（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1．直線與平面垂直圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意一條直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l?β,l⊥a))?l⊥α【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(√)(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(×)(5)a⊥α，a?β?α⊥β.(√)(6)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．(×)1．(教材改編)下列條件中，能判定直線l⊥平面α的是____________．①l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直；②l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直；③l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直；④l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直．答案④解析由直線與平面垂直的定義，可知④正確．2．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的____________條件．答案充分不必要解析若α⊥β，因?yàn)棣痢搔拢絤，b?β，b⊥m，所以根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時(shí)，因?yàn)閎⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空間一點(diǎn)，且P到平面α、β的距離分別是1、2，則點(diǎn)P到l的距離為________．答案eq\r(5)解析如圖，∵PO?平面PAB，∴l(xiāng)⊥PO.∴PO就是P到直線l的距離，∵α⊥β，∴四邊形PAOB為矩形，PO＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).4．(教材改編)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連結(jié)PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________________________________________________________________________對(duì)．答案7解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對(duì)．5．(教材改編)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如圖1，連結(jié)OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長AO、BO、CO分別交對(duì)邊于H、D、G點(diǎn)，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高．同理可證BD，AH為△ABC底邊上的高，即O為△ABC的垂心．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(2014·遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面BCG；(2)求三棱錐D－BCG的體積．(1)證明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G為AD的中點(diǎn)，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.又因E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)，所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC內(nèi)，作AO⊥BC，交CB的延長線于O，如圖由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.又G為AD中點(diǎn)，因此G到平面BDC的距離h是AO長度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝eq\r(3)，所以VD－BCG＝VG－BCD＝eq\f(1,3)S△DBC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)BD·BC·sin120°·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2).思維升華(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．(3)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直．如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求證：PA⊥CD.證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由eq\r(3)AC＝BC得，∠ABC＝30°，設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2eq\r(3)，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD.求證：(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.證明(1)∵AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°，又∠DCB＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，∴BP⊥平面PDC.又BP?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDC.思維升華面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧(1)兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，此性質(zhì)在不是很復(fù)雜的題目中，要對(duì)此進(jìn)行證明．(2015·重慶)如圖，三棱錐PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝eq\f(π,2)，點(diǎn)D，E在線段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF∥BC.(1)證明：AB⊥平面PFE；(2)若四棱錐PDFBC的體積為7，求線段BC的長．(1)證明由DE＝EC，PD＝PC知，E為等腰△PDC中DC邊的中點(diǎn)，故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE?平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，從而PE⊥AB.因∠ABC＝eq\f(π,2)，EF∥BC，故AB⊥EF.又PE∩EF＝E，所以AB⊥平面PFE.(2)解設(shè)BC＝x，則在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(36－x2)，從而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)xeq\r(36－x2).由EF∥BC知，eq\f(AF,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,3)，得△AFE∽△ABC，故eq\f(S△AFE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，即S△AFE＝eq\f(4,9)S△ABC.由AD＝eq\f(1,2)AE，S△AFD＝eq\f(1,2)S△AFE＝eq\f(1,2)·eq\f(4,9)S△ABC＝eq\f(2,9)S△ABC＝eq\f(1,9)xeq\r(36－x2).從而四邊形DFBC的面積為SDFBC＝S△ABC－S△AFD＝eq\f(1,2)xeq\r(36－x2)－eq\f(1,9)xeq\r(36－x2)＝eq\f(7,18)xeq\r(36－x2).由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE為四棱錐PDFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝eq\r(PC2－EC2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).體積VPDFBC＝eq\f(1,3)·SDFBC·PE＝eq\f(1,3)·eq\f(7,18)xeq\r(36－x2)·2eq\r(3)＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x＞0，可得x＝3或x＝3eq\r(3).所以，BC＝3或BC＝3eq\r(3).題型三垂直關(guān)系中的探索性問題例3(2015·合肥質(zhì)量檢測(cè))如圖，在三棱臺(tái)ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．(1)證明在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)解線段BE上存在點(diǎn)G，且BG＝eq\f(1,3)BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：取CE的中點(diǎn)O，連結(jié)FO并延長交BE于點(diǎn)G，連結(jié)GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱臺(tái)ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(GF⊥CE,GF⊥DE,CE∩DE＝E))?GF⊥平面CDE.又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.此時(shí)，如平面圖所示，延長FO與CB交于點(diǎn)H，∵O為CE的中點(diǎn)，EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識(shí)易證△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝eq\f(1,2)EF.由△HGB∽△FGE可知eq\f(BG,GE)＝eq\f(1,2)，即BG＝eq\f(1,3)BE.思維升華同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)三等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明．如圖(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2)所示．(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．(1)證明因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)證明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如圖所示，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC.又因?yàn)镈E∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1C⊥DP，因?yàn)镈E∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP，從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ.17．立體幾何證明問題中的轉(zhuǎn)化思想典例(14分)如圖所示，M，N，K分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中點(diǎn)．求證：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思維點(diǎn)撥(1)要證線面平行，需證線線平行．(2)要證面面垂直，需證線面垂直，要證線面垂直，需證線線垂直．規(guī)范解答證明(1)如圖所示，連結(jié)NK.