2023-2024學(xué)年江蘇省揚州市邗江區(qū)梅嶺中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省揚州市邗江區(qū)梅嶺中學(xué)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．下列四條線段中，能成為成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝6 C．a(chǎn)＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝4，d＝52．已知⊙O的半徑是5，OP＝4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在圓上 B．點P在圓內(nèi) C．點P在圓外 D．不能確定3．已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），若AB＝10，則AP的長約為（）A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.184．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后所得的方程為（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝05．二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸為直線x＝3 C．頂點坐標(biāo)為（﹣3，6） D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°7．如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（）A． B． C．3 D．8．如圖，P是正方形ABCD的邊AD上一點，連接PB，PC，則tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.8二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9．若2x＝5y，則＝．10．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一個根為0，則m值是．11．小聰這學(xué)期的數(shù)學(xué)平時成績90分，期中考試成績80分，期末考試成績82分，計算總評成績的方法：平時成績：期中成績：期末成績＝3：3：4，則小聰總評成績是分．12．圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時液面AB＝cm．13．如圖，△ABC中，AB＝AC，點O是BC邊上一點，以點O為圓心，OB為半徑作⊙O與邊AC相切于點A，若BC＝9，則OB的長等于．14．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB．若AD＝2，CD＝3，AC的長為．16．如圖是一頂由扇形紙板圍成的圓錐形生日帽，陰影部分是扇形紙板重疊的部分（用于黏貼）．已知生日帽的母線長為25cm，高為24cm，AB長為πcm，則原扇形紙板的圓心角度數(shù)為°．17．若點A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝x2+4x+3的圖象上，且y1＞y2，則m的取值范圍是．18．在正方形ABCD中，AB＝2，點P是CD邊上一動點（不與點D、C重合），連接BP，過點C作CE⊥BP，垂足為E，點F在線段BP上，且滿足EF＝EC，連接AF，則AF的最小值為．三、解答題（本大題共有10小題，共96分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．計算和解方程：（1）sin60°﹣tan30°+cos45°；（2）x2﹣4x﹣12＝0．20．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）說明：無論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求出方程的根．21．我市某中學(xué)舉行“校園好聲音”歌手大賽，初、高中根據(jù)初賽成績各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學(xué)校決賽，兩個隊各選出的5名選手的決賽成績（滿分100）如圖所示：根據(jù)圖示信息，整理分析數(shù)據(jù)如表：平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）初中部a85c高中部85b100（1）求出表格中a＝；b＝；c＝．（2）小明同學(xué)已經(jīng)算出高中代表隊決賽成績的方差是160，請你計算出初中代表隊決賽成績的方差，并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定．22．如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為小正方形的格點，請僅用無刻度的直尺作圖（保留痕跡，描出必要的格點）（1）在圖1中作出△ABC的外心D；（2）圖2中D是AB的中點，作出BC邊上的點F（不與點B重合），使得BD＝DF．23．如圖，正方形ABCD的邊長為4，BF＝1，E為AB的中點．求證：（1）△AED∽△BFE．（2）EF⊥ED．24．已知拋物線y＝﹣x2+mx+3經(jīng)過點M（﹣2，3）．（1）求m的值，并求出此拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣3≤x≤0時，直接寫出y的取值范圍；（3）若將此拋物線繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°，直接寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的表達(dá)式為．25．如圖，四邊形ABOD是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點A，延長BO交⊙O于點E，＝，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝，求圖中陰影部分面積．26．某超市銷售一種玩具，每個進(jìn)價為40元．當(dāng)每個售價為50元時，日均銷售量為200個，經(jīng)市場調(diào)查表明，售價每增加1元，日均銷售量減少10個．（1）當(dāng)每個售價為52元時，日均銷售量為個；（2）當(dāng)每個售價為多少元時，所得日均總利潤為2000元；（3）當(dāng)每個售價為多少元時，所得日均總利潤最大？最大日均總利潤為多少元？27．“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……【問題提出】（1）如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：．