圓圖深度總結(jié)

阻抗匹配與史密斯(Smith)圓圖:基本原理

本文利用史密斯圓圖作為RF阻抗匹配的設(shè)計(jì)指南。文中給出了反射系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的作圖范例，并用作圖法設(shè)計(jì)了一個(gè)頻率為60MHz的匹配網(wǎng)絡(luò)。圖中紅色字體是自己加的，黑色為原文。

實(shí)踐證明：史密斯圓圖仍然是計(jì)算傳輸線阻抗的基本工具。在處理RF系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，總會(huì)遇到一些非常困難的工作，對(duì)各部分級(jí)聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一。一般情況下，需要進(jìn)行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器輸出(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號(hào)或能量有效地從“信號(hào)源”傳送到“負(fù)載”。在高頻端，寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對(duì)匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時(shí)，理論計(jì)算和仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行的RF測(cè)試、并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計(jì)算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標(biāo)元件值。有很多種阻抗匹配的方法，包括:計(jì)算機(jī)仿真:由于這類軟件是為不同功能設(shè)計(jì)的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起來(lái)比較復(fù)雜。設(shè)計(jì)者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設(shè)計(jì)人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。另外，除非計(jì)算機(jī)是專門(mén)為這個(gè)用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計(jì)算機(jī)上。手工計(jì)算:這是一種極其繁瑣的方法，因?yàn)樾枰玫捷^長(zhǎng)(“幾公里”)的計(jì)算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)。經(jīng)驗(yàn):只有在RF領(lǐng)域工作過(guò)多年的人才能使用這種方法?？傊贿m合于資深的專家。史密斯圓圖:本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容。本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識(shí)，并且總結(jié)它在實(shí)際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然，史密斯圓圖不僅能夠?yàn)槲覀冋页鲎畲蠊β蕚鬏數(shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計(jì)者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。圖1.阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)基礎(chǔ)知識(shí)在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz)IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對(duì)RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。大家都知道，要使信號(hào)源傳送到負(fù)載的功率最大，信號(hào)源阻抗必須等于負(fù)載的共軛阻抗，即：Rs+jXs=RL-jXL圖2.表達(dá)式Rs+jXs=RL-jXL的等效圖在這個(gè)條件下，從信號(hào)源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲蟆Ａ硗?，為有效傳輸功率，滿足這個(gè)條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號(hào)源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個(gè)圖。正確的使用它，可以在不作任何計(jì)算的前提下得到一個(gè)表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以符號(hào)表示)的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。史密斯圓圖是通過(guò)驗(yàn)證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)L，反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo))，在處理RF頻率的問(wèn)題時(shí)，L更加有用。我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比:圖3.