《2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式《2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)（第1課時(shí)）【教材分析】本節(jié)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》（人民教育出版社A版教材）高中數(shù)學(xué)必修5第三章第一節(jié)不等關(guān)系與不等式第2課時(shí)的內(nèi)容，主要講解不等關(guān)系及不等式的性質(zhì)及其運(yùn)用；現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，數(shù)學(xué)中，我們用不等式來表示不等關(guān)系。不等式的性質(zhì)是解決不等式問題的基本依據(jù)，凡是不等式的變形、運(yùn)算都要嚴(yán)格按照不等式的性質(zhì)進(jìn)行。因此，不等式的性質(zhì)是學(xué)習(xí)本章后續(xù)內(nèi)容和選修4-5不等式選講的重要保障；本節(jié)通過類比等式的性質(zhì)，猜想并證明不等式的性質(zhì)，并用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式，是體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化，類比等數(shù)學(xué)思想，和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯推理能力的良好素材。在高中數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數(shù)學(xué)幾乎所有章節(jié)都有聯(lián)系，尤其與函數(shù)、方程等聯(lián)系緊密，因此，不等式才成為高考中經(jīng)久不衰的熱點(diǎn)、重點(diǎn)，有時(shí)也是難點(diǎn)．【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過具體情景，讓學(xué)生感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在的不等關(guān)系，理解和掌握列不等式的步驟；B.能靈活用作差法比較兩個(gè)數(shù)與式的大小，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；C.培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力；1.數(shù)學(xué)抽象：在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，并表示出不等關(guān)系；2.邏輯推理：作差法的原理；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：用作差法比較大?。?.直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；5.數(shù)學(xué)建模：能夠在實(shí)際問題中構(gòu)建不等關(guān)系，解決問題；【教學(xué)重難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)：將不等關(guān)系用不等式表示出來，用作差法比較兩個(gè)式子大??；2.教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際情景中建立不等式(組)，準(zhǔn)確用作差法比較大小；【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、情景引入，溫故知新（一）、情境導(dǎo)學(xué)1.購買火車票有一項(xiàng)規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過1.1m(含1.1m)而不超過1.5m的兒童，享受半價(jià)客票、加快票和空調(diào)票(簡稱兒童票)，超1.5m時(shí)應(yīng)買全價(jià)票．每一成人旅客可免費(fèi)攜帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時(shí)，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票．從數(shù)學(xué)的角度，應(yīng)如何理解和表示“不超過”“超過”呢？2.展示新聞報(bào)道：明天白天廣州的最低溫度為18℃，白天最高溫度為30℃。師：明天白天廣州的溫度t℃滿足怎樣的不等關(guān)系？生：t大于或等于18小于或等于30老師引出課題板書：不等關(guān)系與不等式師：常見的不等號有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（），小于或等于（），不等于（）。老師總結(jié)板書：不等式的定義：用不等號(<,>,≥,≤,≠)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式。1.師：你能用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示情景中的不等關(guān)系嗎？2.師：兩個(gè)指示標(biāo)志分別表示什么意思？生：速度大于或等于80，高度小于或等于4.53.師：在這兩則報(bào)道中，同學(xué)們都準(zhǔn)確的描述出蘊(yùn)含的不等關(guān)系。師：你能舉出生活中含有不等關(guān)系的例子嗎？生：師：不等關(guān)系用什么表示？生：不等式（二）、探索新知探究一用不等式表示不等關(guān)系例1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍．試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．教師引導(dǎo)學(xué)生共同：[分析]應(yīng)先設(shè)出相應(yīng)變量，找出其中的不等關(guān)系，即①兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；②截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；③兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)．于是可列不等式組表示上述不等關(guān)系．[解析]設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根，依題意，可得不等式組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000,3x≥y,x≥0,y≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≤40,3x≥y,x≥0,y≥0)).