9.9正方形-2023-2024學(xué)年蘇科版八年級下冊數(shù)學(xué)尖子生同步培優(yōu)練習(xí)（含答案解析）

第9章中心對稱圖形-平行四邊形9.9正方形姓名：_________班級：_________學(xué)號：_________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．如圖，菱形中，，，則以為邊長的正方形的面積為A．9 B．12 C．15 D．202．正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是A．對角相等 B．對角線互相平分 C．對角線相等 D．對角線互相垂直3．矩形、菱形、正方形的對角線都具有的性質(zhì)是A．對角線互相平分 B．對角線相等 C．對角線互相垂直 D．對角線互相垂直平分4．將一個邊長為的正方形與一個長，寬分別為，的矩形重疊放在一起，在下列四個圖形中，重疊部分的面積最大的是A．B．C．D．5．如圖，在邊長為4的正方形中，點(diǎn)為對角線上一動點(diǎn)，于，于，則的最小值為A． B． C．2 D．16．如圖，在正方形中，，點(diǎn)、是正方形內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，則的長為A．2 B．4 C． D．7．將三個大小不同的正方形如圖放置，頂點(diǎn)處兩兩相接，若正方形的邊長為4，正方形的邊長為3，則正方形的面積為A．25 B．5 C．16 D．128．如圖，以邊長為4的正方形的中心為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于、兩點(diǎn)，則線段的最小值為A．2 B．4 C． D．9．如圖，以正方形的對角線為一邊作菱形，點(diǎn)在的延長線上，連接交于點(diǎn)，則的度數(shù)為A． B． C． D．10．如圖1，某款桌布的中間圖案由若干個正方形組成，小明買的桌布剛好有兩個正方形圖案，如圖2，若，且點(diǎn)、、、在同一條直線上，則桌布的長為A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．如圖，直線過正方形的頂點(diǎn)，點(diǎn)、到直線的距離、分別是、，則線段的長為．12．正方形的邊長為4，則圖中陰影部分的面積為．13．如圖，點(diǎn)在正方形內(nèi)，且，則．14．如圖，在正方形中，點(diǎn)、為邊和上的點(diǎn)，，，則．15．如圖，在正方形中，頂點(diǎn)，，將以為斜邊的等腰直角與正方形組成的圖形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第10次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．正方形中，，點(diǎn)、分別在、上，且，線段、相交于點(diǎn)，若圖中陰影部分的面積為14，則的周長為．17．如圖，正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，垂足為點(diǎn)，的面積為，則圖中陰影部分的面積為．18．如圖，正方形中，，點(diǎn)為對角線上的動點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．已知：如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、在對角線上，且．（1）求證：；（2）若四邊形是正方形，且，，則四邊形的面積為．20．如圖，在正方形中，點(diǎn)、、分別在、、上，且，垂足為．（1）求證：；（2）若是的中點(diǎn)，且，，求的長．21．如圖，正方形的對角線、相交于點(diǎn)，將向兩個方向延長，分別至點(diǎn)和點(diǎn)，且使．（1）判斷四邊形的形狀，并證明你的猜想；（2）若，，求四邊形的周長．22．如圖，四邊形為正方形，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）若正方形的邊長為2，則線段的長度為．23．如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作與的延長線相交于點(diǎn)，連接與邊相交于點(diǎn)、與對角線相交于點(diǎn)．（1）若，且，求的長；（2）若，求證：．24．閱讀分析過程，解決問題：如圖，正方形（四條邊都相等，四個角都是，點(diǎn)、在、上，并且，延長至點(diǎn)，使，并連接．（1）求證：；（2）若，則的周長．參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1、A【分析】根據(jù)已知可求得是等邊三角形，從而得到，從而求出正方形的邊長，進(jìn)而可求出其面積．【解析】菱形，，，是等邊三角形，，正方形的邊長為3，正方形的面積為9，故選：．2、D【分析】根據(jù)正方形、矩形的性質(zhì)即可判斷．【解析】因?yàn)檎叫蔚膶窍嗟?，對角線相等、垂直、且互相平分，矩形的對角相等，對角線相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是對角線互相垂直．故選：．3、A【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的對角的性質(zhì)，再綜合考慮矩形、菱形、正方形對角線的共同性質(zhì)．【解析】因?yàn)榫匦蔚膶蔷€互相平分且相等，菱形的對角線互相平分且垂直且平分每一組對角，正方形的對角線具有矩形和菱形所有的性質(zhì)，所有矩形、菱形和正方形的對角線都具有的性質(zhì)是對角線互相平分．故選：．4、B【分析】分別計(jì)算出各個圖形的重疊部分面積即可求解．【解析】、；、設(shè)重疊的平行四邊形的較短邊為，則較長邊為由正方形的面積重疊部分的面積個小直角三角形面積，可得可求，、圖與圖對比，因?yàn)閳D的傾斜度比圖的傾斜度小，所以，圖的底比圖的底小，兩圖為等高不等底，所以圖陰影部分的面積小于圖陰影部分的面積；、故選：．5、B【分析】連接，證出四邊形為矩形，由矩形的性質(zhì)得出，當(dāng)時，取得最小值，此時是等腰直角三角形，得出，即可得出結(jié)果．【解析】連接，如圖所示：四邊形是正方形，，，于，于四邊形為矩形，，當(dāng)時，取得最小值，此時是等腰直角三角形，，的最小值為；故選：．6、D【分析】延長交于，再根據(jù)全等三角形的判定得出與全等，得出，由，得出，同理得出，再根據(jù)勾股定理得出的長．【解析】延長交于，如圖：，，，是直角三角形，同理可得是直角三角形，可得是直角三角形，，，同理可得：，在和中，，，，，，同理可得：，，故選：．7、A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證△，推出，根據(jù)勾股定理求出即可．【解析】如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得：，，，，，在和中，，，，，在中，由勾股定理得：，則正方形的面積為25．故選：．8、D【分析】如圖，作輔助線；證明，進(jìn)而得到，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出的范圍，借助勾股定理即可解決問題．