數(shù)學-專項18.24 平行四邊形（中考真題專練）（培優(yōu)篇）（專項練習）-2022-2023學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（人教版）

專題18.24平行四邊形（中考真題專練）（培優(yōu)篇）（專項練習）一、單選題1．（2020·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，，是銳角，于點，是的中點，連接；若，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2020·遼寧·中考真題）一個零件的形狀如圖所示，，則的度數(shù)是（

）A．70° B．80° C．90° D．100°3．（2012·山東煙臺·中考真題）如圖是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直，設B點的最大高度為h1．若將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點，設B′點的最大高度為h2，則下列結論正確的是【】A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 D．h2=h1

4．（2020·湖南邵陽·中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，點E，B，D，F(xiàn)在同一條直線上，請?zhí)砑右粋€條件使得，下列不正確的是（

）A． B． C． D．5．（2011·四川成都·中考真題）如圖，①②③④⑤五個平行四邊形拼成一個含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無縫隙）．若①②③④四個平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個平行四邊形周長的總和為（）A．48cm B．36cmC．24cm D．18cm6．（2012·四川德陽·中考真題）如圖，點D是△ABC的邊AB的延長線上一點，點F是邊BC上的一個動點（不與點B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點P、E在直線AB的同側），如果，那么△PBC的面積與△ABC面積之比為（）A． B． C． D．7．（2018·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰Rt△

ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（）A． B． C．1 D．28．（2018·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC的周長為19，點D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長度為（）A． B．2 C． D．39．（2013·四川達州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2018·黑龍江伊春·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，則下列結論：①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=，正確的個數(shù)是（）

A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題11．（2020·湖北武漢·中考真題）在探索數(shù)學名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖，是平行四邊形的對角線，點在上，，，則的大小是________．12．（2011·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，是邊長為1的等邊三角形.取BC邊中點E，作，，得到四邊形，它的面積記作；取中點，作，，得到四邊形，它的面積記作，照此規(guī)律作下去，則_____________.13．（2018·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AB=OB，點E、點F分別是OA、OD的中點，連接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于點M，EM交BD于點N，F(xiàn)N=，則線段BC的長為_____．

14．（2018·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠XOY=60°，點A在邊OX上，OA=2．過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點，過點P作PD∥OY交OX于點D，作PE∥OX交OY于點E．設OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是_____．15．（2017·青海西寧·中考真題）如圖，將沿EF對折，使點A落在點C處，若，則AE的長為___.16．（2016·江蘇常州·中考真題）如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是__．17．（2015·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE，EF⊥AB，垂足為F，連接DF，當=____時，四邊形ADFE是平行四邊形．18．（2015·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）在ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2

，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，使點B′落在ABCD所在的平面內(nèi)，連接B′D．若△AB′D是直角三角形，則BC的長為_____．三、解答題19．（2020·遼寧大連·中考真題）如圖1，中，點分別在邊上，，點G在線段上，，．（1）填空：與相等的角是_____；（2）用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明；（3）若（如圖2），求的值．20．（2020·四川樂山·中考真題）點是平行四邊形的對角線所在直線上的一個動點（點不與點、重合），分別過點、向直線作垂線，垂足分別為點、．點為的中點．（1）如圖1，當點與點重合時，線段和的關系是；（2）當點運動到如圖2所示的位置時，請在圖中補全圖形并通過證明判斷（1）中的結論是否仍然成立？

（3）如圖3，點在線段的延長線上運動，當時，試探究線段、、之間的關系．21．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）在中，BE平分交AD于點E．（1）如圖1，若，，求的面積；（2）如圖2，過點A作，交DC的延長線于點F，分別交BE，BC于點G，H，且．求證：．22．（2019·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結AE，EM⊥AE，垂足為E，交CD于點M，AF⊥BC，垂足為F，BH⊥

AE，垂足為H，交AF于點N，點P顯AD上一點，連接CP．（1）若DP=2AP=4，CP=，CD=5，求△ACD的面積．（2）若AE=BN，AN=CE，求證：AD=CM+2CE．23．（2018·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，在口ABCD中，分別以邊BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，連接AF，AE.（1）求證：△ABF≌△EDA；（2）延長AB與CF相交于G，若AF⊥AE，求證BF⊥BC．24．（2018·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，點是對角線的中點，點是上一點，且，連接并延長交于點，過點作

