高教版概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件-第八章

第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)第四節(jié)大樣本檢驗(yàn)法第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤第六節(jié)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)第八章假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題前一章我們討論了統(tǒng)計(jì)推斷中的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本章將討論另一類統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題－假設(shè)檢驗(yàn).在參數(shù)估計(jì)中我們按照參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)方法建立了參數(shù)的估計(jì)公式，并利用樣本值確定了一個(gè)估計(jì)值，認(rèn)為參數(shù)真值。由于參數(shù)是未知的，只是一個(gè)假設(shè)（假說(shuō)，假想），它可能是真，也可能是假，是真是假有待于用樣本進(jìn)行驗(yàn)證（檢驗(yàn)）.下面我們先對(duì)幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析，給出假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)概念，然后總結(jié)給出檢驗(yàn)假設(shè)的思想和方法.一、統(tǒng)計(jì)假設(shè)某大米加工廠用自動(dòng)包裝機(jī)將大米裝袋,每袋的標(biāo)準(zhǔn)重量規(guī)定為10kg，每天開(kāi)工時(shí)，需要先檢驗(yàn)一下包裝機(jī)工作是否正常.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)知道,自動(dòng)包裝機(jī)裝袋重量X服從正態(tài)分布N（）。某日開(kāi)工后，抽取了8袋，如何根據(jù)這8袋的重量判斷“自動(dòng)包裝機(jī)工作是正常的”這個(gè)命題是否成立？請(qǐng)看以下幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1引號(hào)內(nèi)的命題可能是真，也可能是假，只有通過(guò)驗(yàn)證才能確定。如果根據(jù)抽樣結(jié)果判斷它是真，那么我們接受這個(gè)命題，否那么就拒絕接受它，此時(shí)實(shí)際上我們接受了“機(jī)器工作不正?！边@樣一個(gè)命題。若用H0表示“”，用H1表示其對(duì)立面，即“”，則問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)是否成立，若H0不成立，則H1：成立。一架天平標(biāo)定的誤差方差為10-4（克2），重量為的物體用它稱得的重量X服從N（）。某人懷疑天平的精度，拿一物體稱n次，得n個(gè)數(shù)據(jù)，由這些數(shù)據(jù)（樣本）如何判斷“這架天平的精度是10-4（克2）”這個(gè)命題是否成立？問(wèn)題2記H0:=10-4，其H1:。則問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。某種電子元件的使用壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，現(xiàn)從一批元件中任取n個(gè)測(cè)得其壽命值（樣本）如何判定“元件的平均壽命不小于5000小時(shí)”這個(gè)命題是否成立？記問(wèn)題3那么問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。某種疾病，不用藥時(shí)其康復(fù)率為，現(xiàn)發(fā)明一種新藥（無(wú)不良反應(yīng)），為此抽查n位病人用新藥的治療效果，設(shè)其中有s人康復(fù)，根據(jù)這些信息，能否斷定“該新藥有效”？記問(wèn)題4那么問(wèn)題等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界記錄到震級(jí)4級(jí)及以上的地震共計(jì)162次，問(wèn)相繼兩次地震間隔的天數(shù)X是否服從指數(shù)分布？問(wèn)題5記服從指數(shù)分布，不服從指數(shù)分布。那么問(wèn)題也等價(jià)于檢驗(yàn)H0成立，還是H1成立。在很多實(shí)際問(wèn)題中，我們常常需要對(duì)關(guān)于總體的分布形式或分布中的未知參數(shù)的某個(gè)陳述或命題進(jìn)行判斷，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中將這些有待驗(yàn)證的陳述或命題稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)，簡(jiǎn)稱假設(shè).如上述各問(wèn)題中的H0和H1都是假設(shè).利用樣本對(duì)假設(shè)的真假進(jìn)行判斷稱為假設(shè)檢驗(yàn)。在總體的概率分布情形下，對(duì)分布中的未知參數(shù)作假設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn)，稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)總體的分布未知，對(duì)總體的分布形式或參數(shù)作假設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn)，稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。如上述問(wèn)題1～4為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，問(wèn)題5為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題. 值得注意的是，當(dāng)給定原假設(shè)后，其對(duì)立假設(shè)的形式可能有多個(gè)，如H0:其對(duì)立形式有

