猜題03 圓錐曲線與方程（易錯必刷60題11種題型專項訓練）（解析版）

猜題03圓錐曲線與方程（易錯必刷60題11種題型專項訓練）題型一：橢圓的標準方程與定義題型二：雙曲線的標準方程與定義題型三：拋物線的標準方程與定義題型四：焦點三角形面積、周長問題題型五：焦半徑問題題型六：直線與圓錐曲線的位置關系題型七：線段和差最值問題題型八：離心率問題題型九：中點弦問題題型十：軌跡問題題型十一：定點定值問題題型十二：三角形與四邊形面積范圍與最值問題題型一：橢圓的標準方程與定義1．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中學校考期末）方程，化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得點到定點，的距離之和等于12，即，所以動點的軌跡是焦點在軸上的橢圓，設其方程為，則，，所以，，故方程為.故選：B.2．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谀┮阎獔A，為圓內一點，將圓折起使得圓周過點(如圖)，然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，點關于折痕的對稱點在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，折痕與相交于點，如圖所示：則有，可知，所以點的軌跡是以為左、右焦點的橢圓，其中長軸，焦距，所以點的軌跡方程為，即折痕圍成輪廓的圓錐曲線的方程為.故選：A3．（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學校考期末）設定點，，動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．不存在 D．橢圓或線段【答案】A【解析】因為，，所以，所以，所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓.故選：A.4．（2023·陜西西安·高二?？茧A段練習）求適合下列條件的橢圓標準方程：(1)長軸長為4，焦距為2；(2)經過兩點.【解析】（1）根據題意，橢圓的長軸長為4，焦距為2，即2a＝4，2c＝2，則，則；若橢圓的焦點在x軸上，則其標準方程為，若橢圓的焦點在y軸上，則其標準方程為1，故橢圓的標準方程為或（2）設所求的橢圓方程為．把兩點代入，得：，解得，∴橢圓方程為．題型二：雙曲線的標準方程與定義5．（2023·新疆喀什·高二?？计谀┰O雙曲線的焦點為，點為上一點，，則為（

）A．22 B．14 C．10 D．2【答案】B【解析】由題可知，又點為上一點，所以，又，所以或（舍去），故，故選：B.6．（2023·吉林通化·高二梅河口市第五中學?？计谀┤鐖D，小明在ABCD外的某處出發(fā)，在ABCD范圍內存在一條界線，已知小明出發(fā)點與界線一側某點的距離為a，若該界線另一側也始終存在一個點與小明出發(fā)點的距離a，根據你的判斷，你覺得該界線可能是（

）

A．橢圓的一部分 B．一段圓弧C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】C【解析】根據題意，假設小明在外的一定點，在界線一側定點，在界線另一側也始終存在一個點，使得，設與這條界線交于點，在中，可得，其中和為定點，由雙曲線的定義得，該界線可能是雙曲線一部分.故選：C.7．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學?？茧A段練習）求適合下列條件的雙曲線標準方程：（1）與雙曲線共焦點，經過點；（2）經過點和；【解析】（1）∵焦點相同，∴設所求雙曲線的標準方程為，∴，即.①∵雙曲線經過點，∴.②由①②得，，雙曲線的標準方程為.（2）設雙曲線的方程為∵點P，Q在雙曲線上，∴，解得.∴雙曲線的標準方程為.題型三：拋物線的標準方程與定義8．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線上且縱坐標為4，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，點P在拋物線上，等于點P到準線的距離，點P縱坐標為4，則.故選：C9．（2023·河北保定·高二校考階段練習）根據下列條件，求拋物線的標準方程：(1)準線方程為；(2)焦點在軸上且其到準線的距離為6；(3)對稱軸是軸，頂點到焦點的距離等于2；(4)對稱軸是軸，經過點．【解析】（1）因為拋物線的準線方程為，則，可得，所以拋物線的方程是．（2）因為焦點在軸上且其到準線的距離為6，可知，所以拋物線的方程是或．（3）因為對稱軸是軸，頂點到焦點的距離等于2，可知，即，所以拋物線的方程是或．（4）因為對稱軸是軸，設拋物線方程為，因為拋物線經過點，可得，解得，所以拋物線的方程是．10．（2023·高二課時練習）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線方程為；(2)頂點在原點，且過點；(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.【解析】（1）由題意頂點在原點，準線方程為，可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且，故拋物線標準方程為；（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，則設拋物線標準方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標準方程為或；（3）由于直線與x軸的交點為，由題意可知拋物線焦點為，則，故拋物線標準方程為；（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，則設拋物線方程為，焦點為，準線為，故，故拋物線標準方程為.題型四：焦點三角形面積、周長問題11．（2023·新疆昌吉·高二?？计谀┤酎c在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，，即，由橢圓的定義可知，，在中，由余弦定理得，可得，解得.所以的面積為.故選：C.12．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）已知點是橢圓上一點，橢圓的左、右焦點分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【解析】由橢圓，得，，.設，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.13．（2023·高二課時練習）已知的頂點在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則的周長是（

