新高考數(shù)學基礎復習講義 34 零點定理（學生版）

考點34零點定理

知識理解

一.函數(shù)的零點

（1）零點的定義：對于函數(shù)y=∕U）,我們把使兀0=0的,實數(shù)X叫做函數(shù)y=Aχ）的零點.

函數(shù)的零點不是函數(shù)與尤軸的交點，而是y=∕i?）與X軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個

點，而是一個實數(shù)

（2）零點的幾個等價關系：

方程式犬）=0有實數(shù)根U函數(shù)y=∕i＞）的圖象與X軸有交點U函數(shù)y=∕（x）有零點.

二.函數(shù)的零點存在性定理

1.如果函數(shù)y=Λx）在區(qū)間口，句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有八。次切＜0,那么，函數(shù)y=∕U）在區(qū)

間3,3內有零點，即存在cG（α,b）,使得人C）=0,這個C也就是方程7（x）=0的根.

2.函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)

函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件

考向分析

考向一求零點

【例1】（2021?全國課時練習）函數(shù)=XInX的零點為（

?.0或1

C.(1,0)D.（0,0）或（（1,0）

【方法總結】

已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(I)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結合的方法求解.

【舉一反三】

1.(2021?上海市西南位育中學=)函數(shù)y=Y一5χ+6的零點是.

2.(2020?巴彥淖爾市臨河區(qū)第三中學高三月考(理))函數(shù)y=f—5%一6的零點是.

考向二零點區(qū)間

【例2】(2021?四川高一開學考試)函數(shù)/(x)=/+；x—2的零點所在區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【舉一反三】

1.(2021?安徽省泗縣第一中學)函數(shù)〃"二-3'+IogLX+4的零點所在的區(qū)間為()

2

A.(2,3)B.(3,4)C.(1,2)D.(0,1)

2.(2021?浙江開學考試)函數(shù)/(x)=?∣-k>g2X的零點所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.(2021?內蒙古包頭市)函數(shù)/(x)=3x+e*的零點所在區(qū)間為()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

考向三零點的個數(shù)

【例3】(2021?云南高三其他模擬)函數(shù)/(x)=l-3SinX在1-24,葛)上的零點個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【例3-2】(2021?江蘇鎮(zhèn)江市)方程?=】OgLX的解的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【舉一反三】

1.（2021?云南昆明市）已知/（x）=Sin（2X+。），則/。）在[0,網(wǎng)上的零點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2021?云南麗江市?麗江第一高級中學）函數(shù)y=∣l0g2X∣-L的零點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3（2021?江西吉安市）函數(shù)/（幻=3》2+]1一2020的零點個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

2,TX>θ

4.（2021?北京高三期末）已知函數(shù)/（x）=[；*]。，則函數(shù)y=/（x）—2N的零點個數(shù)是（）

2.（2021?湖北開學考試）函數(shù)/（無）=尤+館（》一1）一3零點所在的整區(qū)間是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

3.（2021?四川資陽市）方程2'+x=4的根所在的區(qū)間為（）

?.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

4.（2020?全國課時練習）函數(shù)/（x）=In（X+l）-x+l在下列區(qū)間內一定有零點的是（）

?.[0,1]B.[1,2]

C.[2,3]D.[3,4]

5.（2021?廣西河池市=）函數(shù)/（x）=2'+InX—1的零點所在的區(qū)間為（）.

JQ----Λ?>O

6.(2021?全國高三開學考試(文))已知函數(shù)/(x)=j2,一,則函數(shù)y=∕(∕(X))的零點個數(shù)為

[ln(-X),x<0

()

A.1B.2C.3D.4

2

x-2X9X≤0,

7.(2021?北京豐臺區(qū))已知函數(shù)/(x)=1則””的零點個數(shù)為()

——l,x>0,

IX

A.0B.1C.2D.3

8.(2021?山西呂梁市)函數(shù)/(x)=2*+；x—5的零點％∈[α-1間，a∈N*,則。=()

A.1B.2C.3D.4

x

9.(2021?安徽高三期末(文))設函數(shù)/(x)=SinX-IOg3%,^(x)=3-Iog05x,h(x)=sinx-Iog05x?<j

零點分別為a,b,c,則()

A.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

10.(2021?山東威海市?高三期末)若關于X的方程∕rtχ—?=/在(0,+?)上有兩個不等的實數(shù)根，則

實數(shù)”的取值范圍為()

A.(-∞,-l]B.(→o,-l)C.[-l,+∞)D.(-l,+∞)

11.（2021?興義市第二高級中學高三期末（文））已知函數(shù)/（乃=3,+%-9的零點為與，則X。所在區(qū)間為

()

_3_r__j_1'?3^^35^

AA.B.t√?D.

.^2,2.,2,2.,2,2.

—x~一4x一1,X<—1

12.（2021?廣西南寧市?南寧三中高三開學考試（理））已知函數(shù)/（X）="1*若關于X方

PJ,x≥-1

程/（x）=〃?恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.(0,3)B.[2,3)C.(θ,;D.?,lj

13.(2020?重慶市鳳鳴山中學高三月考)函數(shù)/(x)=In(X+1)—2的零點所在的大致區(qū)間是()

X

A.(3,4)B.(2,e)C.(1,2)D.(0,1)

14.(2021?興寧市第一中學高三期末)若Xo=COS/,貝∣J()

ππ

B.X∈

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