傳輸過程的控制方程

3傳輸過程控制方程3.1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程是傳輸過程的質(zhì)量控制方程。連續(xù)性方程是物理學(xué)上質(zhì)量守恒定律在流體運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)。一切有意義的合理流動(dòng)都必須遵守連續(xù)性原理。3傳輸過程控制方程3.1 連續(xù)性方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對(duì)于空間固定的封閉曲面，穩(wěn)定流時(shí)，流入的流體質(zhì)量必然等于流出的流體質(zhì)量，非穩(wěn)定流時(shí)流入與流出的流體質(zhì)量之差，應(yīng)等于封閉曲面內(nèi)流體質(zhì)量的變化量。連續(xù)性方程表述的是流體在單位時(shí)間內(nèi)流出與流入單位體積空間的質(zhì)量差與單位體積內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。無(wú)論對(duì)于單組分的流體，或整個(gè)多組分流體，還是對(duì)于多組分流體中的每一組分，質(zhì)量守恒定律都是成立的。3傳輸過程控制方程3.1.1 連續(xù)性方程及其導(dǎo)出在流場(chǎng)中建立直角坐標(biāo)系，并取一六面體作為微元控制體，其邊長(zhǎng)為dx，dy和dz，分別平行于x，y和z軸。設(shè)流過此六面體的流體密度為

，在六面體頂點(diǎn)m(x，y，z)上，流體速度u沿x，y和z方向的分量分別為ux，uy和uz。3傳輸過程控制方程3.1.1 連續(xù)性方程及其導(dǎo)出單位時(shí)間流入微元體的質(zhì)量－單位時(shí)間流出微元體的質(zhì)量＝單位時(shí)間微元體內(nèi)質(zhì)量的積累根據(jù)質(zhì)量守恒定律：3傳輸過程控制方程x軸方向：x處的平面流入的質(zhì)量流量：

uxdydz

x+dx處的平面流出的質(zhì)量流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過的流體質(zhì)量即為質(zhì)量流量，是流體的體積流量與密度的乘積。dt時(shí)間內(nèi)沿x向從六面體x處與x+dx處輸入與輸出的質(zhì)量差為：3傳輸過程控制方程同樣，對(duì)y和z方向分別有：dt時(shí)間內(nèi)，微元體dxdydz內(nèi)的質(zhì)量積累為x，y和z三方向上的凈增量之和：3傳輸過程控制方程另一方面，由于微元體積不變，微元體內(nèi)的質(zhì)量積累必然引起其中的流體密度的變化，在流體開始流動(dòng)之前微元體內(nèi)m(x,y,z)點(diǎn)上流體密度為

，在dt時(shí)刻則變?yōu)椋哼@樣，在dt時(shí)間內(nèi)六面體中因密度變化而引起的總的質(zhì)量變化為：3傳輸過程控制方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律有：3傳輸過程控制方程將上式展開，并利用密度對(duì)時(shí)間的全微分展開式，可寫成：以上各式即為流體的連續(xù)性方程。

連續(xù)性方程物理意義：流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出和輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。給出了流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)必須滿足的條件，是一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。3傳輸過程控制方程連續(xù)性方程的簡(jiǎn)化形式：可壓縮流體：微元六面體中不同地方流體的密度一般情況下不一樣，即至少在一個(gè)方向上密度變化率不為零：穩(wěn)定流：微元六面體中的流體質(zhì)量不隨時(shí)間變化，即微元體內(nèi)流體密度不隨時(shí)間變化。遷移密度當(dāng)?shù)孛芏?傳輸過程控制方程連續(xù)性方程的簡(jiǎn)化形式：對(duì)可壓縮流體的穩(wěn)定流，則：3傳輸過程控制方程連續(xù)性方程的簡(jiǎn)化形式：不可壓縮流體：微元六面體中流體的密度不僅不隨時(shí)間變化，同時(shí)也不隨空間位置而變化：3傳輸過程控制方程連續(xù)性方程的簡(jiǎn)化形式：對(duì)不可壓縮流體，密度為常數(shù)：速度矢量的散度處處為零，即為無(wú)源場(chǎng)，所以方程為無(wú)源無(wú)匯時(shí)的連續(xù)性方程。3傳輸過程控制方程一維總流的連續(xù)性方程：在dt時(shí)間內(nèi)流體流入與流出流束的質(zhì)量差值為零微小流束與一維總流3傳輸過程控制方程一維總流的連續(xù)性方程：微小流束與一維總流利用平均速度概念vm，并引入平均密度

m對(duì)不可壓縮流體，密度為常數(shù)，則有：一維總流在不可壓縮流體穩(wěn)定流條件下的連續(xù)性方程。3傳輸過程控制方程一維總流的連續(xù)性方程應(yīng)用例子：一化鐵爐的送風(fēng)系統(tǒng)如右圖。將風(fēng)量50m3/min的冷空氣經(jīng)風(fēng)機(jī)送入冷風(fēng)管，在經(jīng)過爐膽換熱器被爐氣加熱至250

