應(yīng)用回歸分析（R語言版）（第2版） 課件 第3章 多元線性回歸

第三章多元線性回歸3.1多元線性回歸模型3.2回歸系數(shù)的估計3.3有關(guān)估計量的性質(zhì)3.4回歸方程的顯著性檢驗3.5中心化和標(biāo)準(zhǔn)化3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)3.7本章小結(jié)與評注2024/3/51中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.1多元線性回歸模型3.1.1多元線性回歸模型的一般形式

2024/3/52y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心對n組觀測數(shù)據(jù)(xi1,xi2,…,xip;yi)，i=1,2,…,n，線性回歸模型表示為:2024/3/53中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.1多元線性回歸模型3.1.1多元線性回歸模型的一般形式

對于式（3.1）可以寫成矩陣形式為其中，設(shè)計矩陣2024/3/54中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.1多元線性回歸模型3.1.2多元線性回歸模型的基本假定

解釋變量x1,x2,…,xp是確定性變量，不是隨機變量，

且要求rank(X)=p+1＜n。隨機誤差項均值為0且等方差，即高斯-馬爾柯夫

（Gauss-Markov）條件。正態(tài)分布的假設(shè)條件為：對于模型式（3.2），該條件可表示為：

此時，3.1多元線性回歸模型2024/3/55中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.1.3多元線性回歸系數(shù)的解釋

對含有p個自變量的多元線性回歸而言，每個回歸系數(shù)βi

表示在回歸方程中其他自變量保持不變的情況下，自變量xi每增加一個單位時因變量y的平均增加幅度。如y=β0+β1x1+β2x2+ε，E(y)=β0+β1x1+β2x2在x2保持不變時,有在x1保持不變時,有3.1多元線性回歸模型2024/3/56中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.1.3多元線性回歸系數(shù)的解釋

考慮國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP和三次產(chǎn)業(yè)增加值的關(guān)系GDP=x1+x2+x3是確定性的函數(shù)關(guān)系。現(xiàn)在利用本章表3-10（見下頁）的數(shù)據(jù)做GDP對第二產(chǎn)業(yè)增加值x2的一元線性回歸，得回歸方程此方程的回歸系數(shù)表示第二產(chǎn)業(yè)增加值每增加1億元，GDP增加2.155億元，它不等于1。為什么？你能合理解釋嘛？3.1多元線性回歸模型2024/3/57中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2回歸系數(shù)的估計3.2.1回歸系數(shù)的普通最小二乘估計

2024/3/58最小二乘估計要尋找中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心達(dá)到極小3.2回歸參數(shù)的估計3.2.1回歸參數(shù)的普通最小二乘估計

2024/3/59中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心根據(jù)求極值的原理，應(yīng)滿足下列方程組3.2回歸參數(shù)的估計3.2.1回歸參數(shù)的普通最小二乘估計

2024/3/510對方程組進行整理得到矩陣形式表示的正規(guī)方程組移項得當(dāng)存在時，得回歸參數(shù)的最小二乘估計為：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2回歸參數(shù)的估計3.2.2回歸值與殘差2024/3/511中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心為觀測值yi的回歸值；則對于向量y，其回歸值為，其中稱為帽子矩陣，主對角線元素記為hii，易得依據(jù)跡的性質(zhì)tr(AB)=tr(BA)3.2回歸參數(shù)的估計2024/3/512中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2.2回歸值與殘差yi的殘差：殘差向量：殘差向量的協(xié)方差陣：3.2回歸參數(shù)的估計2024/3/513中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2.2回歸值與殘差由可得σ2的無偏估計為：3.2回歸系數(shù)的估計3.2.3回歸系數(shù)估計的最大似然法2024/3/514等價于使達(dá)到最小，這與OLSE一致。故在正態(tài)假定下，β的最大似然估計與OLSE完全相同。但誤差方差的最大似然估計為：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心由可得樣本似然函數(shù)為：

