第41練分步加法和分步乘法計數(shù)原理-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習小題練習（新高考）（解析版）

專題14計數(shù)原理、隨機變量及其分布

第41練分步加法和分步乘法計數(shù)原理

1.一個電路中含有（1）（2）兩個零件，零件（1）含有A,B兩個元件，零件（2）含有C,D,E三個元

件，每個零件中有一個元件能正常工作則該零件就能正常工作，則該電路能正常工作的線路條數(shù)為（）

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【解析】由分步乘法計數(shù)原理易得，該電路能正常工作的線路條數(shù)為"3=6條.

故選：C.

2.甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請在國慶期間到A,B,C三個路口協(xié)助交警值勤，他們申請值勤路口的意

向如下表:

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁

這4名志愿者的申請被批準，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A,8,C三個路口都要有志愿者值勤,

則不同的安排方法數(shù)有（）

A.14種B.11種C.8種D.5種

【答案】B

【解析】解：由題意得：

以C路口為分類標準：C路口執(zhí)勤分得人口數(shù)情況有2種，兩個人或一個人

C路口執(zhí)勤分得人口數(shù)為2個，內(nèi)、丁在C路口，那么甲、乙只能在AB路口執(zhí)勤:

C路口執(zhí)勤分得人口數(shù)為1個，丙或丁在C路口，具體情況如下：

丙在C路口：

A（T）B（甲乙）C（丙）；

A（甲丁）B（乙）C（丙）：

A（乙?。〣（甲）C（丙）；

丁在C路口：

A（甲乙）B（丙）C（?。?；

A（丙）B（甲乙）C（?。?/p>

A（甲丙）B（乙）C（?。?/p>

A（乙）B（甲丙）C（T）;

A（乙丙）B（甲）C（T）;

A（甲）B（乙丙）C（T）;.

所以一共有2+3+6=11種選法.

故選：B.

3.甲、乙、丙、丁4名學(xué)生假期積極參加體育鍛煉，每人在游泳、籃球、競走這三個鍛煉項目中選擇一項進行

鍛煉，則甲不選游泳、乙不選籃球的概率為（）

1475

A.-B.—C.—D.—

39129

【答案】B

【解析】甲乙丙丁依次任選一項進行鍛煉的不同方法種數(shù)為3×3×3×3種，

其中甲不選游泳，甲有2種選法，乙不選籃球，乙有2種選法，丙丁還是各有3種選法，

共有2x2x3x3種不同的選法，.?.甲不選游泳、乙不選籃球的概率為：；；；=X.

3×3×3×39

故選：B.

4.設(shè)集合A={-l,0,1},集合8={0,1,2,3},定義A*B={（x,y）∣xeAcB,）,eAu8},則A*B中元素個數(shù)是（）

A.7B.10C.25D.52

【答案】B

【解析】由題意得,AB={0,l},AUB={-1,0,1,2,3},

則X有2種情況，y有5種情況，則由乘法原理可得A*B的元素個數(shù)有2x5=10個，

故選：B.

5.為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)

發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了6名教師支援新疆4個不同的地區(qū)，要求A,B兩個地區(qū)各安排一人，剩下兩個

地區(qū)各安排兩人，則不同的分派方法有（）

A.90種B.180種C.270種D.360種

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分4步進行分析：

①在6人中選出1人，安排在A地區(qū)，有6種選法；

②在剩下5人中選出1人，安排在B地區(qū)，有5種選法；

③在剩下的4人中選出2人，安排在C地區(qū)，有C”6（種）選法；

④最后2人安排在D地區(qū)，有1種選法；

則有6x5x6x1=180（種）安排方法.

故選：B

6.“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,

某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則《詩經(jīng)》、《春秋》分開排的情

況有種，

【答案】72

【解析】先將《周易》、《尚書》、《禮記》進行排列，共有A；種排法

再從產(chǎn)生的4個空位中選2個安排《詩經(jīng)》、《春秋》，共有A：種排法

所以滿足條件的情形共有A；A：=72種.

故答案為：72

7.在3x3的方格中放入1個白球和完全相同的2個黑球，每一行、每一列各只有一個球，每球占一格，則

不同的放法種數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)字作答）

【答案】18

【解析】先在3x3=9個格選一個放白球，方法數(shù)有9種，

再放2個黑球，方法數(shù)有2種，

所以不同的放法數(shù)有9x2=18種.

