第01講 5.1任意角和弧度制（解析版）

第01講5.1任意角和弧度制課程標準學習目標①理解并掌握正角、負角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯系，記住常見特殊角對應的弧度數。⑤掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式，能用公式進行簡單的弧長及面積運算。1.通過本節(jié)課的學習，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關的弧長公式和面積公式的運用；知識點01：任意角1、角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時針方向旋轉所形成的角.②負角:按順時針方向旋轉所形成的角.③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角.3、角的運算設，是任意兩個角，為角的相反角．(1)：把角的終邊旋轉角.（時,旋轉量為,按逆時針方向旋轉;時,旋轉量為,按順時針方向旋轉）(2)：【即學即練1】（2023秋·高一課時練習）若角α＝30°，把角α逆時針旋轉20°得到角β，則β＝.【答案】50°【詳解】因為由逆時針旋轉得到，所以.故答案為：知識點02：象限角1、定義：在直角坐標系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上,那么就認為這個角不屬于任何一個象限.2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識點03：軸線角1、定義：軸線角是指以原點為頂點，軸非負半軸為始邊，終邊落在坐標軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負半軸②終邊落在軸非負半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標軸知識點04：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【即學即練2】（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊重合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與角終邊重合的角為：，則當時，，故C正確.經檢驗，其他選項都不正確.故選：C.知識點05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對應表角度制弧制度【即學即練3】（2023·全國·高一課堂例題）利用單位圓，寫出，，，的圓心角的弧度數．【答案】；；；【詳解】在單位圓中，的圓心角的弧長是，那么它對應的弧度數是；的圓心角的弧長是，那么它對應的弧度數是；的圓心角對應的弧度數是；的圓心角對應的弧度數是．知識點06：扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數)，扇形面積公式：.【即學即練4】（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習）已知一扇形的圓心角為，半徑為9，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以該扇形的面積為．故選：A題型01任意角的概念【典例1】（多選）（2023春·高一課時練習）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學們在學習了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運行產生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（

