第04講7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

第04講7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算。②理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律。1.在熟悉課本能容的基礎(chǔ)上，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算；2.在學(xué)習(xí)中逐步加強(qiáng)理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律；知識(shí)點(diǎn)01：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的乘法法則我們規(guī)定，復(fù)數(shù)乘法法則如下：設(shè),是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的乘積為，即（2）復(fù)數(shù)乘法滿足的運(yùn)算律復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律(交換律)(結(jié)合律)(分配律)【即學(xué)即練1】（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）的虛部為．【答案】5【詳解】由題意得，所以的虛部為5．故答案為：5知識(shí)點(diǎn)02：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方（1）復(fù)數(shù)的乘方復(fù)數(shù)的乘方就是相同復(fù)數(shù)的乘積（2）復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算律根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律，實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，即對(duì)任意的，，有：①②③知識(shí)點(diǎn)03：共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)設(shè)，（）①；②為實(shí)數(shù)；③且為純虛數(shù)④；⑤，，【即學(xué)即練2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，所以．故B正確.故選:B．知識(shí)點(diǎn)04：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算（1）定義規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，即把滿足（，）的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記作或（2）復(fù)數(shù)的除法法則（）由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為0），所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).【即學(xué)即練3】（2023上·廣西·高二憑祥市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因?yàn)椋运趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限.故選：D.題型01復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【典例1】（2023上·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知，（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．3【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，解?故選:C.【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，則的虛部是（

）A．2 B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則，所以的虛部為2，故選：A.【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則的模等于.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?【變式1】（2021·山西臨汾·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，復(fù)數(shù)的虛部是，故選：C.【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高三沈陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末），則的共軛復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，故選：D.【變式3】（2023上·北京順義·高三?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為，．【答案】1【詳解】由題意，所以復(fù)數(shù)z的虛部為1，.故答案為：1，.題型02復(fù)數(shù)的乘方【典例1】（2023上·湖南永州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)，所以.故選：A.【典例2】（2023·陜西榆林·校考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足：，則（

）A．1 B． C． D．5【答案】A【詳解】由，,得，所以．故選：A．【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】，設(shè)，則，，，，故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D【變式2】（2023上·貴州遵義·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【詳解】，所以虛部為.故選：D【變式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則（

）A．3 B． C．5 D．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)，故．故選：D．題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解【典例1】（2023下·上海嘉定·高一?？计谀┰趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式=.【答案】【詳解】由得，解得，所以.故答案為：【典例2】（2022下·上海普陀·高一校考階段練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【詳解】解：故答案為：【典例3】5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）（2）（3）∵