故答案為：18

8.2022北京冬奧會開幕式在北京鳥巢舉行，小明一家五口人觀看開幕式表演，他們一家有一排10個座位

可供選擇，按防疫規(guī)定，每兩人之間必須至少有一個空位.現(xiàn)要求爺爺與奶奶之間有且只有一個空位，小明

只能在爸爸媽媽中間且與他倆各間隔一個空位，則不同的就座方案有種.

【答案】24

【解析】根據(jù)題意，進行以下分類：

爺爺或奶奶，排首位或排末位，這時候爸爸或媽媽只能排第五個或第六個位置，此時，就座方案為：

2x2xAbA；=16種；

爺爺或奶奶，排第二位或排倒數(shù)第二位，這時候爸爸或媽媽只能排第六個位置，此時，就座方案為：；

2xA'A；=8種；

故不同的就座方案共有24利L

故答案為：24.

9.勤力同心，共克時艱!近日，某地因出現(xiàn)新冠疫情被劃分為“封控區(qū)”“管控區(qū)''和"防范區(qū)”，現(xiàn)有6位專家

到這三個“區(qū)”進行一天的疫情指導(dǎo)工作，每個“區(qū)”半天安排一位專家，每位專家只安排半天的工作，其中專

家甲只能安排在上午，專家乙不安排在“防范區(qū)”，則不同的安排方案一共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】240

【解析】甲安排在“防范區(qū)'’上午時，則專家乙有4種可能，其余4位專家有A：種可能，4xA：=96,

中不安排在“防范區(qū)'’上午時，甲有2種可能，乙有3種可能，其余4位專家有種可能，2x3xAj=144,

所以共有96+144=240種安排方案.

故答案為：240

10.為提升市民的藝術(shù)修養(yǎng)，豐富精神文化生活，市圖書館開設(shè)了工藝、繪畫、雕塑等公益講座，講座海

報如圖所示.某人計劃用三天時間參加三場不同類型講座，則共有種選擇方案.（用數(shù)字作答）

【答案】8

【解析】由講座海報可知，先選擇參加繪畫講座的方案有2種，再選擇一天參加雕塑講座，有2種方案，

最后再在剩下的2天里選擇一天參見工藝講座，有2種，所以共有2x2x2=8種選擇方案.

故答案為：8.

1.某航母編隊將進行一次編隊配置科學(xué)演練，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，2艘驅(qū)逐艦和2艘護衛(wèi)艦

分列左右，每側(cè)2艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為（）

A.16B.32C.36D.64

【答案】B

【解析】2艘攻擊型核潛艇放在中間，共有2種順序，

這2艘攻擊型核潛艇前方是1艘護衛(wèi)艦和1艘驅(qū)逐艦，剩余的1艘護衛(wèi)艦和1艘驅(qū)逐艦列在攻擊型核潛艇的后

方，

由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的配方案的方法數(shù)為2x2~2x2=32.

故選：B.

2.重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不

通''它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同

一類格子形狀相同）：

“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；

“四角格”屬文火，火力溫和，適合煙菜，讓食物軟糯入味.現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放

入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同

時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（）

A.108B.36C.9D.6

【答案】C

【解析】由題可知中間格只有一種放法；

十字格有四個位置，3種適合放入，所以有一種放兩個位置，共有3種放法；

四角格有四個位置，2種適合放入，可分為一種放三個位置，另一種放一個位置，有兩種放法，或每種都放

兩個位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；

所以不同放法共有1X3X3=9種.

故選：C.

