2023年高考數(shù)學一輪復習講義：第二章 2-2函數(shù)的單調(diào)性與最值

§2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

【考試要求】1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實際意義.

2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡單應用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設函數(shù)Tu)的定義域為/,區(qū)間。=/,如果VM,X2≡D

當為<X2時，都有函)<"?),

定義當Xla2時，都有"ι)>∕tχ2),那么

那么就稱函數(shù)T(X)在區(qū)間。上

就稱函數(shù)y(χ)在區(qū)間。上是減函數(shù)

是增函數(shù)

y=f(×)×fy=∕(?^)

j?)僧丁瑞)

≤?L

圖象描述0?i~?^^X

θp?X2X

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=Ax)在這一區(qū)間具有(嚴格

的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=y(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設函數(shù)y=Ax)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

(l)?x∈∕,都有∕U)≤M;(l)Vx∈λ都有∕U)NM;

條件

(2)3A?∈Z,使得"O)=M(2)Ξxo∈/,使得"o)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

【常用結(jié)論】

1.Vx∣)X2GD且XlwX2,有AXD二火")>0(<0)或3一X2)次XD―加刈>0(<0)仁次X)在區(qū)間D上

X?—Xl

單調(diào)遞增(減).

2.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

函數(shù)y=7(χ)(Λχ)>o或HX)VO)在公共定義域內(nèi)與y=-/(X)，y=六

3.的單調(diào)性相反.

j?χ)

4.復合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)y=∕("),〃=9(x)在函數(shù)y=∕?(x))的定義域上，如果y=∕(")與"

=O(X)的單調(diào)性相同，那么y=y(9(x))單調(diào)遞增；如果y=.K")與"=9(x)的單調(diào)性相反，那么y

=Λp(χ))單調(diào)遞減.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若人幻的定義域為R,且人一3)勺(2),則於)為R上的增函數(shù).(X)

(2)函數(shù)y(x)在(一2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一2,3).(X)

(3)因為y=x與y=e',都是增函數(shù)，所以y=xe，在定義域內(nèi)為增函數(shù).(X)

(4)函數(shù))，=：的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+∞).(×)

【教材改編題】

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()

A.y=∣x÷1∣B.y=2~x

C.y=~D.y=√-x+1

答案A

2.函數(shù)丫=言在區(qū)間［2,3］上的最大值是.

答案2

X1Y9

解析函數(shù)y=士=1+士在［2,3］上單調(diào)遞減，當χ=2時，y=士取得最大值Wi=2.

X1X1入IZl

3.函數(shù)y=M"在(-8,1)上為增函數(shù)，則實數(shù)“的取值范圍是.

答案(一8,0)

■探究核心題型

題型一確定函數(shù)的單調(diào)性

命題點1求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1下列函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增的是.(填序號)

φγ=e'-e?';∣x2-2x|；③y=x+cosx;,7%2÷x-2.

答案①③

解析?.?y=e?與y=-e'為R上的增函數(shù)，

.?.y=e'-b，為R上的增函數(shù)，故①正確；

由>=僅2—切的圖象知，故②不正確；

對于③，y,=I-SinX20,

.?.y=x+cosx在R上為增函數(shù)，故③正確；

y=?χ2+χ-2的定義域為(一8,—2]U[1,+o°),故④不正確.

命題點2判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性

例2試討論函數(shù)?r)=言(α≠0)在(一1,1)上的單調(diào)性.

解方法一設一1<X1<T2<1,

危)="(?3=M+D'

加)一段2)=小+因一a。+言)

a(x2-x?)

(XLl)(X2—1)'

由于一1<X1<X2<1,

所以尤2—Xl>0,Xj-l<0,X2—1<0,

故當。>0時，#為)一五]2)>0,即yuι)習口2),函數(shù)yu)在(一1,1)上單調(diào)遞減;

當a<0時，危1)一於2)<0,

即兀⑴勺⑴)，函數(shù)yω在(一1』)上單調(diào)遞增.

士、七一〃,、(QR)'(X-I)-Ga-1)’

方法—f(X)=(Ll)2

a(χ-j)-gχa

=(X-I)2=~(X-I)2,

當a>0時，/(Λ)<0,函數(shù)TW在(-1,1)上單調(diào)遞減;

當“<0時，f(X)>0,函數(shù)/)在(一1,1)上單調(diào)遞增.

【教師備選】

1,x>09

1.設函數(shù)兀￥)=<。，4=0，g(x)=x2f(χ-l),則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

「1,x<0,

答案［0,1)

X2,x>?,

解析由題意知g(x)=<0,x=l,該函數(shù)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞減區(qū)間是[0,1).