則對數(shù)似然函數(shù)為：2024/3/515中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2.4實例分析例3-1現(xiàn)實生活中，影響一個地區(qū)居民消費的因素有很多。本例選取9個解釋變量研究城鎮(zhèn)居民家庭平均每人全年的消費性支出y，解釋變量為：x1—居民的食品花費，x2—居民的衣著花費，x3—居民的居住花費，x4—居民的醫(yī)療保健花費，x5—居民的文教娛樂花費，x6—地區(qū)的職工平均工資，x7—地區(qū)的人均GDP，x8—地區(qū)的消費價格指數(shù)，x9—地區(qū)的失業(yè)率。本例選取2013年《中國統(tǒng)計年鑒》我國30個省、市、自治區(qū)2012年的數(shù)據(jù)，以居民的消費性支出(元)為因變量，以如上9個變量為自變量作多元線性回歸。數(shù)據(jù)見表3-1，其中，自變量x1~x7單位為元，x8,x9數(shù)字后加%。2024/3/516地區(qū)北京753526391971165836968474287475106.51.324046天津734418811854155622546151493173107.53.620024河北421115421502104712043865836584104.13.712531山西38561529143990615064423633628108.83.312212內(nèi)蒙古546327301584135419724655763886109.63.717717遼寧580920421433131018444185856649107.73.616594吉林4635204515941448164338407434151113.714614黑龍江468718071337118112173640635711104.84.212984上海9656211117901017372478673853731063.126253江蘇665819161437105830785063968347112.63.118825浙江755221101552122829975019763374104.5321545...………………………………………………………陜西555117891322121220794307338564109.43.215333甘肅460216311288105013883767921978108.62.712847青海46671512123290610974648333181110.63.412346寧夏476918761193106315164743636394105.54.214067新疆523920311167102812814457633796114.83.413892中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心表3-1表3-1中的數(shù)據(jù)保存在文件data3.1.csv中，該文件存儲在D盤2024/3/517中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2.4實例分析用R軟件對數(shù)據(jù)進行回歸分析，計算代碼及運行結(jié)果（見下頁）如下：

data3.1<-read.csv(“D:/data3.1.csv”,head=TRUE)#讀取數(shù)據(jù)

lm3.1<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9,data=data3.1)#建立回歸方程

summary(lm3.1)#輸出回歸結(jié)果及顯著性檢驗結(jié)果2024/3/518中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.2.4實例分析回歸方程3.3有關(guān)估計量的性質(zhì)2024/3/519

中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心性質(zhì)1

是隨機向量y的一個線性變換。性質(zhì)2

是β的無偏估計。

2024/3/520中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.3有關(guān)估計量的性質(zhì)性質(zhì)3當(dāng)p=1時即一元線性回歸的情況，是上述公式對應(yīng)的一個特殊情況，讀者不妨自己驗證。2024/3/521中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.3有關(guān)估計量的性質(zhì)性質(zhì)4Gauss-Markov定理在假定E(y)=Xβ,D(y)=σ2In時，β的任一線性函數(shù)的最小方差線性無偏估計(BestLinearUnbiasedEstimator簡記為BLUE)為，其中c是任一p+1維向量，

是β的最小二乘估計。關(guān)于該性質(zhì)的四點說明：①取常數(shù)向量c的第j(j=0,1,…,p)個分量為1，其余分量為0，這時G-M定理表明最小二乘估計是βj的最小方差線性無偏估計。2024/3/522中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.3有關(guān)估計量的性質(zhì)性質(zhì)4Gauss-Markov定理②可能存在y1,y2,…,yn的非線性函數(shù)，作為的無偏估計，比最小二乘估計的方差更小。③可能存在的有偏估計量，在某種意義（例如均方誤差最?。┫卤茸钚《斯烙嫺?。④在正態(tài)假定下，是的最小方差無偏估計。也就是說，既不可能存在y1,y2,…,yn的非線性函數(shù)，也不可能存在y1,y2,…,yn的其它線性函數(shù)，作為的無偏估計，比最小二乘估計的方差更小。3.3有關(guān)估計量的性質(zhì)2024/3/523中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心性質(zhì)5此性質(zhì)說明與e不相關(guān)，在正態(tài)假定下等價于與e獨立，從而與獨立。性質(zhì)6