）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【解析】設橢圓的另外一個焦點為，如圖，則的周長為，故選：C.14．（2023·安徽滁州·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓，若的頂點，分別是橢圓的兩個焦點，在橢圓上，則的值為（

）A．25 B． C．12 D．24【答案】A【解析】由橢圓，可得，，所以，所以，．在中，由正弦定理可得．故選：A15．（2023·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，設是雙曲線的兩個焦點，點在上，且，則的面積為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【解析】因為點在上，是雙曲線的兩個焦點,由雙曲線的對稱性不妨設，則①，，因為，所以，由勾股定理得②，①②聯(lián)立可得，，所以，故選：B16．（2023·廣東江門·高二臺山市第一中學?？计谥校┰O雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，，求得，對由余弦定理可得，即，即，因為，解得，又，即，解得，，所以的周長為.故選：A17．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習）已知分別是雙曲線的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且，則的面積為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】因為，所以，由雙曲線的定義可得，所以，解得，故的面積為．故選：B.18．（2023·陜西西安·高二?？计谀┮阎獟佄锞€（）的焦點為F，點在拋物線C上，且，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】拋物線的準線方程為，因為點在拋物線上，且，所以，解得.故選：C.19．（2023·福建福州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，點在上，若到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設點，拋物線的準線方程為，因為到直線的距離為，則，可得，所以，.故選：C.題型五：焦半徑問題20．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上一點到軸的距離是3，則該點到拋物線焦點的距離是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】B【解析】由題意得：拋物線的準線方程為，由焦半徑公式得：該點到拋物線焦點的距離等于.故選：B21．（2023·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線（，）的上支與焦點為F的拋物線（）交于A，B兩點，若，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】根據題意，設，，A，B在拋物線上，則，，則，又，則，即，又，消y可得，則，所以，即，所以，又，所以.故選：A22．（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓上的動點到右焦點距離的最大值為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根據橢圓的性質，橢圓上的點到右焦點距離最大值為，即，又，所以，由，所以；故選：A23．（2023·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．36 B．25 C．20 D．16【答案】B【解析】由橢圓易知，根據橢圓定義可知，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：B.24．（2023·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谀┮阎请p曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【解析】由題知，，因為在雙曲線上，且，所以，點在雙曲線靠近的那支上，由雙曲線定義知，故；所以，故選：C25．（2023·安徽·高二合肥一中校聯(lián)考期末）如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【解析】解法一：設拋物線的方程，則，得，所以拋物線方程為，焦點，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點，即直線l過焦點F.設直線l的方程為：，設P、Q坐標分別為和，由聯(lián)立，得，∴，，∴，，，當且僅當，即，時取等號.解法二：，又，，當且僅當，即，時等號成立.故選：B.題型六：直線與圓錐曲線的位置關系26．（2023·青海西寧·高二?？计谀┮阎c，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．(1)求橢圓E的方程：(2)設過橢圓的左焦點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長．【解析】（1）由離心率，則，右焦點，直線的斜率，解得，，所以，橢圓的方程為；（2）由（1）可知橢圓的左焦點，則直線的方程為，由，解得或，不妨令、，所以.27．（2023·寧夏銀川·高二六盤山高級中學?？茧A段練習）已知雙曲線的實軸長為，一個焦點的坐標為-.（1）求雙曲線的標準方程;（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于，兩點，且，求直線的方程.【解析】（1）由得，又，則，故雙曲線的方程為．（2）設直線的方程為，代入雙曲線方程可得，設，，，，則，．因為，所以，解得，所以直線的方程為．28．（2023·福建·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線過點.(1)求拋物線的方程，并求其準線方程．(2)若平行于(為坐標原點)的直線與拋物線有公共點,且直線與的距離等于，求直線的方程.【解析】（1）將代入，得，所以.故所求的拋物線C的方程為，其準線方程為.