【解析】如圖，連接，四邊形為正方形，，；，，；在與中，，，（設(shè)為；是等腰直角三角形，由勾股定理得：；，正方形的邊長是4，，到的距離等于到的垂線段的長度），由題意可得：，．所以線段的最小值為．故選：．9、A【分析】由正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得，，，由三角形的外角性質(zhì)可求解．【解析】四邊形是正方形，，，四邊形是菱形，，，故選：．10、B【分析】連接，，由正方形的性質(zhì)可求，，即可求解．【解析】如圖，連接，，四邊形，四邊形是正方形，，，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，故選：．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出、，由垂直的定義結(jié)合角的計(jì)算即可得出，利用全等三角形的判定定理即可找出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出、，由代入數(shù)據(jù)即可算出結(jié)論．【解析】四邊形為正方形，，．，，，，．，，．在和中，，，，，．故答案為：5．12．【分析】根據(jù)正方形的軸對稱的性質(zhì)可得陰影部分的面積等于正方形的面積的一半，然后列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】由圖形可得：．故答案為：8．13．【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，則，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，，所以．【解析】四邊形為正方形，，，，，，，，，，即，．故答案為．14．【分析】將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，先證明，即有，再由，即可推得．【解析】如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得，則，在和中，，，，，在中，，，，．故答案為：．15．【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)，，四邊形是正方形，可得，，根據(jù)是等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形，可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得每4次一個循環(huán)，進(jìn)而可得第10次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，四邊形是正方形，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，將以為斜邊的等腰直角與正方形組成的圖形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為；每4次一個循環(huán)，，第10次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．16．【分析】由“”可證，可得，，可求，可得，由勾股定理可求的值，即可求解．【解析】四邊形是正方形，，，又，，，，，，圖中陰影部分的面積為14，，，，，，，的周長，故答案為：．17．【分析】證明得到，兩個三角形的面積都減去的面積得到圖中陰影部分的面積．【解析】四邊形為正方形，，，，，，，在和中，，，圖中陰影部分的面積．故答案為．18．【分析】連接．證明，推出，推出點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是射線，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時，的值最?。窘馕觥窟B接．四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是射線，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時，的值最小，，，最小值．故答案為：．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，，即得，根據(jù)判定，得到，再根據(jù)平角的定義得出，即可判定；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)證出四邊形是菱形，根據(jù)勾股定理求出，可得，再根據(jù)菱形的面積公式求解即可．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，，，，；（2）解：連接，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，在正方形中，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，四邊形的面積，故答案為：8．20．【分析】（1）作交于，于．根據(jù)正方形的性質(zhì)證明可得．再證明四邊形為平行四邊形．即可得結(jié)論；（2）連接、，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求出的長．【解答】（1）證明：作交于，于．在正方形中，，，．，．，．．．．在和中，，，．，．，四邊形為平行四邊形．．，．（2）如圖，連接、，，是的中點(diǎn)，．在正方形中，．，．設(shè)，則，在中，由勾股定理得：．在中，由勾股定理得：．，．即，解得：．．21．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)以及勾股定理解答即可．【解答】（1）證明：正方形的對角線，相交于點(diǎn)，，，．，，即．四邊形是平行四邊形．，四邊形是菱形．（2）四邊形是正方形，，，，，，．在直角中，由勾股定理知：，．．在中，，．四邊形是菱形，．四邊形的周長．四邊形的周長是．22．【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行即可得出結(jié)論；（2）先證明，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）先用等面積法求出的長度，再由（2）的結(jié)論得出的長度，利用勾股定理即可求出的長度．【解答】（1）四邊形為正方形，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，；（2）證明：如圖，取和交于，，，于，是的中點(diǎn)，，是等腰三角形，是的中點(diǎn)，，在和中，，，；（3）解：，，，又，，解得，，，故答案為．23．【分析】（1）在正方形中，由與垂直，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，再由一對直角相等，且，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，進(jìn)而利用計(jì)算的長；（2）在上取一點(diǎn)，使，連接，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到，，進(jìn)而確定出三角形為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得