）A．小趙同學說：“經過了5h，時針轉了．”B．小錢同學說：“經過了40min，分針轉了．”C．小孫同學說：“當時鐘顯示的時刻為12:35時，時針與分針所夾的鈍角為．”D．小李同學說：“時鐘的時針與分針一天之內會重合22次．”【答案】ACD【詳解】解：經過了5h，時針轉過的角度對應的弧度數為，故A正確．經過了40min，分針轉過的角度對應的弧度數為，故B錯誤．時鐘顯示的時刻為12:35，該時刻的時針與分針所夾的鈍角為，故C正確．分針比時針多走一圈便會重合一次，設分針走了tmin，第n次和時針重合，則，得，故，故D正確．故選：ACD【典例2】（2023·全國·高一專題練習）親愛的考生，我們數學考試完整的時間是2小時，則從考試開始到結束，鐘表的分針轉過的弧度數為.【答案】【詳解】因為鐘表的分針轉了兩圈，且是按順時針方向旋轉，所以鐘表的分針轉過的弧度數為.故答案為：.【變式1】（2023秋·高一課時練習）經過2個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【詳解】鐘表的時針和分針都是順時針旋轉，因此轉過的角度都是負的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉過的角度分別是－60°，－720°.故選：B【變式2】（2023秋·高一課時練習）時鐘走了3小時20分，則時針所轉過的角的度數為，分針轉過的角的度數為．【答案】【詳解】因為時針每小時轉，分針每小時轉，又因為時針、分針都按順時針方向旋轉，故時針轉過的角度數為，分針轉過的角度數為．故答案為：；題型02終邊相同的角【典例1】（2023春·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于B，因為，所以角與角的終邊相同，B正確；對于A，因為不是的整數倍，所以它們的終邊不同，A錯誤；對于C，因為不是的整數倍，所以它們的終邊不同，C錯誤；對于D，因為不是的整數倍，所以它們的終邊不同，D錯誤.故選：B.【典例2】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】與終邊相同的角可寫為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.【變式1】（2023春·山東威海·高一統(tǒng)考期末）下列角的終邊與角的終邊關于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，與角的終邊關于軸對稱的角為當時，，正確.經驗證，其他三項均不符合要求.故選：.【變式2】（2023春·高一課時練習）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．【答案】﹣960°．【詳解】試題分析：α與120°角終邊相同，可表示為α=k?360°+120°，k∈Z，結合角的范圍，可得結論．解：α與120°角終邊相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此時α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案為﹣960°．題型03終邊在某條直線上的角的集合【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若角的終邊在函數的圖象上，試寫出角的集合為．【答案】【詳解】解：函數的圖象是第二、四象限的平分線，在～范圍內，以第二象限射線為終邊的角為，以第四象限射線為終邊的角為，∴的集合為或．故答案為：．【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見解析【詳解】（1）在0°～360°范圍內，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為，所有與180°角終邊相同的角的集合為，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為．（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為．（3）結合（2）知所求角的集合為同理可得終邊在直線y＝x、y=-x上的角的集合為，．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：【變式2】（2023春·高一課時練習）在直角坐標系中寫出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負半軸上；(2)終邊在上．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在0°～360°范圍內，終邊在x軸的非負半軸上的角有一個，它是0°，所以終邊落在x軸的非負半軸上的角的集合為.（2）在0°～360°范圍內，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個，它是45°，所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為.題型04區(qū)域角【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1；圖2【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為．【典例2】（2023秋·高一課時練習）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【詳解】（1）在范圍內，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．【變式2】（2023秋·高一課時練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內，則角的取值范圍是．【答案】【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：【變式3】（2023春·河南駐馬店·高一?？茧A段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）；（2）.題型05確定角的終邊所在的象限【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【詳解】因為為第二象限角，則，所以，，①當為奇數時，設，則，即，此時為第三象限角；②當為偶數時，設，則，此時為第一象限角.綜上所述，為第一或第三象限角.故選：D.【典例2】（多選）（2023春·江西宜春·高一?？茧A段練習）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【詳解】是第三象限的角，則，，所以，；當，，在第一象限；當，，在第三象限；當，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】因為角第二象限角，所以，所以，當是偶數時，設，則，此時為第一象限角；當是奇數時，設，則，此時為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因為，所以，所以為第三象限角．故選：C．【變式1】（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學?？计谥校┮阎堑谝幌笙藿?，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【詳解】因為是第一象限角，所以，，所以，，當為偶數時，是第一象限角，當為奇數時，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.【變式2】（2023·高一課時練習）若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【詳解】因為為第三象限角,即,所以,,當為奇數時,是第四象限的角;當為偶數時,是第二象限的角.故選:D.【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【詳解】因為是第二象限角，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當時，，此時是第一象限角；當時，，此時是第二象限角；當時，，此時是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．題型06弧度制的概念【典例1】（2023春·湖北荊州·高一沙市中學校考階段練習）自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當大鏈輪逆時針轉過一周時，小鏈輪轉過的弧度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，當大鏈輪逆時針轉過一周時，小鏈輪逆時針轉過周，小鏈輪轉過的弧度是.故選B.【典例2】（2023春·高一課時練習）下列說法正確的是（）A．弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【詳解】對于A，根據弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．考點：弧度制的概念.【變式1】（2023·全國·高一專題練習）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為角度值和弧度制不能混用，故A、B錯誤；因為，故C正確；對于選項D：因為，則與終邊不相同，故D錯誤；故選：C.【變式2】（2023秋·高一課時練習）若，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由于，故角的終邊在第一象限，故選：A題型07角度與弧度的互化【典例1】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，與終邊相同的角為，，當時，，故B正確；對于C，令，解得，故C錯誤；對于D，令，解得，故D錯誤．故選：AB.【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）．【變式1】（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學校?？计谀┰Or為圓的半徑，弧長為的圓弧所對的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由弧長、圓心角、半徑的關系：，弧長為的圓弧所對的圓心角：.故選：A.【變式2】（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習）化為角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B題型08用弧度表示角或范圍【典例1】（2023·全國·高一專題練習）寫出一個與角終邊相同的正角：（用弧度數表示）.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【詳解】與角終邊相同的角：又題目要求正角，可取，化為弧度數為.答案不唯一故答案為：（答案不唯一，符合，即可）【典例2】（2023春·江西贛州·高一校聯考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【詳解】（1）因為,，所以.因為，所以是第四象限角.（2），所以與終邊相同的角可表示為,令，解得，所以.當時，；當時，.所以或.【變式1】（2023·全國·高一專題練習）將－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，，所以－1485°可化成．故選：D．【變式2】（2023秋·江西宜春·高二校考開學考試）已知角.(1)將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；(2)在區(qū)間上找出與終邊相同的角．【答案】(1)，第二象限角(2)和【詳解】（1），因為為第二象限，所以是第二象限角；（2）與終邊相同的角可以寫出，由，得當時，，當時，，所以在區(qū)間上與終邊相同的角為和．題型09弧長公式【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）若扇形的面積是，它的周長是，則扇形圓心角（正角）的弧度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設扇形的半徑為，圓心角為，由題意，得，由得，，代入，得，解得或（舍去）．故扇形圓心角的弧度數為．故選：A【典例2】（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學?？奸_學考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【答案】【詳解】因為，又扇形的圓心角為，半徑為，所以它的弧長為，故答案為：【變式1】（2023秋·湖南常德·高二常德市一中校考開學考試）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設扇形的弧長為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，則扇形的周長為.故選：C【變式2】（2023春·江西吉安·高一校聯考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是2，則扇形的周長為.【答案】【詳解】設扇形的半徑為，由題意可得，解得，所以扇形的周長為.故答案為：.題型10扇形面積公式【典例1】（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習）圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.【答案】1【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則，又，所以，，扇形的面積.故答案為：1.【典例2】（2023春·上海松江·高一統(tǒng)考期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統(tǒng)磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

