結(jié)構(gòu)設計原理-第二節(jié)（受彎構(gòu)件強度計算）

EngineeringMathematics伍川生副教授碩士生導師

勘察設計注冊土木工程師（道路工程）資格考試結(jié)構(gòu)設計原理受彎構(gòu)件強度計算受彎構(gòu)件的截面形式與構(gòu)造受彎構(gòu)件正截面受力全過程和破壞性特征受彎構(gòu)件正截面承載力計算受彎構(gòu)件斜截面承載力

受彎構(gòu)件的設計包括正截面承載能力計算和斜截面承載能力計算。破壞形態(tài)

1、正截面受彎破壞：彎矩作用下產(chǎn)生的破壞（沿鉛垂面）。2、斜截面受剪破壞：彎矩和剪力共同作用下引起的破壞（傾斜面）概述梁內(nèi)鋼筋的組成：縱向受力鋼筋（主鋼筋）、彎起鋼筋或斜鋼筋、箍筋、架立筋、水平縱向鋼筋鋼筋骨架的形式：綁扎鋼筋骨架—將縱向鋼筋與橫向鋼筋通過綁扎而成的空間鋼筋骨架，一般用于整體現(xiàn)澆；焊接鋼筋骨架—先將縱向受拉鋼筋（主鋼筋）、彎起鋼筋或斜筋和架立鋼筋焊接成平面骨架，然后用箍筋將數(shù)片焊接的平面骨架組成空間骨架。焊接鋼筋骨架綁扎鋼筋骨架受彎構(gòu)件正截面受力全過程和破壞特征鋼筋混凝土——物理力學性能不同的材料組成的復合材料，又是非均質(zhì)、非彈性的材料，受力后不符合虎克定理（不成正比），按材料力學公式計算的結(jié)果與試驗結(jié)果相差甚遠，因此，鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的計算方法必須建立在試驗的基礎上。

正截面工作的三個階段

三個階段1）階段Ⅰ：整體工作階段2）階段Ⅱ：帶裂縫工作階段

3）階段Ⅲ：破壞階段三個特征點第I階段末（Ia），裂縫即將出現(xiàn)；第II階段末（IIa），縱向受力鋼筋屈服；

第III階段末（IIIa），梁受壓區(qū)混凝土被壓碎，整個梁截面破壞。計算依據(jù)

1）Ⅰa可作為受彎構(gòu)件抗裂度計算的依據(jù)；2）Ⅱ可作為使用階段的變形和裂縫開展計算時的依據(jù)；3）Ⅲa可作為極限狀態(tài)的承載力計算的依據(jù)。

受彎構(gòu)件正截面破壞形態(tài)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件有兩種破壞性質(zhì)：塑性破壞（延性破壞）：結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在破壞前有明顯變形或其他征兆；脆性破壞：結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在破壞前無明顯變形或其他征兆。試驗研究表明：鋼筋混凝土受彎構(gòu)件的破壞性質(zhì)與配筋率ρ、鋼筋強度等級、混凝土強度等級有關(guān)。對常用的熱軋鋼筋和普通強度混凝土，破壞形態(tài)主要受到配筋率ρ的影響。正截面破壞的三種形態(tài)：（a）少筋梁破壞（b）適筋梁破壞（c）超筋梁破壞

(a)(b)(c)PPPPPP受彎構(gòu)件正截面承載力計算根據(jù)彎矩組合設計值Md來確定鋼筋混凝土梁和板截面上縱向受力鋼筋的所需面積并進行鋼筋的布置。材料應力應變的物理關(guān)系1)混凝土受壓時

－

關(guān)系CEB-FIP的標準規(guī)范采用的典型化混凝土應力應變曲線常用的是二次拋物線及水平線組成的曲線形式(如圖)。其表達式為問題：材料力學中單向狀態(tài)下應力應變的物理關(guān)系？2)鋼筋的