當(dāng)時，則(1)(2)3.4回歸方程的顯著性檢驗2024/3/5243.4.1F檢驗

原假設(shè)H0：β1=β2=…=βp=0在正態(tài)假設(shè)下，當(dāng)H0成立時服從。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心利用離差平方和的分解式SST=SSR+SSE建立對H0進行檢驗的F統(tǒng)計量方差來源自由度平方和均方F值P值回歸殘差總和pn-p-1n-1SSRSSESSTSSR/pSSE/(n-p-1)P(F>F值)=P值3.4回歸方程的顯著性檢驗2024/3/5253.4.1F檢驗

中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心表3-4方差分析表對于線性回歸的方差分析，R語言中不僅可使用函數(shù)anova()得到方差分析表，還可以使用函數(shù)Anova()，而在使用函數(shù)Anova()前需要安裝包car并加載該包。2024/3/526中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.4回歸方程的顯著性檢驗3.4.2回歸系數(shù)的顯著性檢驗(t檢驗)原假設(shè)H0j：βj=0,j=1,2,…,p依據(jù)參數(shù)估計的性質(zhì)6構(gòu)造t統(tǒng)計量其中2024/3/527中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心由例3-1中輸出結(jié)果3.1可知，在0.05的顯著性水平下，F(xiàn)檢驗結(jié)果顯著，說明回歸方程整體高度顯著，但是所有的回歸系數(shù)并不都顯著，9個自變量中只有x1，x2，x3，x5的回歸系數(shù)通過了顯著性檢驗。由于某些自變量對因變量的影響不顯著，因而多元回歸中并不是包含在回歸方程中的自變量越多越好，該問題會在第5章有更詳細(xì)的討論。3.4回歸方程的顯著性檢驗2024/3/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心28一種剔除多余變量的方法—后退法當(dāng)t檢驗結(jié)果顯示有多個自變量對因變量無顯著影響時，每次剔除對應(yīng)|t值|最?。≒值最大）的一個變量（原則上每次只剔除一個變量），然后再對新的回歸方程進行檢驗，直至保留的變量都對因變量有顯著影響，否則需要繼續(xù)剔除變量。對于例3-1，P值最大的P4=0.9907，首先剔除變量x4，建立y關(guān)于其余8個變量的回歸方程，R中可以依舊使用lm()函數(shù)，也可以使用update()函數(shù)，如：

lm3.1_drop4<-update(lm3.1,.~.-x4)#在前面已經(jīng)建立了lm3.1回歸模型的基礎(chǔ)上使用3.4回歸方程的顯著性檢驗3.4回歸方程的顯著性檢驗2024/3/529中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心在一元線性回歸中，回歸系數(shù)顯著性的t檢驗與回歸方程顯著性的F檢驗是等價的，而在多元線性回歸中，這兩種檢驗是不等價的。F檢驗顯著，說明y對自變量x1,x2,…,xp

整體的線性回歸效果是顯著的，但不等于y對每個自變量xj的回歸效果都顯著。某個或某幾個xj的系數(shù)不顯著，回歸方程顯著性的F檢驗仍有可能是顯著的。

2024/3/530中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心偏F統(tǒng)計量—從另一個角度考慮自變量xj的顯著性3.4回歸方程的顯著性檢驗3.4.2回歸系數(shù)的顯著性檢驗(t檢驗)y對自變量x1,x2,…,xp線性回歸的殘差平方和為SSE，回歸平方和為SSR，在剔除xj后，用y對其余的p-1個自變量做回歸，記所得的殘差平方和為SSE(j)，回歸平方和為SSR(j)，則自變量xj對回歸的貢獻(xiàn)為ΔSSR(j)=SSR-SSR(j)，稱為xj的偏回歸平方和。由此構(gòu)造偏F統(tǒng)計量當(dāng)H0j：βj=0成立時，F(xiàn)j~F(1,n-p-1)，且Fj=tj2。3.4回歸方程的顯著性檢驗2024/3/5313.4.3回歸系數(shù)的置信區(qū)間可得βj的置信度為1-α的置信區(qū)間為：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心由confint()函數(shù)可以計算置信區(qū)間3.4回歸方程的顯著性檢驗2024/3/5323.4.4擬合優(yōu)度

決定系數(shù)為：y關(guān)于x1,x2,…,xp的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)為：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心在兩個變量的簡單相關(guān)系數(shù)中，相關(guān)系數(shù)有正負(fù)之分，而復(fù)相關(guān)系數(shù)表示的是因變量y與全體自變量之間的線性關(guān)系，因而都取正號。3.5中心化和標(biāo)準(zhǔn)化2024/3/5333.5.1中心化