3.數(shù)432的不同正因數(shù)個數(shù)為（）

A.12B.I6C.20D.24

【答案】C

【解析】解：因為432=2X2X2X2X3X3X3=2"X33,

所求數(shù)432的不同正因數(shù)的個數(shù)可以看做從A、B兩盒子中取數(shù)，

其中A盒子裝有4個2,B盒子裝有3個3,將取出的數(shù)相乘即可得到432的一個因數(shù)（如一個數(shù)也不取則看

做1）;

則從A盒子中取數(shù)一共有5種取法，8盒子中取數(shù)一共有4種取法，

所以一共有5x4=20取法，故432有20個的不同正因數(shù)；

故選：C

4.“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀.比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭

山鎖霧，天連水尾水連天.由此定義“回文數(shù)”，〃為自然數(shù)，且〃的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)〃'與〃相

等,這樣的〃稱為“回文數(shù)”，如：1221,2413142.則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有

（）

A.648個B.720個C.810個D.891個

【答案】D

【解析】根據(jù)“回文數(shù)''的特點，只需確定前3位即可，最高位即萬位有9種排法，千位和百位各有10種排

法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有9x10x10=900種排法，其中各位數(shù)字相同的共有9種，則所有5位數(shù)中

是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有900-9=891種.

故選：D.

5.如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省

地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（）

A.480B.600C.720D.840

【答案】C

【解析】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：

若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有3種方法,

最后涂湖南有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案5x4x1x3x3=180種，

若安徽與陜西不同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有3種方法，

涂江西、湖南也各有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案5χ4χ3χ3χ3=54O種方法，

所以，山分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案共有180+540=720種.

故選：C

6.從2021年起重慶市新高考，打破文理分科實行“3+1+2”模式，“3”代表語、數(shù)、外三科，每人必選這3科,

“1”代表學(xué)生從物理和歷史兩科中任選1科，“2”代表學(xué)生從化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選2科，每個學(xué)

生的選科方式共有種.

【答案】12

【解析】從物理和歷史兩科中任選1科，共有C；種選法

從化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選2科，共有C：種選法

，每個學(xué)生的選科方式共有=2x6=12種

故答案為：12

7.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為一.

【答案】72

【解析】要組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位只能排L3,5中的一個數(shù)，共有3種排法，然后還剩4個數(shù),

剩余的4個數(shù)可以在十位到萬位4個位置上全排列，共有A：=24種排法，

由分步乘法計數(shù)原理得，由1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有3x24=72個.故答案為：72.

8.2022年疫情期間，某市中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支授上海六個不同的方艙醫(yī)

院，每個方艙醫(yī)院分配一人，第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為A,第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大

者為巴，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為乙，則滿足6<《<A的分配方案的概率為.

【答案】?

【解析】解：由題意得年齡最大的醫(yī)務(wù)人員必在第二批，安排年齡最大的醫(yī)務(wù)人員有C；種方法，

第三批中剩下的兩個方艙醫(yī)院安排有A；種分配方式，

在留卜的三位醫(yī)務(wù)人員中，把這個年齡最大的醫(yī)務(wù)人員安排在第二批，有C；種分配方式，

剩下的兩位醫(yī)務(wù)人員有A；種分配方式，

由分步乘法計數(shù)原理知：所有分配方式數(shù)為C；A；C；A；種：

又沒有任何要求的分配方式為A：種，

n2401

所以滿足4<2<6的分配方案的概率為P=y=§,

故答案為：?

9.2021年12月，南昌最美地鐵4號線開通運營，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去觀洲I、人民公

園、新洪城大市場三個地方游覽，每人只能去一個地方，人民公園一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)

為.

【答案】65

【解析】由題可知沒有限制時，每人有3種選擇，則4人共有T種，

若沒人去人民公園，則每人有2種選擇，則4人共有2」種，

故人民公園一定要有人去的不同游覽方案有34-2』=81-16=65種.

故答案為：65.

10.安排高二年級一、二兩個班一天的數(shù)、語、外、物、體，一班的化學(xué)及二班的政治各六節(jié)課.要求體育課兩

個班一起上，但不能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的化學(xué)和二班的政治要安排在同一節(jié)；其他語、數(shù)、

外、物四科由同一任課教師分班上課，則不同的排課表方法共有種.