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∵四邊形AA1D1D，DD1C1C都為正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分別為CD，C1D1的中點(diǎn)，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四邊形DD1KN為平行四邊形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四邊形AA1KN為平行四邊形．∴AN∥A1K.[4分]∵A1K?平面A1MK，AN?平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如圖所示，連結(jié)BC1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M(jìn)，K分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四邊形BC1KM為平行四邊形．∴MK∥BC1.[8分]在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵M(jìn)K∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四邊形BB1C1C為正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.[12分]∵A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵M(jìn)K?平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[14分]溫馨提醒(1)線面平行、垂直關(guān)系的證明問題的指導(dǎo)思想是線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，交替使用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理；(2)線線關(guān)系是線面關(guān)系、面面關(guān)系的基礎(chǔ)．證明過程中要注意利用平面幾何中的結(jié)論，如證明平行時(shí)常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時(shí)常用的等腰三角形的中線等；(3)證明過程一定要嚴(yán)謹(jǐn)，使用定理時(shí)要對(duì)照條件、步驟書寫要規(guī)范．[方法與技巧]1．三類論證(1)證明線線垂直的方法①定義：兩條直線所成的角為90°；②平面幾何中證明線線垂直的方法；③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；④線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b.(2)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線都垂直?a⊥α；②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m、n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；④面面平行的性質(zhì)：α∥β，a⊥α?a⊥β；⑤面面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)證明面面垂直的方法①利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.2．轉(zhuǎn)化思想：垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直eq\o(,\s\up7(判定),\s\do5(性質(zhì)))線面垂直eq\o(,\s\up7(判定),\s\do5(性質(zhì)))面面垂判定性質(zhì)直在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．[失誤與防范]1．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．2．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù)．我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可．A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，AD/∈l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是________．①AB∥m;②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.答案④解析如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有④不一定成立．2．(2014·浙江改編)設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是________．①若m⊥n，n∥α，則m⊥α；②若m∥β，β⊥α，則m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α.答案③解析①中，由m⊥n,n∥α，可得m?α或m∥α或m與α相交，錯(cuò)誤；②中，由m∥β，β⊥α，可得m?α或m∥α或m與α相交，錯(cuò)誤；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，則m⊥α，正確；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m與α相交或m?α或m∥α，錯(cuò)誤．3．(2015·天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的是________．答案①②③解析由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯(cuò)．4．(2015·福建改編)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的____________條件．答案必要而不充分解析m垂直于平面α，當(dāng)l?α?xí)r，也滿足l⊥m，但直線l與平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l(wèi)⊥m，必要性成立．5．(2015·鎮(zhèn)江模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由定理可知，BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.6.如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．答案eq\f(1,2)解析設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h.由面積相等得2×eq\r(2)＝heq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\f(\r(2),2)2－\f(\r(3),3)2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\f(\r(2),2)2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).7．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是點(diǎn)A在PB，PC上的射影，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案①②③解析由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確．8．點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：①三棱錐A－D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是________．答案①②④解析由題意可得直線BC1平行于直線AD1，并且直線AD1?平面AD1C，直線BC1?平面AD1C，所以直線BC1∥平面AD1C.所以點(diǎn)P到平面AD1C的距離不變，VA－D1PC＝VP－AD1C，所以體積不變．故①正確；如圖，連結(jié)A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因?yàn)锳1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正確；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，△DBC1是等邊三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正確；連結(jié)DB1，因?yàn)橹本€AC⊥平面DB1，DB1?平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因?yàn)镈B1?平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正確．綜上，正確的序號(hào)為①②④.9．(2014·湖北)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q，M，N分別是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中點(diǎn)．求證：(1)直線BC1∥平面EFPQ；(2)直線AC1⊥平面PQMN.證明(1)如圖，連結(jié)AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AD1∥BC1，因?yàn)镕，P分別是AD，DD1的中點(diǎn)，所以FP∥AD1，從而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直線BC1∥平面EFPQ.(2)連結(jié)AC，BD，則AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1?平面ACC1，所以BD⊥AC1.因?yàn)镸，N分別是A1B1，A1D1的中點(diǎn)，所以MN∥BD，從而MN⊥AC1.同理可證PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直線AC1⊥平面PQMN.10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE∥AD.又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形．∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD，又E、F分別為CD、CP的中點(diǎn)，∴EF∥PD，故CD⊥EF.由(2)知BE∥平面PAD，∴BE⊥CD，又EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.又∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)11．如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在________________________________________________________________________．①直線AB上；②直線BC上；③直線AC上；④△ABC內(nèi)部．答案①解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上．12．設(shè)α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(用代號(hào)表示)．答案①③④?②(或②③④?①)解析逐一判斷．若①②③成立，則m與α的位置關(guān)系不確定，故①②③?④錯(cuò)誤；同理①②④?③也錯(cuò)誤；①③④?②與②③④?①均正確．13．已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，如果把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有________個(gè)．答案2解析若α，β?lián)Q為直線a，b，則命題化為“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若α，γ換為直線a，b，則命題化為“a∥β，且a⊥b?b⊥β”