歸納總結(jié);用不等式(組)表示實(shí)際問題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．跟蹤訓(xùn)練：1.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？2．某工廠在招標(biāo)會(huì)上，購得甲材料xt，乙材料yt，若維持工廠正常生產(chǎn)，甲、乙兩種材料總量至少需要120t，則x、y應(yīng)滿足的不等關(guān)系是()A．x＋y>120 B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120[解析]提價(jià)后雜志的定價(jià)為x元，則銷售的總收入為(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.[解析]由題意可得x＋y≥120，故選C．探究二比較數(shù)或式子的大小我們學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)大小比較的一個(gè)基本事實(shí)：(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)______.根據(jù)這個(gè)公理，我們可用什么方法來比較實(shí)數(shù)的大??？步驟是什么？第一步，第二步，第三步，第四步學(xué)生回答：；；.生：作差比較法生：作差，變形，判號，定論.指出：作差比較法是證明不等式的重要方法，它將比較實(shí)數(shù)的大小轉(zhuǎn)化為判斷差的符號例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。甗解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．師生共同歸納總結(jié)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進(jìn)行變形(因式分解、通分、配方等)；(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論．這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提．跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．與x有關(guān)[解析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N，故選A．2.比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大??；3.設(shè)a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大小．[解析]2.x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．3.由a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當(dāng)a＝±1時(shí)，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)－1＜a＜0或a＞1時(shí)，a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＜－1或0＜a＜1時(shí)，a＜eq\f(1,a).通過生活中熟悉的情景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系，并學(xué)會(huì)運(yùn)用不等式（組）表示不等關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)；由典型問題的分析解決，體會(huì)建立不等式（組）的一般方法和難點(diǎn)所在；培養(yǎng)和提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光分析表達(dá)問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)用數(shù)學(xué)語言表示不等關(guān)系。通過練習(xí)鞏固分析表達(dá)不等關(guān)系，教會(huì)學(xué)生解決和研究問題，提升數(shù)學(xué)抽象能力。復(fù)習(xí)作差比較法，代數(shù)式大小的方法，理解作差法的原理，通過練習(xí)達(dá)到靈活運(yùn)用；通過練習(xí)鞏固作差法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，提供運(yùn)算的準(zhǔn)確性、靈活性和速度。三、達(dá)標(biāo)檢測1.完成一項(xiàng)裝修工程,請木工需付工資每人500元,請瓦工需付工資每人400元,現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元,設(shè)木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,則關(guān)于工資x,y滿足的不等關(guān)系是()A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200【答案】D2.若A=1x2+3與B=1x+2,則A與BA.A>B B.A<BC.A≥B D.不確定【解析】由于A-B=1x2+3-1所以A>B,故選A.【答案】A3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表:設(shè)用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物,并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位的維生素A和63000單位的維生素B.試用不等式組表示x,y所滿足的不等關(guān)系.【解析】由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單位,含有維生素B800x單位,ykg的乙種食物中含有維生素A700y單位,含有維生素B400y單位,則xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x+700y)單位,含有維生素B(800x+400y)單位,則有6004.將一個(gè)三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形,試用不等式(組)表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系.