負(fù)載阻抗負(fù)載反射信號(hào)的強(qiáng)度取決于信號(hào)源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達(dá)式定義為：注意上面這個(gè)反射系數(shù)是負(fù)載端那一點(diǎn)的反射系數(shù)，當(dāng)位置在Z0線上移動(dòng)時(shí)，反射系數(shù)也要改變的，當(dāng)Z0是無(wú)耗線時(shí)，反射系數(shù)模值不變相位變，當(dāng)是有耗線時(shí)，大小和相位都變。由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Zo(特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50、75、100和600。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫(xiě)為：從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個(gè)關(guān)系式是一個(gè)復(fù)數(shù)，所以并不實(shí)用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式(如圓或射線)。首先，由方程求解出；并且令等式的實(shí)部和虛部相等，得到兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式：重新整理等式，經(jīng)過(guò)等式至得到最終的方程。這個(gè)方程是在復(fù)平面(r,i)上、圓的參數(shù)方程(x-a)2+(y-b)2=R2，它以(r/r+1,0)為圓心，半徑為1/1+r.更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4a。圖4a.圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗。例如，r＝1的圓，以,0)為圓心，半徑為。它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn)(0,0)(負(fù)載與特性阻抗相匹配）。Fr和Fi和r，x是圓的關(guān)系，不是直接關(guān)系，當(dāng)Fr，F(xiàn)i取某個(gè)值時(shí)，要依據(jù)2個(gè)圓相交軌跡，查出r和x，所以不是直接對(duì)應(yīng)的關(guān)系，不能搞混淆了。注意r不是圓的半徑，圓的半徑是r的函數(shù)。圖中表的0和1，都是F的標(biāo)度，不是r的；同樣，在電抗圓里，也是同樣的，別混淆。圖中上半部分x為正數(shù)，為感性；下半部分x為負(fù)數(shù)，為容性。ZL/Z0=r+jx半徑為1的圓，代表反射系數(shù)的模值為1，因?yàn)榉瓷湎禂?shù)定義為反射電壓/入射電壓，比值為1時(shí)，說(shuō)明全部都反射了，所以是全反射，即全反射圓。但從上面圓的公式里看到，半徑為1的圓，r=0，即圓上任何一點(diǎn)，阻抗里都只有虛部，只有電抗。即說(shuō)明，只有虛部的阻抗，能量會(huì)全反射。而且這個(gè)虛部包括了所有的虛部情況。本來(lái)(Fr，F(xiàn)i)的位置應(yīng)該由2個(gè)圓相交來(lái)定，所以不應(yīng)該在上面的這個(gè)單組圓系里討論某個(gè)點(diǎn)代表的物理意義，但是下面這幾個(gè)特殊情況可以討論一下:短路只有一個(gè)點(diǎn)，最左側(cè)的點(diǎn)；注意沒(méi)有短路圓。最左側(cè)的點(diǎn)，F(xiàn)=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)=-1，推導(dǎo)出ZL=0，短路。由ZL=0也能推導(dǎo)出F=-1，即最左側(cè)的點(diǎn)。怎樣理解射頻里ZL=0，短路ZL=0就一定是短路嗎開(kāi)路也只有一個(gè)點(diǎn)，最右邊這個(gè)點(diǎn)(1，0)。最右側(cè)的點(diǎn)，F(xiàn)=(ZL-Z0)/(ZL+Z0)=1，推導(dǎo)出ZL=無(wú)窮大，開(kāi)路。由ZL=無(wú)窮大也能推導(dǎo)出F=1，即最右側(cè)點(diǎn)。但從圓的方程式看，當(dāng)r=無(wú)窮大時(shí)，圓的半徑變成0，圓變成點(diǎn)(1，0)；即說(shuō)明r=無(wú)窮大（阻抗實(shí)部無(wú)窮大）和ZL=無(wú)窮大（阻抗無(wú)窮大）是等效的。沒(méi)有開(kāi)路圓，因?yàn)殚_(kāi)路時(shí)，圓縮成一個(gè)點(diǎn)了。注意沒(méi)有開(kāi)路圓。開(kāi)路，短路各自是一個(gè)點(diǎn)，都在全反射圓上，都是全反射的一種，說(shuō)明全反射不光只有短路和開(kāi)路，只要是純電抗，都全反射。注意(1,0)這個(gè)特殊的點(diǎn)，所有圓周都經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，從電阻圓方程看出，不管r是多大，即和r無(wú)關(guān)，包括全反射圓，所有不同實(shí)部r的圓和開(kāi)路點(diǎn)，都要經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。這個(gè)從上面圓的方程里能推導(dǎo)出來(lái)，但上面也推導(dǎo)出了這個(gè)點(diǎn)代表開(kāi)路。