在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，常把一個(gè)被檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)，而其對(duì)立面就稱為對(duì)立假設(shè)。上述各問(wèn)題中，H0為原假設(shè)，H1為對(duì)立假設(shè)。當(dāng)H0不成立時(shí)，就拒絕接受H0而接受其對(duì)立假設(shè)H1。選擇哪一種需根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定，因而對(duì)立假設(shè)往往也稱為備選假設(shè)，即在拒絕原假設(shè)后可供選擇的假設(shè).在假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，必須同時(shí)給出原假設(shè)和對(duì)立假設(shè).在參數(shù)假設(shè)中，不論是原假設(shè)還是對(duì)立假設(shè)，若其中只含有一個(gè)參數(shù)值，則稱為簡(jiǎn)單假設(shè)，否則稱為復(fù)合假設(shè)，如H0:，

H1:為簡(jiǎn)單假設(shè)；而H0:，

H1:為復(fù)合假設(shè)。二、假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法如何利用從總體中抽取的樣本來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)關(guān)于總體的假設(shè)是否成立呢？由于樣本與總體同分布，樣本包含了總體分布的信息，因而也包含了假設(shè)H0是否成立的信息，如何來(lái)獲取并利用樣本信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用“概率反證法”和“小概率原理”來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。小概率原理概率很小的事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生.如果小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，那么事屬反常，定有導(dǎo)致反常的特別原因，有理由疑心試驗(yàn)的原定條件不成立。概率反證法欲判斷假設(shè)H0的真假，先假定H0真，在此前提下構(gòu)造一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的小概率事件A。試驗(yàn)取樣，由樣本信息確定A是否發(fā)生，假設(shè)A發(fā)生，這與小概率原理相違背，說(shuō)明試驗(yàn)的前定條件H0不成立，拒絕H0，接受H1；假設(shè)小概率事件A沒(méi)有發(fā)生，沒(méi)有理由拒絕H0，只好接受H0。反證法的關(guān)鍵是通過(guò)推理，得到一個(gè)與常理（定理、公式、原理）相違背的結(jié)論。“概率反證法”依據(jù)的是“小概率原理”。那么多小的概率才算小概率呢？這要由實(shí)際問(wèn)題的不同需要來(lái)決定。以后用符號(hào)記小概率，一般取等。 在假設(shè)檢驗(yàn)中，若小概率事件的概率不超過(guò)，則稱為檢驗(yàn)水平或顯著性水平。

