物理人教版必修2學(xué)案5-4圓周運動

4圓周運動知識點一描述圓周運動的物理量1．線速度(1)物理意義：描述質(zhì)點沿圓周運動(通過弧長)的快慢．(2)定義：質(zhì)點沿圓弧通過的弧長與所用時間的比值，叫做線速度．(3)公式：v＝eq\f(Δs,Δt).(4)方向：質(zhì)點在圓弧某點的線速度方向，沿圓弧該點的切線方向．2．勻速圓周運動物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫做勻速圓周運動．3．角速度(1)物理意義：描述質(zhì)點繞圓心轉(zhuǎn)動(掃過角度)的快慢．(2)定義：質(zhì)點與圓心連線掃過的角度與所用時間的比值，叫做角速度．(3)公式：ω＝eq\f(Δθ,Δt).(4)單位：國際單位制中角度的單位是弧度，符號是rad；角速度的單位是弧度每秒，符號是rad/s或rad·s－1.4．轉(zhuǎn)速與周期(1)轉(zhuǎn)速n：轉(zhuǎn)速是指物體單位時間轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，單位為轉(zhuǎn)每秒(r/s)或轉(zhuǎn)每分(r/min)．(2)周期T：做勻速圓周運動的物體，轉(zhuǎn)過一周所用的時間叫周期．(3)周期T與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系：T＝eq\f(1,n)(式中n的單位使用r/s)．直線運動的速度公式是v＝Δx/Δt，圓周運動線速度的定義式是v＝Δs/Δt，這兩個公式中的Δx和Δs的物理意義是否相同？若不同，請找出其不同之處．提示：直線運動的速度公式v＝eq\f(Δx,Δt)和圓周運動線速度的定義式v＝eq\f(Δs,Δt)中的Δx和Δs的物理意義不相同，公式v＝eq\f(Δx,Δt)中的Δx表示Δt時間內(nèi)的位移，是矢量，圓周運動線速度的定義式v＝eq\f(Δs,Δt)中的Δs表示Δt時間內(nèi)質(zhì)點通過的弧長，是標量，圓周運動線速度的定義式v＝eq\f(Δs,Δt)只定義了做圓周運動的物體沿圓周運動的快慢，并未定義運動的方向．知識點二線速度與角速度的關(guān)系1．線速度與角速度的關(guān)系是：v＝rω.2．線速度與角速度關(guān)系的推導(dǎo)過程：由線速度的定義式v＝eq\f(Δs,Δt)，角速度的定義式ω＝eq\f(Δθ,Δt)，圓心角與弧長的關(guān)系式Δs＝rΔθ，三式聯(lián)立可得v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(rΔθ,Δt)＝rω.考點一描述圓周運動的各物理量之間的關(guān)系1．描述圓周運動的物理量線速度角速度周期轉(zhuǎn)速定義或意義描述圓周運動的物體運動快慢的物理量描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量物體沿圓周運動一周所用的時間物體單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)標量、矢量是矢量、方向和半徑垂直，和圓弧相切是矢量，有方向，但中學(xué)階段不研究是標量是標量公式v＝eq\f(Δs,Δt)ω＝eq\f(Δθ,Δt)T＝eq\f(2πr,v)n＝eq\f(轉(zhuǎn)過圈數(shù),所用時間)單位m/srad/ssr/min或r/s2.各物理量之間的關(guān)系【例1】如圖所示，圓環(huán)以直徑AB為軸勻速轉(zhuǎn)動，已知其半徑R＝0.5m，轉(zhuǎn)動周期T＝4s，求環(huán)上P點和Q點的角速度和線速度．圓環(huán)及環(huán)上各點都繞AB軸做勻速圓周運動，P、Q兩點的角速度相等，P、Q兩點做圓周運動的圓心分別為由P和Q向AB分別作垂線的垂足，P做圓周運動的半徑為rP＝R·sin30°，Q做圓周運動的半徑為rQ＝R·sin60°，然后再由v、ω、r之間的關(guān)系求解．【解析】整個圓環(huán)以AB為軸勻速轉(zhuǎn)動，環(huán)上各點的角速度相同．求線速度，則需找出P點和Q點做圓周運動的半徑．P點和Q點的角速度相同，其大小是ω＝eq\f(2π,T)≈1.57rad/s.P點和Q點繞AB做圓周運動，其圓心不同．P點和Q點的圓半徑分別為rP＝R·sin30°＝eq\f(1,2)R，rQ＝R·sin60°＝eq\f(\r(3),2)R.故其線速度分別為vP＝ω·rP≈0.39m/s，vQ＝ω·rQ≈0.68m/s.【答案】角速度都為1.57rad/sP點的線速度為0.39m/sQ點的線速度為0.68m/s總結(jié)提能解決此類題目首先要確定質(zhì)點做圓周運動的軌跡所在的平面，以及圓周運動圓心的位置，從而確定圓周的半徑，然后由v、ω的定義式及v、ω、R的關(guān)系式來計算．做勻速圓周運動的物體，10s內(nèi)沿半徑為20m的圓周運動100m，試求物體做勻速圓周運動時：(1)線速度的大?。?2)角速度的大?。?3)周期的大?。馕觯?1)依據(jù)線速度的定義式v＝eq\f(Δs,Δt)可得v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(100,10)m/s＝10m/s.