那為啥所有不同實(shí)部r的圓都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)，在物理上怎么解釋不同實(shí)部的圓相交，有啥物理意義分析1：雖然不同實(shí)部的圓都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)（1,0），但是經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)和由r=無(wú)窮大確定這個(gè)點(diǎn)是有區(qū)別的，經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的圓，它的實(shí)部是確定的，有限大小的；但是由r=無(wú)窮大確定這個(gè)點(diǎn)是，實(shí)質(zhì)上這個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)圓，只是因?yàn)榘霃节呌?，所以縮成一個(gè)點(diǎn)。所以說(shuō)，盡管所有不同實(shí)部r的圓都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)（1,0），但不是說(shuō)這些圓都代表開(kāi)路，相反，這些圓都不開(kāi)路，其實(shí)部都是有限大小的。分析2：圓圖里的任何一個(gè)阻抗點(diǎn)，都是由一個(gè)實(shí)部圓和一個(gè)虛部圓相交共同確定，所以某個(gè)實(shí)部圓只能確定阻抗的電阻部分，而不能確定虛部，而且任一個(gè)實(shí)部圓，包括了所有可能的電抗，那么自然的，也包括虛部無(wú)窮大的點(diǎn)，即開(kāi)路點(diǎn)。所以所有實(shí)部圓都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)。同理，所有虛部圓也都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)。在作史密斯電阻圓圖時(shí)，有一些需要注意的問(wèn)題。下面是最重要的幾個(gè)方面：所有的圓周只有一個(gè)相同的，唯一的交點(diǎn)(1,0)。代表0、也就是沒(méi)有電阻(r=0)的圓是最大的圓。無(wú)限大的電阻對(duì)應(yīng)的圓退化為一個(gè)點(diǎn)(1,0)實(shí)際中沒(méi)有負(fù)的電阻，如果出現(xiàn)負(fù)阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個(gè)新的電阻。作圖經(jīng)過(guò)等式至的變換，式可以推導(dǎo)出另一個(gè)參數(shù)方程，方程。同樣，也是在復(fù)平面(r,i)上的圓的參數(shù)方程(x-a)2+(y-b)2=R2,它的圓心為(1,1/x)，半徑1/x。更多細(xì)節(jié)參見(jiàn)圖4b。圖4b.圓周上的點(diǎn)表示具有相同虛部x的阻抗。例如，x=1的圓以(1,1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(diǎn)(1,0)。與實(shí)部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。這說(shuō)明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過(guò)橫軸上1點(diǎn)的垂直線上。因?yàn)閆load/Z0=r+jx，一般Z0=50，所以r，x也反應(yīng)了Zload的實(shí)部和虛部的大小，也就是負(fù)載阻抗的大小。所有圓都經(jīng)過(guò)(1，0)這個(gè)點(diǎn)。x可以很小，所以圓的半徑可以無(wú)窮大。x可以為負(fù)數(shù)，所以有2組對(duì)稱的圓。當(dāng)x無(wú)窮大時(shí)，圓的半徑無(wú)窮小，成為(1，0)這個(gè)點(diǎn)。注意(1，0)這個(gè)點(diǎn)，前面分析了：它代表唯一的開(kāi)路點(diǎn)，并且r=無(wú)窮大（阻抗實(shí)部無(wú)窮大）和ZL=無(wú)窮大（阻抗無(wú)窮大）是等效的，都是開(kāi)路。這里又有：當(dāng)x無(wú)窮大時(shí)，圓的半徑無(wú)窮小，成為(1，0)這個(gè)開(kāi)路點(diǎn)。所以(1，0)這個(gè)點(diǎn)，可以理解r=無(wú)窮大或者x無(wú)窮大或者ZL=無(wú)窮大，都代表開(kāi)路點(diǎn)。注意(1,0)這個(gè)特殊的點(diǎn)，所有電抗圓都經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，從電抗圓方程看出，不管x是多大，即和x無(wú)關(guān)，都要經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。那為啥這個(gè)開(kāi)路點(diǎn)，在所有的圓上呢即所有不同虛部的圓，都經(jīng)過(guò)它。這個(gè)怎么理解分析：雖然不同虛部的圓都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)（1,0），但是經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)和由x=無(wú)窮大確定這個(gè)點(diǎn)是有區(qū)別的，經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)的圓，它的虛部是確定的，有限大小的；但是由x=無(wú)窮大確定這個(gè)點(diǎn)是，實(shí)質(zhì)上這個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)圓，只是因?yàn)榘霃节呌?，所以縮成一個(gè)點(diǎn)。所以說(shuō)，盡管所有不同虛部x的圓都要經(jīng)過(guò)開(kāi)路點(diǎn)（1,0），但不是說(shuō)這些圓都代表開(kāi)路，相反，這些圓都不開(kāi)路，其虛部x都是有限大小的。只有當(dāng)x=無(wú)窮大時(shí)，這個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)圓，只是因?yàn)榘霃节呌?