已知某煉鐵廠的鐵水含碳量X～N(4.55,0.06)，現(xiàn)改變了工藝條件，又測(cè)得10爐鐵水的平均含碳量，假設(shè)方差無(wú)變化，問(wèn)總體的均值是否有明顯改變？（取=0.05）下面舉例說(shuō)明以上檢驗(yàn)的思想與方法。例1則與4.55應(yīng)很接近事件較大,待定)不太可能發(fā)生解由問(wèn)題提出假設(shè)H0:，H1:假設(shè)H0成立由于未知用其無(wú)偏估計(jì)來(lái)代替用來(lái)衡量與4.55之間的差異如果較大則可認(rèn)為所以在H0成立的前提下即P〔A〕很小令P〔A〕=α，確定d是解決問(wèn)題的關(guān)鍵由此確定了小概率事件由可知因此在H0成立的前提下，統(tǒng)計(jì)量顯然因此即由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上分位點(diǎn)的定義可知由=0.05，得由于說(shuō)明小概率事件A未發(fā)生，因此接受假設(shè)H0即認(rèn)為總體均值等于4.55在隨機(jī)試驗(yàn)中，小概率事件有許多，關(guān)鍵是要找一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的小概率事件。由P(A)=同樣可確定d本例中，若取最后的檢驗(yàn)將出現(xiàn)這樣一種傾向越與4.55接近，越要拒絕這樣的判別方法顯然不合理，錯(cuò)誤在于：在H0成立的前提下，這樣取小概率事件A不合理。在本例中，若設(shè)則A：(X1，X2，…，X10)D是使小概率事件A發(fā)生的所有10維樣本值〔x1，…，x10〕構(gòu)成的集合則拒絕接受H0等價(jià)于一般，若拒絕接受其中D是n維空間Rn中的區(qū)域，那么稱D為假設(shè)H0的拒絕域或否認(rèn)域、臨界域稱D的補(bǔ)集為H0的接受域檢驗(yàn)中所用的統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量樣本觀測(cè)值（x1，x2，…，x10）樣本觀測(cè)值（x1，x2，…，xn）執(zhí)行統(tǒng)計(jì)判決:求統(tǒng)計(jì)量的值，并查表求出有關(guān)數(shù)據(jù)，判斷小概率事件是否發(fā)生，由此作出判決提出假設(shè):根據(jù)問(wèn)題的要求，提出原假設(shè)H0與對(duì)立假設(shè)H1，給定顯著水平及樣本容量n。總結(jié)例8.1處理問(wèn)題的思想與方法，可得處理參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟如下：〔1〕〔2〕〔3〕確定拒絕域:用參數(shù)的一個(gè)好的估計(jì)量(通常取為的無(wú)偏估計(jì))來(lái)代替,分析拒絕域D的形式，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g(),在H0成立的前提下確定g()的概率分布,通過(guò)等式確定D其中確定拒絕域是關(guān)鍵.拒絕域的形式一般由原假設(shè)與對(duì)立假設(shè)共同確定，對(duì)同一原假設(shè)H0，不同的對(duì)立假設(shè)，所得到的H0的拒絕域可能不同。請(qǐng)看下例。例2數(shù)據(jù)同例8.1，問(wèn)總體的均值是否明顯大于4.55？在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，只有當(dāng)與4.55的偏差大到一定程度時(shí)才可認(rèn)為在本例中，拒絕H0時(shí)接受的是，因而H0的拒絕取為較合理此問(wèn)題的合理假設(shè)為解的無(wú)偏估計(jì)是的一個(gè)很好的近似值用代替在例8.1中，拒絕H0時(shí)接受的是H1:兩個(gè)數(shù)的偏差用其差的絕對(duì)值來(lái)衡量因而其拒絕域設(shè)為較合理與例8.1中的拒絕域不同在H0成立的條件下,事件發(fā)生的概率應(yīng)很小設(shè)P（A）=，統(tǒng)計(jì)量由得所以拒絕域?yàn)樗耘袥Q結(jié)果為：接受H0三、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的關(guān)系參數(shù)的區(qū)間估計(jì)則是找一個(gè)隨機(jī)區(qū)間I，使I包含待估參數(shù)是個(gè)大概率事件參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)鍵是要找一個(gè)確定性的區(qū)域(拒絕域)，使得當(dāng)H0成立時(shí)，事件是一個(gè)小概率事件一旦抽樣結(jié)果使小概率事件發(fā)生，就否認(rèn)原假設(shè)H0對(duì)此兩類問(wèn)題，都是利用樣本對(duì)參數(shù)作判斷：一個(gè)是由小概率事件否定參數(shù)屬于某范圍，另一個(gè)則是依大概率事件確信某區(qū)域包含參數(shù)的真值.兩者本質(zhì)上殊途同歸，一類問(wèn)題的解決，導(dǎo)致解決另一類問(wèn)題類比方案的形成。為的置信區(qū)間如設(shè)總體已知，給定容量n的樣本則參數(shù)的置信度為樣本均值為的置信區(qū)間為假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)榻邮苡驗(yàn)闀r(shí)，接受也就是說(shuō)，當(dāng)即在區(qū)間內(nèi)，此區(qū)間正是的置信度第二節(jié)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)本節(jié)討論有關(guān)正態(tài)總體的均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題構(gòu)造適宜的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其概率分布是解決檢驗(yàn)問(wèn)題的關(guān)鍵若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（分布，F(xiàn)分布）那么所得到的相應(yīng)檢驗(yàn)法稱為U檢驗(yàn)法(檢驗(yàn)法，F(xiàn)檢驗(yàn)法)一、U檢驗(yàn)法〔方差〕在方差的條件下，對(duì)一個(gè)正態(tài)總體的均值或兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn)常用U檢驗(yàn)法。假設(shè)X1，X2，…，Xn為取自總體X的樣本設(shè)總體已知，給定顯著水平檢驗(yàn)以下不同形式的假設(shè)問(wèn)題：下面我們來(lái)求H03的拒絕域前兩個(gè)為簡(jiǎn)單假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，我們已在例8.1及例8.2中求出其拒絕域分別為和其中（1）H03的拒絕域形式為等價(jià)形式為（k待定）若H03成立，則要控制只需令由此得此處所以H03的拒絕域?yàn)椋?）比較兩種假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：可以看出盡管兩者原假設(shè)形式不同，實(shí)際意義也不一樣，但對(duì)于相同的顯著水平α，它們的拒絕域是相同的。因此，遇到H03與H13的檢驗(yàn)問(wèn)題，可歸結(jié)為H02與H12來(lái)討論。對(duì)于后面將要討論的有關(guān)正態(tài)總體的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題也有類似結(jié)果下面求兩個(gè)正態(tài)總體均值差檢驗(yàn)的拒絕域。設(shè)總體X與Y相互獨(dú)立已知從兩總體中分別取容量為n1、n2的樣本用、分別表示樣本均值給定顯著水平檢驗(yàn)假設(shè)的無(wú)偏估計(jì)分別為顯然，H0的拒絕形式應(yīng)為（k待定）由于若H0真，則統(tǒng)計(jì)量由得拒絕域?yàn)椋?）例1

