第2章知識資料控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的基本概念2.2非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化2.3拉氏變換與拉氏反變換2.4傳遞函數(shù)2.5系統(tǒng)函數(shù)方框圖及簡化2.6信號流圖及梅遜增益公式2.7控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)小結(jié)

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。2.1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1.1數(shù)學(xué)模型的基本概念數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系的方程式。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程，即描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實際系統(tǒng)各物理量隨時間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動態(tài)系統(tǒng)的輸出信號不僅取決于同時刻的激勵信號，而且與它過去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程常用作動態(tài)數(shù)學(xué)模型。對于給定的動態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型表達(dá)不唯一。工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對于線性系統(tǒng)，它們之間是等價的。建立數(shù)學(xué)模型的方法解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。實驗法人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學(xué)模型的形式時間域： 微分方程 差分方程 狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域： 傳遞函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖頻率域： 頻率特性“三域”模型及其相互關(guān)系2.1.2控制系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程1）建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對象是機(jī)械系統(tǒng)。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無質(zhì)量的彈簧。這樣受控對象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式：電動機(jī)減速器工作臺+工件系統(tǒng)一系統(tǒng)二系統(tǒng)三進(jìn)給傳動裝置示意圖及其等效的力學(xué)模型組合機(jī)床動力滑臺及其等效的力學(xué)模型工件動力滑臺2）系統(tǒng)微分方程的列寫

機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：質(zhì)量彈簧對于彈簧，受力相同，變形量不同。阻力機(jī)械平移系統(tǒng)式中：m、D、k通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。

顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。

彈簧－阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動方程為一階常系數(shù)微分方程。機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。電阻電容電感

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。若L=0，則系統(tǒng)簡化為：有源電路網(wǎng)絡(luò)電動機(jī)基爾霍夫定律電磁感應(yīng)定律牛頓第二定律電樞控制式直流電動機(jī)控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型：當(dāng)電樞電感較小時，通?？珊雎圆挥?，系統(tǒng)微分方程可簡化為：2.1.3相似系統(tǒng)

具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。它揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。kF(t)mDy(t)2.2數(shù)學(xué)模型的線性化2.2.1線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)

可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)。

線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：非線性系統(tǒng)用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。為分析方便通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。2.2.2線性系統(tǒng)微分方程的一般形式式中：為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。2.2.3線性化問題的提出及線性化1）線性化問題的提出非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方有關(guān)；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。線性化的提出線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的；對于實際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處理，能夠滿足實際需要。2）非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化泰勒級數(shù)展開法函數(shù)在其平衡點附近的泰勒級數(shù)展開式為：略去含有高一次的增量的項，則：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。 稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實際意義。

增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。對多變量系統(tǒng)，如：，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。增量方程：靜態(tài)方程：

滑動線性化——切線法線性化增量方程為：切線法是泰勒級數(shù)法的特例。3）系統(tǒng)線性化微分方程的建立步驟確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；列出各組成元件在工作點附近的增量方程；消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；線性化處理的注意事項線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關(guān)；線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不能通過泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。2.3拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。拉氏變換的優(yōu)點：1）求解簡化；2）把微分、積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程；3）將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的初等函數(shù)；4）將卷積轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。預(yù)備知識

*傅立葉變換簡介周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)為

（4.1）根據(jù)歐拉公式，有（4.2）令

即2.3.1

拉氏變換的定義

設(shè)函數(shù)f(t)滿足:①t<0時f(t)=0；②

t≥0

時，f(t)分段連續(xù)，且，則拉普拉斯變換的定義為：

f(t)—原函數(shù)（時間函數(shù)）F(s)—象函數(shù)，s是復(fù)變數(shù)

2.3.2簡單函數(shù)（常用信號）的拉氏變換1）單位階躍函數(shù)構(gòu)成一變換對

如果2）指數(shù)函數(shù)構(gòu)成一變換對

3）單位脈沖函數(shù)構(gòu)成一變換對

4）單位速度函數(shù)構(gòu)成一變換對5）單位加速度函數(shù)

構(gòu)成一變換對

6）正弦函數(shù)及余弦函數(shù)

尤拉公式同理7）t的冪函數(shù)構(gòu)成一變換對

拉氏變換積分下限的說明在某些情況下，函數(shù)f(t)在t＝0處有一個脈沖函數(shù)。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應(yīng)記為：2.3.3拉普拉斯變換的定理（性質(zhì)）1）線性定理若F1(s)=L[f1(t)]，F(xiàn)2(s)=L[f2(t)]

