無窮級數(shù)習題及答案(一)40p

習題答案(一)(40)第十一章無窮級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一章11.1常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)收斂,試求其和.且其和為所以解:1.根據(jù)定義判定下列級數(shù)的斂散性,若收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束發(fā)散.所以解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:所以收斂,且其和為(4)解:由于所以且其和為解:收斂,發(fā)散.2.判定下列級數(shù)的斂散性發(fā)散.所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:由于所以解:而調(diào)和級數(shù)因此所給級數(shù)發(fā)散.所給級數(shù)可視為發(fā)散的調(diào)和級數(shù)11.2常數(shù)項級數(shù)的審斂法1.用比較審斂法(或比較審斂法的極限形式)判別下列由于根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)知的和,發(fā)散.解:發(fā)散,與收斂的等比級數(shù)級數(shù)的斂散性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)

解:由于由比較審斂法知而發(fā)散,發(fā)散.解:收斂,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于而由比較審斂法知收斂.解:由于而由于解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂,由比較審斂法知收斂.2.用比值審斂判別下列級數(shù)的斂散性:解:由于所以發(fā)散.由比較審斂法的極限形式知發(fā)散.解:∴原級數(shù)收斂.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束∴原級數(shù)收斂.3.用根值審斂法判定下列級數(shù)的斂散性:解:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束∴原級數(shù)收斂.∴原級數(shù)收斂.4.判定下列正項級數(shù)的斂散性:解:知級數(shù)收斂.而由正項級數(shù)的比較審斂法知:原級數(shù)收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:∴原級數(shù)收斂.解:解:

解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束∴原級數(shù)收斂.為發(fā)散的p級數(shù),由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散.而當時,級數(shù)收斂.5.判定下列級數(shù)是否收斂.若收斂,是絕對收斂還是條件收斂.這是參數(shù)為s的p級數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當當時,級數(shù)發(fā)散.時,級數(shù)變?yōu)楫敃r,級數(shù)收斂.當時,級數(shù)發(fā)散.發(fā)散.又(交錯級數(shù))收斂,且為條件收斂.解:所以原級數(shù)絕對收斂.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:所以原級數(shù)發(fā)散.11.3冪級數(shù)1.求下列冪級數(shù)的收斂域:解:收斂區(qū)間為:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂半徑為:當當時,冪級數(shù)變?yōu)闀r,冪級數(shù)變?yōu)榇思墧?shù)收斂.此級數(shù)也收斂.冪級數(shù)的收斂域為:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束收斂半徑為:冪級數(shù)的收斂域為:解:令原級數(shù)變?yōu)榇思墧?shù)的收斂半徑為:此級數(shù)的收斂區(qū)間為:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當當時,冪級數(shù)變?yōu)闀r,冪級數(shù)變?yōu)榇私诲e級數(shù)收斂.此調(diào)和級數(shù)發(fā)散.原冪級數(shù)的收斂域為:即有:解:所給冪級數(shù)為非標準冪級數(shù),當求收斂半徑.時,即當時,所給冪級數(shù)收斂.應使用比值法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束當當時,原冪級數(shù)變?yōu)闀r,原冪級數(shù)變?yōu)榇私诲e級數(shù)收斂.此交錯級數(shù)也收斂.原冪級數(shù)的收斂域為:2.利用逐項求導(或積分),求下列級數(shù)的和函數(shù):解:先求所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間.收斂半徑為:設(shè)所給冪級數(shù)的和函數(shù)為所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間為即有:上式兩邊積分得:解:先求所給冪級數(shù)的收斂區(qū)間.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上式兩邊求導得:當所給冪級數(shù)缺偶次冪項,時,應使用比值法,

設(shè)所給冪級數(shù)的和函數(shù)為即有上式兩邊求導數(shù)得:上式兩邊積分得:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束所給冪級數(shù)收斂.即當時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束先求所給級數(shù)的收斂區(qū)間.所給冪級數(shù)缺偶次冪項,解:并求常數(shù)項級數(shù)的和.應使用比值法.時,即當時,當所給冪級數(shù)收斂.

設(shè)所給冪級數(shù)的和函數(shù)為即有上式兩邊求導數(shù)得:上式兩邊積分得:即有:上式中令

則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束11.4函數(shù)展開成冪級數(shù)1.將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束并指出展開式成立的區(qū)間解:解:解:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:2.將解:

展開成(x-1)的冪級數(shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:將展開成(x-3)的冪級數(shù).4.將展開成(x+4)的冪級數(shù).解:得由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即有:11.7傅里葉級數(shù)它在[-π,π)上的表達1.設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束式為:(a,b為常數(shù),且a>b>0)試將f(x)展開成傅里葉級數(shù).解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù),它在[-π,π)上的表達式為將f(x)展開成傅里葉級數(shù),討論收斂情況,并畫出和函數(shù)的圖形.解:畫函數(shù)的圖形.從函數(shù)的圖形可知函數(shù)為奇函數(shù).則有:和函數(shù)的圖形如下:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.將展開成傅里葉級數(shù).解:畫函數(shù)的圖形,并作周期延拓.從圖形可看出f(x)為偶函數(shù).所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.將分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)解:畫函數(shù)的圖形,并作周期偶延拓.則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束再作周期奇延拓,如圖示:則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束11.8一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)1.將周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù),它在一個周期內(nèi)的表達式為:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