小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．【理解應(yīng)用】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，使點C恰好落在邊AB上的E點處，落AC＝1，AB＝2，則DE的長為．【深度思考】（3）如圖③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長線于點F，連接AF，當(dāng)BD＝3時，AF的長為．【拓展升華】（4）如圖④，PC是△PAB的角平分線，若AC＝3，BC＝1，則△PAB的面積最大值是．28．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）當(dāng)a＝6時，直接寫出點A、B、C、D的坐標(biāo)：A，B，C，D；（2）如圖1，直線DC交x軸于點E，若，求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，在（2）的條件下，若點N為OC的中點，動點P在第三象限的拋物線上，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，交AN于點F；過點F作FH⊥DE，垂足為H．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，記f＝FP+FH．①用含t的代數(shù)式表示f；②設(shè)﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．

參考答案一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．下列四條線段中，能成為成比例線段的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝6 C．a(chǎn)＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝4，d＝5【分析】根據(jù)比例線段的定義，分別計算各選項中最小的數(shù)與最大的數(shù)的積是否等于另外兩個數(shù)的積可判斷四條線段成比例．解：A、1×4≠2×3，所以A選項不符合題意；B、1×6＝2×3，所以B選項符合題意；C、2×4≠2×3，所以C選項不符合題意；D、1×5≠3×4，所以D選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．2．已知⊙O的半徑是5，OP＝4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點P在圓上 B．點P在圓內(nèi) C．點P在圓外 D．不能確定【分析】點在圓上，則d＝r；點在圓外，d＞r；點在圓內(nèi)，d＜r（d即點到圓心的距離，r即圓的半徑）．解：∵⊙O的半徑是5，OP的長為4，4＜5，∴點P在圓內(nèi)．故選：B．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意：點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．3．已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），若AB＝10，則AP的長約為（）A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算即可解答．解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），∴≈0.618，∵AB＝10，∴AP＝0.618AB＝6.18，故選：D．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后所得的方程為（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝0【分析】先移項，然后兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．解：移項得，x2﹣2x＝1，配方得，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2．故選：B．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．5．二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸為直線x＝3 C．頂點坐標(biāo)為（﹣3，6） D．當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．解：A、二次函數(shù)y＝﹣2（x﹣3）2+6中a＝﹣2＜0，故函數(shù)圖象開口向下，原說法錯誤，不符合題意；B、由函數(shù)解析式可知，函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝3，正確，符合題意；C、由函數(shù)解析式可知，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（3，6），原說法錯誤，不符合題意；D、由函數(shù)解析式可知，拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為（3，6），故當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大，原說法錯誤，不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)中圖象的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】方法一：根據(jù)圓周角定理可以得到∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可以求得∠OAD的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可得到∠BCD的度數(shù)．方法二：根據(jù)AB是⊙O的直徑，可以得到∠ADB＝90°，再根據(jù)∠ABD＝20°和三角形內(nèi)角和，可以得到∠A的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可得到∠BCD的度數(shù)．解：方法一：連接OD，如圖所示，∵∠ABD＝20°，∴∠AOD＝40°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴∠OAD＝∠ODA＝70°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠OAD+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故選：C．方法二：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝70°，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝110°，故選：C．