【解析】各邊都縮短x后,長度仍然為正數(shù),只要最短邊大于零即可,因此5-x>0.而要構(gòu)成三角形,還要滿足(5-x)+(12-x)>13-x.當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí),應(yīng)使最大角是鈍角,此時(shí)只需最長邊所對的角是鈍角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故x應(yīng)滿足的不等關(guān)系為55.比較下列各組中的兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式的大小:(1)2x2+3與x+2,x∈R;(2)a+2與31-a,a∈R,且a【解析】(1)因?yàn)?2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2x-1所以2x2+3>x+2.(2)(a+2)-31由于a2+a+1=a+1所以當(dāng)a>1時(shí),a2+a+1a-1當(dāng)a<1時(shí),a2+a+1a-1故當(dāng)a>1時(shí),a+2>31-a;當(dāng)a<1時(shí),a+2通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。四、小結(jié)1.不等式與不等關(guān)系(1)不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn).①不等符號>,<,≥,≤或≠.②所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.(2)不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.2．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b大小的依據(jù)文字語言符號表示如果a>b，那么a－b是；如果a<b，那么a－b是；如果a＝b，那么a－b，反之亦然a>b?_______a<b?_______a＝b?_________五、作業(yè)1.習(xí)題2.11,2,3,4題2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容生學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；鞏固今天所學(xué)內(nèi)容題培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，也為下一節(jié)學(xué)習(xí)不等式性質(zhì)做準(zhǔn)備2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第2課時(shí)）教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖（一）、溫故知新你能回憶起等式的基本性質(zhì)嗎？性質(zhì)1若a=b,則b=a;性質(zhì)2若a=b,b=c,則a=c;性質(zhì)3若a=b,則a±c=b±c;性質(zhì)4若a=b,則ac=bc;性質(zhì)5若a=b,,則;類比等式的性質(zhì)，你能猜想出不等式的性質(zhì)，并加以證明嗎？（二）、探索新知不等式的性質(zhì)(1)對稱性文字語言不等式兩邊互換后,再將不等號改變方向,所得不等式與原不等式等價(jià)符號語言a>b?b<a作用寫出與原不等式等價(jià)且異向的不等式證明:∵a>b,∴a-b>0.由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a.同理可證,如果b<a,那么a>b.跟蹤訓(xùn)練.1.與m≥(n-2)2等價(jià)的是().A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m答案:C(2)傳遞性文字語言如果第一個(gè)量大于第二個(gè)量,第二個(gè)量大于第三個(gè)量,那么第一個(gè)量大于第三個(gè)量符號語言a>b,b>c?a>c變形a≥b,b≥c?a≥c;a<b,b<c?a<c;a≤b,b≤c?a≤c作用比較大小或證明不等式你能證明嗎？(3)加法法則文字語言不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得的不等式與原不等式同向.符號語言a>b?a+c>b+c變形a<b?a+c<b+ca≤b?a+c≤b+ca≥b?a+c≥b+c作用不等式的移項(xiàng),等價(jià)變形證明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.(4)乘法法則文字語言不等式的兩邊都乘同一個(gè)正數(shù)時(shí),不等號的方向不變;都乘同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號的方向一定要改變.符號語言a>b,c>0?ac>bca>b,c<0?ac<bc變形a≥b,c>0?ac≥bc；a≥b,c<0?ac≤bca<b,c>0?ac<bc；a<b,c<0?ac>bca≤b,c>0?ac≤bc；a≤b,c<0?ac≥bc作用不等式的同解變形證明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根據(jù)同號相乘得正,異號相乘得負(fù),得當(dāng)c>0時(shí),(a-b)c>0,即ac>bc;當(dāng)c<0時(shí),(a-b)c<0,即ac<bc.歸納總結(jié)：1.該性質(zhì)不能逆推,如ac>bca>b.2.ac>bc?a>b,c>0或a<b,c<0.3.不等式兩邊僅能同乘(或除以)一個(gè)符號確定的非零實(shí)數(shù).(5)加法單調(diào)性文字語言兩個(gè)同向不等式相加,所得不等式與原不等式同向.符號語言a>b,c>d?a+c>b+d變形a<b,c<d?a+c<b+da≥b,c≥d?a+c≥b+da≤b,c≤d?a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式證明:a歸納總結(jié)：1.此性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加,即兩個(gè)或兩個(gè)以上的同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向.2.兩個(gè)同向不等式只能兩邊同時(shí)分別相加,而不能兩邊同時(shí)分別相減.3.該性質(zhì)不能逆推,如a+c>b+da>b,c>d.(6)乘法單調(diào)性文字語言兩邊都是正數(shù)的兩個(gè)同向不等式相乘,所得的不等式與原不等式同向.符號語言a>b>0,c>d>0?ac>bd作用兩個(gè)不等式相乘的變形證明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.歸納總結(jié)：1.