一種燃料的辛烷等級(jí)服從正態(tài)分布，其平均等級(jí)，標(biāo)準(zhǔn)差?，F(xiàn)抽取25桶新油，測(cè)試其等級(jí)，算得平均等級(jí)為97.7。假定標(biāo)準(zhǔn)差與原來(lái)一樣，問(wèn)新油的辛烷平均等級(jí)是否比原燃料的辛烷平均等級(jí)偏低？（）解按題意需檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域（參閱表8－1）查正態(tài)分布表得計(jì)算統(tǒng)計(jì)值執(zhí)行統(tǒng)計(jì)判決故拒絕H0，即認(rèn)為新油的辛烷平均等級(jí)比原燃料辛烷的平均等級(jí)確定偏低。二、T檢驗(yàn)法〔方差未知〕設(shè)總體未知對(duì)顯著水平檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域形式（k待定）注意到S2是的無(wú)偏估計(jì)，用S代替由于未知，現(xiàn)在不能用來(lái)作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量采用作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量當(dāng)H0真時(shí)，由得所以拒絕域?yàn)椋?）類似可給出假設(shè)的拒絕域?yàn)椋?）對(duì)正態(tài)總體關(guān)于的各種形式的假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域列于表8－1。例2一手機(jī)生產(chǎn)廠家在其宣傳廣告中聲稱他們生產(chǎn)的某種品牌的手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的平均值至少為71.5小時(shí)，一質(zhì)檢部門(mén)檢查了該廠生產(chǎn)的這種品牌的手機(jī)6部，得到的待機(jī)時(shí)間為69，68，72，70，66，75設(shè)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，由這些數(shù)據(jù)能否說(shuō)明其廣告有欺騙消費(fèi)者之嫌疑？（）解

問(wèn)題可歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè)由于方差未知，用T檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域計(jì)算統(tǒng)計(jì)值查t分布表，得統(tǒng)計(jì)判決故接受H0，即不能認(rèn)為該廠廣告有欺騙消費(fèi)者之嫌疑下面求兩個(gè)正態(tài)總體均值相等性檢驗(yàn)的拒絕域。設(shè)總體獨(dú)立未知X1，…，Xn1取自總體X樣本方差為其樣本均值為Y1，…，Yn2取自總體Y其樣本均值為，樣本方差為給定顯著水平，檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域形式為（k待定）由第六章的結(jié)果知：當(dāng)H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量由得例3

對(duì)用兩種不同熱處理方法加工的金屬材料做抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)，得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28設(shè)兩種熱處理加工的金屬材料的抗拉強(qiáng)度都服從正態(tài)分布，且方差相等。比較兩種方法所得金屬材料的平均抗拉強(qiáng)度有無(wú)顯著差異。（）解記兩總體的正態(tài)分布為本題是要檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為拒絕域?yàn)橛?jì)算統(tǒng)計(jì)值查t分布表，得統(tǒng)計(jì)判決：由于故拒絕H0即認(rèn)為兩種熱處理方法加工的金屬材料的平均抗拉強(qiáng)度有顯著差異。第三節(jié)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)設(shè)總體未知，樣本方差為給定顯著性水平，檢驗(yàn)假設(shè)的無(wú)偏估計(jì)為，若成立，則比值一般來(lái)說(shuō)應(yīng)在1附近擺動(dòng)。若與1的偏差較大，則拒絕所以可取拒絕域形式為：或當(dāng)成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量設(shè)為計(jì)算方便，將偏大或偏小的概率看作相等令由此得拒絕域?yàn)椋夯虻谒墓?jié)大樣本檢驗(yàn)法在前面討論的所有假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，我們都有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的分布，并由此確定拒絕域。但在許多問(wèn)題中，很難求得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，有時(shí)即使能求出，使用上也很不方便〔如二項(xiàng)分布參數(shù)p的檢驗(yàn)問(wèn)題〕實(shí)際應(yīng)用中往往求助于統(tǒng)計(jì)量的極限分布.假設(shè)抽取大量樣本〔大樣本〕，并用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布來(lái)近似作為其分布，由此得到的檢驗(yàn)方法稱為大樣本檢驗(yàn)法?，F(xiàn)從每一總體中各取一樣本，其樣本容量、樣本均值、樣本方差分別記為一、兩總體均值差的大樣本檢驗(yàn)