C，然后經(jīng)風(fēng)管送到風(fēng)箱中。冷風(fēng)管與熱分管內(nèi)經(jīng)相等。計(jì)算兩管實(shí)際風(fēng)速。3傳輸過程控制方程一維總流的連續(xù)性方程應(yīng)用例子：壓力引起的密度變化不大，可忽略不計(jì)。根據(jù)可壓縮流體的連續(xù)性方程：解：u1=Q/A=(50/60)/(0.3)2x3.14/4=11.8m/sr2均=r1均/(1+bpt)=1.293/(1+250/273)kg/m3=0.674kg/m3u2=r1均u1A1/(r2均A2)=1.293x11.8/0.674m/s可見u2=u1(1+btt)3傳輸過程控制方程連續(xù)性方程的柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)表達(dá)式：柱坐標(biāo)一般形式不可壓縮流體穩(wěn)定流3傳輸過程控制方程連續(xù)性方程的柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)表達(dá)式：球坐標(biāo)一般形式不可壓縮流體穩(wěn)定流3傳輸過程控制方程3.1.2 多元混合物流體中各組分的連續(xù)性方程對(duì)于混合物流體，存在濃度梯度的組分將以分子擴(kuò)散的形式和整體流動(dòng)的對(duì)流形式進(jìn)行質(zhì)量傳遞。對(duì)于每個(gè)組分，質(zhì)量守恒定律依然成立。如果在傳質(zhì)過程中還發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，那么在考慮組分質(zhì)量守恒時(shí)還應(yīng)包括化學(xué)反應(yīng)引起的該組分的生成量或減少量。對(duì)于混合流體的組元A，根據(jù)質(zhì)量守恒定律：流入微元體的組分A的質(zhì)量速率－流出微元體的組分A的質(zhì)量速率＋由化學(xué)反應(yīng)引起的組分A的質(zhì)量速率＝微元體內(nèi)組分A的質(zhì)量積累速率3傳輸過程控制方程流入和流出微元體的組分A的質(zhì)量速率分別為：dt時(shí)間內(nèi)微元體在x方向上的凈流入量為：3傳輸過程控制方程對(duì)y和z方向分別有：dt時(shí)間內(nèi)，微元體內(nèi)的質(zhì)量積累為x，y和z三方向上的凈增量之和：3傳輸過程控制方程若單位時(shí)間內(nèi)微元體內(nèi)因化學(xué)反應(yīng)引起的組分A的質(zhì)量為rA，kg/(m3

s)，dt時(shí)間內(nèi)，微元體內(nèi)組分A的質(zhì)量增量為rAdxdydzdt。當(dāng)A為生成物時(shí)，rA>0；為反應(yīng)物時(shí)，rA<0。在dt時(shí)間內(nèi)微元體中因密度變化而引起的總質(zhì)量變化為：根據(jù)質(zhì)量守恒，有：3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程由密度的全微分有：若混合物中組元A的擴(kuò)散系數(shù)DAB為常數(shù)，則上式可寫成：此即以質(zhì)量濃度表示的組分A的連續(xù)性方程，也稱組分A的質(zhì)量傳輸微分方程。即：或3傳輸過程控制方程若同時(shí)無(wú)化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，則：對(duì)二元均質(zhì)不可壓縮混合流體，

為常數(shù)對(duì)于靜止流體(u=0)，同時(shí)無(wú)化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，則：即為質(zhì)量濃度表示的菲克第二定律。

菲克第二定律更經(jīng)常用摩爾濃度表示，即：質(zhì)量傳輸微分方程的簡(jiǎn)化形式：質(zhì)量傳輸微分方程的幾種不同形式3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程連續(xù)性方程是速度場(chǎng)滿足的條件。流體的運(yùn)動(dòng)方程是力和動(dòng)量與流體參量之間的關(guān)系，是動(dòng)量控制方程。實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)方程即為納維爾(Navier)－斯托克斯(Stockes)方程，簡(jiǎn)稱N-S方程（因1821年納維爾和1845年斯托克斯分別導(dǎo)出而得名）。根據(jù)動(dòng)量守恒定律：作用在微元體上合外力對(duì)微元體內(nèi)流體的沖量速率

