猜題02 圓與方程（易錯(cuò)必刷60題11種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）

猜題02圓與方程（易錯(cuò)必刷60題11種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）題型一：圓的方程題型二：直線與圓的位置關(guān)系的判斷題型三：切線問題題型四：切點(diǎn)弦問題題型五：圓內(nèi)接三角形與四邊形面積問題題型六：軌跡問題題型七：圓與圓的位置關(guān)系的判斷題型八：公共弦問題題型九：公切線問題題型十：圓中范圍與最值問題題型十一：定點(diǎn)定值問題題型一：圓的方程1．（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）以圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，所求圓的圓心為，因?yàn)閳A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以所求圓的半徑為，所以所求圓的方程為.故選：A.2．（2023·陜西榆林·高二校聯(lián)考期末）若圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓經(jīng)過點(diǎn)，，可得線段的中點(diǎn)為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.3．（2023·云南臨滄·高二?？计谀┮阎霃綖?的圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，由圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到直線與垂直，結(jié)合的斜率為1，得直線的斜率為，所以，化簡得①再由的中點(diǎn)在直線上，，化簡得②聯(lián)立①②，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，所以半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C4．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期末）若的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得是直角三角形，且.所以的外接圓的圓心就是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.故選：C5．（2023·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）以，為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，以為直徑的圓的圓心為，又，圓的半徑為1，以為直徑的圓的方程為即.故選：A.題型二：直線與圓的位置關(guān)系的判斷6．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）直線l：與圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能【答案】A【解析】圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，直線l的方程為，圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.故選：A.7．（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃﹫A：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【答案】A【解析】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A8．（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）已知圓，直線，則圓C上到直線l的距離等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由題意,圓心坐標(biāo)為,半徑為,圓心到直線的距離為,圓與直線相交,且圓上與直線的距離等于的點(diǎn)共有3個(gè).故選:C.9．（2023·河北邢臺(tái)·高二邢臺(tái)市第二中學(xué)?？计谀┮阎本€和圓，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】C【解析】直線方程整理為，即直線過定點(diǎn)，而，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓相交.故選：C.題型三：切線問題10．（2023·山西陽泉·高二統(tǒng)考期末）已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上.(1)求經(jīng)過點(diǎn)A，并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程；(2)求過點(diǎn)B的圓C的切線方程.【解析】（1）經(jīng)過點(diǎn)A，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)得，，即，即直線的方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入解得，即直線的方程為∴所求直線的方程為或；（2）因圓心C在直線上，則設(shè)圓心，又圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，于是得圓C的半徑，即有，解得，圓心，∴，∴，∴切線l的方程為：，即.11．（2023·浙江金華·高二統(tǒng)考期末）在①圓心在直線上，是圓上的點(diǎn)；②圓過直線和圓的交點(diǎn)．這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答．問題：已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓過點(diǎn)，且．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)的圓的切線方程．【解析】（1）若選①，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，所以，線段的垂直平分線所在直線的方程為，即，聯(lián)立可得，故圓心為，圓的半徑為，因此，圓的方程為.若選②，設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程可得，解得，所以，圓的方程為，即.（2）若選①，，故所求切線的斜率為，則過點(diǎn)的圓的切線方程為，即；若選②，圓心為，，故所求切線的斜率為，則過點(diǎn)的圓的切線方程為，即.12．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期中）已知圓與直線相切，則.【答案】【解析】，圓的圓心為(2，－2)，半徑r＝1，∵圓和直線相切，∴.故答案為：.13．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為C的圓過點(diǎn)，，在①圓心在直線上；②經(jīng)過點(diǎn)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件.(1)求圓C的方程；(2)經(jīng)過直線上的點(diǎn)P作圓C的切線，已知切線長為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo).注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）若選①，∵圓過點(diǎn)，，則直線的斜率為，所以與直線垂直的直線斜率，且的中點(diǎn)為，即，則的垂直平分線所在直線方程為，即，又知圓心在直線上，∴，解得，所以圓心.半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.若選②，設(shè)圓的方程為，（其中），則，解得，所以，圓方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，∵經(jīng)過直線上的點(diǎn)P作圓C的切線，切線長為4，∴，化簡得，∴，解得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.題型四：切點(diǎn)弦問題14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，而，則，則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，作差變形可得：；即直線的方程為.故選：B.15．（2023·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）期中）已知點(diǎn)M作拋物線上運(yùn)動(dòng)，圓過點(diǎn)，過點(diǎn)M引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為P，Q，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓的方程為：,將點(diǎn)代入得，解得，則圓的方程為，即，如圖所示：易知，又，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，趨近圓的直徑，所以的取值范圍為，故選：B16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．17．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知直線與圓相離，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)且位于第一象限，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且面積的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)，，則，直線與圓相離，則且，，以為圓心，半徑為的圓的方程為，整理得，由兩式相減得直線的方程為，分別令和，則，又，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則.故選：D18．（2023·福建莆田·高二莆田第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過直線上一動(dòng)點(diǎn)，向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)?，故四點(diǎn)共圓，且為直徑，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故以為直徑的圓的方程為，整理得：，與相減得：直線的方程為，整理為，令，解得：，即直線恒過點(diǎn)，要想線段取得最小值，只需，即為的中點(diǎn)，其中，則，故選：B題型五：圓內(nèi)接三角形與四邊形面積問題19．（2023·廣東東莞·高二東莞一中?？计谥校﹫A與圓的公共弦所在直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題意得圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為2，則兩圓圓心距為，而，即圓與圓相交，故將和相減得，即圓與圓的公共弦所在直線方程為，令，則；令，則，故與兩坐標(biāo)軸所圍城的三角形面積為，故選：C20．（2023·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）已知?jiǎng)又本€恒過定點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A． B．4 C．6 D．24【答案】C【解析】由，整理為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，如圖，，直線的方程為，則圓心到直線的距離，則點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離，所以面積的最大值為.故選：C21．（2023·河南南陽·高二社旗縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，動(dòng)直線：和：交于點(diǎn)P，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線：，即過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以無論m取何值，都有，所以點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B22．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則面積的最大值為（

