13.4課題學(xué)習(xí)-最短路徑問題

八年級上冊13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題．如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？①②③

兩點(diǎn)之間,線段最短引入新知(Ⅰ)兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)已知：如圖，A，B在直線L的側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

A..BP思考:為什么這樣就能得到最短距離呢？根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.最短路徑問題①垂線段最短。②兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABLC問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知BAl追問1

這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知追問2

你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．BAlCABl

C(Ⅱ)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得CA+CB最小.

追問1

對于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等？探索新知問題2

已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得CA+CB最小.B·lA·

追問2

你能利用軸對稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)B′嗎？探索新知

問題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·ABl

B′P

點(diǎn)P的位置即為所求.

作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′.

②

連接AB′,交直線l于點(diǎn)P.已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小.

探索新知探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問1

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？探索新知追問2

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′ABl

B′P

點(diǎn)P的位置即為所求.M

作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′.

②

連接AB′,交直線l于點(diǎn)P.(Ⅱ)兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)已知：如圖,A、B在直線L的同一側(cè)，在L上求一點(diǎn)，使得PA+PB最小.

為什么這樣做就能得到最短距離呢？MA+MB′>PA+PB′即MA+MB′>PA+PB

三角形任意兩邊之和大于第三邊運(yùn)用新知練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋運(yùn)用新知基本思路：

由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋問題2（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab解決問題2①作圖②證明ABMNabA′M′N′ABMNabA′證明:ABMNabA′M′N′練習(xí)

1、如圖1，臺(tái)球桌上有一個(gè)黑球，一個(gè)白球，如何用球桿去擊白球使其撞到AB邊反彈后再撞到黑球?

2、如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)△AMN周長最小時(shí)，∠AMN+∠ANM的度數(shù)為多少？

圖1圖2DBACABDCA′A″NM歸納小結(jié)（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？1.某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA

的對稱點(diǎn)點(diǎn)D,2.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OB

的對稱點(diǎn)點(diǎn)E,3.連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，則CM+MN+CN最短AOBＣ.

.EDMNGH2.如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。作法：1.作點(diǎn)C關(guān)于直線

OA

的對稱點(diǎn)點(diǎn)F,2.