經(jīng)驗回歸方程經(jīng)過樣本中心將坐標(biāo)原點移至樣本中心，即做坐標(biāo)變換：回歸方程轉(zhuǎn)變?yōu)榛貧w常數(shù)項為中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心減少計算量3.5中心化和標(biāo)準(zhǔn)化2024/3/534

3.5.2標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)

樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化公式為

得標(biāo)準(zhǔn)化的回歸方程

中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.5中心化和標(biāo)準(zhǔn)化2024/3/535

3.5.2標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)

當(dāng)自變量的單位不同時普通最小二乘估計的回歸系數(shù)不具有可比性，例如有一回歸方程為:其中x1的單位是噸，x2的單位是公斤。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5363.6.1樣本相關(guān)陣自變量樣本相關(guān)陣增廣的樣本相關(guān)陣中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2024/3/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心37

R中函數(shù)cor(Z)可以直接計算增廣樣本相關(guān)矩陣，其中Z=(y,X)，y為因變量的樣本值，X為設(shè)計矩陣。計算例3-1城鎮(zhèn)居民消費性支出數(shù)據(jù)的增廣樣本相關(guān)矩陣見下表3-5。3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)3.6.1樣本相關(guān)陣3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5383.6.2偏決定系數(shù)

中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心偏判定系數(shù)測量在回歸方程中已包含若干個自變量時，再引入某一個新的自變量后y的剩余變差的相對減少量，它衡量y的變差減少的邊際貢獻(xiàn)。當(dāng)其他變量被固定后，給定的任兩個變量之間的相關(guān)系數(shù)，叫偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)可以度量p+1個變量y,x1,x2,xp之中任意兩個變量的線性相關(guān)程度，而這種相關(guān)程度是在固定其余p-1個變量的影響下的線性相關(guān)。3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5391．兩個自變量的偏判定系數(shù)二元線性回歸模型為：yi=β0+β1xi1+β2xi2+εi記SSE(x2)是模型中只含有自變量x2時y的殘差平方和，SSE(x1,x2)是模型中同時含有自變量x1和x2時y的殘差平方和。因此模型中已含有x2時再加入x1使y的剩余變差的相對減小量為：此即模型中已含有x2時，y與x1的偏判定系數(shù)。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6.2偏決定系數(shù)

3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5402.一般情況在模型中已含有x2,…,xp時，y與x1的偏判定系數(shù)為：中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6.2偏決定系數(shù)

3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/541

3.6.3偏相關(guān)系數(shù)

偏判定系數(shù)的平方根稱為偏相關(guān)系數(shù)，其符號與相應(yīng)的回歸系數(shù)的符號相同。

例3-2

研究北京市各經(jīng)濟開發(fā)區(qū)經(jīng)濟發(fā)展與招商投資的關(guān)系，因變量y為各開發(fā)區(qū)的銷售收入（百萬元），選取兩個自變量，x1為截至1998年底各開發(fā)區(qū)累計招商數(shù)目，x2為招商企業(yè)注冊資本（百萬元）。表3-6中列出了至1998年底招商企業(yè)注冊資本在5億至50億元的15個開發(fā)區(qū)的數(shù)據(jù)。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/542

3.6.3偏相關(guān)系數(shù)

表3-6北京開發(fā)區(qū)數(shù)據(jù)x1x2yx1x2y253547.79553.967671.13122.2420896.34208.555322863.3214006750.323.175116046410012087.052815.440862.757.55251639.311052.12187672.99224.188253357.73427122901.76538.94120808.47442.82743546.182442.7928520.2770.12中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5433.6.3偏相關(guān)系數(shù)