）A．8 B． C．14 D．【答案】C【解析】令解得，所以,令解得，所以,所以,又因?yàn)閳A心到直線的距離所以點(diǎn)到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，故選:C.23．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)?？计谥校┮阎獔A的方程為，設(shè)該圓過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓圓心為M，則圓M：，則，半徑為.如圖，最長弦為過的直徑，長度為10.最短弦為過且與最長弦垂直的弦，設(shè)E，則由垂徑定理可得，.又，則.又，則四邊形的面積為：.故選：C24．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┰趫A內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓化簡為可得圓心為易知過點(diǎn)的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D.題型六：軌跡問題25．（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】（1）圓，即，，則圓心，半徑，記為圓心到直線的距離，由，得，而，因此，所以.（2）設(shè)，，由，得，解得，由點(diǎn)在圓上，得，于是，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.26．（2023·福建莆田·高一階段練習(xí)）已知圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到處，求此時(shí)切線l的方程；(2)求滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】（1）把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心為，半徑.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為，C到l的距離，滿足條件．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，得l的方程為，即，則，解得.∴l(xiāng)的方程為，即，綜上，滿足條件的切線l的方程為或.（2）設(shè)，則，.∵，∴，整理，得，∴點(diǎn)P的軌跡方程為.27．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獔A的圓心在軸上，并且過，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）由題意可知，的中點(diǎn)為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點(diǎn)為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點(diǎn)在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為28．（2023·天津·高二統(tǒng)考期末）已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．(1)求圓C的方程；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)P的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)圓的方程為，由題意得，解得

