2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 1-4 基本不等式 學案

第四節(jié)基本不等式

【課標標準】1.掌握基本不等式√^b≤?(a>0,b>0).2.結合具體實例，能用基本不

等式解決簡單的最大值或最小值問題.

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.基本不等式：Vab≤^∣^

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當________時取等號.

(3)其中，稱為正數(shù)a,b的算術平均數(shù)，稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.基本不等式的兩種常用變形形式

(l)ab≤(a,b∈R,當且僅當。=h時取等號).

(2)α+b23>0,b>0,當且僅當α=b時取等號).

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,>?>0,則

(1)如果積孫是定值P,那么當且僅當_______時，x+y有最小值.(簡記：

積定和最小).

(2)如果和x+y是定值S,那么當且僅當_____時，沖有最大值.(簡記：和定

積最大).

［常用結論］

l?+?2(w?>0),當且僅當α=b時取等號.

2.應用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等"，忽略某個條件，就會出錯.

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)不等式a2+b2>2ab與手≥FE成立的條件是相同的.()

⑵函數(shù)y=x+1的最小值是2.()

(3)x>0且y>0是2+工22的充分不必要條件.()

yX

(4)函數(shù)y=si〃x+去，X￡(0,的最小值為4.()

2.(教材改編)已知0<x<l,則x(3-3x)取得最大值時X的值為()

C.3

教材改編）若用總長為的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是

3.（20m

m2.

4.（易錯）若函數(shù)f（x）=x+*（x>2）在x=a處取最小值，則a=（）

A.l+√2B.l+√3

C.3D.4

5.（易錯）y=2+x+/x<0）的最大值為.

關鍵能力?題型突破

題型一利用基本不等式求最值

角度一拼湊法求最值

例1（1）（多選）下列說法正確的是（）

A.x+gx>O）的最小值是2

b?基的最小值是夜

c?意急的最小值是2

D-2-3XV的最大值是2-4√3

⑵設0<x<∣,則函數(shù)y=4x（3-2x）的最大值為

題后師說

拼湊法求最值的策略

鞏固訓練1

［2023?遼寧沈陽三十一中月考］下列函數(shù)中，最小值為4的是（）

A.y=x+:

1

B.y=χ+-+4(χ>-2)

24

C.y=cosx+-?

COS2X

D.y=χ2+2x+4

角度二常值代換法求最值

例2[2023?河南信陽模擬]設a>0,b>0,且a+b=l,則一1的最大值為()

題后師說

常數(shù)代換法求最值的一般步驟

鞏固訓練2

（1）（2023?遼寧鞍山模擬］已知正實數(shù)a、b滿足a+b=2,貝哈+I的最小值是（）

7Q

A.-B.-C.5D.9

22

（2）a>0,b>0,a÷b=4ab,則a÷b的最小值為.

角度三消元法求最值

例312023?安徽合肥八中模擬］已知x>0,y>0,滿足x?+2Xy-I=0,則3x+2y的最小

值是（）

A.√2B.√3C.2√3D.2√2

題后師說

當已知條件是含有兩個變量的等式時，可以采用把其中一個量用另一個量表示，代入所

求代數(shù)式中再結合基本不等式求解.

鞏固訓練3

已知正實數(shù)a,b滿足ab-b+l=O,貝壯+4b的最小值是.

a

題型二利用基本不等式證明不等式

例4[2023?安徽壽縣一中模擬]已知a,b,c∈R+,且α+6+c=2.

(1)求序+b+c的取值范圍；

(2)求證：-++-5j18.

abc

題后師說

利用基本不等式證明不等式，先觀察題中是否有符合基本不等式的條件.若有，則可以

直接利用基本不等式證明；若沒有，則對代數(shù)式進行拆項、變形、配湊等，使之達到使用基

本不等式的條件.

鞏固訓練4

[2023?江西金溪一中模擬]已知正實數(shù)m,”滿足〃產(chǎn)+〃2=4〃?2"2.證明：

⑴,WJ若；

(2)—T+力-8.

m4n4

題型三基本不等式的實際應用

例5某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深

度一定，池的四周墻壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米IOO元，池底

建造單價每平方米60元(池壁厚忽略不計).