設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立總體X，Y，其均值和方差分別為并且n1、n2很大。給顯著水平檢驗(yàn)假設(shè)假設(shè)兩總體均為正態(tài)分布，由的討論知當(dāng)已知時(shí)，可用U檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)；當(dāng)未知但時(shí)，可用T檢驗(yàn)法來(lái)檢驗(yàn)此處總體分布未知，即使總體為正態(tài)分布，因而也不能用T檢驗(yàn)。下面我們用大樣本方法給出此假設(shè)的近似檢驗(yàn)法。未知且與不一定相等由于當(dāng)n1很大時(shí)，由中心極限定理知即同理，當(dāng)n2很大時(shí)用代替，用代替由于獨(dú)立所以分別是的很好近似值仍有由此可得拒絕域?yàn)椋╪1，n2很大）（8－9）

設(shè)P〔A〕=p,在n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為X那么X~B〔n,p〕給定顯著水平檢驗(yàn)假設(shè)H0：p=p0H1：p>p0〔0<p0<1,p0〕設(shè)那么X1,X2,…,Xn獨(dú)立，且都服從參數(shù)p的〔0-1〕分布，X=X1+X2+…+Xn由中心極限定理，當(dāng)時(shí)，當(dāng)H0真，且n很大時(shí)，由此可得拒絕為（8－10）第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤用概率反證法檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)的推理依據(jù)是小概率原理在一次抽樣中，假設(shè)小概率事件發(fā)生了，那么拒絕原假設(shè)；假設(shè)小概率事件沒(méi)有發(fā)生，拒絕原假設(shè)的理由不充分，因而只好接受原假設(shè)。這樣的檢驗(yàn)結(jié)果可能出現(xiàn)以下兩種類型的錯(cuò)誤。一、犯兩類錯(cuò)誤的概率P（拒絕H0|H0真）=P（小概率事件）≤(8-12)第Ⅰ類錯(cuò)誤〔棄真〕當(dāng)原假設(shè)H0真時(shí)，抽樣結(jié)果說(shuō)明小概率事件發(fā)生了，按檢驗(yàn)法將拒絕H0，這樣就犯了所謂“棄真”的錯(cuò)誤。給定顯著水平，由于所以棄真概率不超過(guò)顯著水平棄真概率為P〔拒絕H0|H0真〕(8-11)第Ⅱ類錯(cuò)誤〔取偽〕當(dāng)H0假時(shí)，抽樣結(jié)果說(shuō)明小概率事件沒(méi)有發(fā)生，按檢驗(yàn)法將接受H0，這樣就犯了所謂“取偽”的錯(cuò)誤。取偽概率為P〔接受H0|H1真〕(8-13)例1

設(shè)總體，未知，求關(guān)于假設(shè)的U檢驗(yàn)法的兩類錯(cuò)誤概率。解檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕域棄真概率P（拒絕H0|H0真）=P（|U|≥）=取偽概率P(拒絕H0|H0真)=P（|U|≥|H1真）其中的真值二、兩類錯(cuò)誤概率的控制前面我們處理參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題時(shí)，實(shí)際上只考慮了控制第I類（棄真）錯(cuò)誤概率不超過(guò)顯著水平

。在一些實(shí)際問(wèn)題中，如果錯(cuò)誤地接受了某個(gè)假設(shè)可能造成重大損失或由此帶來(lái)災(zāi)難性的結(jié)果，因而在接受這類假設(shè)時(shí)要特別慎重，也就是要控制第Ⅱ類（取偽）錯(cuò)誤概率。自然希望選擇一個(gè)優(yōu)良的檢驗(yàn)方法，使得出現(xiàn)兩類錯(cuò)誤的概率都很小。定義