（2）設平行于的直線方程為由得因為直線與拋物線有公共點,所以，解得.另一方面，由直線與的距離等于2,可得，解得.因為，,所以直線方程為:題型七：線段和差最值問題29．（2023·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點，故，當且僅當共線時等號成立，故，當且僅當共線時等號成立，而，故，即的最小值為，故答案為：30．（2023·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）已知橢圓的右焦點F，P是橢圓E上的一個動點，點坐標是，則的最大值是.【答案】13【解析】由可知，，設橢圓左焦點，則，當且僅當，，共線時且當在的延長線上時等號成立．的最大值為，故答案為：.31．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓C：的左?右焦點分別為?，M為橢圓C上任意一點，N為圓E：上任意一點，則的取值范圍為.【答案】【解析】如圖，由為橢圓上任意一點，則，又為圓上任意一點，則（當且僅當M、N、E共線時取等號），∴，當且僅當M、N、E、共線時等號成立.∵，，則，∴的最小值為，當共線時，最大，如下圖所示：，最大值為，所以的取值范圍為，故答案為：32．（2023·浙江杭州·高二?？计谀┮阎c，點P是雙曲線左支上的動點，為其右焦點，N是圓的動點，則的最小值為．【答案】/【解析】因為雙曲線的焦點為,圓的圓心,恰好為雙曲線的左焦點,，(當且僅當三點共線時取等號)，(當且僅當,,三點共線時取等號),，的最小值為.故答案為：.33．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線方程為，焦距為8，左?右焦點分別為，，點A的坐標為，P為雙曲線右支上一動點，則的最小值為.【答案】【解析】如圖所示，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8，所以，，即，，所以雙曲線的方程為：，所以，，，由雙曲線定義得，所以，當三點共線時，最小為故.故答案為：.34．（2023·陜西延安·高二?？计谀┮阎c為拋物線上任意一點，點為圓上任意一點，點，則的最小值為.【答案】/2.5【解析】拋物線，即，其焦點為，拋物線的準線為，圓變形為，則圓心為拋物線的焦點，半徑為.點為拋物線上任意一點，當三點共線，取最小值時，最小值為.如圖，過點作于點，由拋物線定義可知，所以取最小值時，即取最小值，，當三點共線，當時，等號成立..則的最小值為.故答案為：.35．（2023·高二課時練習）若點的坐標為，F為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標應為．【答案】【解析】由以及拋物線可知，點在拋物線內部，如下圖所示：拋物線的焦點坐標，準線方程為；作垂直于準線，垂足為，由拋物線定義可得，則，當且僅當三點共線時，取最小值，此時三點縱坐標相同，所以點的縱坐標為，代入拋物線方程可得.故答案為：36．（2023·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知P為拋物線上任意一點，F為拋物線的焦點，為平面內一定點，則的最小值為．【答案】5【解析】由題意，拋物線的準線為，焦點坐標為，過點向準線作垂線，垂足為，則，當共線時，和最??；過點向準線作垂線，垂足為，則，所以最小值為5.故答案為：5.題型八：離心率問題37．（2023·云南曲靖·高二?？计谀c是雙曲線上的一個動點，點到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，若，則雙曲線的離心率為．【答案】2【解析】設，漸近線方程為，即，則，解得，，故.故答案為：38．（2023·江蘇揚州·高二江蘇省邗江中學?？计谀┮阎獧E圓與雙曲線有共同的焦點，，橢圓的一個短軸端點為B，直線與雙曲線的一條漸近線平行，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則的取值范圍是.【答案】【解析】設橢圓的長軸為，短軸為，雙曲線的實軸長為，虛軸長為，因為橢圓的一個短軸端點為B，直線與雙曲線的一條漸近線平行，根據平行直線斜率相等得，，平方得，，兩邊同時加1得，，即，所以，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立，因為，所以等號不能成立，所以.故答案為：.39．（2023·河北唐山·高二?？计谀E圓的兩頂點為，左焦點為F，在中，，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】依題意可知點，又直線AB斜率為：，直線BF的斜率為：，∵，∴，即.整理得，即，解得或，∵，∴．故答案為：．40．（2023·福建福州·高二福建省福州第八中學?？计谀┰O為雙曲線C：的左、右焦點，過左焦點的直線與在第一象限相交于一點P，若，且直線傾斜角的余弦值為，則的離心率為．【答案】【解析】設直線的傾斜角為α，則，由P在第一象限內，且，則，∴，由余弦定理可得，整理得，則，解得或（舍去）.故答案為：41．（2023·云南大理·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，點是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點，的內切圓的圓心為，若，則橢圓的離心率為.【答案】/0.2【解析】不妨設點在軸上方，設點的縱坐標為，點的縱坐標為，的內切圓的半徑為，橢圓焦距為,取線段的中點，設點的縱坐標為，因為，所以，∴，即，∴三點共線，且，∴，∵，∴，,，∴，∴橢圓的離心率，故答案為：.42．（2023·山西朔州·高二應縣一中?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，，過且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點，且點A在x軸下方.設，，的內切圓的半徑分別為，，.若橢圓C的離心率為，且，則直線l的斜率為.【答案】【解析】因為橢圓的離心率為，所以，，，則橢圓方程可以表示為，設直線為，，，，由，消去整理得，顯然，所以，，則，由，由，由，又，所以，所以，又，所以，又，，所以，所以，，所以，所以，則或（舍去），所以直線的斜率為.故答案為：43．（2023·上海黃浦·高二格致中學校考期末）設橢圓的右焦點為，點在橢圓外，、在橢圓上，且是線段的中點.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】如下圖所示：由題意可知，點為橢圓的左焦點，因為點、，易知點為線段的中點，又因為為的中點，所以，，取線段的中點，連接，則，所以，，所以，，故，設點、，則點，所以，，兩個等式作差可得，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為.故答案為：.題型九：中點弦問題44．（2023·內蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖1、2，已知圓方程為，點．M是圓上動點，線段的垂直平分線交直線于點．