，則有2）微分定理

若F

(s)=L[f(t)]，則有3）積分定理若F(s)=L[f(t)]，則有

4）衰減定理(位移定理)【例1】【例2】5）延時定理6）初值定理

7）終值定理8）時間比例尺的改變定理9）卷積定理10）乘冪定理

例如2.3.4拉氏反變換拉普拉斯反變換的定義式：拉氏變換的部分分式展開式

在控制系統(tǒng)中F(s)一般為如下有理分式的形式:１）F(s)中只有不同的實數(shù)極點時解：將F(s)展開成部分分式形式２）F(s)中含有多重極點時

已知是一組拉氏變換對解：將F(s)展開成部分分式形式３）F(s)中含有共軛復(fù)數(shù)極點時解：求方程s2+s+1=0的根num=[2,2,-40]den=conv([1,5,6],[1,3,3,1])sys1=tf(num,den)運(yùn)行結(jié)果：num=22-40den=182434236

Transferfunction:2s^2+2s-40----------------------------------------s^5+8s^4+24s^3+34s^2+23s+6>>[z,p,k]=tf2zp(num,den)z=-54p=-3.0000-2.0000-1.0000-1.0000+0.0000i-1.0000-0.0000ik=2>>G=zpk(sys1)

Zero/pole/gain:2(s+5)(s-4)-------------------(s+3)(s+2)(s+1)^31.用MATLAB求解拉氏變換和逆變換1）拉氏變換可以用laplace()函數(shù)求時域函數(shù)的拉氏變換，用simple()函數(shù)可以得到符號表達(dá)式的最簡形式。在使用這兩個函數(shù)之前，首先要利用函數(shù)syms建立符號對象。例如,求的拉氏變換MATLAB程序如下（可以按句輸入，也可以先編輯成M文件）：symsty;%聲明t，y為變量y=laplace(exp(-6*t)*(cos(8*t)+0.25*sin(8*t)));Y=simple(y)運(yùn)行結(jié)果：Y=(s+8)/(s^2+12*s+100)2）拉氏逆變換有兩種方法，第一種是用部分分式展開的方法，利用函數(shù)residue()將多項式分解后，再對照拉式變換表，求得其對應(yīng)時域函數(shù)形式,約定的自變量是t；第二種是直接用F=ilaplace(L)將多項式函數(shù)L變換為時域函數(shù)，F(xiàn)默認(rèn)為關(guān)于變量t的函數(shù)。然后再將s的部分分式拉氏逆變換成時域函數(shù)。對于包含有多重極點的有理分式，仍以例2-1為例，要注意多重極點的順序是由低到高，極點和留數(shù)位置要一一對應(yīng)。num=[2,2,-40];den=conv([1,5,6],[1,3,3,1]);[r,p,k]=residue(num,den)r=-3.500036.0000-32.500029.0000-20.0000p=-3.0000-2.0000-1.0000-1.0000-1.0000k=[]2）直接用F=ilaplace(L)將多項式函數(shù)L變換為時域函數(shù)symss;%聲明s為變量y=ilaplace((s^4+11*s^3+39*s^2+52*s+26)/(s^4+10*s^3+35*s^2+50*s+24));運(yùn)行結(jié)果為dirac(t)+5/2*exp(-3*t)-3*exp(-2*t)+1/2*exp(-t)+exp(-4*t)與前例用第一種方法的結(jié)果相同,其中dirac(t)函數(shù)為脈沖函數(shù).》[num,den]=residue(r,p,k)num=-0.0000-0.00002.00002.0000-40.0000den=1.00008.000024.000034.000023.00006.00002.3.5應(yīng)用拉氏變換求解微分方程2.4傳遞函數(shù)2.4.1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)

傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

零初始條件：t<0時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0

時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；設(shè)線性定常系統(tǒng)由n階線性定常微分方程描述：在初始條件為零時，對上式進(jìn)行拉氏變換，得描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為【例】質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：【例】R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：1）只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號和初始條件無關(guān)。2）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)m低于或等于分母多項式的次數(shù)n，即m≤n。且系數(shù)均為實數(shù)。3）傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。4）傳遞函數(shù)與微分方程可相互轉(zhuǎn)換。5）傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)，可表征系統(tǒng)的動態(tài)特性。傳遞函數(shù)的性質(zhì)2.4.2傳遞函數(shù)的特征方程、零點與極點傳遞函數(shù)的一般形式

D(s)=0

稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。

D(s)

中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。將傳遞函數(shù)的分子和分母多項式進(jìn)行因式分解可得—根軌跡增益—傳遞函數(shù)的增益零、極點分布圖的根Zi（i=1,2,3…,m）稱為傳遞函數(shù)的零點。的根Pi（i=1,2,3…,n）稱為傳遞函數(shù)的極點。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“×”表示。z1z2輸入函數(shù)2.4.3傳遞函數(shù)的零點與極點對輸出的影響

傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根，因此極點決定了系統(tǒng)自由運(yùn)動的模態(tài)，而且在強(qiáng)迫運(yùn)動中(即零初始條件響應(yīng))也會包含這些自由運(yùn)動的模態(tài)。【例】自由運(yùn)動的模態(tài)即零初始條件響應(yīng)

前兩項具有與輸入函數(shù)相同的模態(tài)，后兩項由極點決定的自由運(yùn)動模態(tài)，其系數(shù)與輸入函數(shù)有關(guān)。傳遞函數(shù)的零點影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重【例】輸入信號

各個模態(tài)在兩個系統(tǒng)輸出響應(yīng)中所占的比重不同，取決于零點相對于極點的距離。z1z2零狀態(tài)響應(yīng)分別為：【例】傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于相對靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動規(guī)律；一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。2.4.4脈沖響應(yīng)函數(shù)初始條件為0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為即g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。注意到復(fù)數(shù)域相乘等同于時域內(nèi)卷積，因此，由：知線性系統(tǒng)在任意輸入作用下，其時域輸出式中，當(dāng)t<0時，g(t)=x(t)=02.4.5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)：具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)通過因式分解都可表示為:從上式可知任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。微分環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：一階慣性環(huán)節(jié)：二階振蕩環(huán)節(jié)：運(yùn)動方程：1）比例環(huán)節(jié)

特點：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。傳遞函數(shù)：【例】自整角機(jī)

【例】2）慣性環(huán)節(jié)凡運(yùn)動方程為一階微分方程特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨(dú)立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時間上的延遲。運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：【例】【例】3）微分環(huán)節(jié)特點：輸出量正比于輸入量的變化速度，能預(yù)示輸入信號的變化趨勢。

運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：理想微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)很難獨(dú)立存在，經(jīng)常和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。【例】測速發(fā)電機(jī)無負(fù)載時傳遞函數(shù)：【例】顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|TS|<<1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：一階微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：二階微分環(huán)節(jié)4）積分環(huán)節(jié)特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能，具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：【例】5）振蕩環(huán)節(jié)特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨(dú)立的儲能元件，且所儲能量元可進(jìn)行交換，從而導(dǎo)致其輸出出現(xiàn)振蕩。運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：式中：【例】R-L-C電路【例】質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)

kF(t)mfy(t)6）延時環(huán)節(jié)特點：輸出能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入，但須延遲一固定的時間間隔。運(yùn)動方程：傳遞函數(shù)：延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出滯后一段時間才接近所要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0～τ時間內(nèi),沒有輸出，但t=τ之后，輸出等于τ之前時刻的輸入。延遲環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)小結(jié)環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運(yùn)動特性共同組成；同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。2.5系統(tǒng)函數(shù)方框圖及簡化2.5.1系統(tǒng)函數(shù)方框圖系統(tǒng)函數(shù)方框圖又稱框圖，是傳遞函數(shù)的一種圖形描述式，可以形象地描述系統(tǒng)各單元之間和各作用量之間的相互關(guān)系，比較直觀。

注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。1）方框圖的組成信號線：帶有箭頭的直線，線上標(biāo)注信號的象函數(shù)名稱，箭頭表示信號的流向。X(s)引出點：表示信號引出或測量的位置和傳遞方向，從同一信號線上引出的信號，大小和性質(zhì)完全相同。函數(shù)方塊(環(huán)節(jié))：表示環(huán)節(jié)對信號的變換，框中寫入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。X1(s)X2(s)=G(s)X1(s)比較點(求和點)

：表示對兩個或兩個以上的信號進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，輸入信號處應(yīng)標(biāo)明極性。信號線比較點引出點函數(shù)框C(s)

G1(s)

G2(s)

R(s)

N(s)+E(S)

H(s)-++2）方框圖的建立繪制系統(tǒng)方框圖的步驟由輸入到輸出，列寫出系統(tǒng)各元件（環(huán)節(jié)）的微分方程。在建立方程時應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負(fù)載效應(yīng)；在零初始條件下，對微分方程進(jìn)行拉氏變換；繪制出各部件的方框圖；按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。【例1】R-C網(wǎng)絡(luò)【解】(1)(2)(3)(4)【例2】R-C網(wǎng)絡(luò)【解】(1)(4)(2)(3)Ui(s)Uo(s)Uo(s)注意負(fù)載效應(yīng)【例3】機(jī)械系統(tǒng)4）方框圖等效變換

任何復(fù)雜的系統(tǒng)方框圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。變換前后的變量之間關(guān)系保持不變等效變換的原則變換前后，前向通路傳遞函數(shù)的乘積不變。變換前后，回路傳遞函數(shù)的乘積不變。(1)方框圖的運(yùn)算法則

幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，總的傳遞函數(shù)等于每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積。串聯(lián)運(yùn)算規(guī)則并聯(lián)運(yùn)算規(guī)則