＋微元體的凈輸入動(dòng)量速率＝微元體內(nèi)流體動(dòng)量的增量速率3傳輸過程控制方程動(dòng)量通量

對(duì)流動(dòng)量通量：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過單位面積所傳遞的對(duì)流動(dòng)量(類似與對(duì)流換熱、對(duì)流傳質(zhì))，即粘性動(dòng)量通量（即牛頓黏性定律）：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過單位面積所傳遞的黏性動(dòng)量(類似與導(dǎo)熱、分子擴(kuò)散)，即動(dòng)量傳遞兩種方式：黏性動(dòng)量傳輸和對(duì)流動(dòng)量傳輸。3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程3傳輸過程控制方程3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程

x方向的動(dòng)量mux若在z方向存在動(dòng)量梯度必然引起z方向上的動(dòng)量通量，即同理3傳輸過程控制方程3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程

x方向的動(dòng)量mux若在x方向存在動(dòng)量梯度必然引起x方向上的動(dòng)量通量，即3傳輸過程控制方程動(dòng)量通量熱量通量質(zhì)量通量黏性動(dòng)量通量(牛頓黏性定律)導(dǎo)熱引起的熱通量(傅里葉定律)分子傳質(zhì)引起的質(zhì)量通量(菲克第一定律)對(duì)流動(dòng)量通量對(duì)流引起的熱通量(牛頓冷卻定律)對(duì)流傳質(zhì)引起的質(zhì)量通量(對(duì)流傳質(zhì)過程基本定律)3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程3傳輸過程控制方程3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程(1)質(zhì)量力的分量為：3傳輸過程控制方程3.2 運(yùn)動(dòng)方程

N-S方程(2)表面應(yīng)力包括壓應(yīng)力和剪切應(yīng)力：3傳輸過程控制方程那么，單位時(shí)間內(nèi)作用在微元體x方向上的沖量(即合力)為：3傳輸過程控制方程x方向單位體積動(dòng)量為

ux，單位時(shí)間內(nèi)流體在x方向運(yùn)動(dòng)的距離為ux，所以單位時(shí)間內(nèi)流體在x方向垂直通過單位面積的動(dòng)量為

uxux，稱為對(duì)流動(dòng)量通量。則從x方向凈流入的沿x方向的動(dòng)量為：同樣，從y方向和z方向凈流入的沿x方向的動(dòng)量分別為：3傳輸過程控制方程微元體凈流入的沿x方向的動(dòng)量為流體流動(dòng)而導(dǎo)致的微元體內(nèi)沿x方向的單位時(shí)間內(nèi)的凈動(dòng)量輸入量，為：同理，由流體黏性剪應(yīng)力而導(dǎo)致的微元體單位時(shí)間內(nèi)沿x方向的黏性動(dòng)量?jī)糨斎肓繛椋嚎衫斫鉃樽饔迷诜ň€為x,y,z的面上，方向?yàn)閤的剪切力的代數(shù)和或?qū)е碌膞方向動(dòng)量增量。3傳輸過程控制方程微元控制體內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)x方向上的動(dòng)量變化量為：由于應(yīng)力張量為對(duì)稱張量，上式可寫成：可理解為作用在法線為x的面上，不同方向剪應(yīng)力導(dǎo)致的x方向的動(dòng)量增量。3傳輸過程控制方程微元體內(nèi)x方向上的動(dòng)量守恒關(guān)系為：3傳輸過程控制方程同理有：一般情況下流體流動(dòng)過程中的動(dòng)量守恒方程。得：3傳輸過程控制方程對(duì)于不可壓縮流體,密度為常數(shù)，即那么，x方向上的動(dòng)量守恒關(guān)系簡(jiǎn)化為：式中右邊第三項(xiàng)可以寫成：3傳輸過程控制方程利用ux的全微分(即全加速度)表示式，x方向上的動(dòng)量守恒關(guān)系簡(jiǎn)化為：同理，y和z方向的動(dòng)量守恒簡(jiǎn)化為：3傳輸過程控制方程寫成矢量形式為：據(jù)牛頓黏性定律,上式可以寫成：其分量式為：以上各式即為N-S方程，是不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)微分方程。3傳輸過程控制方程質(zhì)量力只有重力的情況下，單位質(zhì)量力f=g，則：同理，若為可壓縮流體的三維層流，切應(yīng)力可用斯托克斯黏度關(guān)系式表示，也可以得到相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程歐拉方程（1755年Euler提出）對(duì)于理想流體，流場(chǎng)中不存在黏性力,N-S方程簡(jiǎn)化為：上式即為理想流體的動(dòng)量平衡方程，又名歐拉(Euler)方程。其適用范圍是可壓縮理想流體和不可壓縮理想流體的穩(wěn)定流或非穩(wěn)定流。分量式為：當(dāng)速度u=0時(shí)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：即為流體靜力學(xué)的歐拉平衡方程。3傳輸過程控制方程歐拉方程（1755年Euler提出）由歐拉方程和連續(xù)性方程，結(jié)合具體問題的初值和邊界條件原則上就可以解決理想不可壓縮流體的流動(dòng)問題。但在實(shí)際應(yīng)用中常常需要求解的是穩(wěn)定流問題，把該方程在穩(wěn)定條件下進(jìn)行某種積分可使應(yīng)用更加方便。這是下面要討論的伯努利方程。3傳輸過程控制方程伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程是流體動(dòng)量守恒方程在一定條件下的積分形式，動(dòng)量的積分即為動(dòng)能，因此，伯努力方程是能量的范疇，表述了流體所具有的能量以及各種能量之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律，不過針對(duì)的是穩(wěn)定流流體的總能量衡算。理想流體的伯努利方程歐拉方程只能在特定條件下進(jìn)行積分，其積分條件為：(1)單位質(zhì)量力f為定常有勢(shì)的，勢(shì)函數(shù)W＝W(x,y,z)=－U(x,y,z)的全微分為：3傳輸過程控制方程(2)流體為穩(wěn)定流，此時(shí)，跡線與流線重合，即dx=uxdt，dy=uydt和dz=uzdt,則:uzdx=uxdz，