∴

∴

【變式1】（2023下·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)?？计谥校⒃趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)因式分解為.【答案】【詳解】令，，所以，即.故答案為:.【變式2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由于，所以.（2）由于，所以.題型04復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根【典例1】（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z是一元二次方程的一個(gè)根，則|z|的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【詳解】由題意，即.故選：B【典例2】（2023下·山西晉中·高一?？计谥校┓匠痰囊粋€(gè)解可以是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以或，所以方程的一個(gè)解可以是.故選：B【典例3】（2023下·陜西西安·高二?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù).(1)若是純虛數(shù)，求的值；(2)若是方程的一個(gè)根，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）為純虛數(shù)，所以（2）方程變形為，所以，所以【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根為，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【詳解】由得，解得或，若，則；若，則；綜上所述：.故選：B．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)p，q的值分別為.【答案】【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個(gè)根，且，所以是關(guān)于x的方程的另一個(gè)根，而且，故答案為：【變式3】（2023下·山東青島·高一?？计谥校┮阎翘摂?shù)單位，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則.【答案】【詳解】把代入方程得，所以，所以，所以，解得，所以．故答案為：．題型05共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算【典例1】（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高三校聯(lián)考期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，所以.故選：D.【典例2】（2023下·廣東深圳·高二深圳市龍崗區(qū)龍城高級(jí)中學(xué)?？计谥校﹊是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則.【答案】【詳解】，，故.故答案為：.【典例3】（2023上·山東青島·高三山東省青島第十九中學(xué)?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，則，則，解得：，則.故選：B【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)則在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】依題意，，則，所以在復(fù)平面內(nèi)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知（為虛數(shù)單位），則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：D．【變式3】（2023上·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為.【答案】【詳解】解：因?yàn)椋?，∴，所?∴.故答案為：.題型06復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【典例1】（2023上·北京東城·高三北京市第一六六中學(xué)?？计谀?fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】，，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.【典例2】（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃﹊是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則．【答案】【詳解】,所以，所以.故答案為：.【典例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）計(jì)算．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【詳解】（1）原式．（2）原式．（3）原式.（4）原式.（5），，，，原式.【變式1】（2023上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學(xué)?？计谥校┤?，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知可得，所以，故選：D【變式2】（2023上·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則【答案】【詳解】，則，故.故答案為：.【變式3】（2023下·高一單元測(cè)試）計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以題型07根據(jù)復(fù)數(shù)乘、除法運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【典例1】（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【詳解】，由已知得，解得，故選：D【典例2】（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部是虛部的2倍，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以，解得，故選：B.【典例3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若復(fù)數(shù)滿足：，求復(fù)數(shù).【答案】（1）；（2）或【詳解】（1）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解得；（2）設(shè)，，，即，故，解得或，故或.【典例4】（2023下·河南鄭州·高一校聯(lián)考期中）解答下列各題：(1)已知z是復(fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)z；(2)已知復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第四象限．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，則復(fù)數(shù)，又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，得，所以復(fù)數(shù)．（2），由復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)位于第四象限，可得，解得，當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴m的取值范圍為.【變式1】（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可知，，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為12，所以，解得，.故選：B.【變式2】（2022下·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【詳解】由題意可得，故，解得，故選：A【變式3】（2023上·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位），是實(shí)數(shù).(1)求b的值；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵，∴∵是實(shí)數(shù)，∴，解得.（2）由（1）知,∴，∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.題型08復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的創(chuàng)新應(yīng)用【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（）A．的實(shí)部為1B．的共軛復(fù)數(shù)為1C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．的模長(zhǎng)為1【答案】D【詳解】由歐拉公式知，則的實(shí)部為，共軛復(fù)數(shù)為，AB錯(cuò)誤；由歐拉公式知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，而，因此在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，C錯(cuò)誤；顯然的模長(zhǎng)為，D正確.故選：D【典例2】（2023上·廣東深圳·高三深圳市建文外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，其中i為虛數(shù)單位，且滿足，且為純虛數(shù).(1)若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，求復(fù)數(shù)z；(2)求；(3)若在（1）中條件下的復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.【答案】(1)(2)答案見解析(3)，【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，又為純虛數(shù)，所以，又，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，所以，故.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.（3）法一：由（1）可知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以把，代入得，化簡(jiǎn)得，即，解得：，法二：由（1）可知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以此方程的另一根為：，則，解得：，【變式1】（2022上·上海嘉定·高二上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考期中）已知集合（其中為虛數(shù)單位），則滿足條件的集合M的個(gè)數(shù)為.【答案】8【詳解】周期為4，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：8個(gè).【變式2】（2023下·廣東東莞·高一東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們滿足下列兩個(gè)條件：①；②兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為【答案】20【詳解】設(shè)，則.所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為又兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，解得.又的面積為.故答案為：.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·全國·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．3 D．2【答案】B【詳解】．故選：B．2．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【詳解】，則，故選：C.3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件求出的代入形式，進(jìn)而可得其共軛復(fù)數(shù).【詳解】，所以.故選：B．4．（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程即可得解.【詳解】，所以，解得，故選：A.5．（2023上·陜西西安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等得到方程組，求出、的值，從而求模.【詳解】因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，，所以，解得，所?故選：A6．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再求即可.【詳解】由，得，所以，所以.故選：B.7．（2023上·湖南·高二邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則（

）A．5 B． C．10 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?故選：B.8．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等可以求參即可.【詳解】由題意，得，∴解得或∵，∴．故選:B．二、多選題9．（2023上·江蘇無錫·高三?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，（，）（為虛數(shù)單位），為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部為B．C．D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)形成的圖形的面積為【答案】CD【詳解】由題意可得，所以的虛部為，A錯(cuò)誤，，故，B錯(cuò)誤，，C正確，表示點(diǎn)到的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，故為以為圓心，以1為半徑的圓以及內(nèi)部，故面積為，D正確，故選：CD10．（2023上·福建·高三校聯(lián)考期中）若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（

）A．B．的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C．的虛部為D．【答案】AB【詳解】依題意，，，A正確；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，B正確；復(fù)數(shù)的虛部為，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故