若是參數(shù)的某檢驗(yàn)問(wèn)題的一個(gè)檢驗(yàn)法，當(dāng)H0假時(shí)，1-表示取偽的概率將兩類錯(cuò)誤概率用統(tǒng)一的函數(shù)表示出來(lái)：{拒絕H0}（8－14）稱為檢驗(yàn)法的功效函數(shù)當(dāng)H0真時(shí)，表示棄真的概率一個(gè)優(yōu)良的檢驗(yàn)法，應(yīng)使在H0真時(shí)盡可能小，在H0假時(shí)盡可能大。這兩方面的要求是矛盾的，正如在區(qū)間估計(jì)問(wèn)題中，“置信度高”與“估計(jì)精確”是矛盾的。那里，我們采用在保證一定的置信度下使區(qū)間長(zhǎng)度盡可能小的原那么。選擇一種優(yōu)良檢驗(yàn)的策略思想與此類似，即先保證棄真的概率不超過(guò)指定值，再設(shè)法控制取偽概率。為便于說(shuō)明，繼續(xù)例8.9的討論。檢驗(yàn)的成效函數(shù){拒絕H0}其中取偽概率（記為）棄真概率(8-15)由于當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)取最大值當(dāng)與的偏差越大，取偽的概率越?。淮藭r(shí)，越小，越大，見(jiàn)圖8－1當(dāng)與非常接受時(shí)，取偽的概率幾乎等于其含義為：由此可知，當(dāng)與n都給定時(shí)不可能同時(shí)控制兩類錯(cuò)誤概率都很小下面先控制棄真的概率為再來(lái)考慮如何減小取偽概率由于要控制取為偽概率(很小)只要使足夠大有兩種方法可使增大〔1〕減小試驗(yàn)誤差；〔2〕取樣本數(shù)目n很大。在實(shí)際中，試驗(yàn)誤差不可能無(wú)限小，因而一般采用加大樣本容量n的方法來(lái)控制取偽概率，但這是以消耗大量人力、物力、財(cái)力為代價(jià)的。在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)“棄真”或“取偽”所造成的有害程度來(lái)確定、的值。第六節(jié)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)前面我們討論了參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，所檢驗(yàn)的對(duì)象是總體分布中的未知參數(shù)，而總體分布函數(shù)的函數(shù)形式是的.假設(shè)總體分布未知，對(duì)總體分布或有關(guān)參數(shù)所作的檢驗(yàn)稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)本節(jié)將討論幾種重要的非參數(shù)檢驗(yàn)問(wèn)題一、分布擬合檢驗(yàn)問(wèn)題對(duì)某對(duì)象〔產(chǎn)品、元件，農(nóng)作物等〕的某特性指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試，獲得一大批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如何利用這些數(shù)據(jù)〔樣本〕確定此指標(biāo)〔總體〕的概率分布要解決此問(wèn)題，一般需要做以下兩方面的工作用極大似然估計(jì)法求出的估計(jì)值第一步擬合總體分布形式如果事先沒(méi)有任何關(guān)于總體分布的經(jīng)驗(yàn)或依據(jù)，對(duì)連續(xù)型總體，一般先把抽樣所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，然后作出樣本分組頻數(shù)分布直方圖.由此確定總體分布函數(shù)形式其中是未知參數(shù)從而猜測(cè)總體的分布函數(shù)為第二步擬合好壞的檢驗(yàn)設(shè)總體的真實(shí)分布為F〔x〕，給定顯著水平及樣本觀測(cè)值x1，x2，…xn，檢驗(yàn)假設(shè)1．樣本頻率分布直方圖第六章已經(jīng)介紹了直方圖及其作法，為這里的討論方便起見(jiàn)，對(duì)此再作一些介紹設(shè)總體X為連續(xù)型，下面利用樣本數(shù)值來(lái)擬合總體分布密度函數(shù)f(x)根據(jù)樣本值的情況，將其分為l組，各組范圍為其中記mi=落在[ai-1,ai)內(nèi)的樣本數(shù)，那么事件Ai發(fā)生的頻率為Ai發(fā)生的概率為作表此表稱為樣本分組頻數(shù)分布表在每個(gè)區(qū)間[ai-1,ai）上，以此區(qū)間為底，以為高作一矩形〔i=1,2,…,l〕，這樣的圖形稱為樣本組頻率分布直力圖，見(jiàn)圖8.2因而每個(gè)小區(qū)間上的小矩形的面積接近于概率密度曲線之下該區(qū)間之上的曲邊梯形的面積一般來(lái)說(shuō)，n越大且分組越細(xì)，那么直方圖的外廓曲線越接近于總體的概率密度曲線對(duì)離散型總體，雖然不能畫(huà)樣本分組頻率直方圖，但仍可給出樣本分組頻數(shù)分布表第i個(gè)小區(qū)上矩形的面積為，由大數(shù)定律可知，當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率2．?dāng)M合優(yōu)度檢驗(yàn)要檢驗(yàn)假設(shè)H0，必須利用樣本建立用以衡量F〔x〕與F0〔x〕差異的統(tǒng)計(jì)量這種統(tǒng)計(jì)量有多種選擇，下面介紹皮爾遜〔Person〕檢驗(yàn)法在H0為真的前提下，事件Ai的概率為npi稱為事件Ai的理論頻數(shù)，作表此表稱為分組理論頻數(shù)分布表它與樣本分組頻數(shù)分布表的差異反映了F(x)與F0(x)的差異用統(tǒng)計(jì)量（8-16）來(lái)衡量皮爾遜證明了以下定理顯然，H0的拒絕域形式為（k待定）若n很大（），則當(dāng)H0成立時(shí)，定理于是得到H0的拒絕域?yàn)槠栠d檢驗(yàn)法是基于上述定理得到的（8-17）在使用時(shí)必須注意n要足夠大，以及每個(gè)否那么應(yīng)適當(dāng)合并組，以滿足這一要求。例1