所以圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，

于是

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓的方程，即

所以，整理得所以，線段中點(diǎn)的軌跡方程.29．（2023·四川廣元·高二統(tǒng)考期末）已知圓O:,直線.(1)若圓O的弦AB恰好被點(diǎn)平分,求弦AB所在直線的方程;(2)點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn),過Q作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為C,D,求直線CD經(jīng)過的定點(diǎn);(3)過點(diǎn)作兩條相異的直線,分別與圓O相交于E,F兩點(diǎn),當(dāng)直線ME與直線MF的斜率互為倒數(shù)時(shí),求線段EF的中點(diǎn)G的軌跡方程.【解析】（1）解:由題知,圓O:,所以圓心,半徑為1,所以,因?yàn)橄褹B恰好被點(diǎn)平分,所以,故,即弦AB所在直線的方程為;（2）因?yàn)閳A心到直線距離為:,所以直線與圓相離,令,線段OQ中點(diǎn),因?yàn)榕c圓相切,所以,所以O(shè),C,Q,D四點(diǎn)共圓,且為直徑,即圓心為,半徑為,故圓K:上,因?yàn)镃D是圓O與圓K的相交弦,故,即,由且得,直線CD經(jīng)過定點(diǎn);（3）點(diǎn)在圓上,ME,MF是斜率互為倒數(shù)的兩條互異直線,設(shè),,故,所以且,解得且,聯(lián)立,即,所以,即,帶入直線中有:,所以,,故,,記,,所以為奇函數(shù),當(dāng)且時(shí),,且,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等,因?yàn)?所以,根據(jù)為奇函數(shù),所以當(dāng)且時(shí),,綜上:,故線段EF的中點(diǎn)的軌跡方程為.30．（2023·四川廣元·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面上兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足|MA|=2|OM|.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(2)記（1）中的軌跡為曲線C，直線l過點(diǎn)且與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)O在以EF為直徑的圓上，求直線l的方程.【解析】（1）由，得，化簡整理得點(diǎn)的軌跡方程為：，點(diǎn)M的軌跡是以為圓心,以2為半徑的圓；（2）由題可知直線斜率存在可設(shè)，代入，得：，，設(shè)，，則，，由點(diǎn)在以EF為直徑的圓上，則，即，即，所以，即，整理可得，即，代入成立，所以直線的方程為.31．（2023·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）已知為原點(diǎn)，線段的端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).(1)求線段長度的取值范圍；(2)點(diǎn)在線段上，且，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）圓的圓心為，半徑，則，由于，所以||；（2）設(shè),,由點(diǎn)在線段上，且，可得，則有可得，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，代入得，整理可得點(diǎn)的軌跡方程為.題型七：圓與圓的位置關(guān)系的判斷32．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【解析】圓的圓心與圓的圓心，所以兩圓的圓心距為3，又圓的半徑為1，圓的半徑為2，且圓心距等于圓與圓的半徑之和，所以圓與圓的位置關(guān)系為外切．故選：C.33．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知在圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，依題意可知，以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，與圓相交，，所以，即，所以.故選：C34．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知圓：與圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知：，，，，.因?yàn)楹陀泄颤c(diǎn)，所以，解得.故選：C35．（2023·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A．4 B．5 C．6 D．4或6【答案】D【解析】由題設(shè)，則且半徑；，則且半徑；所以，又兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故兩圓外切或內(nèi)切，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，則；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，則或（舍）；所以或.故選：D題型八：公共弦問題36．（2023·湖北孝感·高二?？计谀﹫A與圓的公共弦長為.【答案】【解析】由圓與圓，將兩圓方程相減整理得公共弦所在直線的方程：，又，即，圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，所以公共弦長為.故答案為：.37．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則直線的方程為．【答案】【解析】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑，所以，，所以，以為圓心，為半徑的圓的方程為，即，所以為兩圓的公共點(diǎn)，即直線為兩圓公共弦所在的直線，聯(lián)立和，得到，即.故答案為：38．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）圓和圓的交點(diǎn)為，，則線段的垂直平分線的方程為.【答案】【解析】將化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其圓心是．兩圓的方程相減得公共弦所在直線方程為.又線段的垂直平分線就是過兩圓圓心的直線，且其斜率為，故所求直線方程為，即.故答案為：.39．（2023·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）圓與圓的公共弦的長為．【答案】【解析】將圓與圓的方程作差可得，所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長為.故答案為：.題型九：公切線問題40．（2023·廣東·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，為平面上的動(dòng)直線，點(diǎn)A，B到直線的距離分別為1，3，則這樣的直線有條．【答案】4【解析】到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；由于，即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，即點(diǎn)A，B到直線的距離分別為1，3的直線有4條，故答案為：4.41．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離分別為4和9，則滿足條件的直線有條.【答案】3【解析】由已知可把直線l看成是以為圓心，4為半徑的圓的切線，同時(shí)是以為圓心，9為半徑的圓的切線，由于兩圓圓心距，所以兩圓相外切，根據(jù)外切的兩圓的公切線有3條可知，滿足條件的直線有3條．故答案為：3．42．（2023·四川成都·高一成都七中?？茧A段練習(xí)）已知圓與圓，在下列說法中：①對(duì)于任意的，圓與圓始終相切；②對(duì)于任意的，圓與圓始終有四條公切線；③時(shí)，圓被直線截得的弦長為；④分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為4其中正確命題的序號(hào)為.【答案】①③④【解析】對(duì)于①，由題意得，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，所以兩圓的圓心距，又，即，即兩圓外切，所以對(duì)于任意，圓和圓始終相切，故①正確；對(duì)于②，由①知兩圓相切，所以兩圓只有三條公切線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，圓的方程為，故圓心為，又直線，故圓心到直線的距離為，設(shè)其被所截弦為，故由弦長公式得，故③正確；對(duì)于④，由①知兩圓相切，所以兩圓上的點(diǎn)的最大距離就是兩圓的直徑之和，所以，故④正確.故答案為：①③④.43．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀懗雠c圓和都相切的一條直線的方程．【答案】///【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑圓的圓心為，半徑又因?yàn)樗詧A與圓相離，所以有4條公切線.畫圖為：易得或是圓和的公切線設(shè)另兩條公切線方程為：圓到直線的距離為圓到直線的距離為所以所以或或當(dāng)時(shí)所以，切線方程為當(dāng)時(shí)所以所以所以或當(dāng)時(shí)，切線方程為當(dāng)時(shí)，切線方程為故答案為：或或或44．（2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谀┮阎獔A與圓，則圓與圓的公切線方程是.【答案】【解析】圓，即，圓心為，半徑.圓，即，圓心為，半徑.圓心角，所以兩圓內(nèi)切，由解得，所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以公切線的斜率為，所以公切線的方程為，即故答案為：題型十：圓中范圍與最值問題45．（2023·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，直線恒過定點(diǎn)，曲線表示圓心為，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，不滿足題意，直線記為，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，滿足題意，直線記為，如圖，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，由，解得，直線記為，由圖知，當(dāng)或，與曲線有1個(gè)交點(diǎn)，故選：C46．（2023·河南洛陽·高二宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如果實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，為直線的斜率.如果實(shí)數(shù)，滿足和，即直線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn).其中圓心，半徑從圖中可知，斜率取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；同理，的最小值為－1.則的范圍是.故選：B.47．（2023·湖北·高二鄖陽中學(xué)校聯(lián)考期中）若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，可得，則直線與圓有公共點(diǎn)，所以，，解得，即的取值范圍是.故選：B.48．（2023·山西太原·高二太原市外國語學(xué)校?？计谥校┻^點(diǎn)引直線與曲線相交于兩點(diǎn)，則直線的斜率范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】曲線方程可化為，它表示以為圓心，2為半徑的上半圓弧，易知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，如圖所示：直線的斜率應(yīng)滿足，其中直線與相切于點(diǎn)，，解得或（舍去），又，所以.故選：D.49．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓上存在四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則實(shí)數(shù)范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由知圓心，半徑為3，若圓上存在四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則點(diǎn)C到直線的距離，∴，∴.故選：D.50．（多選題）（2023·四川成都·高二樹德中學(xué)校考期中）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下面正確的有（