，所以縮成一個(gè)點(diǎn)。不同虛部的圓都要經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)，因?yàn)檫@個(gè)點(diǎn)同時(shí)代表了實(shí)部等于無(wú)窮大的開(kāi)路圓，而任何一個(gè)虛部圓，和所有實(shí)部圓都有交點(diǎn)，即包括了所有實(shí)部的情況，當(dāng)然也包括實(shí)部等于無(wú)窮大的情況，所以不同虛部的圓都要經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)。完成圓圖為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起。可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會(huì)與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r+jx，只需要找到對(duì)應(yīng)于r和x的兩個(gè)圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)?？苫Q性上述過(guò)程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個(gè)圓周的交點(diǎn)從而讀取相應(yīng)的r和x的值。過(guò)程如下：確定阻抗在史密斯圓圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)找到與此阻抗對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)()已知特性阻抗和，找出阻抗將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納找出等效的阻抗找出與反射系數(shù)對(duì)應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見(jiàn)圖7)推論因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個(gè)用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實(shí)例：例:已知特性阻抗為50，負(fù)載阻抗如下：Z1=100+j50Z2=75-j100Z3=j200Z4=150Z5=(開(kāi)路)Z6=0(短路)Z7=50Z8=184-j900對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見(jiàn)圖5)：z1=2+jz2=-j2z3=j4z4=3z5=8z6=0z7=1z8=-j18S圖5.史密斯圓圖上的點(diǎn)現(xiàn)在可以通過(guò)圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)。畫(huà)出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部r和虛部i(見(jiàn)圖6)。該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)：1=+2=-3=+4=5=16=-17=08=-圖6.從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)的實(shí)部和虛部圓圖的另一種理解，把左邊的歸一化阻抗直角坐標(biāo)，捏成右邊的F復(fù)平面上圓用導(dǎo)納表示史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)。可以添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動(dòng)到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時(shí)分析過(guò)程就不是這么簡(jiǎn)單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。我們知道，根據(jù)定義Y=1/Z，Z=1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或者-1(早些時(shí)候?qū)Ъ{的單位是西門(mén)子或S)。并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)。所以Y=G+jB,其中G叫作元件的“電導(dǎo)”，B稱“電納”。在演算的時(shí)候應(yīng)該小心謹(jǐn)慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G=1/R及B=1/X，然而實(shí)際情況并非如此，這樣計(jì)算會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。用導(dǎo)納表示時(shí)，第一件要做的事是歸一化，y=Y/Yo，得出y=g+jb。但是如何計(jì)算反射系數(shù)呢通過(guò)下面的式子進(jìn)行推導(dǎo)：注意上公式中y=YL/Y0，是負(fù)載導(dǎo)納除以特性導(dǎo)納。結(jié)果是G的表達(dá)式符號(hào)與z相反，并有(y)=-(z).如果知道z，就能通過(guò)將的符號(hào)取反找到一個(gè)與(0，0)的距離相等但在反方向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果。(見(jiàn)圖7).圖7.180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果當(dāng)然，表面上看新的點(diǎn)好像是一個(gè)不同的阻抗，實(shí)際上Z和1/Z表示的是同一個(gè)元件。