這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,這就是說,兩個(gè)或更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向.2.a>b>0,c<d<0?ac<bd;a<b<0,c<d<0?ac>bd.3.該性質(zhì)不能逆推,如ac>bda>b,c>d.(7)正值不等式可乘方文字語言當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí),不等式兩邊同時(shí)乘方所得的不等式與原不等式同向.符號語言a>b>0?an>bn(n∈N,且n≥1)作用不等式兩邊的乘方變形性質(zhì)(7)可看作性質(zhì)(6)的推廣:當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí),由a>b可得an>bn.跟蹤訓(xùn)練：1.給出下列結(jié)論：①若ac>bc，則a>b；②若a<b，則ac2<bc2；③若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則a>b；④若a>b，c>d，則a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，則ac>bd.其中正確結(jié)論的序號是___③_.解析①當(dāng)c>0時(shí)，由ac>bc?a>b，當(dāng)c<0時(shí)，由ac>bc?a<b，故①錯(cuò)．②當(dāng)c≠0時(shí)，由a<b?ac2<bc2，當(dāng)c＝0時(shí)，由a<beq\o(?,/)ac2<bc2，故②錯(cuò)．③∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b，故③正確．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，兩不等式不等號的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d錯(cuò)誤．⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))?ac<bd，但eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d))eq\o(?,/)ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0))eq\o(?,/)ac>bd.反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法:(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷.要注意不等式成立的條件,不要弱化條件,尤其是不能憑想象捏造性質(zhì).(2)特殊值法.取特殊值時(shí),要遵循如下原則:一是滿足題設(shè)條件;二是取值要簡單,便于驗(yàn)證計(jì)算.典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟蹤訓(xùn)練：1．若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).歸納總結(jié)：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍例2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范圍．解析∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).兩式相加，得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又∵α<β，∴eq\f(α－β,2)<0.∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.規(guī)律總結(jié)：求取值范圍的問題要注意解題方法是否符合不等式的性質(zhì)，是否使范圍擴(kuò)大或縮?。櫽?xùn)練1.已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范圍：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).解析(1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，又1<a<2，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(2,3).通過學(xué)生熟悉的等式性質(zhì)出發(fā)，設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)不等的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)語言表示不等式的性質(zhì)。由不等式七個(gè)性質(zhì)的分析與證明，體會(huì)證明不等式的基本方法；培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)及時(shí)歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解和運(yùn)用不等式的性質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；通過練習(xí)鞏固不等式的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，提高思維的靈活性和速度。通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生明確問題模型，發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判斷中正確的是()A．a(chǎn)－c<b－d B．a(chǎn)c>bdC.eq\f(a,d)<eq\f(b,c) D．a(chǎn)d>bc解析：根據(jù)不等式的同向同正的可乘性知，B正確．答案：B2．若a、b、c∈R，且a>b，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋b≥b－cB．a(chǎn)c≥bcC.eq\f(c2,a－b)>0D．(a－b)c2≥0解析：∵a>b，∴a－b>0.選項(xiàng)A中，當(dāng)c＝0時(shí)，(a＋b)－(b－c)＝a＋c，由于a∈R，則選項(xiàng)A不成立；選項(xiàng)B中，ac－bc＝c(a－b)，由于c∈R，則選項(xiàng)B不成立；選項(xiàng)C中，由于c∈R，則c2≥0，∴eq\f(c2,a－b)≥0，則選項(xiàng)C不成立；選項(xiàng)D中，a－b>0，c2≥0，∴(a－b)c2≥0，則選項(xiàng)D成立．