【點評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（）A． B． C．3 D．【分析】過點G作GF⊥AC，垂足為G，過點G作GE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：AG平分∠BAC，從而利用角平分線的性質(zhì)可得GF＝GE，然后利用三角形的面積公式可得＝，從而可得△ACG的面積＝△ABC的面積，進(jìn)行計算即可解答．解：如圖：過點G作GF⊥AC，垂足為G，過點G作GE⊥AB，垂足為E，由題意得：AG平分∠BAC，∴GF＝GE，∴＝＝＝＝，∵△ABC的面積＝AB?AC＝×2×4＝4，∴△ACG的面積＝△ABC的面積＝×4＝，故選：B．【點評】本題考查了三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，P是正方形ABCD的邊AD上一點，連接PB，PC，則tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.8【分析】點P在正方形邊AD上運動，當(dāng)P與點A或點D重合時，∠BPC最小，此時tan∠BPC的值也最小，此時tan∠BPC＝tan45°＝1；當(dāng)P運動到AD中點時，∠BPC最大，此時tan∠BPC的值也最大，取AD中點P′，連接BP′，CP′，過點B作BE⊥CP′于點E，證明△BCE∽△CP′D，然后得到1≤tan∠BPC≤，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷．解：點P在正方形邊AD上運動，當(dāng)P與點A或點D重合時，∠BPC最小，此時tan∠BPC的值也最小，此時tan∠BPC＝tan45°＝1；當(dāng)P運動到AD中點時，∠BPC最大，此時tan∠BPC的值也最大，如圖，取AD中點P′，連接BP′，CP′，過點B作BE⊥CP′于點E，設(shè)正方形的邊長為1，則AP′＝DP′＝，∴BP′＝＝＝，同理CP′＝＝＝，∵BE⊥CP′，∴∠BEC＝∠CDP′＝90°，∵∠BCE+∠DCP′＝DCP′+∠CP′D＝90°，∴∠BCE＝∠CP′D，∴△BCE∽△CP′D，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝，CE＝，∴P′E＝CP′﹣CE＝﹣＝，∴tan∠BP′C＝＝×＝，∴1≤tan∠BPC≤，∴tan∠BPC的值可能是1.2，故選B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BCE∽△CP′D．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9．若2x＝5y，則＝．【分析】根據(jù)內(nèi)項之積等于外項之積即可求解．解：∵2x＝5y，∴＝．故答案為：．【點評】考查了比例的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題型，比較簡單．10．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一個根為0，則m值是﹣2．【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義，將x＝0代入關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，然后解關(guān)于m的一元二次方程即可．解：根據(jù)題意，得x＝0滿足關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，∴m2﹣4＝0，解得，m＝±2；又∵二次項系數(shù)m﹣2≠0，即m≠2，∴m＝﹣2；故答案為：﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．解答該題時，注意一元二次方程的定義中的“一元二次方程的二次項系數(shù)不為0”這一條件．11．小聰這學(xué)期的數(shù)學(xué)平時成績90分，期中考試成績80分，期末考試成績82分，計算總評成績的方法：平時成績：期中成績：期末成績＝3：3：4，則小聰總評成績是83.8分．【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義求解即可．解：小聰總評成績是＝83.8（分），故答案為：83.8．【點評】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義．12．圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時液面AB＝cm．【分析】高腳杯前后的兩個三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．解：如圖：過O作OM⊥CD，垂足為M，過O'作O'N⊥AB，垂足為N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO'，即相似比為，∴＝，∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝12﹣7＝5（cm），∴＝，∴AB＝（cm），故答案為：．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．13．如圖，△ABC中，AB＝AC，點O是BC邊上一點，以點O為圓心，OB為半徑作⊙O與邊AC相切于點A，若BC＝9，則OB的長等于3．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAC＝90°，從而可得∠B+∠OAB+∠C＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，∠B＝∠BAO，從而可得∠B＝∠C＝∠BAO＝30°，然后在Rt△OAC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得OA＝OC，從而可得OD＝OC，進(jìn)而可得OB＝OD＝DC＝BC＝3，即可解答．解：∵⊙O與邊AC相切于點A，∴∠OAC＝90°，∴∠B+∠OAB+∠C＝180°﹣∠OAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OA，∴∠B＝∠BAO，∴∠B＝∠C＝∠BAO＝30°，∴OA＝OC，∵OD＝OA，∴OD＝OC，∴OD＝DC，∵OB＝OD，∴OB＝OD＝DC＝BC＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象如圖所示，當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．【分析】解方程﹣x2+2x+3＝0，得出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象即可解答．