2023屆高考前復習2-8或然與必然思想中的三種題型 （解析版）

2023年高考數(shù)學考前30天迅速提分復習方案(上海地區(qū)專用))

專題2.8或然與必然思想中的三種題型

題型一：數(shù)列

一、解答題

1.(2019秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學?？茧A段練習)設正數(shù)數(shù)列｛《,｝的前”項和

為S“，對于任意S”是a：和4的等差中項.

(1)求數(shù)列｛。,J的通項公式；

(2)設2=(￡［，，是他｝的前〃項和，是否存在常數(shù)3對任意使7；,-九2口>71

恒成立？若存在，求/1取值范圍；若不存在，說明理由.

【答案】(1)%=〃；⑵存在實數(shù)O≤∕l<l符合題意.

【分析】⑴根據(jù)S,是端和??的等差中項,可知25“=a,,2+a,,,且可>O,貝IJ當〃≥2時,有

2Sπ,1=(a,ι)2+%τ,兩式相減并化簡即可求解；

⑵由⑴知，％=〃，由題意知，9=1-(；j,假設存在常數(shù)XNO,對任意〃GN*,使

4-加2-，，>71恒成立等價于對任意,”四，1-［；］-義］3；>77恒成立,整理化簡，利用分

離參數(shù)法求解恒成立問題即可.

【詳解】⑴由S,是片和《,的等差中項可知，2S(I=aj+a“，且q,>O,

則當〃N2時,有2Sχ=(a,-P+a,.,,

2

兩式相減可得，2SZI-2S,,T=an,

22

即2??=?-?.l+?-?.l,?>0,化簡可得，?-l=1(〃≥2),

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項，I為公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為∕=";

(2)由(1)知,%=〃，因為〃=j,所以數(shù)列｛bn｝的前〃項和7；=1J,

假設存在常數(shù)X≥0,對任意〃eN*,使1,-4?2f>√Σ恒成立

即對任意〃∈N*,l-(f《J>"恒成立,

等價于對任意?eN\1+√Σ<2"恒成立,即1+√Σ小于2"的最小值即可.

所以O≤2<1滿足對任意〃∈N*,使7；-/1?2-4>√Σ恒成立.

所以存在這樣的實數(shù)力，對任意"∈N*,使7；,-32-%>√Σ恒成立，實數(shù)/1的取值范圍為

O≤Λ<1.

【點睛】本題主要考查已知S,,和。“求通項公式及利用等比數(shù)列前n項和公式求解恒成立問題;屬

于中檔題.對于恒成立問題,利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍只需滿足如下條件：

(l)∕M<∕(Λ-)fS成立=6</(XL；

(2),">∕(x)恒成立=m>∕(x)maχ;

題型二：不等式、推理與證明

一、解答題

1.(2022?上海?高一專題練習)求證：若a、b≡Z,且必可被5整除，則a、6中至少有一個

能被5整除.

【答案】證明見解析.

【分析】“至少一個”的反面是“一個都沒有"，我們考慮用反證法，假設。、b都不是5的倍

數(shù)，然后計算出必，得到與條件或者定理相矛盾的結果，這樣原命題正確.

【詳解】證：用反證法證，若。、b都不是5的倍數(shù)，

令a=5k?+町，b=5k、+π?,且即k2≡Z?mvm1∈{1,2,3,4}

nτm7

所以必=(54+町)(5的+An2)=5(5匕%2+^?ι+攵2町)+√?

因為犯嗎不是以O或5結尾的數(shù)，不能被5整除.

故假設不成立，原命題正確.

2.(2022?上海?高二專題練習)用數(shù)學歸納法證明：

1c/八1"5+1)5+2)/爐、

1×n+2(〃-1)++n×l=-----------------∈TVJ.

【答案】證明見解析.

【分析】先檢驗當〃=1時?，IXl=K"2"2)’等式成立，假設當〃=Z時，等式成立，即

O

l×?+2(?-D++kxl=k也+iγ+2)(kwM),通過這個結論證明當"=A+1時，等式也成立即

可得證.