答案：D3．設(shè)2<a<3，-2<b<-1，則2a-b的范圍是________．解析：4<2a<6，-2<b<-1，∴1<-b<2，由同向不等式相加得到5<2a-b<8答案：5<2a-b<84.已知a>b>0，c<d<0.求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).解析∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又∵a>b>0，∴－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.∴eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c)).兩邊同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，提高學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。四、小結(jié)不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?____?2傳遞性a>b，b>c?_____?3可加性a>b?a＋cb＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?acbcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?acbc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋cb＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?acbd同向同正7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)8可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)五、作業(yè)1.習(xí)題2.15,6,7,9,10題2.預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容生學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；《2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案（第1課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用不等式(組)表示不等關(guān)系；2.能夠運(yùn)用作差法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小.【重點(diǎn)難點(diǎn)】1.用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題；2.運(yùn)用作差法比較代數(shù)式大小，對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求較高【知識梳理】1.我們用數(shù)學(xué)符號“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些符號的式子，叫做__________.2．不等式中文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的轉(zhuǎn)換大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于3.比較兩實(shí)數(shù)大小基本方法:(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較原理①差值比較原理：設(shè)a、b∈R，則a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b<0.②商值比較原理：設(shè)a、b∈R＋，則eq\f(a,b)＞1?a＞b，eq\f(a,b)＝1?a＝b，eq\f(a,b)<1?a<b.(2)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的一般步驟①作差比較法其一般步驟是:作差→變形→判斷符號→確定大小.注：作差比較大小的關(guān)鍵是作差后的變形，作差變形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段進(jìn)行恒等變形（常數(shù)、幾個(gè)平方和的形式或幾個(gè)因式積的形式）．變形的過程是至關(guān)重要的，無論施以什么方法，最終要變到能夠判斷符號為止．注意變形過程中要保持等價(jià)性及正確性．【學(xué)習(xí)過程】（一）、情境導(dǎo)學(xué)1.購買火車票有一項(xiàng)規(guī)定：隨同成人旅行，身高超過1.1m(含1.1m)而不超過1.5m的兒童，享受半價(jià)客票、加快票和空調(diào)票(簡稱兒童票)，超1.5m時(shí)應(yīng)買全價(jià)票．每一成人旅客可免費(fèi)攜帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時(shí)，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票．從數(shù)學(xué)的角度，應(yīng)如何理解和表示“不超過”“超過”呢？2.展示新聞報(bào)道：明天白天廣州的最低溫度為18℃，白天最高溫度為30℃。（二）、探索新知探究一用不等式表示不等關(guān)系例1.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍．試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．跟蹤訓(xùn)練：1.某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．根據(jù)市場調(diào)查，若單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本，若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？2．某工廠在招標(biāo)會(huì)上，購得甲材料xt，乙材料yt，若維持工廠正常生產(chǎn)，甲、乙兩種材料總量至少需要120t，則x、y應(yīng)滿足的不等關(guān)系是()A．x＋y>120 B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120探究二比較數(shù)或式子的大小我們學(xué)習(xí)了關(guān)于實(shí)數(shù)大小比較的一個(gè)基本事實(shí)：(1)數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)______.