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文檔簡介
專題8.7空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(重難點(diǎn)題型精講)1.平面(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺,如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.(2)平面的畫法
①與畫出直線的一部分來表示直線一樣,我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖,即平行四邊形表示平面.
②當(dāng)平面水平放置時,如圖(1)所示,常把平行四邊形的一邊畫成橫向;當(dāng)平面豎直放置時,如圖(2)所示,常把平行四邊形的一邊畫成豎向.(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示,也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點(diǎn),或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為:平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示,點(diǎn)為元素,直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合.點(diǎn)與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示,直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示舉例如下:3.三個基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個推論(1)三個基本事實(shí)及其表示
(2)三個基本事實(shí)的作用
基本事實(shí)1:①確定一個平面;②判斷兩個平面重合;③證明點(diǎn)、線共面.
基本事實(shí)2:①判斷直線是否在平面內(nèi),點(diǎn)是否在平面內(nèi);②用直線檢驗(yàn)平面.
基本事實(shí)3:①判斷兩個平面相交;②證明點(diǎn)共線;③證明線共點(diǎn).(2)基本事實(shí)1和2的三個推論4.空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系
我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是,空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn),作圖時,通常用一個或兩個平面襯托,如圖所示.5.空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種,具體如下:6.空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩種位置關(guān)系兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種,具體如下:(2)兩種位置關(guān)系平行平面的畫法技巧
畫兩個互相平行的平面時,要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.7.平面分空間問題一個平面將空間分成兩部分,那么兩個平面呢?三個平面呢?
(1)兩個平面有兩種情形:
①當(dāng)兩個平面平行時,將空間分成三部分,如圖(1);
②當(dāng)兩個平面相交時,將空間分成四部分,如圖(2).(2)三個平面有五種情形:
①當(dāng)三個平面互相平行時,將空間分成四部分,如圖8(1);
②當(dāng)兩個平面平行,第三個平面與它們相交時,將空間分成六部分,如圖(2);
③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時,將空間分成六部分,如圖(3);
④當(dāng)三個平面相交于三條直線,且三條交線相交于同一點(diǎn)時,將空間分成八部分,如圖(4);
⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線,且三條交線互相平行時,將空間分成七部分,如圖(5).【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論,結(jié)合題目條件,進(jìn)行求解即可.【例1】(2023·高一課時練習(xí))下列命題中,正確命題的個數(shù)是(
)①四邊相等的四邊形為菱形;②若四邊形有兩個對角都為直角,則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形;③“平面不經(jīng)過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點(diǎn)在平面內(nèi)”;④若兩個平面有一條公共直線,則這兩平面的所有公共點(diǎn)都在這條公共直線上.A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式11】(2022春·上海浦東新·高二期末)如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必通過(
)A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D.點(diǎn)C和點(diǎn)M【變式12】(2022·高一課時練習(xí))已知α、β為平面,A、B、M、N為點(diǎn),a為直線,下列推理中錯誤的是(
)A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β,則a?βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β,則直線MN?α,直線MN?βC.A∈α,A∈β,則α∩β=AD.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共線,則α、β重合【變式13】(2022·上海·高二專題練習(xí))下列命題中①空間中三個點(diǎn)可以確定一個平面.②直線和直線外的一點(diǎn),可以確定一個平面.③如果三條直線兩兩相交,那么這三條直線可以確定一個平面.④如果三條直線兩兩平行,那么這三條直線可以確定一個平面.⑤如果兩個平面有無數(shù)個公共點(diǎn),那么這兩個平面重合.真命題的個數(shù)為(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【題型2點(diǎn)共線、點(diǎn)線共面問題】【方法點(diǎn)撥】證明三個或三個以上的點(diǎn)在同一條直線上,主要依據(jù)是基本事實(shí)3.