(2)依據(jù)v＝ωr解得ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(10,20)rad/s＝0.5rad/s.(3)依據(jù)ω＝eq\f(2π,T)解得T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,0.5)s＝4πs.答案：(1)10m/s(2)0.5rad/s(3)4πs考點二圓周運動周期性的應(yīng)用1．當(dāng)圓周運動與其他運動相結(jié)合時，必然有一個物理量起橋梁作用，而該物理量常常是圓周運動的周期．2．由于圓周運動具有周期性，處理問題時要注意題目的多解性．【例2】如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)有A、B兩物體，A物體從a點起以角速度ω沿順時針方向做半徑為R的勻速圓周運動，同時B物體從圓心O自由下落，要使A、B兩物體在d點相遇，求角速度ω必須滿足的條件．本題可按以下思路進行分析：【解析】B物體從圓心O到d點的運動是自由落體運動，B物體從O到d所用的時間t1滿足R＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，所以t1＝eq\r(\f(2R,g))A物體做勻速圓周運動，從a運動到d轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)滿足θ＝2nπ＋eq\f(3,2)π(n＝0,1,2，…)所用時間為t2＝eq\f(θ,ω)＝eq\f(2nπ＋\f(3,2)π,ω)由t1＝t2可得eq\r(\f(2R,g))＝eq\f(2nπ＋\f(3,2)π,ω)解得ω＝eq\f(4n＋3π,2)eq\r(\f(g,2R))(n＝0,1,2，…)．【答案】eq\f(4n＋3π,2)eq\r(\f(g,2R))(n＝0,1,2，…)總結(jié)提能解答有關(guān)圓周運動的問題時，要注意圓周運動具有周期性，因此可能會出現(xiàn)多種符合題意的情況，這是解答此類問題時需要注意的地方．如圖所示，質(zhì)點P以O(shè)為圓心做勻速圓周運動，運動半徑為R，周期為T，當(dāng)質(zhì)點過圖中位置的一瞬間，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F作用而開始做初速度為零的勻加速直線運動，為使上述兩質(zhì)點在某時刻速度相同，則力F必須滿足什么條件？解析：兩質(zhì)點速度相同，即速度的大小方向均相同．因此質(zhì)點P只有運動到圖中的a點位置時，才有可能與質(zhì)點m的速度相同，即從圖中現(xiàn)在位置開始計時，運動時間應(yīng)滿足t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))T(n＝0,1,2…)．質(zhì)點m在恒力F作用下的加速度a＝eq\f(F,m).因而經(jīng)時間t后的速度vt＝at，而P做圓周運動的線速度v＝eq\f(2πR,T)，則應(yīng)有vt＝v，即eq\f(F,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,4)))T＝eq\f(2πR,T)，所以力F應(yīng)滿足關(guān)系F＝eq\f(8πmR,3＋4nT2)(n＝0,1,2…)．答案：F＝eq\f(8πmR,3＋4nT2)(n＝0,1,2…)1．(多選)對于做勻速圓周運動的物體，下列說法正確的是(BCD)A．線速度不變 B．角速度不變C．速率不變 D．周期不變解析：勻速圓周運動是一種勻速率曲線運動，其線速度的方向在時刻改變，故選項A錯誤，C正確．轉(zhuǎn)速、周期和角速度不變，故選項B、D正確．2．物體在做勻速圓周運動的過程中，關(guān)于其線速度的說法正確的是(A)A．大小保持不變，方向時刻改變B．大小時刻改變，方向保持不變C．大小、方向均保持不變D．大小、方向均時刻改變解析：做勻速圓周運動的物體，其線速度大小不變，方向沿軌跡切線方向，時刻變化，故選項A正確，B、C、D錯誤．3．(多選)甲、乙兩個做勻速圓周運動的質(zhì)點，它們的角速度之比為31，線速度之比為23，那么下列說法中正確的是(AD)A．它們的半徑之比為29B．它們的半徑之比為12C．它們的周期之比為23D．它們的周期之比為13解析：由v＝ωr得r＝eq\f(v,ω)，故eq\f(r甲,r乙)＝eq\f(v甲,v乙)×eq\f(ω乙,ω甲)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝29，選項A正確，B錯誤；由ω＝eq\f(2π,T)，得T∝eq\f(1,ω)，故T甲T乙＝13，選項C錯誤，D正確．4．如圖所示，如果把鐘表上的時針、分針、秒針的運動看成勻速圓周運動，那么，從它的分針與秒針第一次重合至第二次重合，中間經(jīng)歷的時間為(C)A.eq\f(59,60)minB．1minC.eq\f(60,59)minD.eq\f(61,60)min解析：由于分針、秒針的轉(zhuǎn)動周期分別為1h＝3600s與1min＝60s，則由ω＝eq\f(2π,T)可知分針與秒針的角速度分別為ω分＝eq\f(2π,3600)rad/s，ω秒＝eq\f(2π,60)rad/s.