根據(jù)這個(gè)公理，我們可用什么方法來比較實(shí)數(shù)的大??？步驟是什么？第一步，第二步，第三步，第四步例2.已知x＜y＜0，比較(x2＋y2)(x－y)與(x2－y2)(x＋y)的大?。畾w納總結(jié);跟蹤訓(xùn)練1．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>NB．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)2.比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大??；3.設(shè)a∈R且a≠0，比較a與eq\f(1,a)的大?。具_(dá)標(biāo)檢測】1.完成一項(xiàng)裝修工程,請木工需付工資每人500元,請瓦工需付工資每人400元,現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元,設(shè)木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,則關(guān)于工資x,y滿足的不等關(guān)系是()A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200C.5x+4y=200 D.5x+4y≤2002.若A=1x2+3與B=1x+2,則A與B的大小關(guān)系是A.A>B B.A<BC.A≥BD.不確定3.已知甲、乙兩種食物的維生素A,B含量如下表:設(shè)用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物,并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位的維生素A和63000單位的維生素B.試用不等式組表示x,y所滿足的不等關(guān)系.4.將一個(gè)三邊長度分別為5,12,13的三角形的各邊都縮短x,構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形,試用不等式(組)表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系.5.比較下列各組中的兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式的大小:(1)2x2+3與x+2,x∈R;(2)a+2與31-a,a∈R,且【課堂小結(jié)】1.用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí),應(yīng)遵循“一找(不等關(guān)系);二析(涉及的量);三設(shè)(設(shè)出合理的未知數(shù));四列(不等式(組))”.2..作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小時(shí)，關(guān)鍵是作差后變形，一般變形越徹底越有利于下一步的判斷.因式分解配方通分分類討論3.本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中,重點(diǎn)滲透了數(shù)學(xué)建模思想和函數(shù)思想.參考答案：探究一例1.[解析]設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根，依題意，可得不等式組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000,3x≥y,x≥0,y≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≤40,3x≥y,x≥0,y≥0)).歸納總結(jié);用不等式(組)表示實(shí)際問題中不等關(guān)系的步驟：①審題．通讀題目，分清楚已知量和待求量，設(shè)出待求量．找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．②列不等式組：分析題意，找出已知量和待求量之間的約束條件，將各約束條件用不等式表示．跟蹤訓(xùn)練：1.[解析]提價(jià)后雜志的定價(jià)為x元，則銷售的總收入為(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x萬元，那么不等關(guān)系“銷售的收入不低于20萬元”用不等式可以表示為：(8－eq\f(x－2.5,0.1)×0.2)x≥20.2.[解析]由題意可得x＋y≥120，故選C．探究二例2．[解析]∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0，∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．歸納總結(jié)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進(jìn)行變形(因式分解、通分、配方等)；(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論．這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提．跟蹤訓(xùn)練1.[解析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N，故選A．2.[解析]x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．3.由a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當(dāng)a＝±1時(shí)，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)－1＜a＜0或a＞1時(shí)，a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＜－1或0＜a＜1時(shí)，a＜eq\f(1,a).達(dá)標(biāo)檢測1.【答案】D2.【解析】由于A-B=1x2+3-1所以A>B,故選A.【答案】A3.【解析】由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單位,含有維生素B800x單位,ykg的乙種食物中含有維生素A700y單位,含有維生素B400y單位,則xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x+700y)單位,含有維生素B(800x+400y)單位,則有600故當(dāng)a>1時(shí),a+2>31-a;當(dāng)a<1時(shí),a+24.【解析】各邊都縮短x后,長度仍然為正數(shù),只要最短邊大于零即可,因此5-x>0.而要構(gòu)成三角形,還要滿足(5-x)+(12-x)>13-x.