解：當(dāng)y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0），由函數(shù)圖象可得y＞0的x的取值范圍為：﹣1＜x＜3．故答案為：﹣1＜x＜3．【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，明確題意并掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB．若AD＝2，CD＝3，AC的長為．【分析】由角平分線的定義得到∠ACB＝2∠ACD，再證明∠ACD＝∠B，CD＝BD＝3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，接著利用面積法證明AC：BC＝2：3，則設(shè)AC＝2x，BC＝3x，CF＝x，然后證明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE＝CF＝x，所以AE＝x，利用勾股定理得到22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，從而得到AC的長．解：過D點作DE⊥AC于E點，DF⊥BC于F點，如圖，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠ACD＝∠B，∴CD＝BD＝3，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3，∴DE?AC：DF?BC＝2：3，∴AC：BC＝2：3，設(shè)AC＝2x，BC＝3x，∵DB＝DC，∴CF＝BF＝BC＝x，在Rt△CDE和Rt△CDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝CF＝x，∴AE＝x，∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2，∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，∴AC＝．故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．16．如圖是一頂由扇形紙板圍成的圓錐形生日帽，陰影部分是扇形紙板重疊的部分（用于黏貼）．已知生日帽的母線長為25cm，高為24cm，AB長為πcm，則原扇形紙板的圓心角度數(shù)為108°．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的弧長等于圓錐底面周長計算．解：圓錐的底面半徑為＝7（cm），底面周長為2π×7＝14π（cm），設(shè)原扇形紙板的圓心角度數(shù)為n度，∴＝14π+π，解得n＝108．故答案為：108．【點評】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．17．若點A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝x2+4x+3的圖象上，且y1＞y2，則m的取值范圍是m．【分析】根據(jù)y1＞y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．解：∵點A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝x2+4x+3的圖象上，∴y1＝（m﹣1）2+4（m﹣1）+3，y2＝m2+4m+3，∵y1＞y2，∴（m﹣1）2+4（m﹣1）+3﹣（m2+4m+3）＞0，即﹣2m﹣3＞0，∴m＜﹣．故答案為：m．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知列出關(guān)于m的不等式．18．在正方形ABCD中，AB＝2，點P是CD邊上一動點（不與點D、C重合），連接BP，過點C作CE⊥BP，垂足為E，點F在線段BP上，且滿足EF＝EC，連接AF，則AF的最小值為．【分析】不論P怎么運動，∠BFC＝135°保持不變，則△BCF的外接圓中所對的圓心角為90°，從而⊙O的圓心與半徑確定，于是可得當(dāng)點F在OA與⊙O的交點位置時，AF就取最小值，求出此時的AF值便可．解：作△BCF的外接⊙O，連接OB、OC、OA、OF，在優(yōu)弧上取點M，連接MB、MC，過O作ON⊥AB，與AB的延長線交于點N，∵CE⊥BP，CE＝CF，∴∠CFE＝45°，∴∠BMC＝∠CFE＝45°，∴∠BOC＝90°，∵AB＝BC＝2，∴OB＝OC＝OF＝BC＝，∠OBC＝45°∵ON⊥AB，∠ABC＝90°，∴ON∥BC，∴∠ONB＝45°，∴BN＝ON＝OB＝1，∴OA＝，∵AF≥OA﹣OF，當(dāng)A、F、O三點依次在同一直線上時，AF＝OA﹣OF＝的值最小，故AF的最小值為：，故答案為：．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，關(guān)鍵是構(gòu)造圓與直角三角形．三、解答題（本大題共有10小題，共96分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．計算和解方程：（1）sin60°﹣tan30°+cos45°；（2）x2﹣4x﹣12＝0．【分析】（1）先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算，再算乘法，最后算加減即可；（2）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．解：（1）sin60°﹣tan30°+cos45°＝﹣+＝﹣+1＝+1；（2）x2﹣4x﹣12＝0，（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0或x+2＝0，x1＝6，x2＝﹣2．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的混合運算和解一元二次方程，能熟記特殊角的三角函數(shù)值是解（1）的關(guān)鍵，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解（2）的關(guān)鍵．20．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）說明：無論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）若方程有兩個相等的實數(shù)根，求出方程的根．【分析】（1）先計算判別式得到Δ＝（k﹣2）2，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△≥0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到方程總有兩個實數(shù)根；（2）根據(jù)判別式的意義得Δ＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，則方程變?yōu)閤2﹣4x+4＝0，然后利用因式分解法求解．