uydx=uxdy那么，歐拉方程中各式分別乘以dx，dy和dz，再相加，有：伯努利(Bernoulli)方程理想流體的伯努利方程由于是穩(wěn)定流，展開左邊第一項(xiàng)為：同理，展開左邊第二項(xiàng)與第三項(xiàng)分別為：因此，一般情況下的伯努利方程微分形式。3傳輸過程控制方程并利用:uzdx=uxdz，

uydx=uxdy3傳輸過程控制方程對(duì)于不可壓縮流體，

為常數(shù)，則：沿流線進(jìn)行積分，得：表明，在有勢(shì)質(zhì)量力作用下，不可壓縮理想流體定常流動(dòng)時(shí)，函數(shù)值沿流線不變。因此，在同一流線上一定距離的任意兩點(diǎn)1和2，有：3傳輸過程控制方程在質(zhì)量力只有重力，勢(shì)能僅為重力勢(shì)能時(shí)，即F=-gz，其中，z為所研究的流線距重力勢(shì)能零點(diǎn)的距離，考慮密度與重度關(guān)系，得到：同理：即為質(zhì)量力只有重力時(shí)，不可壓縮理想流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)沿流線的運(yùn)動(dòng)方程的積分形式，即理想流體伯努利方程。(1738年發(fā)表)

3傳輸過程控制方程實(shí)際流體沿流線的的伯努利方程實(shí)際流體的伯努利方程是實(shí)際流體動(dòng)量方程(N-S方程)的積分形式。由N-S方程中的各方程對(duì)應(yīng)乘以dx，dy和dz，并相加，整理得：其左邊為：3傳輸過程控制方程則黏性力所作的功,為負(fù)功-dWR

有：沿流線積分實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分

3傳輸過程控制方程表明在有勢(shì)質(zhì)量力作用下實(shí)際不可壓縮流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，函數(shù)值沿流線的函數(shù)值不變。在同一流線上任取兩點(diǎn)，可得：當(dāng)質(zhì)量力只有重力時(shí)，則：設(shè)表示單位質(zhì)量的實(shí)際流體自點(diǎn)1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2的過程中，內(nèi)摩擦力所做的功。則或質(zhì)量力只有重力時(shí)的黏性流體運(yùn)動(dòng)的伯努利方程