【答案】5400

【解析】先安排體育課（不能在第一節(jié)）有C；種，化學(xué)和政治在同一節(jié)有C；種，

剩下4門主課，不能同時上一種課，先安排一班有A：種，

不妨設(shè)第1，2,3,4節(jié)的順序，

二班第一節(jié)，一班有3種選項第2,3,4節(jié)，

對應(yīng)一班選出的某節(jié)課，比如第2節(jié)，

在一班上第2節(jié)時，有第1,3節(jié)，第1,4節(jié)，第3,4節(jié)3種，

故不同的排課表方法共有Cs×A：X3X3=5400種，

故答案為：5400

1.十八世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸連接起來.有

人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完這七座橋，最后回到出發(fā)點.這就是著

名的哥尼斯堡七橋問題（下簡稱七橋問題），很多人嘗試解決這個問題，但絞盡腦汁，就是無法找到答案.直

到1736年，29歲的歐拉以拉丁文正式發(fā)表了論文《關(guān)于位置幾何問題的解法》，文中詳細討論了七橋問題

并作了一些推廣，該論文被認為是圖論、拓撲學(xué)和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)端.圖1是歐拉當年解決七橋問題的手繪

圖，圖2是該問題相應(yīng)的示意圖，其中A,B,C,。四個點代表陸地，連接這些點的邊就是橋.歐拉將

七橋問題轉(zhuǎn)化成一個幾何問題——筆畫問題.一筆畫問題中，要求不遺漏地依次走完每一條邊，允許重復(fù)

走過某些結(jié)點，可以不回到出發(fā)點，但不允許重復(fù)走過任何一條邊.在圖3中，根據(jù)以上一筆畫問題的規(guī)

則，不同的走法總數(shù)為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【解析】

圖中，A和C是偶點，B和。是奇點，根據(jù)歐拉找到的“一筆畫”規(guī)律：凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都

為偶點）一定可以一筆畫成.畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點為終點.

以B為起點時，有BADCBD、BADBCD.BDABCD.BDCBAD、BCDABD、BC￡>54。六種畫法

以八為起點時，所有路線與以上情況相反即可，也有六種，故共有12種畫法

故選：D

2.第24屆冬奧會于2022年2月4日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.此屆冬奧會的項

目中有兩大項是滑雪和滑冰，其中滑雪有6個分項，分別是高山滑雪、自由式滑雪、單板滑雪、跳臺滑雪、

越野滑雪和北歐兩項，滑冰有3個分項，分別是短道速滑、速度滑冰和花樣滑冰.甲和乙相約去觀看比賽,

他們約定每人觀看兩個分項，而且這兩個分項要屬于不同大項.若要求他們觀看的分項最多只有一個相同,

則不同的方案種數(shù)是（）

A.324B.306C.243D.162

【答案】B

【解析】由題意得：總的觀看方案為CGf=（6x3）2=324,

兩個分項都相同的觀看分案為=6×3=I8,

所以觀看的分項最多只有一個相同，則不同的方案種數(shù)是324-18=306,

故選：B

3.某學(xué)校每天安排四項課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加.學(xué)校規(guī)定：（1）每位學(xué)生每天最多選擇1項；（2）

每位學(xué)生每項一周最多選擇1次.學(xué)校提供的安排表如下：

時間周一周二周三周四周五

課后音樂、閱讀、體育、口語、閱讀、編程、手工、閱讀、科技、口語、閱讀、體育、音樂、口語、美術(shù)、

服務(wù)編程美術(shù)體育編程科技

若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程3項，則不同的選擇方案共有（）

A.6種B.7種C.A種D.A種

【答案】D

【解析】周一閱讀，周三體育，周四或周二編程；

周一閱讀，周四體育，周二編程；周二閱讀，周一體育，周四編程；

周二閱讀，周三體育，周一編程；周二閱讀，周三體育，周四編程；

周二閱讀，周四體育，周一編程；周三閱讀，周一體育，周二或周四編程；

周三閱讀，周四體育，周一或周二編程；周四閱讀，周一體育，周二編程：

周四閱讀，周三體育，周一或周二編程.共14種.

故選：D.