設(shè)兩次重合的時間間隔為Δt，由于秒針比分針多轉(zhuǎn)一圈，即θ秒－θ分＝2π，且θ分＝ω分Δt，θ秒＝ω秒Δt，故得Δt＝eq\f(2π,ω秒－ω分)＝eq\f(2π,\f(2π,60)－\f(2π,3600))s＝eq\f(3600,59)s＝eq\f(60,59)min，C正確．5．(多選)如圖甲所示是中學(xué)物理實驗室常用的感應(yīng)起電機，它是由兩個大小相等直徑約為30cm的感應(yīng)玻璃盤起電的．其中一個玻璃盤通過從動輪與手搖主動輪鏈接如圖乙所示，現(xiàn)玻璃盤以100r/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，已知主動輪的半徑約為8cm，從動輪的半徑約為2cm，P和Q是玻璃盤邊緣上的兩點，若轉(zhuǎn)動時皮帶不打滑，下列說法正確的是(BC)A．P，Q的線速度相同B．玻璃盤的轉(zhuǎn)動方向與搖把轉(zhuǎn)動方向相反C．P點的線速度大小約為1.6m/sD．搖把的轉(zhuǎn)速約為400r/min解析：線速度也有一定的方向，由于線速度的方向沿曲線的切線方向，由圖可知，P，Q兩點的線速度的方向一定不同，故A錯誤；若主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，從動輪通過皮帶的摩擦力帶動轉(zhuǎn)動，所以從動輪逆時針轉(zhuǎn)動，所以玻璃盤的轉(zhuǎn)動方向與搖把轉(zhuǎn)動方向相反，故B正確；玻璃盤的直徑是30cm，轉(zhuǎn)速是100r/min，所以線速度：v＝ωr＝2nπr＝2×eq\f(100,60)×π×eq\f(0.3,2)m/s＝0.5πm/s≈1.6m/s，故C正確；從動輪邊緣的線速度：vc＝ω·rc＝2×eq\f(100,60)×π×0.02m/s＝eq\f(1,15)πm/s，由于主動輪的邊緣各點的線速度與從動輪邊緣各點的線速度的大小相等，即vz＝vc，所以主動輪的轉(zhuǎn)速：nz＝eq\f(ωz,2π)＝eq\f(\f(vz,rz),2π)＝eq\f(\f(1,15)π,2π×0.08)r/s＝eq\f(1,2.4)r/s＝25r/min，故D錯誤．eq\o(\s\up7(),\s\do5(學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂,——思想方法系列四))常見傳動裝置的特點[方法解讀]1．共軸傳動做圓周運動的物體，若繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，則各點的角速度ω相同，周期T和頻率f也相同．如圖所示，A點和B點在同軸的一個圓盤上，則當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動時，A點和B點的線速度、角速度、周期之間存在關(guān)系：ωA＝ωB，eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)，TA＝TB，并且轉(zhuǎn)動方向相同．2．皮帶傳動如圖所示，A點和B點分別是兩個輪子邊緣上的點，兩個輪子用皮帶連起來，并且皮帶不打滑，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)動時，A點和B點的線速度、角速度、周期之間存在關(guān)系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r)，并且轉(zhuǎn)動方向相同．3．齒輪傳動如圖所示，A點和B點分別是兩個齒輪邊緣上的點，兩個齒輪嚙合，則當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動時，A點和B點的線速度、角速度、周期之間存在關(guān)系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(n2,n1)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(n1,n2)，式中n1、n2分別表示兩齒輪的齒數(shù)．兩點轉(zhuǎn)動方向相反．4．摩擦傳動如圖所示，兩摩擦輪靠摩擦進行傳動，A點和B點分別是兩輪邊緣上的點，傳動時如果兩摩擦輪在接觸處沒有相對滑動，則兩輪在接觸處的線速度大小相等，此時A點和B點的線速度、角速度、周期之間存在關(guān)系：vA＝vB，eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)，eq\f(TA,TB)＝eq\f(R,r).在處理傳動裝置中各物理量之間的關(guān)系時，關(guān)鍵是確定相同的量(線速度或角速度)，然后根據(jù)描述圓周運動的各物理量之間的關(guān)系，確定其他各量間的關(guān)系．【例】如圖所示為皮帶傳動裝置，皮帶輪為O、O′，RB＝eq\f(1,2)RA，RC＝eq\f(2,3)RA，當(dāng)皮帶輪勻速轉(zhuǎn)動時，皮帶與皮帶輪之間不打滑，求A、B、C三點的角速度之比、線速度之比、周期之比．[解析]由題意可知，A、B兩點在同一皮帶輪上，因此ωA＝ωB，又皮帶不打滑，所以vA＝vC，故可得ωC＝eq\f(vC,RC)＝eq\f(vA,\f(2,3)RA)＝eq\f(3,2)ωA，所以ωAωBωC＝ωAωAeq\f(3,2)ωA＝22