－單位重量的流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)以速度u向上噴射時(shí)所能達(dá)到的高度(速度頭)。－單位重量的流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)所受壓力作用而能上升的高度(壓力水頭，簡(jiǎn)稱壓頭)3傳輸過程控制方程伯努利方程的幾何意義與物理意義幾何意義：z－單位重量流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)所具有的位置高度(位置水頭，簡(jiǎn)稱位頭)3傳輸過程控制方程伯努利方程的幾何意義與物理意義以上各量均具有長(zhǎng)度量綱。位頭、壓頭和速度頭三者之和稱為總水頭，用H表示，則：－單位重量流體在流動(dòng)過程中所產(chǎn)生的水頭損失伯努利方程可理解為：?jiǎn)挝恢亓坷硐肓黧w在整個(gè)流動(dòng)過程中，其總水頭為一個(gè)不變的常數(shù)，而實(shí)際流體在整個(gè)流動(dòng)過程中其總位頭有一定損失，總水頭沿著流向降低。物理意義：與幾何意義相對(duì)應(yīng)，伯努利方程中各項(xiàng)均有相應(yīng)的能量意義。各項(xiàng)分別為單位質(zhì)量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)所具有的位置勢(shì)能(比位能)、壓力能(比壓能)和動(dòng)能(比動(dòng)能)。對(duì)理想流體，三個(gè)能量項(xiàng)可相互轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能不變。對(duì)實(shí)際流體，則存在機(jī)械能損失。3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程伯努利方程的幾何意義與物理意義幾何意義：位頭壓頭速度水頭總水頭水頭損失比位能比壓能比動(dòng)能總比能比能損失物理意義：3傳輸過程控制方程實(shí)際流體總流的伯努利方程緩變流：是指流道中流線之間的夾角

很小，流線趨于平行，流線的曲率很小，趨于直線?？梢哉J(rèn)為緩變流是流線為平行直線的流動(dòng)。反之為急變流。緩變流特點(diǎn)：緩變流的向心加速度很小，引起的慣性離心力很小，故對(duì)緩變流場(chǎng)，質(zhì)量力只有重力，其三個(gè)分量為fx=0，fy=0和fz=－g，且內(nèi)摩擦力在其有效斷面上幾乎沒有分量，因此，其有效斷面上的壓強(qiáng)分布符合流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律，即流道有效斷面上任何點(diǎn)的壓力在各個(gè)方向都相同且(z+p/g)都為常數(shù)。3傳輸過程控制方程實(shí)際流體總流的伯努利方程在流道的緩變流區(qū)對(duì)應(yīng)的有效斷面上對(duì)伯努利方程進(jìn)行積分：其左邊寫成：則：動(dòng)能修正系數(shù)

根據(jù)一維總流的連續(xù)性方程，Q1=Q2=Q，若令則：或即為實(shí)際流體經(jīng)流道流動(dòng)的伯努利方程。它與連續(xù)性方程、以及后面將要討論的穩(wěn)定流的動(dòng)量方程一起用于解決許多工程實(shí)際問題。hw－通過流道截面1和2之間距離時(shí)，單位質(zhì)量流體的平均能量損失。－動(dòng)能修正系數(shù)

通常均大于1。流道中的流速越均勻，

值越趨近于1。在一般工程情況下，流速都比較均勻，

為1.05~1.10，所以可取

=1。3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程伯努利方程的應(yīng)用應(yīng)用條件：必須為不可壓縮流體(一般氣流平均流速小于50m/s即可按不可壓縮流體處理)；必須是穩(wěn)定流；沿流程的流量不變，對(duì)于有分支流或匯流時(shí)可按總能量守恒和轉(zhuǎn)化列出能量方程；有效斷面符合緩變流條件，但斷面之間的流動(dòng)可以是急變流。3傳輸過程控制方程伯努利方程的應(yīng)用應(yīng)用注意事項(xiàng)：(1)在應(yīng)用實(shí)際流體總流的伯努利方程時(shí)，經(jīng)常要與總流的連續(xù)性方程聯(lián)合使用；(2)有效斷面一般選待求未知量所在的斷面，另一選選已知量較多的斷面；(3)可任選零勢(shì)能基準(zhǔn)面，同一個(gè)問題必須使用同一個(gè)基準(zhǔn)面；(4)方程中的壓強(qiáng)可為相對(duì)壓強(qiáng)也可是絕對(duì)壓強(qiáng)，但必須一致；(5)在所討論的兩有效斷面之間沒有能量輸入與輸出。3傳輸過程控制方程系統(tǒng)中有風(fēng)機(jī)或泵時(shí)E取正，若裝水輪機(jī)向外輸送能量時(shí)E取負(fù)。在所討論的兩有效斷面之間沒有能量輸入與輸出，否則用以下修正式：DanielBernoulli1700inNetherlands-1782inSwitzerlandThesonofJohannBernoulli.HewasborninGroningenwhilehisfatherheldthechairofmathematicsthere.HisolderbrotherwasNicolaus(II)BernoulliandhisunclewasJacobBernoullisohewasbornintoafamilyofleadingmathematiciansbutalsointoafamilywheretherewasunfortunaterivalry(競(jìng)爭(zhēng)),jealousy(嫉妒)andbitterness(苦澀).