中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心R中計算偏相關(guān)系數(shù)首先需要計算相關(guān)系數(shù)矩陣r，然后下載安裝corpcor包，并使用該包中的函數(shù)cor2pcor(r)計算偏相關(guān)系數(shù)陣。對表3-6中的數(shù)據(jù)建立線性回歸模型并計算偏相關(guān)系數(shù)的計算代碼如下：data3.2<-read.csv("D:/data3.2.csv",head=TRUE)#讀取數(shù)據(jù)lm3.2<-lm(y~x1+x2,data=data3.2)#建立回歸方程summary(lm3.2)#輸出回歸方程及其檢驗結(jié)果r<-cor(data3.2)#計算相關(guān)系數(shù)陣rinstall.packages("corpcor")#安裝corpcor包library(corpcor)#加載corpcor包pcor3.2<-cor2pcor(r)#由相關(guān)系數(shù)陣計算偏相關(guān)系數(shù)陣pcor3.2#輸出偏相關(guān)系數(shù)陣2024/3/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心443.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)3.6.3偏相關(guān)系數(shù)

運行上述代碼，得到輸出結(jié)果如下：ry1;2ry2;13.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5453.6.1偏相關(guān)系數(shù)

由輸出結(jié)果3.5可看出：用y與x1做一元線性回歸時，x1能消除y的變差SST的比例為再引入x2時，x2能消除剩余變差SSE(x1)的比例為因而自變量x1和x2消除y變差的總比例為這個值84.2%恰好是y對x1和x2二元線性回歸的判定系數(shù)R2。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)2024/3/5463.6.3偏相關(guān)系數(shù)

對任意p個變量x1,x2,…,xp定義x1與x2的偏相關(guān)系數(shù)為其中符號Δij表示相關(guān)陣第i行第j列元素的代數(shù)余子式其中容易驗證中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心2024/3/547中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.6相關(guān)陣與偏相關(guān)系數(shù)3.6.3偏相關(guān)系數(shù)

實例說明

x1表示某種商品的銷售量

x2表示消費者人均可支配收入

x3表示商品價格從經(jīng)驗上看，銷售量x1與消費者人均可支配收入x2之間應(yīng)該有正相關(guān)，簡單相關(guān)系數(shù)r12應(yīng)該是正的。但是如果計算出的r12是個負(fù)數(shù)也不要感到驚訝，這是因為還有其他沒有被固定的變量在發(fā)揮影響，例如商品價格x3在這期間大幅提高了。而反映固定x3后x1與x2相關(guān)程度的偏相關(guān)系數(shù)r12;3會是個正數(shù)。3.7本章小結(jié)與評注

2024/3/548

例3-3y—民航客運量(萬人),x1—國民收入(億元),x2—消費額(億元),x3—鐵路客運量(萬人),x4—民航航線里程(萬公里),x5—來華旅游入境人數(shù)(萬人),根據(jù)《1994年統(tǒng)計摘要》獲得1978-1993年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（見表3-7），試建立中國民航客運量y關(guān)于x1,x2,x3,x4,x5的回歸模型。中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心3.7本章小結(jié)與評注

2024/3/549年份yx1x2x3x4x51978231301018888149114.89180.921979298335021958638916.00420.391980343368825319220419.53570.251981401394127999530021.82776.711982445425830549992223.27792.4319833914736335810604422.91947.7019845545652390511035326.021285.2219857447020487911211027.721783.3019869977859555210857932.432281.95198713109313638611242938.912690.231988144211738803812264537.383169.481989128313176900511380747.192450.14199016601438496639571250.682746.201991217816557109699508155.913335.651992288620223129859969383.663311.5019933383248821594910545896.084152.70中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心表3-72024/3/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心503.7本章小結(jié)與評注

第一步：

提出因變量與自變量，收集數(shù)據(jù)，如例3-3所示。第二步：

做相關(guān)分析，設(shè)定理論模型。用R軟件計算增廣樣本相關(guān)陣，計算代碼及輸出結(jié)果如下。2024/3/5中國人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心513.7本章小結(jié)與評注

從相關(guān)系數(shù)陣看出，y與x1,x2,x4,x5的相關(guān)系數(shù)都在0.9以上，說明所選自變量與y高度相關(guān)，用y與自變量做多元線性回歸是合適的。雖然x3與y的相關(guān)系數(shù)為0.227，說明鐵路客運量與民航客運量之間的關(guān)系不密切，但是在初步建模時還是先考慮將x3包含在內(nèi)。第三步：用軟件計算，輸出計算結(jié)果。建立回歸方程的代碼如下，輸出結(jié)果見3.7。lm3.3<-lm(y~x1+x2+x3+x4+x5,data=data3.3)summary(lm3.3)