的垂線，垂足為，交于點.（1）若，，求的面積；（2）若，求證：.參考答案1．B

【分析】延長EF，DA交于G，連接DE，先證明△AFG≌△BFE，進而得到BE=AG，F(xiàn)是GE的中點，結合條件BF⊥GE進而得到BF是線段GE的垂直平分線，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.解：延長EF，DA交于G，連接DE，如下圖所示：∵F是AB的中點，∴AF=BF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，設，由GF=EF，且∠DFE=90°知，DF是線段GE的垂直平分線，∴，在Rt△GAE中，．在Rt△AED中，，∴，解得，∴，故選：B．【點撥】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，能正確作出輔助線是解題的關鍵.2．B【分析】延長DE與BC交于點F，則四邊形ABFD是平行四邊形，則∠A=∠F，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出答案．解：延長DE與BC交于點F，如圖：

∵，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠A=∠F，在△BDF中，，∴，∴∠A=80°；故選：B．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是正確作出輔助線，求出∠F的度數(shù)．3．C解：直接根據(jù)三角形中位線定理進行解答即可：如圖所示：∵O為AB的中點，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位線．∴h1=2OC．同理，當將橫板AB換成橫板A′B′，且A′B′=2AB，O仍為A′B′的中點，設B′點的最大高度為h2，則h2=2OC．∴h1=h2．故選C．4．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結合全等三角形的判定，逐項進行判斷即可.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，

∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，∴∠ABE=∠CDF，A.若添加，則無法證明，故A錯誤；B.若添加，運用AAS可以證明，故選項B正確；C.若添加，運用ASA可以證明，故選項C正確；D.若添加，運用SAS可以證明，故選項D正確．故選：A．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．5．A解：由題意得：⑤的面積=四邊形ABCD面積﹣（①+②+③+④）=4cm2，∴EFGH的面積=14+4=18cm2，又∵∠F=30°，∴菱形的邊長為6cm，而①②③④四個平行四邊形周長的總和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）=2（EF+FG+GH+HE）=48cm．故選A．6．D解：過點P作PH∥BC交AB于H，連接CH，PF，PE．∵APBE，∴四邊形APEB是平行四邊形．∴PEAB．，∵四邊形BDEF是平行四邊形，

∴EFBD．∴EF∥AB．∴P，E，F(xiàn)共線．設BD=a，∵，∴PE=AB=4a．∴PF=PE﹣EF=3a．∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC．∵PF∥AB，∴四邊形BFPH是平行四邊形．∴BH=PF=3a．∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4．故選D．7．C【分析】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再證明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接著利用△APE和△BFQ都為等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=，即可判定點M到AB的距離為，從而得到點M的運動路線為△ABC的中位線，最后利用三角形中位線性質(zhì)得到點M所經(jīng)過的路線長．解：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，

∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M點為PQ的中點，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點M到AB的距離為，而CO=1，∴點M的運動路線為△ABC的中位線，∴當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長=AB=1，故選C．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、梯形的中位線、點運動的軌跡，通過計算確定動點在運動過程中不變的量，從而得到運動的軌跡是解題的關鍵.8．C【分析】證明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，

在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點N是AE中點，點M是AD中點（三線合一），∴MN是△ADE的中位線，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=DE=．故選C．【點撥】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．9．B【分析】由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短知，當OD⊥BC時，DE線段取最小值．解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB．∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴OD=OE，OA=OC．∴當OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC．∴OD∥AB．又點O是AC的中點，∴OD是△ABC的中位線，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．

故選B．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及垂線段最短．解答該題時，利用了“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)．10．D【分析】①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE=∠BEA，則AB=BE=1，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE=30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=AB=，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計算OC=和OD的長，可得BD的長；③因為∠BAC=90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；⑤根據(jù)同高三角形面積的比等于對應底邊的比可得：S△AOE=S△EOC=OE?OC=，，代入可得結論．解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=1，∴△ABE是等邊三角形，∴AE=BE=1，∵BC=2，

∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正確；②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=AB=，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC=，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，OD=，∴BD=2OD=，故②正確；③由②知：∠BAC=90°，∴S?ABCD=AB?AC，故③正確；④由②知：OE是△ABC的中位線，又AB=BC，BC=AD，∴OE=AB=AD，故④正確；⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=，

∴S△AOE=S△EOC=OE?OC=××，∵OE∥AB，∴，∴，∴S△AOP=S△AOE==，故⑤正確；本題正確的有：①②③④⑤，共5個，故選：D．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關系．11．26°．【分析】設∠BAC=x，然后結合平行四邊形的性質(zhì)和已知條件用x表示出∠EBA、∠BEC、∠BCE、∠BEC、∠DCA、∠DCB，最后根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，列方程求出x即可．解：設∠BAC=x∵平行四邊形的對角線∴DC//AB,AD=BC,AD//BC∴∠DCA=∠BAC=x∵AE=BE∴∠EBA=∠BAC=x∴∠BEC=2x∵∴BE=BC∴∠BCE=∠BEC=2x∴∠DCB=∠BCE+∠DCA=3x∵AD//BC，∴∠D+∠DCB=180°，即102°+3x=180°，解得x=26°．故答案為26°．

【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，運用平行四邊形結合已知條件判定等腰三角形和掌握方程思想是解答本題的關鍵．12．【分析】先根據(jù)是等邊三角形可求出的高，再根據(jù)三角形中位線定理可求出，進而可得出，找出規(guī)律即可得出．解：∵是邊長為1的等邊三角形，∴的高，∵是的中位線，∴，∴；同理可得，；…∴；∴．故答案是．【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．13．【分析】設EF=x，根據(jù)三角形的中位線定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，證明△EMC是等腰直角三角形，則∠CEM=45°，證明△ENF≌△MNB，則EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理計算x的值，可得BC的長．解：設EF=x，∵點E、點F分別是OA、OD的中點，∴EF是△OAD的中位線，

∴AD=2x，AD∥EF，∴∠CAD=∠CEF=45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC=2x，∴∠ACB=∠CAD=45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM=45°，連接BE，∵AB=OB，AE=OE∴BE⊥AO∴∠BEM=45°，∴BM=EM=MC=x，∴BM=FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN=MN=x，BN=FN=，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，∴()2＝x2+(x)2，x=2或-2（舍），∴BC=2x=4．故答案為4．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；解決問題的關鍵是設未知數(shù)，利用方程思想解決問題．14．2≤a+2b≤5．【分析】作輔助線，構建30度的直角三角形，先證明四邊形EODP

是平行四邊形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的長，計算a+2b=2OH，確認OH最大和最小值的位置，可得結論．解：過P作PH⊥OY交于點H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四邊形EODP是平行四邊形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt△HEP中，∠EPH=30°，∴EH=EP=a，∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，當P在AC邊上時，H與C重合，此時OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；當P在點B時，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，∴2≤a+2b≤5．故答案為：2≤a+2b≤5【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，有難度，掌握確認a+2b的最值就是確認OH最值的范圍．15．解：過點C作CG⊥AB的延長線于點G，在?ABCD中，∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，由于?ABCD沿EF對折，∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，D′C=AD=BC，∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，∴∠D′CF=∠ECB，

在△D′CF與△ECB中，,∴△D′CF≌△ECB（ASA）,∴D′F=EB，CF=CE，∵DF=D′F，∴DF=EB，AE=CF設AE=x，則EB=8﹣x，CF=x，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2，∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x在△CEG中，由勾股定理可知：（10﹣x）2+（2）2=x2，解得：x=AE=考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.平行四邊形的性質(zhì)．16．1．試題分析：先延長EP交BC于點F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，最后根據(jù)，判斷ab的最大值即可．解：延長EP交BC于點F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，設Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則CF=CP=b，，

∵△APE和△ABD都是等邊三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四邊形CDEP是平行四邊形，∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a×b=ab，又∵≥0，∴2ab≤，∴ab≤1，即四邊形PCDE面積的最大值為1．故答案為1．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；最值問題．17．．解：當=時，四邊形ADFE是平行四邊形．理由如下：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE為等邊三角形，EF⊥AB，∴EF為∠BEA的平分線，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，∵∠ACB=∠EFA，∠BAC=∠AEF，AB=AE，∴△ABC≌△EAF（AAS），∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，

∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．故答案為．考點：1．平行四邊形的判定；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．綜合題；4．壓軸題．18．4或6．解：試題分析：本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解題的關鍵是畫出圖形，發(fā)現(xiàn)存在兩種情況，進行分類討論．在ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有兩種情況：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，畫出圖形，分類討論：（1）當∠B′AD=90°AB＜BC時，如圖1，延長B′A交BC于點G，利用平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)，可求出BC的長為6；（2）當∠AB′D=90°時，如圖2，由平行四邊形的性質(zhì)可求出四邊形ACDB′是等腰梯形，然后根據(jù)∠AB′D=90°，得出四邊形ACDB′是矩形，再通過解直角三角形，得出BC的長為4．解：當∠B′AD=90°AB＜BC時，如圖1，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，∴∠B′GC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴∠AB′C=30°，∴GC=B′C=BC，∴G是BC的中點，在RT△ABG中，BG=AB=×2=3，∴BC=6；當∠AB′D=90°時，如圖2，∵AD=BC，BC=B′C，∴AD=B′C，

∵AC∥B′D，∴四邊形ACDB′是等腰梯形，∵∠AB′D=90°，∴四邊形ACDB′是矩形，∴∠BAC=90°，∵∠B=30°，AB=2，∴BC=AB÷=2×=4，∴當BC的長為4或6時，△AB′D是直角三角形．故答案為4或6．考點：1．翻折變換（折疊問題）；2．平行四邊形的性質(zhì)；3．等腰梯形、矩形和直角三角形．19．（1）；（2），理由見分析；（3）【分析】（1）由可得到答案；（2）在上取點，使連接，先證明再證明四邊形是平行四邊形，從而得到為的中位線，從而可得答案；（3）如圖，在上取點，使連接，同理可得：四邊形是平行四邊形，證明再證明得到設利用勾股定理求解即可得到答案．解：（1）

故答案為：（2）理由如下：

在上取點，使連接，，四邊形是平行四邊形，為的中位線，（3）如圖，在上取點，使連接，同理可得：四邊形是平行四邊形，為的中位線，設

，設【點撥】本題考查的等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，平行四邊形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．20．（1）；（2）補圖見分析，仍然成立，證明見分析；（3），證明見分析【分析】（1）證明△AOE≌△COF即可得出結論；（2）（1）中的結論仍然成立，作輔助線，構建全等三角形，證明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結論；（3）FC＋AE＝OE，理由是：作輔助線，構建全等三角形，與（2）類似，同理得，得出，，再根據(jù)，，推出，即可得證．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）補全圖形如圖所示，仍然成立，證明如下：延長交于點，∵，∴，∴，∵點為的中點，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）當點在線段的延長線上時，線段、、之間的關系為，證明如下：延長交的延長線于點，如圖所示，

由（2）可知，∴，，又∵，，∴，∴．【點撥】本題考查了平行四邊形、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，以構建全等三角形和證明三角形全等這突破口，利用平行四邊形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，從而使問題得以解決．21．（1）；（2）證明見分析.【分析】（1）作于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，證出，得出，由三角形面積公式即可得出結果；（2）作交DF的延長線于P，垂足為Q，連接PB、PE，證明得出，再證明得出，即可得出結論．（1）解：作于O，如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，，，∴，，∴，∵BE平分，∴，∴，∴，

∴的面積；（2）證明：作交DF的延長線于P，垂足為Q，連接PB、PE，如圖2所示：∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．22．（1）；（2）見分析.【分析】（1）作CG⊥AD于G，設PG=x，則DG=4-x，在Rt△PGC和Rt△DGC中，由勾股定理得出方程，解方程得出x=1，即PG=1，得出GC=4，求出AD=6，由三角形面積公式即可得出結果；（2）連接NE，證明△NBF≌△EAF得出BF=AF，NF=EF，再證明△ANE≌△ECM得出CM=NE，由NF=NE=MC，得出AF=MC+EC，即可得出結論.（1）解：作CG⊥AD于G，如圖1所示：設PG＝x，則DG＝4﹣x，在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x2，在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，