3傳輸過程控制方程(a)原理圖(b)結(jié)構(gòu)示意圖圖3-7畢托管圖3-8文丘里管看書3傳輸過程控制方程穩(wěn)定流的動(dòng)量方程在實(shí)際工程實(shí)踐中，除了要確定運(yùn)動(dòng)流體的流速和流量之外，還常常要涉及運(yùn)動(dòng)流體與固體壁面之間的相互作用力的計(jì)算問題，如水等在彎管中流動(dòng)對(duì)管壁的沖擊等。這就需要應(yīng)用運(yùn)動(dòng)流體的動(dòng)量方程來(lái)分析。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：這個(gè)動(dòng)量變化就是流束段1'-2'的動(dòng)量M1'-2'與流束段1-2的動(dòng)量M1-2之差，但因是穩(wěn)定流動(dòng)，在dt時(shí)間內(nèi)經(jīng)過流束段1'-2的流體動(dòng)量不變化，所以流束段由1-2的位置運(yùn)動(dòng)到1'-2'位置時(shí)的整個(gè)流束段的動(dòng)量變化，應(yīng)等于流束段2-2'與流束段1-1'兩者的動(dòng)量差：3傳輸過程控制方程穩(wěn)定流的動(dòng)量方程設(shè)一總流中任選一條流束段1-2，其過水?dāng)嗝娣謩e為1-1和2-2，以p1和p2分別表示作用于過水?dāng)嗝?-1和2-2上的壓強(qiáng)；u1和u2分別表示流經(jīng)過水?dāng)嗝?-1和2-2時(shí)的速度，經(jīng)dt時(shí)間后，流束段運(yùn)動(dòng)到1'-2'的位置，流束段的動(dòng)量因而發(fā)生變化。推廣到總流中由于所以其中，

為動(dòng)量修正系數(shù)，3傳輸過程控制方程動(dòng)量修正系數(shù)大小取決于斷面上流速分布的均勻程度，其實(shí)驗(yàn)值為1.02~1.05，通常取

=1。則不可壓縮流體穩(wěn)定流動(dòng)總流的動(dòng)量方程：作用于所研究的流體上的外力總和等于單位時(shí)間內(nèi)流出與流入的動(dòng)量之差。3傳輸過程控制方程圖3-10液流對(duì)彎管壁的作用力圖3-11射流沖擊固體壁面看書3傳輸過程控制方程3傳輸過程控制方程3.3 能量控制方程能量守恒與轉(zhuǎn)化定律（熱力學(xué)第一定律）：自然界一切物質(zhì)都是具有能量，能量有各種不同的形式，能夠從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，在轉(zhuǎn)化與能量的數(shù)量不變。熱力學(xué)第二定律：凡牽涉為熱現(xiàn)象的過程都是不可逆的，即，對(duì)于挑選的某一不可逆過程，指明它所產(chǎn)生的效果不論利用什么方法也不可能完全恢復(fù)原狀而不引起其他變化。推論一：過程的不可逆不僅是過程本身的性質(zhì)，而且指出過程的初態(tài)與終態(tài)的相互關(guān)系是：不可能用任何辦法由終態(tài)回到初態(tài)而不引起其他變化。推論二：自然界的不可逆過程是相互關(guān)聯(lián)的，由一個(gè)過程的不可逆可以推斷另一過程的不可逆。3傳輸過程控制方程熱力學(xué)第二定律幾種說法：克勞修斯說法(1850年)：

不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化。(傳熱過程的不可逆性)開爾文說法(1851年)：不可能從單一熱源取熱使之完全變?yōu)橛杏玫墓Χ划a(chǎn)生其他影響即，第二類永動(dòng)機(jī)是不可能實(shí)現(xiàn)。(摩擦生熱過程的不可逆性)普朗克說法：不可能造一個(gè)機(jī)器，在循環(huán)動(dòng)作中把一重物升高而同時(shí)使一熱庫(kù)冷卻?？?Caratheodory)說法(1909年)：

一個(gè)物體系的任一給定的平衡態(tài)的附近總有這樣的態(tài)存在，從給定的態(tài)不可能經(jīng)絕熱過程達(dá)到。

3傳輸過程控制方程熱力學(xué)第三定律：不可能用有限的手續(xù)使一個(gè)物體冷卻到絕對(duì)溫度的零度。3傳輸過程控制方程3.3 能量控制方程能量方程是能量守恒定律在傳輸現(xiàn)象中的具體體現(xiàn)，又稱為熱量傳遞微分方程。3.1.1能量方程的導(dǎo)出單位時(shí)間控制體內(nèi)流體總能量的增量等于單位時(shí)間凈流入控制體的總能量和傳入控制體內(nèi)流體的熱量及作用在控制體內(nèi)流體上的各力做功之和。3傳輸過程控制方程(1)單位時(shí)間內(nèi)凈流入控制體的總能量單位質(zhì)量流體的總能量(總比能)Et，在x方向上單位時(shí)間內(nèi)通過dydz面流入控制體的質(zhì)量為3傳輸過程控制方程由x+dx處的平面dydz流出的總能量為則在x方向進(jìn)入控制體的凈總能量為在y和z方向的凈總能量分別為單位時(shí)間內(nèi)凈流入控制體的總能量為3傳輸過程控制方程(2)外力對(duì)控制體內(nèi)流體所做的功表面力所做的功：包括剪應(yīng)力與壓力單位時(shí)間單位面積剪切力(剪應(yīng)力)