解：（1）Δ＝（k+2）2﹣4?2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴無論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）根據(jù)題意得Δ＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，則方程變形為x2﹣4x+4＝0所以x1＝x2＝2．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．21．我市某中學(xué)舉行“校園好聲音”歌手大賽，初、高中根據(jù)初賽成績各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學(xué)校決賽，兩個隊各選出的5名選手的決賽成績（滿分100）如圖所示：根據(jù)圖示信息，整理分析數(shù)據(jù)如表：平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）初中部a85c高中部85b100（1）求出表格中a＝85；b＝80；c＝85．（2）小明同學(xué)已經(jīng)算出高中代表隊決賽成績的方差是160，請你計算出初中代表隊決賽成績的方差，并判斷哪一個代表隊選手成績較為穩(wěn)定．【分析】（1）通過題目條形圖得到初中組、高中組的參賽學(xué)生成績，根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義計算即可；（2）根據(jù)方差的計算公式先算出初中代表隊的方差，再根據(jù)方差的意義得結(jié)論．解：（1）初中組五名同學(xué)的成績?yōu)椋?5，80，85，85，100，成績的平均數(shù)a＝（75+80+85+85+100）÷5＝85，該組數(shù)據(jù)中，85出現(xiàn)的次數(shù)最多，故其眾數(shù)c＝85；高中組五名同學(xué)的成績?yōu)椋?0，75，80，100，100，故該組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)b＝80．故答案為：85，80，85；（2）初中代表隊決賽成績的方差是：[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝（100+25+0+0+225）＝70．∵70＜160，所以初中代表隊選手成績較為穩(wěn)定．【點評】本題考查了條形圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等知識點，理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計算方法是解決本題的關(guān)鍵．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．22．如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為小正方形的格點，請僅用無刻度的直尺作圖（保留痕跡，描出必要的格點）（1）在圖1中作出△ABC的外心D；（2）圖2中D是AB的中點，作出BC邊上的點F（不與點B重合），使得BD＝DF．【分析】（1）分別作線段AC，BC的垂直平分線，交點即為△ABC的外心D．（2）取格點G，使AG⊥BC，連接AG交BC于點F，連接DF，則△ABF為直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD＝DF，即點F為所求．解：（1）如圖1，分別作線段AC，BC的垂直平分線，交于點D，則點D即為所求．（2）如圖2，取格點G，使AG⊥BC，連接AG交BC于點F，連接DF，則△ABF為直角三角形．∵D是AB的中點，∴DF為Rt△ABF斜邊上的中線，∴DF＝AB＝BD，則點F即為所求．【點評】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖、三角形的外接圓與外心、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外接圓與外心、直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23．如圖，正方形ABCD的邊長為4，BF＝1，E為AB的中點．求證：（1）△AED∽△BFE．（2）EF⊥ED．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)推出∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4，由線段中點定義汽車AE＝BE＝AB＝2，于是得到AE：AD＝BF：BE，而∠A＝∠B，即可證明△AED∽△BFE．（2）由相似三角形的性質(zhì)推出∠ADE＝∠BEF，得到∠BEF+∠AED＝90°，由平角定義定義求出∠DEF＝90°，即可證明EF⊥ED．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCDC是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4，∵E為AB的中點，∴AE＝BE＝AB＝2，∵BF＝1，∵AE：AD＝2：4＝1：2，BF：BE＝1：2，∴AE：AD＝BF：BE，∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFE．（2）∵△AED∽△BFE，∴∠ADE＝∠BEF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥ED．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由正方形的性質(zhì)得到AE：AD＝BF：BE，即可證明△AED∽△BFE，由平角定義求出∠DEF＝90°．24．已知拋物線y＝﹣x2+mx+3經(jīng)過點M（﹣2，3）．（1）求m的值，并求出此拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）當(dāng)﹣3≤x≤0時，直接寫出y的取值范圍0≤y≤4；（3）若將此拋物線繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°，直接寫出旋轉(zhuǎn)后拋物線的表達(dá)式為y＝（x+1）2+4．【分析】（1）把點M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得到關(guān)于m的方程，再解方程可確定拋物線解析式，在化為頂點式求頂點坐標(biāo)；（2）分別確定自變量為0和﹣3對應(yīng)的函數(shù)值，然后結(jié)合函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）根據(jù)頂點旋轉(zhuǎn)180°可直接得出答案．解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：﹣4﹣2m+3＝3，解得m＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線開口向下，有最大值4，∵當(dāng)x＝0時，y＝3，當(dāng)x＝﹣3時，y＝0，∴當(dāng)﹣3≤x≤0時，y的取值范圍是0≤y≤4．