證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論,常用的方法有:(1)輔助平面法,先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面,再證明其余點(diǎn)、線確定平面,最后證明平面,重合;(2)納入平面法,先由條件確定一個平面,再證明有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi).【例2】(2022秋·上海虹口·高二階段練習(xí))如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,(1)證明:E、F、D、B四點(diǎn)共面;(2)對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)(3)證明:BE、DF、CC【變式21】(2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí))如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求證:E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線.【變式22】(2022·全國·高三專題練習(xí))如圖所示,在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證:CE,D1(2)在(1)的結(jié)論中,G是D1E上一點(diǎn),若FG交平面ABCD于點(diǎn)H,求證:P,E,【變式23】(2022·高一課時練習(xí))如圖,在三棱錐A?BCD中,作截面PQR,PQ,CB的延長線交于點(diǎn)M,RQ,DB的延長線交于點(diǎn)N,RP,DC的延長線交于點(diǎn)K.判斷M,N,K三點(diǎn)是否共線,并說明理由.【題型3直線與直線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】1.定義法:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線異面.2.推論法:一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線.3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法):第一步,提出與結(jié)論相反的假設(shè);第二步,由此假設(shè)推出與已知條件或某一基本事實(shí)、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果;第三步,推翻假設(shè),從而證明原結(jié)論是正確的.【例3】(2022秋·上海靜安·高二階段練習(xí))設(shè)A、B、C、D是某長方體四條棱的中點(diǎn),則直線AB和直線CD的位置關(guān)系是(
).A.相交 B.平行 C.異面 D.無法確定【變式31】(2023秋·上海浦東新·高二期末)已知三條直線l1,l2,l3滿足l1∥l2且lA.平行 B.垂直 C.共面 D.異面【變式32】(2023·上?!そy(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,P是正方體ABCD?A1B1C1DA.DD1 B.AC C.AD【變式33】(2022秋·湖南常德·高三期中)下圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列判斷不正確的是(
)A.BF∥DN B.CM∥BNC.DF⊥BN D.直線AE與DN的夾角為60【題型4直線與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系,一般先作出幾何圖形,直觀判斷,然后依據(jù)基本事實(shí)給出證明.另外,借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.【例4】(2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試)如圖,在正方體ABCD?A1B1C1DA.直線在平面內(nèi) B.直線與平面相交但不垂直C.直線與平面相交且垂直 D.直線與平面平行【變式41】(2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模)若m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,則下列結(jié)論正確的是(
)A.若m//α,α//β,則m//βB.若m⊥α,α⊥β,則m//βC.若m//n,n//α,則m//αD.若m⊥α,α//β,則m⊥β【變式42】(2023·全國·高一專題練習(xí))l1、l2是空間兩條直線,α是平面,以下結(jié)論正確的是(A.如果l1∥α,l2∥α,則一定有l(wèi)1∥B.如果l1⊥l2,C.如果l1⊥l2,l2⊥α,則一定有D.如果l1⊥α,l2∥α【變式43】(2022春·廣東廣州·高一期中)如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,點(diǎn)E,A.在正方體ABCD?A1BB.在正方體ABCD?A1BC.在正方體ABCD?A1BD.平面α截正方體ABCD?A【題型5平面與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種:平行和相交.判斷兩個平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個平面之間有沒有公共點(diǎn).解題時要善于將自然語言或符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言,借助空間圖形進(jìn)行判斷.【例5】(2023·高一課時練習(xí))平面α上有三個不共線點(diǎn)到平面β距離相等,則平面α與平面β的位置關(guān)系是(
)A.相交 B.平行 C.垂直 D.相交或平行【變式51】(2022·全國·高一專題練習(xí))在四棱臺ABCD?A1B1C1DA.相交 B.平行C.不確定 D.異面【變式52】(2022·黑龍江·高二學(xué)業(yè)考試)設(shè)l、m是不同的直線,α、β是不同的平面,下列命題中的真命題為()A.若l∥α,m⊥β,l⊥m,則α⊥β B.若l∥α,m⊥β,l⊥m,則α∥βC.若l∥α,m⊥β,l∥m,則α⊥β D.若l∥α,m⊥β,l∥m,則α∥β【變式53】(2022·高一課時練習(xí))給出下列三個命題:①若平面α/平面β,β⊥平面γ,則α⊥γ②若平面α/平面β,β/平面γ,則③若平面α⊥平面β,β⊥平面γ,則α⊥γ.其中真命題的個數(shù)是.A.1 B.2 C.3 D.4【題型6平面分空間問題】【方法點(diǎn)撥】掌握平面分空間的幾種情況,根據(jù)題目條件,進(jìn)行求解即可.【例6】(2022秋·上海浦東新·高二階段練習(xí))三個平面不可能將空間分成(
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