(1)求點的軌跡方程；(2)記點的軌跡為曲線，過點是否存在一條直線，使得直線與曲線交于兩點，且是線段中點．【解析】（1）由中垂線性質知，所以所以點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線設此雙曲線方程為，則所以點的軌跡方程為．（2）設可得兩式相減得由題意，所以直線方程為，由，得∵．∴不存在這樣的直線．45．（2023·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，且線段的中點坐標為，求直線的斜率.【解析】（1）由題可知，，解得，故拋物線的方程為.（2）設，則，兩式相減得，即.因為線段的中點坐標為，所以，則，故直線的斜率為2.題型十：軌跡問題46．（2023·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，點到點、的距離之和為，則點的軌跡方程是.【答案】【解析】因為點到點、的距離之和為，即，所以點的軌跡為以點、為焦點的橢圓，且，，所以，所以橢圓方程為.故答案為：47．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習）一個動圓與圓外切，與圓內切，則這個動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】設動圓圓心為，半徑為，根據題意知：，，所以，所以圓心的軌跡為橢圓.其中，，故，因為焦點在軸上，故圓心軌跡方程為：.故答案為：.48．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學?？计谀﹦狱c在曲線上移動，則點和定點連線的中點的軌跡方程是.【答案】【解析】設，點P和定點連線的中點坐標為，則,又，∴，代入得，，∴，即點和定點連線的中點的軌跡方程是，故答案為∶．49．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，由于動圓E與圓，都外切，設動圓E的半徑為，則，所以，所以點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支，設方程為，則，所以E的軌跡方程為.故答案為：.50．（2023·上海嘉定·高二上海市育才中學?？计谀┮粍訄A與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【解析】圓，即，圓心為，，圓，即，圓心為，，設動圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，所以動圓的圓心為的軌跡是以為焦點的橢圓，可設方程為，則，，所以，，所以動圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.51．（2023·重慶·高考真題）已知，B是圓（F為圓心）上一動點.線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為.【答案】．【解析】由題意，在線段的垂直平分線上，則，所以，又，所以在以為焦點，長軸長為2的橢圓上，，，，則，所以軌跡方程為．故答案為：．52．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若點到直線的距離比它到點的距離小，則點的軌跡方程是．【答案】【解析】點到直線的距離比它到點的距離小，點到直線的距離與它到點的距離相等，點的軌跡是以為焦點、直線：為準線的拋物線，因此，設的軌跡方程為，，可得，解得，，動點的軌跡方程為．故答案為：．題型十一：定點定值問題53．（2023·湖南長沙·高二長郡中學校考期中）已知動圓P過點且與直線相切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若A，B是曲線C上的兩個點，且直線AB過的外心，其中O為坐標原點，求證:直線過定點.【解析】（1）設點，則=，平方并整理得，∴曲線C的方程為.（2）證明:由題意可知直線的斜率一定存在，否則不與曲線C有兩個交點.設的方程為，，聯(lián)立得，其中，則，，由，得，.∴.∵直線過的外心，∴.∴·，即，解得或（舍去）.當時，滿足.∴直線的方程為，∴直線過定點.54．（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【解析】（1）設，則由直線PA，PB的斜率之積是可得，化簡可得（2）設直線方程為：，則與橢圓方程聯(lián)立可得：，則，故或，設，則，.故.