（3）拋物線y＝﹣（x+1）2+4，線繞其頂點旋轉(zhuǎn)180°，得出y＝（x+1）2+4．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．25．如圖，四邊形ABOD是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點A，延長BO交⊙O于點E，＝，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AB＝，求圖中陰影部分面積．【分析】（1）連接OA，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AD∥BO，AD＝BO＝OE，可得四邊形AOED是平行四邊形；由同弧所對的圓心角相等及鄰補角的性質(zhì)可知，∠AOB＝∠AOE＝90°，由此可得，平行四邊形AOED是矩形，再結(jié)合切線的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中所求，可得∠AOD＝45°，OA＝AD＝1，分別利用三角形的面積公式及扇形的面積公式可得出陰影部分的面積．【解答】（1）證明：如圖，連接OA，∵四邊形ABOD是平行四邊形，∴AD∥BO，AD＝BO，∵BO＝OE，∴AD∥OE，AD＝OE，∴四邊形AOED是平行四邊形．∵＝，∴∠AOB＝∠AOE，∵∠AOB+∠AOE＝180°，∴∠AOB＝∠AOE＝90°，∴平行四邊形AOED是矩形．∴∠OED＝90°，∴OE⊥ED，∵OE是⊙O半徑，∴ED是⊙O的切線．（2）由（1）知，∠AOB＝90°，AO＝BO，∴∠B＝∠BAO＝45°，在Rt△ABO中，AB＝，∴AO＝OB＝1，由（1）知，四邊形OADE是矩形，∴∠OAD＝90°，OA＝AD＝1，∴S△OAD＝OA?OD＝，S扇形OAF＝．∴S陰影＝S△OAD﹣S扇形OAF＝﹣．【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理的推理，扇形的面積公式，是一道圓的綜合題，解題關(guān)鍵是得到四邊形OADE是矩形．26．某超市銷售一種玩具，每個進(jìn)價為40元．當(dāng)每個售價為50元時，日均銷售量為200個，經(jīng)市場調(diào)查表明，售價每增加1元，日均銷售量減少10個．（1）當(dāng)每個售價為52元時，日均銷售量為180個；（2）當(dāng)每個售價為多少元時，所得日均總利潤為2000元；（3）當(dāng)每個售價為多少元時，所得日均總利潤最大？最大日均總利潤為多少元？【分析】（1）根據(jù)日均銷售量為200﹣20計算可得；（2）根據(jù)“總利潤＝每瓶利潤×日均銷售量”列方程求解可得；（3）根據(jù)（2）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，將其配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可解：（1）當(dāng)每個的售價為52元時，日均銷售量為200﹣20＝180（個），故答案為：180；（2）設(shè)每個的售價為x元，根據(jù)題意可得：（x﹣40）（200﹣5×）＝2000，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60，答：當(dāng)每瓶售價為50元或60元時，所得日均總利潤為2000元；（3）設(shè)日均利潤為y，則y＝（x﹣40）（200﹣5×）＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250，當(dāng)x＝55時，y取得最大值，最大值為2250，答：當(dāng)每個售價為55元時，所得日均總利潤最大，最大日均總利潤為2250元．【點評】本題主要考查二次函數(shù)和一元二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關(guān)系，并據(jù)此列出方程和函數(shù)解析式．27．“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多……【問題提出】（1）如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：．小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．【理解應(yīng)用】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，使點C恰好落在邊AB上的E點處，落AC＝1，AB＝2，則DE的長為．【深度思考】（3）如圖③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長線于點F，連接AF，當(dāng)BD＝3時，AF的長為6．【拓展升華】（4）如圖④，PC是△PAB的角平分線，若AC＝3，BC＝1，則△PAB的面積最大值是3．【分析】（1）選擇小明的思路，過點BD∥AP交PC的延長線于點D，易證△ACP∽△BCD，得到，由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得∠BPC＝∠D，可得PB＝BD，等量代換即可證明；選擇小紅的思路，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD＝CE，再利用等面積；（2）利用（1）中的結(jié)論得到，再利用勾股定理即可解答；（3）利用（1）中的結(jié)論得到，再利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B＝∠FAC，再根據(jù)相似三角形得到AF的值；（4）作△APB的外角平分線PD，交AB的延長線于D，在AP的延長線上截取PE＝PB，易得△BPD≌△EPD（SAS），由（1）結(jié)論可得，由等量代換可得，利用（1）中的結(jié)論得到，求得⊙O的半徑為，當(dāng)P運動到點P′，P′O⊥AD時，△APB的面積最大，計算即可．【解答】（1）證明：選擇小明的思路，如圖，過點BD∥AP交PC的延長線于點D，∵BD∥AP，∴∠APC＝∠D，又∵∠ACP＝∠BCD，∴△ACP∽△BCD，∴，∵PC是△PAB的角平分線，∴∠APC＝∠BPC，∴∠BPC＝∠D，∴PB＝BD，∴；選擇小紅的思路，如圖，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，作PF⊥BC于點F，∵PC是△PAB的角平分線，∴CD＝CE，∴，，，，∴BC?PF＝PB?CE，PA?CD＝AC?PF，∴，∴，∴．（2）解：∵將△ACD沿AD所在直線折疊點C恰好落在邊AB上的E點處，∴AD平分∠BAC，∴，∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（3）解：∵AD為∠BAC的角平分線，∴，∠BAD＝∠DAC，∵△ABC中，AB＝6