自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中，全世界記錄到震級(jí)4級(jí)及以上的地震共計(jì)162次，統(tǒng)計(jì)如下：試檢驗(yàn)相繼兩次地震間隔的天數(shù)服從指數(shù)分布。（）86681017263150出現(xiàn)的頻數(shù)震間隔天地≥4035～3930～3425～2920～2415～1910～145～90～4相繼兩次地由于總體為連續(xù)型，我們將X的可能取值的區(qū)間分為9個(gè)互不重疊的小區(qū)間解按題意需檢驗(yàn)假設(shè)由于未知，先用極大似然估計(jì)求得的估計(jì)為取若H0真，則計(jì)算結(jié)果列于表8.2有些組的應(yīng)適當(dāng)合并組，使每組均有如第四列花括號(hào)所示。并組后的組數(shù)l=8。

0.56330.04610.78080.05688A9:39.5≤x<0.2486A8:34.5≤x<39.50.00690.20045.79960.03586A7:29.5≤x<34.50.0126-0.32688.32680.05148A6:24.5≤x<29.50.3248-1.971811.97180.073910A5:19.5≤x<24.50.0024-0.204417.20440.106217A4:14.5≤x<19.50.06441.262624.73740.152726A3:9.5≤x<14.50.5884-4.575235.57520.219631A2:4.5≤x<9.50.51754.834445.16560.278850A1:0≤x<4.5（mi-npi）2/npimi-npinpipimiAi表8－2例1的檢驗(yàn)計(jì)算表H0的拒絕域?yàn)槠渲杏捎诠试谒较陆邮蹾0，認(rèn)為總體服從指數(shù)分布。號(hào)碼0123456789出現(xiàn)的頻數(shù)74928379807377757691例8.10一臺(tái)搖獎(jiǎng)機(jī)是一個(gè)圓球形形容器，內(nèi)有10個(gè)質(zhì)地均勻的小球，分別標(biāo)有0，1，2，…，9的數(shù)碼。轉(zhuǎn)動(dòng)容量讓小球隨機(jī)分布，然后從中掉出一球，其號(hào)碼為X。如果搖獎(jiǎng)機(jī)合格，那么X的分布律應(yīng)為現(xiàn)用這臺(tái)搖獎(jiǎng)機(jī)做了800次試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：試用這些數(shù)據(jù)檢驗(yàn)該搖獎(jiǎng)機(jī)是否合格？（）解由題意要檢驗(yàn)假設(shè)將數(shù)據(jù)按號(hào)碼分為10組，分組為記當(dāng)H0為真時(shí)計(jì)算列于表8.3中表8－3例2的檢驗(yàn)計(jì)算表4.1250.512511800.171A90.2-4800.176A80.3125-5800.175A70.1125-3800.177A60.6125-7800.173A500800.180A40.0125-1800.179A30.11253800.183A21.812800.192A10.45-6800.174A0mi-npinpipimiAiH0的拒絕域其中由于故接受H0，即認(rèn)為搖獎(jiǎng)機(jī)是合格的。3．偏度、峰度檢驗(yàn)上面介紹的檢驗(yàn)法雖然是檢驗(yàn)總體分布的較一般方法，但用它來(lái)檢驗(yàn)總體的正態(tài)性時(shí)，犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率往往較大。由于正態(tài)分布廣泛地存在于客體世界，因此，當(dāng)研究一個(gè)連續(xù)型總體時(shí)，人們往往先考察它是否服從正態(tài)分布。為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)家們對(duì)檢驗(yàn)正態(tài)總體的種種方法進(jìn)行了比較，認(rèn)為其中以“偏度、峰度檢驗(yàn)法”及“夏皮羅-威爾克法”較為有效。在這里我們僅介紹偏度、峰度檢驗(yàn)法這種檢驗(yàn)法的理論依據(jù)是正態(tài)分布曲線是對(duì)稱的，且陡緩適當(dāng)為此，引入兩個(gè)量，一個(gè)表示曲線的偏斜度，另一個(gè)表示密度曲線的陡緩度。