.55．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）設橢圓C：的離心率為，過原點O斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓右焦點F到直線l的距離為．(1)求橢圓C的方程；(2)設P是橢圓上異于M，N外的一點，當直線PM，PN的斜率存在且不為零時，記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，試探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．【解析】（1）由題意直線l：，右焦點，F到直線l的距離為，解得，又，所以，則，∴橢圓C的方程為；（2）聯(lián)立，解得或，不妨設，設，因為點P是橢圓上異于M，N外的一點，所以，則，，所以為定值.56．（2023·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知平行四邊形ABCD與橢圓相切，且，，，.

(1)求橢圓的方程；(2)若點是橢圓上位于第一象限一動點，且點處的切線與AB，AD分別交于點E，F.證明：為定值.【解析】（1）因為，，，，所以直線方程為：，直線方程為：，即，由題意直線與橢圓相切，所以，即橢圓方程為，聯(lián)立消去y得，由題意，，解得，所以橢圓的方程為；（2）設點，則，由題意知，設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，依題意，直線與橢圓相切，則，即，再整理可得，因為點在橢圓上，所以，代入可得，則切線的方程為，令得，所以，由得，所以，所以，為定值，得證.題型十二：三角形與四邊形面積范圍與最值問題57．（2023·河南焦作·高二博愛縣第一中學?？计谀┮阎狾是平面直角坐標