數(shù)學(xué)-專項(xiàng)2.15 換元法解一元二次方程（知識講解）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（浙教版）

專題2.15換元法解一元二次方程（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解換元法的實(shí)際意義并能列出換元后的方程；2.掌握用換元法解一元二次方程的步驟，并熟練運(yùn)用換元法解一元二次方程?！疽c(diǎn)梳理】1、解數(shù)學(xué)題時(shí),把某個(gè)式子看成一個(gè)整體,用一個(gè)變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題,當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達(dá)到降次的目的.【典型例題】類型一、解一元二次方程??換元法??列方程??求值1．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，若設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是（）A．B． C． D．【答案】A【分析】把原方程按按照所給條件換元，整理即可解：原方程可化為，整理為．故答案為：A【點(diǎn)撥】本題考查換元法解方程，靈活運(yùn)用即可．舉一反三：【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可變形為（）A． B． C． D．【答案】D

【分析】將原方程中的換成，再移項(xiàng)即可．解：根據(jù)題意，得，即；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查換元法解一元二次方程，換元法就是把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量代換．【變式2】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考二模）【問題背景】“整體替換法”是數(shù)學(xué)里的一種常用計(jì)算方法．利用式子的特征進(jìn)行整體代換，往往能解決許多看似復(fù)雜的問題．【遷移運(yùn)用】計(jì)算的值解：設(shè)原式，則可分析得：根據(jù)上述方程解得：，而原式，故：原式【聯(lián)系拓展】___________A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目呈現(xiàn)的“整體替換法”，令，，作差即可求解．解：設(shè)，，則，故選：B．【點(diǎn)撥】本題為新定義類型問題的考查，解題的關(guān)鍵是讀懂題目中“整體替換法”的概念，應(yīng)用到解題當(dāng)中．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）若，則_____．【答案】1【分析】設(shè)，則方程化為，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可．

解：，，設(shè)，則化為，解得：，即，所以．故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是要將原式變形，設(shè)，得到一元二次方程．舉一反三：【變式1】（2022秋·河北承德·九年級?？计谀┰诶梅匠?，求時(shí)，嘉琪令則原方程轉(zhuǎn)化為_______________，聰明又謹(jǐn)慎的你可以利用得到的值為_______________．【答案】

【分析】先用換元法得到一元二次方程，注意，然后用因式分解法解一元二次方程，保留有意義的根，舍去不符合題意的根解：∵，∴令，則，∴，∴，∴或，∴（舍）或，∴，故答案為：，【點(diǎn)撥】

本題考查了用換元法和因式分解法解一元二次方程，注意隱含條件的判斷是解決問題的關(guān)鍵【變式2】（2022秋·湖南常德·九年級統(tǒng)考期中）“通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方，如：解方程，就可以利用該思維方式，設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為：這個(gè)熟悉的關(guān)于的一元二次方程，解出，再求，這種方法又叫“換元法”請你用這種思維方式和換元法解方程：方程的解為______．【答案】，【分析】設(shè)，得，解得，，當(dāng)時(shí)，，方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，解得，．解：設(shè)，則原方程變形為：，解關(guān)于的方程得，，當(dāng)時(shí)，，方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，是原方程的解，故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查換元法解無理方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握換元法．類型二、解一元二次方程??換元法??解方程3．（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．解：設(shè)則原方程可化為，即；解得．

，．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題：(1)已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．(2)解方程．(3)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為120，直接寫出這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為．【答案】(1) (2)，，，． (3)2，3，4，5【分析】（1）設(shè)，則原方程變?yōu)?，解方程求得，根?jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得；（2）設(shè)，則原方程可化為，解方程求得或2，再分別求得的值即可；（3）設(shè)最小的正整數(shù)為，則另三個(gè)分別為、、，根據(jù)題意可得方程，整理為，設(shè)，則原方程變?yōu)椋夥匠糖蟮没?0，由于是正整數(shù)，可得，所以，再解方程求得的值即可．（1）解：設(shè)，則，，即，，，，．（2）解：設(shè)，則原方程可化為：．解得：，，

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．原方程的解是：，，，．（3）解：設(shè)最小數(shù)為，則，即：，設(shè)，則，，，，，，（舍去），這四個(gè)整數(shù)為2，3，4，5．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，理解“換元法”是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)x1＝，x2＝，x3＝，x4＝(2)【分析】（1）利用換元法，先設(shè)，然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到該方程的解；（2）利用換元法，先設(shè)，然后根據(jù)解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到該方程的解

（1）解：設(shè)則或解得，∴或∴或解得，x1＝，x2＝，x3＝，x4＝；（2）解：設(shè)，則，或，解得，，或，或，解得，【點(diǎn)撥】本題考查換元法在一元二次方程的求解中的應(yīng)用，掌握該方法是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·廣東江門·九年級?？计谥校┱堥喿x下列解方程的過程．解：設(shè)，則原方程可變形為，即，得，．當(dāng)，，∴，，當(dāng)，，無解．所以，原方程的解為，．這種解方程的方法叫做換元法．

用上述方法解下面兩個(gè)方程：(1)；(2)．【答案】(1)， (2)，，【分析】（1）仿照例題方法和步驟解方程即可；（2）設(shè)，進(jìn)而利用解一元二次方程的方法步驟求解即可．（1）解：設(shè)，則原方程可變形為，即，解得：，．當(dāng)時(shí)，，∴，，當(dāng)，，無解．所以，原方程的解為，．（2）解：設(shè)，則原方程可變形為，即，解得：，．當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，即，解得：．所以，原方程的解為，，．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，看懂題中例題的解法，會利用類比的方法求解一元二次方程是解答的關(guān)鍵．類型三、解一元二次方程??換元法??解方程（中考真題專練）4．（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．

問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：【答案】，．【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．解：續(xù)解：，，解得，（不合題意，舍去），，，，，經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的解．【點(diǎn)撥】本題考查了換元法解方程，涉及了無理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．舉一反三：【變式1】（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）“通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式，例如：解方程，就可以利用該思維方式，設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為：這個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x，這種方法又叫“換元法”．請你用這種思維方式和換元法解決下面的問題．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值．【答案】26．【分析】通過“換元”的思路，可以將所要求的方程組中的元素進(jìn)行換元，兩個(gè)式子中都有和，因此可以令

，列出方程組，從而求出a，b的值，再求出的值.解：令，則原方程組可化為：，整理得：，②-①得：，解得：，代入②可得：b=4，∴方程組的解為：或，，當(dāng)時(shí)，∴，，∴，代入，可得，此時(shí)，方程無解，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，=26，因此的值為26．【點(diǎn)撥】此題主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的運(yùn)用，利用換元的思想，將高次方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程組是解題關(guān)鍵．【變式2】（2015·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，并用相關(guān)的思想方法解決問題．計(jì)算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，則原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=，問題：12．（1）計(jì)算：（1﹣﹣﹣）×（++）﹣（1﹣﹣﹣）×（++）；13．（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．【答案】12．；

13．