ij所做的功為

ijuj(uj為單位時(shí)間的位移。3傳輸過程控制方程一種方法：考慮具有相同法線方向的面的作用力在x處dydz面上單位時(shí)間x方向的剪切力所做的功為：則作用在dydz面上單位時(shí)間x方向的剪切力所做的功為：3傳輸過程控制方程在x+dx處dydz面上單位時(shí)間x方向的剪切力所做的功為：作用在dydz面上單位時(shí)間y方向的剪切力所做的功為：3傳輸過程控制方程同理，作用在dydz面上單位時(shí)間z方向的剪切力和壓力所做的功分別為：?jiǎn)挝粫r(shí)間作用在dxdz面和dxdy面上的剪切力和壓力所做的總功為：3傳輸過程控制方程則單位時(shí)間作用在dydz面上的剪切力和壓力所做的總功為：?jiǎn)挝粫r(shí)間作用在控制體上的表面力對(duì)流體所做的功為：3傳輸過程控制方程(2)外力對(duì)控制體內(nèi)流體所做的功表面力所做的功：包括剪應(yīng)力與壓力作用力為x方向的表面力如圖：3傳輸過程控制方程另一種方法：考慮不同面上作用力方向相同的作用力在dydz面上單位時(shí)間x方向的剪切力所做的功為：3傳輸過程控制方程在dxdz面上單位時(shí)間x方向的剪切力所做的功為：3傳輸過程控制方程在dxdy面上單位時(shí)間x方向的剪切力所做的功為：在dydz面上的單位時(shí)間壓力(x方向)所做的功為：則單位時(shí)間不同表面上x方向的剪切力和壓力所做的總功為：同理，單位時(shí)間不同表面上y方向或z方向的剪切力和壓力所做的總功分別為：3傳輸過程控制方程則，單位時(shí)間不同表面上的剪切力和壓力所做的總功為：兩種方法結(jié)果一致。3傳輸過程控制方程作用在控制體上的質(zhì)量力在單位時(shí)間內(nèi)所做的功為(3)由于熱傳導(dǎo)傳遞的熱量設(shè)單位時(shí)間單位面積所傳遞的熱量(熱通量)為q，進(jìn)入控制體的凈熱量速率為：若控制體表面與周圍流體進(jìn)行的熱傳導(dǎo)只是分子擴(kuò)散傳遞所引起，并忽略熱輻射(很小)，由傅里葉定律，上式可以寫成：3傳輸過程控制方程當(dāng)各

相同并為常數(shù)時(shí)，上式可以寫成：

(4)由于內(nèi)熱源的存在所產(chǎn)生的熱量

設(shè)S為單位時(shí)間內(nèi)，單位體積中熱源生成的熱量，稱為內(nèi)熱源速率，單位為J/(m3

s)，則由于內(nèi)熱源傳給控制體內(nèi)流體的熱量為Sdxdydz

(5)

總比能Et在單位時(shí)間內(nèi)的積累量為：3傳輸過程控制方程(6)

總能量平衡方程為：3傳輸過程控制方程矢量式為：根據(jù)總能量Et定義及全微分，其左邊可寫成：又由N-S方程，有：3傳輸過程控制方程代入總能量平衡方程，得到：3傳輸過程控制方程矢量式為：用應(yīng)力表示的能量方程(1)。將斯托克斯的黏度關(guān)系式代入上式，可得：又由連續(xù)性方程式知：則以熱力學(xué)第一定律表示的能量方程(2)

3傳輸過程控制方程其中黏性耗散項(xiàng)為對(duì)單位質(zhì)量物質(zhì)，則有：則此式為以凈焓表示的能量方程(3)，也是能量微分方程的一般形式。3傳輸過程控制方程根據(jù)物性參數(shù)的熱力學(xué)關(guān)系，有：代入以凈焓表示的能量方程，得：以溫度和熱容表示的能量方程(4)