.~xz,x<l,

2.已知4>0,函數(shù)T(X)=R++r>O),證明：函數(shù)√(x)在(0,也］上單調(diào)遞減，在［3，+oo)±

單調(diào)遞增.

證明方法一(定義法)設?X1>X2>O,

X%1)-∕(X)=X∣+--X2-T

2人1人2

(X1—12)(帝也一。)

XlX2'

Vχ∣>X2>0,/.Xj-X2>0,X∣X2>0,

當Xi,X2≡(0,時，OVXlX2<。，

.?.X∣X2-^<0,

，於1)一心2)<0,於1)勺S),

??√U)在(0,上單調(diào)遞減，

當X］,+8)時，X∣X2>6Z,

-,?x?X2-a>0,?'?∕(JCI)-/%2)>0,

，於1)次X2),

.?∕(x)在［/，+8)上單調(diào)遞增.

方法二(導數(shù)法)

“4x2-q?

f(X)=I-m=^Γ^(x>0),

令/(X)>0=>/—α>o=χ>AyZ

令f'W<0^Λ2—α<O=>O<r<??∕α,

.?√(x)在(0,上單調(diào)遞減，在［6，+8)上單調(diào)遞增.

思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

(1)定義法：利用定義判斷.

(2)導數(shù)法：適用于初等函數(shù)可以求導的函數(shù).

(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；

二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“U”連接.

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定

簡單函數(shù)的單調(diào)性.

跟蹤訓練1(1)函數(shù),/(x)=ln(4+3χ-χ2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

B卷，+8)

c.(-1,ID.∣,4)

答案D

解析段)=ln(4+3χ-產(chǎn))的定義域為4+3χ-x2>0,

解得χ∈(-l,4).

3

令/=4+3/—對稱軸為X=],

故單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,1),

單調(diào)遞減區(qū)間為弓，4),

因為y=lnf為增函數(shù)，所以貝X)=In(4+3χ-χ2)的單調(diào)遞減區(qū)間為6，4),

(2)函數(shù)/(x)=k—21X的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案[1,2]

x2~2x,x22,

解析.穴無)=

.-x2+2x,x<2.

畫出y(x)的大致圖象(如圖所示),

由圖知外)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1⑵.

題型二函數(shù)單調(diào)性的應用

命題點I比較函數(shù)值的大小

例3(2022.成都模擬)已知函數(shù)段)為R上的偶函數(shù)，對任意笛，x2∈(-∞,0),均有(Xl-

?1

X2)(AXI)—心2)]<0成立，若α=∕(ln√5),則“，b,C的大小關系是()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

答案B

解析對任意Xl,X2∈(-°°?0),

均有3—X2)[∕U∣)-式檢)]<0成立，

.?.此時函數(shù)在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減,

:/U)是偶函數(shù)，

二當x∈(0,+8)時，y(χ)單調(diào)遞增，

?

又yU)=χ3在χ∈(o,+8)上單調(diào)遞增，

，Ke5<35,

1?

又0<ln√2<l,Iny∣2<e?<3^,

??

.?./(35)>∕(e5)^ln√2),

即a<c<b.

命題點2求函數(shù)的最值

r+5

例4(2022?深圳模擬)函數(shù)V=不亮的最小值為

答案I

解析令后q=t,則層2,

函數(shù)y=r+:在[2,+8)上單調(diào)遞增，

當f=2時，Vmin=,.

命題點3解不等式

例5已知函數(shù)式X)=InX+2*,若凡r-l)<2,則實數(shù)X的取值范圍是

答案(1,2)

解析,危0在定義域(0,+8)上是增函數(shù)，

且HI)=2,

?,?原不等式可化為,∕U-1)4D,

[x—1<1,

???解得?<x<2.

Lr—1>0,

命題點4求參數(shù)的取值范圍

ax,XeL

且滿足對任意的實數(shù)X≠X2都有曲匕幽>0成立,

例6函數(shù)段)=/d?1

X-X2

(4-/工+2,x<?f?

則實數(shù)”的取值范圍是()

A.[4,8)B.(4,8)

C.(1,8]D.(1,8)

答案A

解析函數(shù)段)=bG滿足對任意的實數(shù)，≠X2都有&“二於2>0,

(4—?x+2,x<l為一念

ax,無21,

所以函數(shù)7U)=bG是R上的增函數(shù)，

(4-])χ+2,x<l

Z>l,

4一4?0

則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性可知應滿足J2“解得4這α<8,

。24—g+2,

所以實數(shù)”的取值范圍為f4,8).

工教師備選】

l.(2022?嘉峪關模擬)函數(shù)∕x)=1n(∕-αr—3)在(1,+8)上單調(diào)遞增,則“的取值范圍是()

A.(—8,—2]B.(—8,—2)

C.(-∞,2]D.(-8,2)

答案A

解析函數(shù)y(x)=ln(Λ2-or—3)為復合函數(shù)，令ι∕(x)=χ2-公一3,

y=lnu為增函數(shù)，

故只要心)=/一帆一3在(1,+8)上單調(diào)遞增即可，只要J2解得后一2.