）A．圓的半徑為3B．既沒有最大值，也沒有最小值C．的范圍是D．的最大值為72【答案】BC【解析】圓轉(zhuǎn)化為，則圓的圓心為，半徑為2，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，即，整理得，解得或.既沒有最大值，也沒有最小值，選項(xiàng)B正確.設(shè)，，則，其中.則的取值范圍為，選項(xiàng)C正確.又，則，因此其中.則的最大值為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.51．（多選題）（2023·山東·高二校考期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則下列說法正確的是（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的范圍是【答案】ABD【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足方程，所以，得圓心為，半徑為1，對(duì)于AB，設(shè)，則兩直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，，所以的最大值為，的最大值為，所以AB正確，對(duì)于C，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以，所以，所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，表示出圓上的點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，即，所以D正確，故選：ABD52．（多選題）（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．直線的斜率范圍為D．以線段為直徑的圓與圓的公共弦方程為【答案】AC【解析】圓的圓心，半徑，又，所以，即點(diǎn)在圓外，所以，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)在線段與圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；設(shè)直線，根據(jù)題意可得點(diǎn)到直線的距離，解得，故C正確；設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以以為直徑圓的方程，顯然圓與圓相交，所以公共弦方程為，故D錯(cuò)誤．故選：AC．53．（2023·廣東廣州·高二廣州市第十六中學(xué)校考期中）已知，滿足，則的范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，表示以為圓心，為半徑的圓，即點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，令，即，當(dāng)直線與圓相切時(shí)取得最值，所以，即，解得，所以故答案為：題型十一：定點(diǎn)定值問題54．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn).(1)若，求直線的方程；(2)記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（異于點(diǎn)），試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線過圓心,，不滿足題意，所以，直線的斜率不為設(shè)直線的方程為到直線的距離為.因?yàn)椋?，解?由點(diǎn)到直線的距離公式可得到直線的距離，解得.故直線的方程為或.（2）設(shè)，則.聯(lián)立，整理得，所以，.假設(shè)直線過定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知所過定點(diǎn)在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為.因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以.故直線過定點(diǎn)55．（2023·湖南長沙·高二湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線是否過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意知，整理得，曲線的方程為.（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知：四點(diǎn)共圓且在以為直徑的圓上（對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四頂點(diǎn)共圓），設(shè)該圓為圓,設(shè)，則圓心，半徑，于是圓的方程為：即，又在圓上，即，（直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程）.由得所以直線過定點(diǎn)..56．（2023·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、，且兩條切線、與軸分別交于、兩點(diǎn)．(1)當(dāng)在直線上時(shí)，求的值；(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）聯(lián)立可得，即點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線垂直于軸，則該直線的方程為，顯然直線與圓不相切，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，即，則圓心到切線的距離為，整理可得，解得，，由圖可知，直線的方程為，則直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，，，因此，.（2）分析知、在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)，，，，所以，以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的方程為，將圓和圓的方程作差，消去、可得，即，故直線的方程為.由可得，因此，直線過定點(diǎn).四、證明題