當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí),應(yīng)使最大角是鈍角,此時(shí)只需最長邊所對的角是鈍角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故x應(yīng)滿足的不等關(guān)系為55.【解析】(1)因?yàn)?2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2x-1所以2x2+3>x+2.(2)(a+2)-31由于a2+a+1=a+1所以當(dāng)a>1時(shí),a2+a+1a-1>當(dāng)a<1時(shí),a2+a+1a-1<2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第2課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握常用不等式的基本性質(zhì)；2.會(huì)將一些基本性質(zhì)結(jié)合起來應(yīng)用?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】1.將不等關(guān)系用不等式表示出來，理解并證明不等式的性質(zhì)；2.并能用不等式的性質(zhì)證明一些簡單的不等式；【學(xué)習(xí)過程】一、設(shè)計(jì)問題,溫故知新問題1:等式的性質(zhì)有哪些?請大家用符號表示出來.問題2:根據(jù)等式的這些性質(zhì),你能猜想不等式的類似性質(zhì)嗎?請大家加以探究.性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?____?2傳遞性a>b，b>c?_____?3可加性a>b?a＋cb＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?acbcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?acbc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋cb＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?acbd同向同正7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)8可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)二、新知探究試證明下列不等式的性質(zhì)(1)對稱性文字語言不等式兩邊互換后,再將不等號改變方向,所得不等式與原不等式等價(jià)符號語言a>b?作用寫出與原不等式等價(jià)且異向的不等式跟蹤訓(xùn)練.1.與m≥(n-2)2等價(jià)的是().A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥mC.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m(2)傳遞性文字語言如果第一個(gè)量大于第二個(gè)量,第二個(gè)量大于第三個(gè)量,那么第一個(gè)量大于第三個(gè)量符號語言a>b,b>c?變形a≥b,b≥c?a≥c;a<b,b<c?a<c;a≤b,b≤c?a≤c作用比較大小或證明不等式你能證明嗎？(3)加法法則文字語言不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得的不等式與原不等式.符號語言a>b?a+c>變形a<b?a+c<b+c；a≤b?a+c≤b+c；a≥b?a+c≥b+c作用不等式的移項(xiàng),等價(jià)變形(4)乘法法則文字語言不等式的兩邊都乘同一個(gè)正數(shù)時(shí),不等號的方向不變;都乘同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),不等號的方向一定要改變.符號語言a>b,c>0?；a>b,c<0?變形a≥b,c>0?ac≥bc；a≥b,c<0?ac≤bc；a<b,c>0?ac<bc；a<b,c<0?ac>bca≤b,c>0?ac≤bc；a≤b,c<0?ac≥bc作用不等式的同解變形(5)加法單調(diào)性文字語言兩個(gè)同向不等式相加,所得不等式與原不等式.符號語言a>b,c>d?a+c>b+d變形a<b,c<d?a+c<b+d；a≥b,c≥d?a+c≥b+d；a≤b,c≤d?a+c≤b+d作用由已知同向不等式推出其他不等式(6)乘法單調(diào)性文字語言兩邊都是正數(shù)的兩個(gè)同向不等式相乘,所得的不等式與原不等式.符號語言a>b>0,c>d>0?ac>bd作用兩個(gè)不等式相乘的變形(7)正值不等式可乘方文字語言當(dāng)不等式的兩邊都是時(shí),不等式兩邊同時(shí)乘方所得的不等式與原不等式.符號語言a>b>0?(n∈N,且n≥1)作用不等式兩邊的乘方變形跟蹤訓(xùn)練2.給出下列結(jié)論：①若ac>bc，則a>b；②若a<b，則ac2<bc2；③若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則a>b；④若a>b，c>d，則a－c>b－d；⑤若a>b，c>d，則ac>bd.其中正確結(jié)論的序號是____.典例解析：用不等式的性質(zhì)證明不等式例1已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟蹤訓(xùn)練1：若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).典例解析：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍例2已知－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范圍．跟蹤訓(xùn)練2：已知1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范圍：(1)2a＋b；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).【達(dá)標(biāo)檢測】1．已知a<b<0，c<d<0，那么下列判斷中正確的是()A．a(chǎn)－c<b－dB．a(chǎn)c>bdC.eq\f(a,d)<eq\f(b,c) D．a(chǎn)d>bc2．若a、b、c∈R，且a>b，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋b≥b－cB．a(chǎn)c≥bcC.eq\f(c2,a－b)>0D．(a－b)c2≥03．設(shè)2<a<3，-2<b<-1，則2a-b的范圍是________．4.已知a>b>0，c<d<0.求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).