MI)N0,

a,ClWb,

2.對于任意實數(shù)mb,定義min{0,h}=?設函數(shù)α￥)=—x+3,g(x)=log2%,則

bya>h.

函數(shù)力(x)=min伏x),g(x)｝的最大值是.

答案1

解析方法一在同一坐標系中，作函數(shù)應0，g(χ)的圖象,

依題意，〃(x)的圖象為如圖所示的實線部分.

y↑

Y3

:央FN(X)

易知點A(2,1)為圖象的最高點，

因此的最大值為Λ(2)=l.

log2%,OVXw2,

方法二依題意，A(x)=

-x+3,x>2.

當OeXW2時，Λ(x)=Iogjx單調(diào)遞增，

當x>2時，力(X)=3-χ單調(diào)遞減，

因此〃(X)在x=2時取得最大值〃(2)=L

思維升華(1)比較函數(shù)值的大小，應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單

調(diào)性解決.

(2)求解函數(shù)不等式，其實質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用，由條件脫去"，'，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小

關系，應注意函數(shù)的定義域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))

或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.

跟蹤訓練2(1)已知函數(shù)於)=eμι,記α=y∏og23),b=fi-2),c=∕e),W∣Ja,h,C的大小關

系為()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

答案A

解析函數(shù),/(x)=eR,其定義域為R,

且八一X)=erxl=ew=fix),

???./U)為偶函數(shù)，

當Λ>0時,fix)為增函數(shù)，

又6=<-2)=y(2),且e>2>log23,

?Me)次2)Xlog23),即a<b<c.

■■j^2,J..4j?4

F若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間①，〃+1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)〃的

{lθg2X,x>4,

取值范圍是()

A.(一8,1]B.[1,4]

C.[4,+∞)D.(一8,1]U[4,+∞)

答案D

’的圖象，如圖，

?ogu,x>4

f—H4x,

由圖可知函數(shù)/)=1''的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,2),(4,+∞),

llog2%,x>4

?.?函數(shù)在(α,α+l)上單調(diào)遞增，

.?.α+lW2或a>4,.?“Wl或a24.

(3)已知y(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，則不等式y(tǒng)(2x—1)XX

+1)的解集為.

答案(0,2)

解析依題意汽制是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，所以

fi,2χ-1)?x+1)0(2X-l)2<(x+1)2,

即4x2?-4x+l<x2÷2x÷1,

即Λ2-2x-x(x-2)<0→Λ∈(0,2).

課時精練

.基礎保分練

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減的是()

A.y=^-χB.y=x1-χ

C.y=?nχ-χD.y=ex

答案A

解析當X￡(0,+8)時，y=(與y=-X單調(diào)遞減，.?.y=：—X在(0,+8)上單調(diào)遞減.

Y

2.函數(shù)TU)==在()

A.(―8,1)U(1,+8)上是增函數(shù)

B.(-?,1)U(I,+8)上是減函數(shù)

C.(―8,1)和(1,+8)上是增函數(shù)

D.(一8,1)和(1,+8)上是減函數(shù)

答案C

解析函數(shù)火x)的定義域為{x∣XW1}.

c、X1

="；］

Jy(χ)=^jI-XI-X-,

根據(jù)函數(shù)y=—：的單調(diào)性及有關性質(zhì)，

可知KX)在(-8,1)和(1,+8)上是增函數(shù).

2Λ2+3

3.(2022.安徽六安一中月考)若函數(shù)HX)=H旨，則7U)的值域為()

A.(一8,3]B.(2,3)

C.(2,3]D.[3,+∞)

答案C

2

._,r.2x+3ι1

解析J(x)=i+χ2=2+χ2+l,

Vx2≥O,Λx2+l≥l,

?'?°c?iWi,

??√ω∈(2,3].

4.（2022?貴陽模擬）已知函數(shù)次x）在（一8,+8）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若爪1）=一2,則

滿足-2W4v-2）W2的X的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-1,1]

C.[1,3]D.[0,4]

答案C

解析因為,危0為奇函數(shù)，

若70)=—2,則式-1)=2,

所以不等式一2<4χ-2）W2可化為

ΛD≤^-2）≤X-1）,

又7U）在（-8,+8）上單調(diào)遞減，

所以一iWx—2W1,解得IWXW3.

?e?

