3/2χ2-4∕wx+1,

由題意得.尸(1)=，?2—￡〃+I=0,解得m=l或nt=3.

當(dāng)/M=I時，J(x)=xi-2x1+x,/(X)=3X2-4X+∣.

令/(x)>0,解得x>l或X令/(x)C0,解得*<1.

故T(X)在(一8,3上單調(diào)遞增，在G，D上單調(diào)遞減，在(I,十8)上單調(diào)遞增，故X=:是

極大值點，符合題意.

當(dāng)m=3時，y(x)=9x3-6x2+x,/(x)=27x2-I2x+I.

令Fa)>0,解得Ql或x《，令F(X)<0,解得如Xq,故式X)在(-8,》上單調(diào)遞增，在《，

》上單調(diào)遞減，在弓，+8)上單調(diào)遞增，故X=］是極小值點，不符合題意.

綜上所述：w=l.

故選C.

答案：C

5.解析：?.了(X)=Λ2-4=(X+2)(X-2),

令/(x)=0得X=—2或x=2.

V0≤x≤3,.?.x=2,

當(dāng)O<x<2時，/(Λ)<O,

.?.函數(shù)1X)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)24<3時，/(χ)>0,

函數(shù)段)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增.

又/0)=加，/3)=∕H-3,

*.*m>m-39

??*=o時，7U)在［0,3］上取得最大值八0)=加

.?.m=4.

答案：4

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：(1)由式X)=(X+l)e',定義域為R.

/(x)=e"+(x+l)e"=(x+2)e?r,

令/(x)>0,即x>一2,

令F(x)=O,即X=-2,

令/(x)<0,即x<—2,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一2,+∞);

單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,—2),X=-2為極小值點，

所以函數(shù)的極小值為大-2)=—總

(2加x)=41nx—(x+l)3∈R)的定義域為(0,+∞),/(工)=：一1=?.

①當(dāng)αW0時，F(xiàn)(x)<O,y(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值，

②當(dāng)4>0時，由/(x)>0,可得(Kr<〃；由/(x)<0,可得x>α,

則當(dāng)(KX<“時，/(x)>0,y(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>a時，/(x)<0,兀r)單調(diào)遞減，

故於)在x="時取極大值/(α)=αIna—a—1,無極小值.

鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由題意得了(X)=言普，

令f(?)ɑ,得X=O或一1,

當(dāng)x<-1或x>0時，/(x)<0,當(dāng)一1<Λ<0時，/(Λ)>0,

所以兀。妝小值=人-1)=e,

所以極小值為e.

故選A.

(2?(X)=3OΛ2-6x=3X(Or—2),(a≠0),

令/(x)=0,則X=O或|,

當(dāng)”>0,隨著X的變化，/(x)與y(x)的變化情況如下:

22G+8)

X(一8,0)O(0,$

a

f(x)+0—0+

危)/極大值?極小值/

所以小)權(quán)大煩=T⑼=1一、TW株小Bi=TE)=-?-1+1；

當(dāng)a<Q時，隨X的變化，/(x)與/(X)的變化如下表：

(-8,|)2

X(I，0)O(O,+∞)

a

f(x)—0+0—

於)、極小值Z極大值、

所以於)觀大值=大0)=1一|,於)機(jī)小值=八|)=一2一|+1?

綜上所述，Xx)s*s=1~—?—|+1.

例2解析：(1)根據(jù)題意，/(x)=3x2+6Or+6.

：函數(shù)兀C)在x=-l處有極值0,

???/(-1)=3—6“+6=0且貝一l)=-l+3a-b+∕=0,

，。=1,b=3或α=2,b=9,

。=1,/2=3時/(x)=3x2+6x+320恒成立，此時函數(shù)無極值點，

*,*<7=2?6=9,

.?.α÷?=ll.

故選C.

(2?a)=2x—1QO.當(dāng)αWO時，/(x)>0恒成立，故函數(shù)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題

意；當(dāng)α>0時，令/(x)>0,可得X度；令/(x)<0,可得0<x<",

所以要使函數(shù)段)在(1,3)內(nèi)有極值點，只需1<亨<3,解得2<“<18.

故選B.

(3)由y(x)=ev(sinχ-a),得

/(x)=ev(sinx÷cosχ-^)=e'∣J2sin(X+—aj,

因為函數(shù)yU)=e”(sinx—〃)在區(qū)間(0,兀)上存在極值，

所以∕α)=e?v[√∑sin。+》一&]=0在(0,兀)上有變號零點，

因為OVXV兀，所以e">0,即√∑sin(x+2)—。=0在(0,兀)上有解，

4

轉(zhuǎn)化為〃=d∑sina+：)在(0,兀)上有解.