【答案】【詳解】設圓心角為，則，所以，解得，所以，所以此扇環(huán)形磚雕的面積為.故答案為：【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習）已知扇形弧長為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】設扇形所在圓的半徑為，因為扇形弧長為，圓心角為，可得，可得，由扇形的面積公式，可得.故選：B.【變式2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現形式.某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為40cm，內圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為cm2

【答案】400π【詳解】解：根據題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為.故答案為：400π題型11扇形中的最值問題【典例1】（2023秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）已知一個扇形的周長為8，則當該扇形的面積取得最大值時，圓心角大小為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，由已知得，扇形面積為，當且僅當，即時等號成立，此時，則圓心角，故選：D.【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．【答案】(1)(2)扇形周長的最小值為，此時【詳解】（1）因為，，所以扇形的弧長；（2）由扇形面積，得，則扇形周長為，當且僅當，即時，取等號，此時，，所以，所以扇形周長的最小值為，此時.【典例3】（2023·高一課時練習）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長.（2）若扇形的周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）；（2），扇形的面積取得最大值25.【詳解】解：（1），.（2）由已知得，，所以，所以當時，取得最大值25，此時，.【變式1】（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學校考開學考試）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當為多少弧度時，該扇形面積最大并求出最大面積．【答案】(1)(2)當時，扇形的面積最大，最大面積是．【詳解】（1）設扇形的弧長為．，即，.（2）由題設條件知，,因此扇形的面積當時，有最大值，此時,當時，扇形的面積最大，最大面積是．【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設扇形的弧長為l．因為，即，所以．（2）由題設條件，知，則，所以扇形的面積．當時，S有最大值36，此時，所以當時，扇形的面積最大，最大面積是36．【變式1】（2023春·湖南衡陽·高一校考階段練習）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設扇形的弧長為l，弓形面積為S，則，，，.（2）設扇形弧長為l，則，即，∴扇形面積，∴當時，S有最大值，此時，.因此當時，這個扇形面積最大.A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學?？奸_學考試）下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【詳解】銳角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正確；選項B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差整數倍，故錯誤；選項C．小于的角不一定在第一象限，也可以為負角，故錯誤；選項D．根據任意角的定義，第二象限角可以為負角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象限角，故錯誤.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）把表示成的形式，則θ的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，故選：B．3．（2023春·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內的角有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【詳解】依題意，解不等式，得，而，因此，所以在內的角有3個.故選：B4．（2023秋·浙江·高二校聯考開學考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達C處，此時，即為正三角形，故.故選：A5．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，當時，，所以.故選：A6．（2023·全國·高二專題練習）某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得，解得，即扇環(huán)的圓心角的大小為.故選：D.7．（2023春·江西撫州·高一校聯考期中）扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久，最早關于扇面書畫的文獻記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫的外弧長為48，內弧長為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫的面積約為（

）（參考數據：）

A．990 B．495 C．380 D．300【答案】C【詳解】如圖，

設該扇面畫的外弧所在圓的半徑為R，弧長為，內弧所在圓的半徑為r，弧長為，則，，，，所以扇面畫的面積約為.故選：C.8．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學?？茧A段練習）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設，，由弧長公式可得，解得，，設扇形，扇形的面積分別為，，則該壁畫的扇面面積約為．故選：A二、多選題9．（2023春·遼寧鞍山·高一?？计谀┤艚堑慕K邊與角的終邊關于軸對稱，且，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因為角的終邊與角的終邊關于x軸對稱，所以，，又因為，所以當時，，當時，.故選：AD.10．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎獮榈谒南笙藿?，則可能為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【詳解】由題意知為第四象限角，則,則，當時，，為第四象限角，當時，，為第二象限角，當時，，為第三象限角，即可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，故選：三、填空題11．（2023春·上海奉賢·高一?？计谥校┮阎霃綖榈纳刃蔚膱A心角為，則扇形的面積為．【答案】【詳解】因為半徑扇形的圓心角為，則圓心角，所以弧長，面積.故答案為：.12．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學?？计谥校┤鐖D，半徑為1的圓M與直線l相切于點A，圓M沿著直線l滾動．當圓M滾動到圓時，圓與直線l相切于點B，點A運動到點，線段AB的長度為，則點到直線的距離為．【答案】/【詳解】根據條件可知圓周長為，∵，故可得圓旋轉了圓周，位置如圖：則，則是等腰直角三角形，則到的距離，故答案為：．四、解答題13．（2023·全國·高一課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內，終邊在直線上的角有兩個，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.14．（2023春·浙江寧波·高一?？茧A段練習）已知一扇形的圓心角為，周長為，面積為，弧長為,所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長；(2)若，，求扇形的半徑和圓心角．【答案】(1)(2)扇形半徑為4，圓心角為【詳解】（1）由已知得；（2）由已知得，解得，即扇形的半徑為4，圓心角為.B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習）古希臘地理學家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km【答案】C【詳解】設地心為，依題意可得，，，設地球的周長為，半徑為，則，所以km.故選：C2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學校考階段練習）數學中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B．