(1)污水處理池的長設計為多少米時，可使總造價最低；

(2)如果受地形限制，污水處理池的長、寬都不能超過14.5米，那么此時污水處理池的長

設計為多少米時，可使總造價最低.

題后師說

利用基本不等式解實際應用問題的技巧

鞏固訓練5

［2023?江西吉安模擬］春節(jié)期間，車流量較大，可以通過管控車流量，提高行車安全，在

某高速公路上的某時間段內車流量)，(單位時間內經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：萬輛/小時)與

汽車的平均速度W單位：千米/小時)、平均車長/(單位：米)之間滿足的函數(shù)關系y=

2χ,∏T7gnl(0<v≤120),已知某種車型的汽車的平均速度為100千米/小時，車流量為1萬輛

VI4UVIJL4OUl

/小時.

(1)求該車型的平均車長/：

(2)該車型的汽車在該時間段內行駛，當汽車的平均速度。為多少時車流量y達到最大

值？

真題展臺］

EZHENTlZHANTAI^^

l.［2021?全國乙卷］下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4

B.γ=∣sinx∣4

∣sinx∣

C.y=2x+22~x

4

D-3,=1nx?

2.[2022?新高考∏卷]（多選）若x,y滿足χ2+y-χ）=ι,則（）

A.x+y≤lB.x+y2—2

C.x2+y2≤2D.x2÷y2≥1

3.[2022?新高考I卷]（多選）已知4>0,?>0,且。+8=1,則（）

22

A.a+b^~2

B.2"F

2

C.Iθg2tz+lθg2?2—2

D.Va+Vb≤√2

第四節(jié)基本不等式

必備知識?夯實雙基

知識梳理

1.(2)α=6(3)手√≡

2.⑴然Y(2)2加

3.(l)x=y2√P(2)x=y

夯實雙基

1.(D×(2)×(3)√(4)×

2.解析：因為Oa<1,所以x(3—3x)=3X(I-X)≤3［筆二手=*當且僅當X=I-X,

即X=T時，等號成立.

故選B.

答案：B

3.解析：設矩形的一邊長為Xm,矩形場地的面積為yr∩2,

則矩形另一邊長為1X(20-2x)=(10-x)m,所以y=x(10-x)WF4/義］=25(m2),當且

僅當X=Io—x,即x=5時，ymaχ=25.

答案：25

4.解析：y(x)=x+3=X—2+}?+2N2(x-2)×4-+2=4,當》一2=1時，即X

x^2X""2"?lx^**2

=3時等號成立..?.4=3.故選C.

答案：C

5.解析：Vx<0,.'.-x>0,

.?.y=2+*2-(―x—J

又一》一92J(-χ).(-∣)=2√5,

?'y=2+x+j=2-(-X-θ≤2一2y∕5t

當且僅當一X=-且即通時等號成立.

XXV0,X=—

答案：2-2√5

關鍵能力?題型突破

例1解析：⑴對于A,由基本不等式可知，當Qo時，x+-^2當且僅當x=3即X

XfX

=1時取等號，故A正確；

對于B,??=√5Z?T2≥√2,當X=O時取得等號，故B正確；

√X2+2

對于C,7?==^7?=-=√X2+4+-F=,令√χ2+4=7,則fN2,

vx2+4√xz+4√xz+4

因為y=r+3在[2,+8)上單調遞增，當/=2時，y取得最小值|,故C錯誤；

對于D,2—(3x+3在x<0時，沒有最大值，故D錯誤.

故選AB.

(2)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]W2pi^ψ=g,

當且僅當''2x=3-2x,即x=”'時，等號成立.

4

*(?？?，

.?.函數(shù)y=4χ(3-2x)(θ<X<

答案：⑴AB(2)j

鞏固訓練1解析：對于A：當XVo時y=x+r(),顯然最小值不為4,排除；

對于B：由x+2>0,則y=(x+2)+9+222J(x+2)?圭+2=4,當且僅當X=-I

時等號成立，滿足；

對于C：由題意0<f=cos2χWl,而y=f+/在(0,1]上遞減，故r=1時函數(shù)最小值為5,

不滿足；

對于D：由y=(x+l>+323,當X=-I時最小值為3,不滿足.