4.（多選題）如圖所示，各小矩形都全等，各條線段均表示道路.某銷售公司王經(jīng)理從單位A處出發(fā)到達8

處和C處兩個市場調(diào)查了解銷售情況，行走順序可以是A→3→C,也可以是A→C→8,王經(jīng)理選擇了

最近路徑進行兩個市場的調(diào)查工作.則王經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有（）

A.31條B.36條C.210條D.315條

【答案】CD

【解析】設(shè)小矩形的長為。，寬為方，則從A→8的最近路線為為+46,從A→C的最近路線為3a+2?,

若α<2?,則選擇行走順序為A→C→B,先從A→C,最近路線需要走3個長，2個寬，則不同路線有

C；C；=10種，從CfB,最近路線需要走5個長，2個寬，則不同路線有C；C；=21種，所以從A→C→8

的不同路線有10x21=210種：

若a>2b,則選擇行走順序為AfBfC,先從A→B,最近路線需要走2個長，4個寬，則不同路線有

C；C：=15種，從B→C,最近路線需要走5個長，2個寬，則不同路線有C；C；=21種，所以從AfJBfC

的不同路線有15x21=315種.

綜上，王經(jīng)理可以選擇的最近不同路線共有210條或315條.

故選：CD.

5.學(xué)校分配甲、乙、丙三人到7個不同的社區(qū)參加社會實踐活動，每個社區(qū)最多分配2人，則有

種不同的分配方案（用數(shù)字作答）.

【答案】336

【解析】解：分兩種情況討論，

當這七個社區(qū)恰有三個社區(qū)各有一人參與社會實踐活動，則相應(yīng)的分配方案有&=210種；

當這七個社區(qū)的某個社區(qū)有兩個人參與社會實踐，另一個社區(qū)有一個人參與社會實踐，則相應(yīng)的分配方案

有C；雷=126種.

所以根據(jù)分類加法原理得，共有210+126=336種.

故答案為：336

6.假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實踐活動，根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙兩個文明實踐站，

每個實踐站至少去1名同學(xué)，每名同學(xué)只去1個實踐站，則不同的安排方法共有種.

【答案】14

【解析】根據(jù)題意，將4人安排到2個文明實踐站，每人有2種安排方法，則有2x2x2x2=16種安排方法，

其中都安排在同一個文明實踐站的方法有2種，則有16-2=14種不同的安排方法.

故答案為：14.

7.設(shè)項數(shù)為4的數(shù)列應(yīng)』滿足：α,e{T0,l},他{1,2,3,4}且對任意1〃<{4,Z∈N,∕∈N,都有

∣?+?+1++4∣W1,則這樣的數(shù)列口}共有個.

【答案】31

【解析】當k=l,/=4時，k+%+/+。/。，

所以｛q,%,%4｝UJ能情況如F：

1、｛一個1,三個0)：｛1,0,0,0｝、｛0,l,0,0｝'｛0,0,l,0｝?｛0,0,0,1｝,4個;

2、｛兩個1,一個T和0｝：｛1,1,-1,0｝、｛1,1,0,-1｝、｛1,0,1,-1｝、｛1,-1,1,0｝、｛1,0,-1,1｝,｛1,-1,0,1｝、｛0,-1,1,1),

｛-1,0,1,1｝.｛-1,1,0,1｝,｛0,1,-1,1),｛0,l,1,-1｝?｛-1,1,1,0),12個;

3、｛一個T,三個0｝：｛-1,0,0,0｝、｛0,T0,0｝、｛0,0,-1,0｝、｛0,0,0,7｝,4個;

4、｛兩個T,一個1和0｝：｛-1,-1,1,0｝,｛-1,-1,0,1｝,｛-1,0,-1,1｝、｛-UT0｝、｛T,0,l,T、｛-1,1,0,-1｝、

｛0,l-1,-1｝,｛l,0,-1,-1｝,｛1,-1,0,-l｝,｛0,T,l,T｝?｛0,-1,-1,1｝、｛1,-1,τ,0｝,12個；

5、｛四個0｝：｛0,0,0,0｝,1個；

6、｛兩個-1,兩個1｝：｛-l,-LI,1｝、｛-1,1,-1,1｝、｛-1,1,1,-1｝、｛1,-1,-1,1｝、｛1,-1,1,-1｝,｛1,1,-1,-1｝,6>b;

7、｛兩個0,一個I和-1｝：｛-1,1,0,。｝、｛-l,0,l,0)U-l,0,0,1),｛0,-l,l,0｝?｛0,T,0J?｛0,0,-l,l｝'｛1,-1,o,oκ

｛1,0,-1,0｝,｛1,0,0-1｝,｛0,1,-1,0｝,｛0,1