4

因為0<^<π,所,即一立<sin(x÷-)≤1,

44424

于是得一l<&sin(x+-)≤V∑.由此可得一l<tz≤V2.

4

實數(shù)。的取值范圍是(一1,√2∣.

答案：(I)C(2)B(3)(-1,√2]

鞏固訓(xùn)練2解析：(1)由題意，/(x)=3x2+24x+3,且/(-3)=0,

??f(-3)=27-64+3=0,可得α=5.

??√V)=3f+10x+3=(3x+l)(x+3),

當(dāng)/(x)>0,有x>一：或x<—3,則在(一8,—3),(-?,+8)上外)單調(diào)遞增；

當(dāng)/(x)<0,有一3<x<一/貝U在(-3,一》上加)單調(diào)遞減；

.??x=-3是火x)的極值點.

綜上，a=5.

故選B.

(2)由題意得：/(x)=∕+20r+(α+2);

??7U)定義域為R,且有極大值和極小值，??Λx)=O有兩個不等實根，

???△=4〃2—43+2)>0,解得一1或〃>2,

即實數(shù)。的取值范圍為(一8,—1)∪(2,+∞).

(3)由題意知了(X)=2Λ-4+;=WTg，函數(shù)於)=d—4x+“InX有一個極值點，

由/(x)=0可得a=4x—2r2,則直線y=。與函數(shù)y=4x-2x2在(0,+8)上的圖象只有一

個交點(非切點)，

如圖所示：

由圖可知，當(dāng)αW0時，直線y=n與函數(shù)y=4x—Zr2在(0,+8)上的圖象只有一個交點

(非切點).

答案:(I)B(2)(—8,-l)u(2,+∞)(3)(-∞,0]

例3解析：(1)因為y(x)=∣x2-271nx,x∈[l,2],

所以/(X)=3L,=3(X+3J(X-3)<0,

所以於)在[1,2]上單調(diào)遞減，所以式x)max=/⑴=∣.

故選C.

(2)??y(X)=-^+：=詈，χ∈o+∞).

①當(dāng)〃=O時，在區(qū)間(0,e］±∕(x)=^∣<0,此時函數(shù),/(X)在區(qū)間(O,e］上單調(diào)遞減，

則函數(shù)tf(x)在區(qū)間(O,e］上的最小值為/(e)=I+α

②當(dāng)：<0即〃<0時，在區(qū)間(O,e］?∕(x)<O,此時函數(shù)人工)在區(qū)間(O,e］上單調(diào)遞減，

則函數(shù)./U)在區(qū)間(O,e］上的最小值為/(e)=∣+α

③當(dāng)θ2<e,即公金時，

ae

在區(qū)間(0,∣)±∕(Λ)<O,此時函數(shù)八X)在區(qū)間(0,|)上單調(diào)遞減，

在區(qū)間《，e)±∕ω>0,此時函數(shù)人X)在區(qū)間(4e］上單調(diào)遞增，

aa

則函數(shù)段)在區(qū)間(O,e］上的最小值為淤)=〃+〃In

aa

④當(dāng)》e,即(XaW時,

ae

在區(qū)間(O,e］±∕(x)≤O,此時函數(shù)次幻在區(qū)間(O,e］上單調(diào)遞減，

則函數(shù)fix)在區(qū)間(O,e］上的最小值為y(e)=。+：.

綜上所述，當(dāng)aW∣時，函數(shù)代》在區(qū)間(O,e］上的最小值為α+j當(dāng)α3時，函數(shù)段)在

區(qū)間(O,e］上的最小值為式∣)=α+"In|.

答案：(I)C(2)見解析

鞏固訓(xùn)練3解析：(1)因為∕ζr)=0r+b+COSX(a,ft∈R),

所以，。)=。-SinX,

ff(O)=b÷cosO=b+1=2

由題意得F，加.∩1，

If(O)=a-sιnθ=a=-

所以〃=［,h=?.

(2)由(1)得/(x)=∣r+1÷cosX,/(x)=∣-sin?,

因為x∈［0,2π］,

當(dāng)OaWm時，/(幻，0,函數(shù)7U)單調(diào)遞增，

6

當(dāng)尹時，∕ω<o>函數(shù)式χ)單調(diào)遞減，

66

當(dāng)W1W%<2π時，/(x)20,函數(shù)式x)單調(diào)遞增，

O

故當(dāng)X='時9函數(shù)取得極大值/(F)==×?+1+cos?=1H^~÷

66266122

又共0)=2,∕2π)≈∣×2π+1+cos2π=1+π+1=2+π,

因為2<1+卷+苧<2+π,

故函數(shù)1x)在［0,2兀］上的最大值為2+π.