(在史密斯圓圖上，不同的值對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù)，依次類推)出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個(gè)阻抗圖，而新的點(diǎn)代表的是一個(gè)導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐。阻抗圖變換到導(dǎo)納圖，不需要無(wú)耗線的特點(diǎn)，這是個(gè)通用的公式；無(wú)耗線是位置沿著傳輸線移動(dòng)時(shí)的一種情況，它的反射系數(shù)模值不變，只是相位變；當(dāng)不是無(wú)耗線時(shí)，反射系數(shù)模值和相位都要變化。注意上圖y點(diǎn)，y點(diǎn)對(duì)應(yīng)的新的一套r和x值，應(yīng)該是原來(lái)阻抗的導(dǎo)納，分別是G和B，即新r值應(yīng)該是電導(dǎo)G，新x值是電納B。盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問(wèn)題時(shí)仍不適用。導(dǎo)納圓圖在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個(gè)點(diǎn)都可以通過(guò)以復(fù)平面原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是，將整個(gè)阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖。這種方法十分方便，它使我們不用建立一個(gè)新圖。所有圓周的交點(diǎn)(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(diǎn)(-1,0)。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：解這個(gè)方程接下來(lái)，令方程的實(shí)部和虛部相等，我們得到兩個(gè)新的獨(dú)立的關(guān)系：從等式，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：它也是復(fù)平面(r,i)上圓的參數(shù)方程(x-a)2+(y-b)2=R2(方程，以(-g/g+1,0)為圓心，半徑為1/(1+g)。上面這個(gè)方程的圓，是等電導(dǎo)圓，和阻抗圓圖里的等電阻圓是關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的。從等式，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：同樣得到(x-a)2+(y-b)2=R2型的參數(shù)方程(方程。上面這個(gè)方程的圓，是等電納圓，和阻抗圓圖里的等電抗圓是關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱的。求解等效阻抗當(dāng)解決同時(shí)存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時(shí)，可以使用同一個(gè)史密斯圓圖，在需要進(jìn)行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時(shí)將圖形旋轉(zhuǎn)?？紤]圖8所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Zo=50進(jìn)行了歸一化)。串聯(lián)電抗(x)對(duì)電感元件而言為正數(shù)，對(duì)電容元件而言為負(fù)數(shù)。而電納(b)對(duì)電容元件而言為正數(shù)，對(duì)電感元件而言為負(fù)數(shù)。Z=r+jx，Y=G+jB如果是串聯(lián)，用阻抗圓圖，當(dāng)增加阻抗時(shí)，相當(dāng)于增加r和x；但不同的器件，要注意正負(fù)符號(hào)，當(dāng)串聯(lián)純電阻時(shí)，相當(dāng)于增加r；當(dāng)串聯(lián)電感時(shí)，從jwl公式看，是增加x；當(dāng)串聯(lián)電容時(shí)，從1/jwc公式看，合并到j(luò)x里是，相當(dāng)于減小x。如果是并聯(lián)，用導(dǎo)納圓圖，當(dāng)增加導(dǎo)納時(shí)，相當(dāng)于增加G和B；但不同的器件，要注意正負(fù)符號(hào)，當(dāng)并聯(lián)純電阻時(shí)，相當(dāng)于增加G，并且增加的值是1/R；當(dāng)并聯(lián)電感時(shí)，從Y=1/Z公式看，增加了1/jwl，合并到Y(jié)里后，相當(dāng)于減小了B；當(dāng)并聯(lián)電容時(shí)，從Y=1/Z公式看，增加了jwc，合并到Y(jié)里是，相當(dāng)于增加B。這里隱含了一個(gè)規(guī)則，即并聯(lián)器件的導(dǎo)納，是各之路導(dǎo)納之和。圖8.一個(gè)多元件電路這個(gè)電路需要進(jìn)行簡(jiǎn)化(見(jiàn)圖9)。從最右邊開(kāi)始，有一個(gè)電阻和一個(gè)電感，數(shù)值都是1，我們可以在r＝1的圓周和I＝1的圓周的交點(diǎn)處得到一個(gè)串聯(lián)等效點(diǎn)，即點(diǎn)A。下一個(gè)元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個(gè)平面旋轉(zhuǎn)180°)，此時(shí)需要將前面的那個(gè)點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為A'。