3傳輸過程控制方程其中3傳輸過程控制方程3.1.2能量方程的簡(jiǎn)化除了高速下運(yùn)動(dòng)或具有高黏度的流體之外，一般來(lái)說，黏性耗散項(xiàng)

是不大的，可以忽略不計(jì)對(duì)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的不可壓縮流體，d

/dt=0，同時(shí)，對(duì)不可壓縮流體，則所以3傳輸過程控制方程3.1.2能量方程的簡(jiǎn)化無(wú)熱源時(shí)不可壓縮流體的能量方程。與菲克第二定律有相同的形式。3傳輸過程控制方程對(duì)于導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的恒壓流體無(wú)熱源時(shí)，可簡(jiǎn)化為：對(duì)于固體或靜止流體，其密度一般恒定，并且速度為零，此時(shí)的傳熱問題即為無(wú)內(nèi)熱源時(shí)的導(dǎo)熱問題，其能量方程簡(jiǎn)化為：有均勻熱源時(shí)，能量方程為：在固體或靜止流體內(nèi)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時(shí)：泊松(Poisson)方程

3傳輸過程控制方程無(wú)熱源時(shí)，能量方程在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)中的表達(dá)式分別為：SiméonDenisPoisson(1781-1840),FranceFewpeoplecanhaveachievedacademicsuccessasquicklyasPoissondid.Whenhebegantostudymathematicsin1798attheécole

Polytechnique.HisteachersLaplaceandLagrangequicklysawhismathematicaltalents.In1823Poissonpublishedonheat,producingresultswhichinfluencedSadiCarnot.MuchofPoisson'sworkwasmotivatedbyresultsofLaplace.3.4控制方程準(zhǔn)數(shù)形式控制方程組是二階非線性偏微分方程組，只能在為數(shù)不多的情況下求得其精確解，而多數(shù)情況下是求其近似解。將控制方程無(wú)量綱化是可行而且是必要的。通過相似變換，可以把控制方程組在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)闊o(wú)量綱的形式。設(shè)彼此相似的兩個(gè)不可壓縮流體的流動(dòng)系統(tǒng)：實(shí)際系統(tǒng)和模型系統(tǒng)。前者的所有變量均用(

)表示，后者均用(

)表示，則兩個(gè)系統(tǒng)中的連續(xù)性方程分別為：做相似變換，有：3傳輸過程控制方程3.4控制方程準(zhǔn)數(shù)形式兩個(gè)系統(tǒng)中的動(dòng)量傳輸方程分別為：：做相似變換，有：3傳輸過程控制方程由(2)和(3)有：由(2)和(4)有：由(2)和(5)有：將相似變換代入這些結(jié)果中可得準(zhǔn)數(shù)：3傳輸過程控制方程由(1)和(2)有：則均時(shí)數(shù)Ho是速度為u的流體質(zhì)點(diǎn)通過系統(tǒng)中某一定形尺寸l距離所需的時(shí)間t。Ho相等，則速度場(chǎng)隨時(shí)間改變的快慢相似。弗勞德(Froude)數(shù)Fr的分子部分反映了單位質(zhì)量(或單位體積)流體的重力位能，分母為單位質(zhì)量(或單位體積)流體的動(dòng)能的兩倍，故Fr為流體在流動(dòng)過程中重力位能與動(dòng)能的比值，重力位能與動(dòng)能又分別與重力和慣性成正比，故Fr也表示流體在流動(dòng)過程中的重力與慣性力的比值，是重力起作用的相似準(zhǔn)則。雷諾(Reynolds)數(shù)Re表示流體流動(dòng)過程中的慣性力與黏性力的比值，是摩擦力起作用的相似準(zhǔn)則。歐拉(Euler)數(shù)Eu為流體慣性力與黏性力的比值，是壓力起作用的相似準(zhǔn)則。實(shí)際流體動(dòng)量準(zhǔn)數(shù)方程的一般式為：3傳輸過程控制方程由(2)和(3)，得：3傳輸過程控制方程同樣地，對(duì)導(dǎo)熱率恒定的無(wú)熱源不可壓縮流體能量方程做相似變換：由(1)和(3)，得：傅里葉(Fourier)數(shù)Fo是與時(shí)間有關(guān)的準(zhǔn)數(shù)。它表征不穩(wěn)定導(dǎo)熱時(shí)溫度場(chǎng)隨時(shí)間的變化，其分子與分母分別為導(dǎo)入的熱量與熱焓變化。Fo越大，溫度場(chǎng)越容易趨于穩(wěn)定。它可理解為相對(duì)穩(wěn)定度，是不穩(wěn)定導(dǎo)熱中的一個(gè)重要準(zhǔn)