_1若。=5°?3,?=log32,C=IOg2O.9,則有

^1~x^,XW0,

()

A.J(a)>∕(b)>∕(C)

B.fib)>βa)>βc)

C-fia)>fic)>∕(b)

D.KC)Ma)習S)

答案A

解析y=et是增函數(shù)，y=e)是減函數(shù)，

因此在(0,+8)上丫=6，一1*單調(diào)遞增，且此時y(χ)>o.

"x)=一χ2在XWo時單調(diào)遞增，

所以兀V)在R上單調(diào)遞增.

C=IOg2。.9<0,?=log32,

所以0<?<1,α=500l>1,

≡Pa>b>c,所以次α)N∕S)N∕(c).

InX+2'x>0,

6.已知函數(shù)段）=42則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

[?-χ

①/U）在R上為增函數(shù)；

②Λe）42）;

③若∕x）在（α,α+l）上單調(diào)遞增,則“<T或心0；

④當x∈[T,l]時,兀r）的值域為[1,2].

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析易知危）在（-8,0],（0,+8）上單調(diào)遞增，①錯誤，②正確；

若式X）在（α,。+1）上單調(diào)遞增，

貝!∣a20或α÷1≤0,

即aW—1或020,故③正確；

當XG時,Λx）∈[l,2],

當x∈（OJ]時，y（χ）∈（-oo,2],

故x∈[-l,l]時,Xx）∈（-∞,2],

故④不正確.

7.函數(shù)>=一爐+2園+1的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

答案（一8,F和[0,1]（一1,0）和（1,+∞）

—x2+2x+1,xN0,

解析由于y—

—Λ2-2x÷l,x<0,

一(X—1)2+2,x≥0,

即y-'

一(x+1)2+2,x<0.

畫出函數(shù)的圖象如圖所示,

單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,—1]和[0,1],單調(diào)遞減區(qū)間為（一1,0）和（1,+∞）.

8.（2022?山東師大附中質(zhì)檢）已知函數(shù)KX）=eKF（q為常數(shù)），若T（X）在區(qū)間[1,+8）上單調(diào)遞

增，則實數(shù)”的取值范圍是.

答案（一8,1]

e?l'^0,x≥a,

解析XX）=

eax,x<a,

當XNa時，火x)單調(diào)遞增，當x<a時，<x)單調(diào)遞減，

又7U)在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以αWl.

12.

9.已知函數(shù)段)=OX—瓦+"(α>0),且於)在(0,1］上的最大值為g(α),求g(α)的最小值.

12

解,/(x)=αr--+-(tz>O),

.?√(x)在(0,1］上單調(diào)遞增，

??√U)max=y(l)=α+5,

.?.g(α)="+}?2,當且僅當"=［即?=1時取等號，

.?.g(α)的最小值為2.

2

10.己知函數(shù)√(x)=α一不工γ.

⑴求購；

⑵探究HX)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論：

(3)若式x)為奇函數(shù)，求滿足4依)勺(2)的X的取值范圍.

.2

解(l)∕(O)=4一,泗_］,=〃一L

(2V(x)在R上單調(diào)遞增.證明如下：

?.√(x)的定義域為R,

任取x∣,Λ?eR且x∣<x2,

22

則於∣)-Λx2)=α——~--?+—~-

2Λ'+1T2+1

2?(2r'-2r2)

一(1+2D(I+2*)，

2"在R上單調(diào)遞增且x∣<x2,

Λ0<2v'<2jt2,

jv

...2?>?>一2?<o,2'+l>0,2金+l>0.

.?.y(Λl)-χx2)<0,即於1)勺(X2).

.?√(x)在R上單調(diào)遞增.

(3)../》)是奇函數(shù)，.\/(一》)=-/(》)，

22

即。一^~ci1——?vI.?解得α=l.

2*十12+1

.?..人辦)42)即為火x)勺(2),

又?.√U)在R上單調(diào)遞增，.?.x<2.

.?.x的取值范圍是(-8,2).

技能提升練

11.定義max{α,b,c}為4,b,C中的最大值，設M=max{2?r,2χ-3,6-χ},則M的最小值

是()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析畫出函數(shù)M=max{2?2x—3,6—x}的圖象(如圖)，由圖可知，

函數(shù)M在A(2,4)處取得最小值22=6-2=4,

故M的最小值為4.

12.已知函數(shù)段)=當Xel機+1］時，不等式式2%—x)勺(X+m)恒成立,

則實數(shù)〃，的取值范圍是()

A.(-8,—4)B.(-8,-2)

C.(-2,2)D.(—8,0)

答案B

I,x≤0,

解析易知函數(shù)yu)=<O-在XWR上單調(diào)遞減,

%3,x>0

又人2勿2-x)磯x+∕n)在x∈［m,m+1］上恒成立，

所以2機一x>x+m,

即2x<τn在χW［加,加+1］上恒成立,

所以2(∕w+?