故選B.

答案：B

ab_1

例2解析：?.Z+b=l

a+4b沅'

當且僅當α=∣,6=]時取等號,

a+4b-9*

故選B.

答案：B

鞏固訓練2解析：(1)3+[=[(；+：)(〃+")=[+g+5)≥g(4+5)=[,當且僅當年=

P時等號成立.

a

故選B.

(2)?.*6Z>0,?>0,a+b=4ab,

???同除以ab得工+:=4,

ab

.??a+b=(a+b)?^G+θ=j+JG+θ

若+:χ2El

22

=1.

當且僅當2=：即a=b=；時取等號.

答案：(I)B(2)1

例3解析：由爐+加；-1=0,得而x>0,y>0,則有0令<1,

因此3工+2y=3犬+上二=Zr+222∣2x?^=2√2,當且僅當Zr=A即X=立時取“="，

XXYXX2

所以3x+2y的最小值為2√Σ

故選D.

答案：D

鞏固訓練3解析：：正實數(shù)4,6滿足“h+1=0,

.?.q==>0,即比>1,

b

=?^+46=1+-^-+4(?-1)+4

b-1b-1')

=5+W+4S-1)?5+2JW"(b-1)=9,

當且僅當6=1,α=J時取等號，故工+4。的最小值是9.

23a

答案：9

例4解析：(l)V0>O,b>Q,c>O且α+b+c=2,則〃+c=2-α,a2+b+c^a2+2-a

=(a-∣)2÷^,又OCa<2,

故：Wa2+b+c<(2—；)+：=4，故a'+6+c的取值范圍為［：,4).

(2)證明：Va>0,?>0,c>0,?++-=ka+b+c)(-+^+-)=∣(14+-+^+-+-+

abc2?abc/2?abac

?÷?)

+2Jg節(jié)+2JD+2./)='X(14+4+6+12)=18,當且僅當

b4a

—=—

ab

c_9a

ac,

4c9b

?=T

Spa=-fb=-,C=I時等號成立.故工+1+^218.

33abc

鞏固訓練4證明：⑴由蘇+/=4橫落得二^+白=4,

m2n2

又吃+W≥2,所以，當且僅當〃?=〃=W時等號成立.

mznzmn22

(2)二+Λ=(Λ+-?Y-?=16-r?≥16-7?=8,

'7m4n4?m2n2/m2n2(mn)2(2)

當且僅當機="=當時等號成立.

故++言8.

例5解析：(1)設污水處理池的長為X米，則寬為一米，總造價為T(X)元，則兀V)=

400x(2x+2x-)+100X-+60X200=800x(x+爺+12Oo021600Jx?≡+12OOO

=36000(元)，當且僅當X=W(X>0),即x=15時等號成立.即污水處理池的長設計為15米

時，可使總造價最低.

(2)記g(x)=x+竽(0<xW14.5),顯然g(x)是減函數(shù)，所以當X=I4.5時，g(x)有最小值，

相應總造價T(X)有最小值，此時寬也不超過14.5米.

鞏固訓練5解析：(1)由題意：當0=100時，y=l,

?184X100?

??1~^,??I?.

1002+20×100+l2801

，該車型的平均車長為5米.

(2)由(1)知，函數(shù)的表達式為y=衣工器而(0<uW120)?

..n._184v_184184_46

V'??>2+20V+6400H^-I640045,

Vv+V+20ZV------I-ZU

當且僅當。=9,即。=80時取等號.

V

故當汽車的平均速度為80千米/小時時車流量y達到最大值.

真題展臺——知道高考考什么？

I.解析：對于A,y=∕+2x+4=(x+1)2+323,當且僅當x=-1時取等號，所以其

最小值為3,A不符合題意；

對于B,因為O<∣sinx∣Wl,-y=∣sinx∣+j-^∣S=2√4=4,當且僅當卜inx∣=2時取等號，等

號取不到，所以其最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2'>0,y=2x+22^?t=2?t+^^2√4=4,當且僅當2t=2,

即x=l時取等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+在，函數(shù)定義域為(0,