－

關(guān)系采用簡化的理想彈塑性應力應變關(guān)系。普通鋼筋的應力應變關(guān)系表達式為：

壓區(qū)混凝土等效矩形應力圖

在前述假定的基礎上：

截面上混凝土壓應力的分布圖形與混凝土的應力應變曲線（受壓時）是相似的

由此假定計算前提：壓應力合力C及其作用位置由基本假定可以求得

式中ξc=xc/h0（3－5）（3－6）顯然，用混凝土受壓時的應力應變曲線σ=σ(ε)來求應力合力C和合力作用點yc是比較麻煩的。

簡化方法：用等效矩形應力圖代替混凝土實際應力圖。

等效原則：

（1）保持合力C的作用點位置不變。

（等效矩形應力圖形與實際拋物線應力圖形的形心位置相同）（2）保持合力C的大小不變。

（等效矩形應力圖形與實際拋物線應力圖形的面積相等）

——受壓區(qū)等效矩形換算高度系數(shù)，

=x/xc（中和軸高度）

——矩形壓應力圖應力與受壓區(qū)混凝土最大應力σ0的比值

（3－9）等效矩形壓應力分布圖引入無量綱參數(shù)

和

（3－10）確定ε0、εcu

（一）基本公式及適用條件

單筋矩形截面受彎構(gòu)件計算

基本假定：1.平截面假定2.受壓區(qū)混凝土應力圖形采用等效矩形，其壓力強度取fcd3.不考慮截面受拉混凝土的抗拉強度4.受拉區(qū)鋼筋應力取fsd

單筋矩形截面受彎構(gòu)件正截面承載力計算圖式

基本計算原則：γoMd≤

Mu基本公式（基本方程）

兩個獨立的基本方程：公式（3-13）、（3-14）或者（3-15）。

（3-13）（3-14）（3-15）∑X=0∑MT=0∑MC=0適用條件：（1）為防止出現(xiàn)超筋梁情況，計算受壓區(qū)高度x應滿足：ξb——相對界限受壓區(qū)高度(3-16)(3-16)亦可理解為：

限制受壓區(qū)最大高度，保證適筋梁的塑性破壞限制承載力上限值

由混凝土強度等級別和鋼筋種類確定（可查表確定）則相對受壓區(qū)高度ξ為由可見不僅反映了配筋率ρ，而且反映了材料的強度比值的影響，故又被稱為配筋特征值，它是一個比ρ更有一般性的參數(shù)。（3-18）ρ只反映了混凝土和鋼筋數(shù)量的比例。當

=

b時，最大配筋率ρmax為

x≤

bh0（3-19）ρ≤ρmax顯然，適筋梁的配筋率ρ應滿足：（3-20）意義相同，防止超筋梁在實際計算中，多采用前者

ρ≤

ρmax——最小配筋率（2）為防止出現(xiàn)少筋梁的情況，計算的配筋率ρ應當滿足：ρ≥ρmin（3-21）少筋梁與適筋梁的界限。兩個適用條件也防止了脆性破壞ρmin=Max（0.2，45ftd/fsd）%

從這里可以看到鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的特點：兩種性能不同的材料組成的構(gòu)件，受力和變形存在相互協(xié)調(diào)、相互制約的問題，強度和數(shù)量上的比例超過一定界限，就會引起構(gòu)件受力性能的改變，這是單一材料所沒有的。定義：受拉和受壓區(qū)均配置受力鋼筋的矩形截面

通常不采用雙筋截面（理由：不經(jīng)濟）

采用雙筋截面的情況單筋截面，且b、h、受到限制截面承受異號彎矩，則必須采用雙筋截面結(jié)構(gòu)本身受力圖式的原因，例如連續(xù)梁的內(nèi)支點處截面，將會產(chǎn)生事實上的雙筋截面可提高截面延性,減少長期荷載作用下的變形

雙筋矩形截面受彎構(gòu)件受壓鋼筋的應力：可以證明，當x≥時，普通鋼筋均能達到受壓屈服強度：

雙筋截面受壓鋼筋應變計算分析圖

即時,可得到:

（一）受壓鋼筋的應力受力特點和破壞特征：與單筋截面相似，只要滿足≤，雙筋截面仍具有適筋破壞特征。受壓區(qū)混凝土仍可采用等效矩形應力圖形和混凝土抗壓設計強度fcd。因此，《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規(guī)范》取受壓鋼筋應變：

對R235級鋼筋

對HRB335、HRB400和KL400級鋼筋

由此可見，當時，普通鋼筋均能達到屈服強度

受壓鋼筋有必要采用高強鋼筋嗎

？受壓鋼筋不宜用高強鋼筋（二）基本公式及適用條件

基本假定：平截面假定受壓區(qū)混凝土應力圖形采用等效矩形，其壓力強度取fcd不考慮截面受拉混凝土的抗拉強度受拉區(qū)、受壓區(qū)鋼筋應力分別取fsd

、。

為了充分發(fā)揮受壓鋼筋的作用并確保其達到屈服強度，規(guī)范規(guī)定取時必須滿足：

x≥雙筋矩形截面的正截面承載力計算圖式

基本計算公式：

（3-33）

（3-34）

（3-35）

適用條件：（1）為了防止出現(xiàn)超筋梁情況，計算受壓區(qū)高度x應滿足：（2）為了保證受壓鋼筋達到抗壓強度設計值，應滿足：若求得x＜2，則表明受壓鋼筋可能達不到其抗壓強度設計值（基本方程多一未知數(shù)）。規(guī)定這時可取x=2，即假設混凝土壓應力合力作用點與受壓區(qū)鋼筋合力作用點相重合，對受壓鋼筋合力作用點取矩，可得到正截面抗彎承載力的近似表達式為（3-38）一般能滿足

T形截面受彎構(gòu)件正截面承載力計算

（一）概述T梁的形成：矩形截面梁在破壞時，開裂截面處受拉區(qū)混凝土對截面的抗彎承載力已退出工作，因此可將受拉區(qū)混凝土挖去一部分，將受拉鋼筋集中布置在剩余拉區(qū)混凝土內(nèi)，形成T形截面。優(yōu)點：不降低截面承載能力，節(jié)省混凝土用量和減輕自重，增大跨越能力。

判斷一個截面在計算時是否屬于T形截面，不是看截面本身形狀，而是要看其翼緣板是否能參加抗壓作用。

I字形截面、箱形截面均可按T形截面處理。倒T梁（圖b）只能按矩形截面處理。T形梁截面

翼緣板（簡稱翼板）：截面伸出部分梁肋或梁腹：其寬度為b的部分受壓翼緣有效寬度的確定1）

翼緣有效寬度：翼緣上應力分布非均勻。為便于計算，設計中，根據(jù)等效受力原則，把與梁肋共同工作的翼板寬度限制在一定的范圍內(nèi)，稱為受壓翼板的有效寬度。2）T形截面翼緣計算寬度的取值:T形截面越寬,越大,抗彎內(nèi)力臂越大。但實際壓區(qū)應力分布如圖所示?？v向壓應力沿寬度分布不均勻。辦法：限制的寬度,使壓應力分布均勻,并取。實際應力圖塊實際中和軸有效翼緣寬度等效應力圖塊b

f

《公路橋規(guī)》規(guī)定，T形截面梁（內(nèi)梁）的受壓翼板有效寬度用下列三者中最小值：（1）簡支梁計算跨徑的1/3。（2）相鄰兩梁的平均間距。（3）。當時，?。ǎ┐颂帲?、、和分別如圖示，為承托根部厚度。二、基本公式及適用條件

按受壓區(qū)高度的不同分為兩類：第二類T形截面第一類T形截面1、第一類T形截面

視同×h的矩形截面，基本計算公式：（3-40）（3-41）（3-42）計算圖式適用條件

（1）第一類T形截面的x=≤，即≤。由于一般T形截面的較小，因而值也小，所以一般均能滿足這個條件。（2），b為T形截面的梁肋寬度在驗算T形截面的值時，近似地取梁肋寬b來計算，為什么？