設(shè)隨機(jī)變量X的k階中心矩為分別稱為X的偏度和峰度從總體X中取一樣本，記Bk為樣本的k階中心矩則、的矩法估計(jì)量分別為并分別稱g1，g2為樣本偏度和樣本峰度若總體X服從正態(tài)分布，則且當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，近似地有而g2與的偏離不應(yīng)太大因此，當(dāng)n充分大時(shí)，g1與的偏離不應(yīng)太大故假設(shè)H0：X服從正態(tài)分布的拒絕域形式應(yīng)為或其中k1，k2由下兩式確定當(dāng)n充分大時(shí)由此得到了H0的顯著水平為的拒絕域。二、兩總體相等性檢驗(yàn)設(shè)兩總體X，Y的分布函數(shù)分別為F1(x)與F2(x)，如何檢驗(yàn)F1(x)與F2(x)是否相同呢？在總體分布類型時(shí)，此問(wèn)題可以歸納為兩總體參數(shù)〔如數(shù)字特征等〕是否相等這種參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。在總體分布類型完全未知時(shí)，我們只能采用非參數(shù)檢驗(yàn)法。下面介紹兩種簡(jiǎn)單且實(shí)用的非參數(shù)檢驗(yàn)法：符號(hào)檢驗(yàn)法與秩和檢驗(yàn)法。1．符號(hào)檢驗(yàn)法從總體X，Y中分別取容量均為N的樣本X1，X2，…，XN和Y1，Y2，…，YN檢驗(yàn)假設(shè)H0:F1(x)=F2(y)H1:F1(x)≠F2(y)將數(shù)據(jù)配對(duì)排好，列成表。當(dāng)xi>yi時(shí)，取“+”號(hào)；當(dāng)xi<yi時(shí)，取“-”號(hào)；當(dāng)xi=yi時(shí)，取“0”，并用n+和n-分別表示“+”號(hào)與“-”號(hào)的個(gè)數(shù)。假設(shè)H0成立，兩總體分布相同，n+與n-應(yīng)相差不大。由于試驗(yàn)誤差，它們會(huì)有一定的差異但差異不宜過(guò)大如假設(shè)過(guò)大，就認(rèn)為不僅僅有實(shí)驗(yàn)誤差，而認(rèn)為F1(x)與F2(x)有差異。記n=n++n-，選統(tǒng)計(jì)量對(duì)于n和給定查符號(hào)檢驗(yàn)表（見(jiàn)附表6）可得相應(yīng)的當(dāng)時(shí)，則拒絕H0認(rèn)為兩總體分布有顯著差異例3研究車(chē)間播放音樂(lè)對(duì)工人生產(chǎn)效率的影響。該車(chē)間有10名工廠，播放音樂(lè)前與播放音樂(lè)后各30天平均日產(chǎn)量〔件〕如表8－4所示，由此能否說(shuō)明音樂(lè)有助于提高生產(chǎn)率？〔〕表8－4播放音樂(lè)前后平均日產(chǎn)量〔件〕不放音樂(lè)x90809284888782857079播放音樂(lè)y99859783819472858289符號(hào)———++—+0——

解要檢驗(yàn)播放音樂(lè)對(duì)工人生產(chǎn)效率有無(wú)影響，就是檢驗(yàn)假設(shè)由上表可知n+=3n-=6n=9S=3查附表6，得S0.05〔9〕=1由于S>S0.05〔9〕故接受H0即認(rèn)為播放音樂(lè)對(duì)生產(chǎn)率沒(méi)有顯著影響2．秩和檢驗(yàn)從兩總體X，Y中分別取容量為n1，n2的樣本檢驗(yàn)假設(shè)將兩總體的n1+n2觀測(cè)值放在一起，按從小到大的順序排列。假設(shè)H0成立，那么總體X，Y同分布，兩總體的觀測(cè)值應(yīng)較均勻地分布在此排列中。假設(shè)分布不均勻，那么認(rèn)為H0不成立如何構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述這種均勻性呢？每個(gè)觀測(cè)值在此排列中的序號(hào)稱為這個(gè)觀測(cè)值的秩假設(shè)有幾個(gè)觀測(cè)值相同，那么每個(gè)觀測(cè)值的秩取為這幾個(gè)數(shù)的序號(hào)的平均值.求出每個(gè)觀測(cè)值的秩.將屬于總體X的樣本觀測(cè)值的秩相加，其和記為R1，稱為總體X的樣本秩和.同理，將其余觀測(cè)值的秩相加得總體Y的樣本秩和R2.顯然，R1，R2為離散型隨機(jī)變量，且有設(shè)取T=R1為統(tǒng)計(jì)量假設(shè)H0成立，秩和R1一般來(lái)說(shuō)不應(yīng)取太靠近上述不等式兩端的值.因而，當(dāng)R1的觀測(cè)值過(guò)大或過(guò)小時(shí)，我們就拒絕H0拒絕域?yàn)槠渲蠺1，T2可由附表7查得或Ⅰ2.363.147.523.482.765.436.547.41Ⅱ4.384.256.543.287.216.54試問(wèn)兩總體是否同分布？（