現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180°，于是我們?cè)趯?dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時(shí)針?lè)较?負(fù)值)移動(dòng)距離，得到點(diǎn)B。然后又是一個(gè)串聯(lián)元件?，F(xiàn)在我們?cè)倩氐阶杩箞A圖。因?yàn)椴⒙?lián)一個(gè)電感后，只減小了電納，電導(dǎo)不變，所以是沿著電導(dǎo)圓，尋找新的電納圓，找交點(diǎn)。圖9.將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開(kāi)進(jìn)行分析在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點(diǎn)記為B'，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180°回到阻抗模式。沿著電阻圓周移動(dòng)距離得到點(diǎn)C就增加了一個(gè)串聯(lián)元件，注意是逆時(shí)針移動(dòng)(負(fù)值)。在阻抗圖上，如果增加一個(gè)負(fù)值的電抗，則沿著電阻圓，逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)。如：圖中從B’點(diǎn)到C點(diǎn)。進(jìn)行同樣的操作可增加下一個(gè)元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時(shí)針?lè)较?因?yàn)槭钦?移動(dòng)指定的距離。這個(gè)點(diǎn)記為D。在導(dǎo)納圖上，如果增加一個(gè)負(fù)值的電納，則沿著電導(dǎo)圓，逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)。如：圖中從A’點(diǎn)到B點(diǎn)。在導(dǎo)納圖上，如果增加一個(gè)正值的電納，則沿著電導(dǎo)圓，順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)。最后，我們回到阻抗模式增加最后一個(gè)元件(串聯(lián)電感)。在阻抗圖上，如果增加一個(gè)正值的電抗，則沿著電阻圓，順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)。那在阻抗圓里，增加純電阻呢，怎么轉(zhuǎn)那在導(dǎo)納圓里，增加純電導(dǎo)呢，怎么轉(zhuǎn)于是我們得到所需的值，z，位于電阻圓和電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出z＝+。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50,有Z=10+j25(見(jiàn)圖10)。圖10.在史密斯圓圖上畫(huà)出的網(wǎng)絡(luò)元件逐步進(jìn)行阻抗匹配史密斯圓圖的另一個(gè)用處是進(jìn)行阻抗匹配。這和找出一個(gè)已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過(guò)程。此時(shí)，兩端(通常是信號(hào)源和負(fù)載)阻抗是固定的，如圖11所示。我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個(gè)設(shè)計(jì)好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。圖11.阻抗已知而元件未知的典型電路初看起來(lái)好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。但是問(wèn)題在于有無(wú)限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件)。實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來(lái)連接史密斯圓圖上的點(diǎn)。同樣，說(shuō)明這種方法的最好辦法是給出一個(gè)實(shí)例。我們的目標(biāo)是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(ZS)和負(fù)載阻抗(ZL)(見(jiàn)圖11)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問(wèn)題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復(fù)共軛)。下面是解的過(guò)程：圖12.圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫(huà)在史密斯圓圖上要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒(méi)有給出特性阻抗，選擇一個(gè)與負(fù)載/信號(hào)源的數(shù)值在同一量級(jí)的阻抗值。假設(shè)Zo為50。于是zS=,z*S=+,ZL=2。下一步，在圖上標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，A代表zL，D代表Z*S然后判別與負(fù)載連接的第一個(gè)元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點(diǎn)A'。確定連接電容C后下一個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動(dòng)的方向。并聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)、直到找到對(duì)應(yīng)的數(shù)值，得到點(diǎn)B(導(dǎo)納)。