2、第二類T形截面

基本計算公式：計算圖式

適用條件：

（1）x≤；（2）≥。

（3-43）（3-44）受彎構(gòu)件斜截面承載力計算一、無腹筋簡支梁斜裂縫出現(xiàn)前后的受力狀態(tài)

圖為一無腹筋簡支梁，作用有兩個對稱的集中荷載

（CD段稱為純彎段；AC段和DB段剪彎段）

無腹筋梁出現(xiàn)斜裂縫后的斜向裂縫圖簡支梁斜截面破壞形態(tài)：

1、剪跨比的定義：剪跨比是一個無量綱常數(shù)，用

來表示，此處M和V分別為剪彎區(qū)段中某個豎直截面的彎矩和剪力，

h0為截面有效高度。2、剪跨比分類：

狹義剪跨比：廣義剪

跨

比：a3、

破壞形態(tài)：

1．斜拉破壞

(m>3)一般發(fā)生在剪跨比較大（m>3）的無腹筋梁產(chǎn)生條件：

破壞特征：

當斜裂縫一出現(xiàn)，很快形成一條主要斜裂縫（臨界斜裂縫），并迅速延伸至荷載作用點，使梁斜向被拉斷成兩部分。破壞面較整齊，無壓碎痕跡，同時，沿縱向鋼筋往往伴隨產(chǎn)生水平撕裂裂縫。這種破壞即為斜拉破壞。

斜拉破壞主要是由于主拉應力超過混凝土的抗拉強度，因此梁的受剪承載力很低，破壞荷載等于或略高于主要斜縫出現(xiàn)的荷載。

破壞性質(zhì)：脆性破壞。

抗剪能力：

2．剪壓破壞（是斜截面剪切破壞中最常見的一種破壞形態(tài)）

一般發(fā)生在剪跨比適中即1≤m≤3的無腹筋梁

產(chǎn)生條件：

破壞特征：

梁在剪彎區(qū)段內(nèi)出現(xiàn)斜裂縫，隨著荷載的增大，陸續(xù)出現(xiàn)幾條斜裂縫，其中一條發(fā)展成為臨界斜裂縫。臨界斜裂縫出現(xiàn)后，梁還能繼續(xù)增加荷載，斜裂縫延伸至荷載墊板下，直到斜裂縫頂端的混凝土在正應力和剪應力共同作用下被壓碎而破壞，這種破壞稱為剪壓破壞。

主要與混凝土強度有關(guān)，

其受剪承載力比斜拉破壞高。

屬脆性破壞，但其破壞過程比斜拉破壞緩慢，脆性程度有所緩和。

抗剪能力：

破壞性質(zhì)：

3．斜壓破壞

產(chǎn)生條件：

當剪跨比較小（m＜1)

破壞特征：

在加載點和支座之間出現(xiàn)一條斜裂縫，然后出現(xiàn)若干條大體相平行的斜裂縫．梁腹被分割成若干個傾斜的小柱體。隨著荷載增大，梁腹發(fā)生類似混凝土棱柱體被壓壞的情況，即破壞時斜裂縫多而密，但沒有主裂縫，故稱為斜壓破壞。

斜截面受剪承載力主要取決于構(gòu)件截面尺寸和混凝土抗壓強度，受剪承載力比剪壓破壞高。

破壞性質(zhì)：屬脆性破壞

除上述三種主要破壞形態(tài)外，有時還可能發(fā)生局部擠壓或縱向鋼筋錨固等破壞。

抗剪能力：

影響有腹筋梁斜截面破壞強度的主要因素是:

1、剪跨比和跨高比:

對于承受集中荷載的梁，隨著剪跨比的增大，受剪承載力下降。對于承受均布荷載荷載作用的梁，構(gòu)件跨度與截面高度之比（簡稱跨高比）l0/h是影響受剪承載力的主要因素。隨著跨高比的增大，受剪承載力降低。2、箍筋的數(shù)量：箍筋的數(shù)量增多時，斜截面的承載力增大。3、混凝土強度等級在剪跨比和其他條件相同時，斜截面受剪承載力隨混凝土強