例4解析：(1)若α=-2,於)=答，所以/(X)=囁2,

所以F(X)>0時，Λ<-1;/(x)<0時，x>~?.

所以人X)在(一8,一1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減，

又大-1)=U芋=e,所以?r)有極大值e,無極小值.

(2)由于/(x)=Wi,

①當(dāng)α+l>2,即時，F(xiàn)(X)>0在(1,2)上恒成立，故√(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，fi,x)

在［1,2］上的最大值為火2)=旨=*，故α=l,滿足心1；

②當(dāng)α+l≤l,即α≤0時，/(x)<0在(1,2)上恒成立，故段)在(1,2)上單調(diào)遞減,於)

在［1,2J上的最大值為川)=?=1，故α=∣一'不滿足α≤0,舍去；

③當(dāng)ICa+1<2,即OeaCl時，由/(X)=二g；掃=0,得X=“+1,

當(dāng)x<a+l時，/(x)>0,當(dāng)Λ>a+1時，/(x)<0,

即兀V)在［1,α+l)上單調(diào)遞增，在3+1,2］上單調(diào)遞減，

故外)的最大值為次4+l)=誓U=磊=，所以a=l,不滿足Oea<1,舍去，

綜上所述，α=l.

鞏固訓(xùn)練4解析：(1)因為./U)=αlnx+6χ2+3,所以/(χ)=j+2bx,

又當(dāng)X=I時，函數(shù)/(x)="Inx+?x2+3取得最大值2,

所以y∏)=2,/(l)=0,即fb上W=,解得匕=-1，α=2,

'>a÷Zb=U

2

所以4x)=2InX-X+3,/(X)=：_2X=2(I-X；(I+X),

所以式x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,十8)上單調(diào)遞減，符合題意，

所以13)=21n3-6.

故選C.

(2)".'βx)=x3-3x,：.f(X)=3X2-3.

令F(X)<0解得一l<x<l；令/(Λ)>0,解得x>l或Λ<-1,

由此可得T(X)在(一8,一I)上時是單調(diào)遞增函數(shù)，在(一1,1)上時是單調(diào)遞減函數(shù)，在(1,

+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，

故函數(shù)y(x)在X=-I處有極大值，在χ=ι處有極小值，

a2-12<-1

a>—1,解得一l<αW2.

lf(a)≤f(-l)

答案：(I)C(2)(-1,2］

真題展臺——知道高考考什么？

1.解析：由題設(shè)知：y(x)=∣2χ-1|-2InX定義域為(O,+°o),

當(dāng)O<x≤g時，Kr)=I-2χ-2InX,此時兀V)單調(diào)遞減；

當(dāng)2<xWl時，√(x)=2x—1-2InX,有了(X)=2-∣W0,此時兀V)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>l時，y(x)=2x—1—21nx,有/(x)=2>0,此時兀V)單調(diào)遞增；

又?.√(x)在各分段的界點處連續(xù)，

.?.綜上有：OaWl時，兀V)單調(diào)遞減，x>l時，汽幻單調(diào)遞增；.?√(x)∕∕(l)=l.

答案：1

2.解析：由題意，得/(x)=2(<∕Ina-ex),易知/(x)至少要有兩個零點為和應(yīng).令g(x)

=f(x),則g<x)=2aX(Ina)2-2e.⑴若a>l,則/(x)在R上單調(diào)遞增，此時若((必)=0,則

g(x)在(一8,Xo)上單調(diào)遞減，在(X0,+8)上單調(diào)遞增，此時若有X=Xl和X=X2分別是函數(shù)

KX)=2av-ex1(a>0且a#1)的極小值點和極大值點，則x∣"2,不符合題意，舍去.(2)若0<?<1,

則g<x)在R上單調(diào)遞減，此時若g，(Xo)=0,則g(x)在(一8,項)上單調(diào)遞增，在(X°,+∞)±

單調(diào)遞減，且Xo=Iog,,e,此時若有X=Xl和X=X2分別是函數(shù)AX)=2CTV-ex2(a>0且a≠i)

Una)A

的極小值點和極大值點，且X1<X2,則需滿足g(xo)>O,即J?>elog"前A，所以a高<就聲所

以Ina=<ln77■工7，即J-Ir?—In(In4，解得三<α<e.又O<α<l,所以故〃