下一個(gè)元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉(zhuǎn)換到阻抗平面上去，得到B'。B'必需和D位于同一個(gè)電阻圓上。從圖形上看，從A'到D只有一條路徑，但是如果要經(jīng)過(guò)中間的B點(diǎn)(也就是B')，就需要經(jīng)過(guò)多次的嘗試和檢驗(yàn)。在找到點(diǎn)B和B'后，我們就能夠測(cè)量A'到B和B'到D的弧長(zhǎng)，前者就是C的歸一化電納值，后者為L(zhǎng)的歸一化電抗值。A'到B的弧長(zhǎng)為b=，則B=xYo=姆歐。因?yàn)镃=B,所以C=B/=B/(2f)=(2607)=。B到D的弧長(zhǎng)為x=,于是X=×Zo=60.由L=X,得L=X/=X/(2f)=60/(2607)=159nH。總結(jié)在擁有功能強(qiáng)大的軟件和高速、高性能計(jì)算機(jī)的今天，人們會(huì)懷疑在解決電路基本問(wèn)題的時(shí)候是否還需要這樣一種基礎(chǔ)和初級(jí)的方法。實(shí)際上，一個(gè)真正的工程師不僅應(yīng)該擁有理論知識(shí)，更應(yīng)該具有利用各種資源解決問(wèn)題的能力。在程序中加入幾個(gè)數(shù)字然后得出結(jié)果的確是件容易的事情，當(dāng)問(wèn)題的解十分復(fù)雜、并且不唯一時(shí)，讓計(jì)算機(jī)作這樣的工作尤其方便。然而，如果能夠理解計(jì)算機(jī)的工作平臺(tái)所使用的基本理論和原理，知道它們的由來(lái)，這樣的工程師或設(shè)計(jì)者就能夠成為更加全面和值得信賴的專家，得到的結(jié)果也更加可靠。史密斯圓圖可以用來(lái)分析傳輸線和負(fù)載連接處的反射系數(shù)。注意史密斯圓圖是針對(duì)阻抗，或者導(dǎo)納來(lái)分析的，里面沒(méi)有頻率，如果需要找到合適的器件，還必須用角頻率計(jì)算一下。史密斯圓圖里的反射系數(shù)和阻抗值是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，分析任何一個(gè)電阻圓，發(fā)現(xiàn)該圓與所有電抗圓都有交點(diǎn)，包括正電抗圓和負(fù)電抗圓。任何一個(gè)電阻圓和一個(gè)電抗圓，都有2個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)確定了一個(gè)歸一化的阻抗值，確定一個(gè)反射系數(shù)；另一個(gè)交點(diǎn)是特殊點(diǎn)(1，0)史密斯圓圖里水平軸線段，對(duì)應(yīng)的是0電抗圓，但電阻是從0到無(wú)窮大的范圍。還包括左邊的短路點(diǎn)和右邊的開(kāi)路點(diǎn)。分析：串聯(lián)電阻時(shí)，用阻抗圖，電抗不變，沿著電抗圓轉(zhuǎn)，分析阻抗圖中的電阻圓，圓心是(r/r+1,0)，半徑是1/r+1，其中r是正數(shù)，所以當(dāng)串聯(lián)電阻時(shí)，r增大，圓的半徑減小，這里面又分兩種情況：當(dāng)是正電抗時(shí)，沿著近似逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)；當(dāng)是負(fù)電抗時(shí)，沿著近似順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)，這2個(gè)方向總結(jié)一下就都是沿著電抗圓，向著開(kāi)路點(diǎn)處移動(dòng)。串聯(lián)電阻越大越多，向開(kāi)路點(diǎn)轉(zhuǎn)的越多。串聯(lián)電容時(shí)，用阻抗圖，電阻不變，沿著電阻圓轉(zhuǎn)，分析阻抗圖中的電抗圓，圓心是(1,1/x)，半徑是1/x，其中x可正可負(fù)，當(dāng)x為正時(shí)，串聯(lián)電容時(shí)，x減小，1/x增大，沿電阻圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)；當(dāng)x為負(fù)時(shí)，串聯(lián)電容時(shí)，x絕對(duì)值增加，1/x絕對(duì)值減小，電抗圓的半徑減小，沿著電阻圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。所以不論x是正時(shí)負(fù)，即不管起始點(diǎn)是在上半平面還是下半平面，都逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。即串聯(lián)電容，沿電阻圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。串聯(lián)電容越小，沿電阻圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)越多。串的等值電容越多，沿電阻圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)越多，即說(shuō)明串聯(lián)電容，串的越多，其等效電容就越小。串聯(lián)電感時(shí)，用阻抗圖，電阻不變，沿著電阻圓轉(zhuǎn)，分析阻抗圖中的電抗圓，圓心是(1,1/x)，半徑是1/x，其中x可正可負(fù)，當(dāng)x為正時(shí)，串聯(lián)電感時(shí)，x增大，1/x減小，沿電阻圓順時(shí)針轉(zhuǎn)；當(dāng)x為負(fù)時(shí)，串聯(lián)電感時(shí)，x絕對(duì)值減小，1/x絕對(duì)值增大，電抗圓的半徑增大，沿著電阻圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。所以不論x是正時(shí)負(fù)，即不管起始點(diǎn)是在上半平面還是下半平面，都