環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)的環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。反饋運(yùn)算規(guī)則前向通道傳遞函數(shù)反饋通道傳遞函數(shù)偏差信號反饋信號(2)方框圖的變換規(guī)則求和點的移動規(guī)則引出點的移動規(guī)則求和點交換律、結(jié)合律和分配律5）方框圖簡化基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運(yùn)算的簡單回路。然后將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。

“引前求后 照搬”

“引后求前 倒翻”

【例1】簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。【解】這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)++G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)(c)G6(s)R(s)C(s)-【例2】求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。【解】A點前移2.6信號流圖及梅遜增益公式2.6.1信號流圖及其術(shù)語

信號流圖起源于梅遜利用圖示法來描述一個和一組線性代數(shù)方程，是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點：表示變量或信號，其值等于所有進(jìn)入該節(jié)點的信號之和。節(jié)點用“ο”表示。支路：連接兩個節(jié)點的定向線段，用支路增益(傳遞函數(shù))表示方程式中兩個變量的因果關(guān)系。支路相當(dāng)于乘法器。信號在支路上沿箭頭單向傳遞。輸入節(jié)點（源點）：只有輸出的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸入變量。輸出節(jié)點（阱點、匯點）:只有輸入的節(jié)點，代表系統(tǒng)的輸出變量?；旌瞎?jié)點：既有輸入又有輸出的節(jié)點?；旌瞎?jié)點支路通路：沿支路箭頭方向穿過各相連支路的路徑。前向通路：從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路上通過任何節(jié)點不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱前向通路總增益，一般用Pk表示?；芈罚浩瘘c與終點重合且通過任何節(jié)點不多于一次的閉合通路?；芈分兴兄吩鲆嬷朔e稱為回路增益，用La表示。不接觸回路：相互間沒有任何公共節(jié)點的回路。2.6.2信號流圖的繪制信號流圖的繪制方法：由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖根據(jù)微分方程繪制信號流圖的步驟與繪制方框圖的步驟類似。由系統(tǒng)方框圖繪制信號流圖*【例1】根據(jù)微分方程繪制信號流圖取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo

(s)作為信號流圖的節(jié)點，其中Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點。按上述方程繪制出各部分的信號流圖，再綜合后即得到系統(tǒng)的信號流圖。A）B）C）D）【例2】根據(jù)方框圖繪制信號流圖線與節(jié)點對應(yīng)關(guān)系：2.6.3梅遜增益公式從輸入端到輸出端的前向通路總數(shù)Δ的余子式，即在Δ中，除去與第k條前向通道相接觸的所有回路的L項主特征式從輸入端到輸出端第k條前向通路的總增益（或傳遞函數(shù)之積）閉環(huán)傳遞函數(shù)（或總增益）主特征式—所有不同回路增益之和—每兩個互不接觸回路的乘積之和—每三個互不接觸回路的乘積之和Δk—第k條前向通路特征式的余因子，即對于流圖的特征式Δ，將與第k

條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的Δ即為Δk?！纠?】用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入Ui(s)與輸出Uo(s)之間只有一條前向通路，其傳遞函數(shù)為：三個不同的回路其傳遞函數(shù)分別為：注意:在信號流圖中如果引出點在求和點前方,應(yīng)在兩點間加條單位線分開;而如果求和點在引出點前方,也就是有交叉,則可以并為一點,所以兩回路有一個公共點就是相接觸回路。信號流圖特征式為：前向通路特征式的余因子為：所以：【例3】用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)?個前向通道：?個回路：三條前向通道：四個回路:特征式及余因子為：一般閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示2.7控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1）閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開時，前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),記為GK(s)。

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為反饋信號B(s)和偏差信號ε(s)之間的傳遞函數(shù)，即：2）前向通道傳遞函數(shù)Xi(s)到Xo(s)的信號傳遞通路稱為前向通道?；蚨x為輸入端對應(yīng)比較器輸出ε(s)到輸出端輸出Xo(s)所有傳遞函數(shù)的乘積，記為G(s)。3）反饋通道傳遞函數(shù)Xo(s)到B(s)的信號傳遞通路稱為反饋通道。記為H(s)。4）輸入信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時在輸入xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：4）輸入信號作用下的偏差傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時系統(tǒng)輸入Xi(s)與偏差ε(s)之間的傳遞函數(shù)稱為輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)用Φεi(s)表示。5）擾動信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時在輸入

n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：6）擾動信號作用下的偏差傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時系統(tǒng)擾動輸入N(s)與偏差ε(s)之間的傳遞函數(shù)稱為擾動偏差傳遞函數(shù)，用ΦεN(s)表示。7）系統(tǒng)的總輸出8）系統(tǒng)的總偏差結(jié)論

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Φi(s)、Φ