【詳解】當”=1時，lxl=10+1×l+2?等式成立，

O

假設當〃=”時，等式成立，即lxA+2伏-1)++Axl=-"1y+2)僅C)

6

貝IJ當〃=氏+1時，1x(上+1)+2×?+...+(Λ+l)×l=[l×?+2×(?-l)+...+?×l]+

n???,?1Ylk(k+l)(k+2)(k+?)(k+2)(&+1)(氏+2)(%+3)生Tm妙3+

[l+2+3+...+(?+l)J=-----------------+----------------=-------------------------，原IH等式仍然成"，

626

所以lx"+2("-l)++〃X[=〃(〃+1)(〃+2)(〃GN")

6'"

【點睛】此題考查利用數(shù)學歸納法證明等式成立，關鍵在于熟練掌握數(shù)學歸納法證明步驟，根

據(jù)步驟準確辨析.

題型三:空間向量與立體幾何

一、單選題

1.(2023春?上海閔行?高二上海市七寶中學?？奸_學考試)已知A、B、C是空間中不共線

的三個點，若點。滿足OA+2OB+3OC=0,則下列說法正確的一項是()

A.點。是唯一的，且一定與A、B、C共面

B.點。不唯一，但一定與A、B、C共面

C.點。是唯一的，但不一定與A、B、C共面

D.點。不唯一，也不一定與A、B、C共面

【答案】A

【分析】由OA+2OB+3OC=0,可得OA=-2O8-3OC，從而有OAo8,0C共面，O,AB,C四

點共面，再結合A、B、C不共線，即可得答案.

【詳解】由空間向量的知識可知α,Ac共面的充要條件為存在實數(shù)χ,y,使=

因為。A+2OB+3OC=0,

LUULI.M1UuU

所以。4=-2OB-3OC,

所以OAOB,OC共面，

所以O,A,B,C四點共面，

因為OA+2OB+3OC=0,所以(OA+OC)+2(θB+OC)=0,

所以點。唯一.

故選:A.

2.（2022秋?上海浦東新?高二?？计谥校┛臻g中垂直于同一條直線的兩條直線

（）

A.平行B.相交C.異面D.以上均有可能

［答案］D

【彳Q】在正方體里對題干條件一一分析即可得到.

【詳解】如圖所示，DClCC,BClCC',8C,r>C相交；

DA±CC',BClCC',8C,ZM平行；

A'C'±CC',BC±CC',8C,4C互為異面直線；

故選:D.

3.（2022秋?上海?高二階段練習）若直線和心是異面直線，力在平面。內(nèi)，上在平面尸

內(nèi)，αC￡=1,則下列命題正確的是（）

A.1與L,2都相交B.1與L,都不相交

C.1至多與L,八中的一條相交D.1至少與乙，A中的一條相交

【答案】D

【分析】可以畫出圖形來說明/與4，4的位置關系，從而可判斷出A,B,C是錯誤的，而對

于可假設不正確，這樣/便和4，4都不相交，這樣可推出和4，4異面矛盾，這樣便說明

O正確.

【詳解】解：A./與4，4可以相交，如圖：

8./可以和乙，4中的一個平行，如上圖，.??該選項錯誤;

C./可以和4，4都相交，如下圖：

Ct,

/?

???該選項錯誤；

D."/至少與4，4中的一條相交”正確，假如/和34都不相交；

/和和J都共面;

；./和34都平行；

.??4〃%4和4共面,這樣便不符合已知的4和4異面;

該選項正確.

故選：

4.(2019春?上海黃浦?高二格致中學?？计谥?給出下列命題

(1)若一條直線與兩條直線都相交，那么這三條直線共面；

(2)若三條直線兩兩平行，那么這三條直線共面；

(3)若直線”與直線方異面，直線方與直線C異面，那么直線。與直線C異面；

(4)若直線。與直線匕垂直，直線人與直線C垂直，那么直線。與直線C平行；

其中正確的命題個數(shù)有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

［答案］

【(析】A根據(jù)空間直線與平面平行垂直的性質(zhì)與判定逐個分析即可.

【詳解】(1)如正四面體的任意一定點經(jīng)過的三條棱均相交,但這三條直線異面.故(1)錯誤.

(2)如直三棱柱的三條高均互相平行,但這三條直線異面.故(2)錯誤.

(3)當。與C相交且α,cuα,心_La時可滿足直線”與直線人異面,直線方與直線C異面,但直線“

與直線C共面.故⑶錯誤.

⑷同(3)可知(4)錯誤.

故選：A

【點睛】本題主要考查了線面平行垂直的判定,需舉出反例證明結論不正確,屬于基礎題.

二、解答題

5.(2022?上海?高二專題練習)用中文表述直線與平面平行的判定定理，并加以證明.

【答案】具體見解析.

【分析1對定