【課堂小結(jié)】一、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?____?2傳遞性a>b，b>c?_____?3可加性a>b?a＋cb＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?acbcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?acbc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋cb＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?acbd同向同正7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)8可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)二、運(yùn)用不等式解決的基本問題由那些？參考答案：新知探究（1）證明:∵a>b,∴a-b>0，由正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),得-(a-b)<0.即b-a<0,∴b<a，同理可證,如果b<a,那么a>b.跟蹤訓(xùn)練1.答案:C（3）證明:∵(a+c)-(b+c)=a-b>0,∴a+c>b+c.（4）證明:ac-bc=(a-b)c.∵a>b,∴a-b>0.根據(jù)同號相乘得正,異號相乘得負(fù),得當(dāng)c>0時(shí),(a-b)c>0,即ac>bc;當(dāng)c<0時(shí),(a-b)c<0,即ac<bc.（5）證明:a（6）證明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc，∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd.跟蹤訓(xùn)練2.解析①當(dāng)c>0時(shí)，由ac>bc?a>b，當(dāng)c<0時(shí)，由ac>bc?a<b，故①錯(cuò)．②當(dāng)c≠0時(shí)，由a<b?ac2<bc2，當(dāng)c＝0時(shí)，由a<beq\o(?,/)ac2<bc2，故②錯(cuò)．③∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,a)·ab<eq\f(1,b)·ab，即b<a，∴a>b，故③正確．④∵c>d，∴－c<－d，又a>b，兩不等式不等號的方向不同，不能相加，∴a－c>b－d錯(cuò)誤．⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,0>c>d))?ac<bd，但eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,0>c>d))eq\o(?,/)ac>bd，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(0>a>b,c>d>0))eq\o(?,/)ac>bd.典例解析例1.∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).跟蹤訓(xùn)練．解析：∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∴ad＋bd≤bc＋bd，∵bd>0，∴eq\f(1,bd)>0，∴eq\f(ad＋bd,bd)≤eq\f(bc＋bd,bd)，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).例2解析∵－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)<eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).兩式相加，得－eq\f(π,2)<eq\f(α＋β,2)<eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)<eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<eq\f(π,2).又∵α<β，∴eq\f(α－β,2)<0.∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)<0.跟蹤訓(xùn)練(1)∵1<a<2，∴2<2a<4，∵3<b<4，∴5<2a＋b<8；(2)∵3<b<4，∴－4<－b<－3，又∵1<a<2，∴－3<a－b<－1；(3)∵3<b<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3)，又1<a<2，∴eq\f(1,4)<eq\f(a,b)<eq\f(2,3).達(dá)標(biāo)檢測1.解析：根據(jù)不等式的同向同正的可乘性知，B正確．答案：B2.解析：∵a>b，∴a－b>0.選項(xiàng)A中，當(dāng)c＝0時(shí)，(a＋b)－(b－c)＝a＋c，由于a∈R，則選項(xiàng)A不成立；選項(xiàng)B中，ac－bc＝c(a－b)，由于c∈R，則選項(xiàng)B不成立；選項(xiàng)C中，由于c∈R，則c2≥0，∴eq\f(c2,a－b)≥0，則選項(xiàng)C不成立；選項(xiàng)D中，a－b>0，c2≥0，∴(a－b)c2≥0，則選項(xiàng)D成立．答案：D3.解析：4<2a<6，-2<b<-1，∴1<-b<2，由同向不等式相加得到5<2a-b<8答案：5<2a-b<84.解析∵c<d<0，∴－c>－d>0.∴0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d).又∵a>b>0，∴－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.∴eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c)).兩邊同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).《2.1等式關(guān)系與不等式關(guān)系》同步練習(xí)一基礎(chǔ)鞏固1．據(jù)天氣預(yù)報(bào)可知明天白天的最高溫度為13℃,則明天白天的氣溫t與13℃之間存在的不等關(guān)系是______A．t≤13℃B．t＜13℃C．t＝13℃D．t＞13℃2.已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．3．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．已知，記，則M與N的大小關(guān)系是()A． B． C． D．不能確定5．已知突數(shù)，則_____，_____(用>，<填空).6．設(shè)，則的大小順序是______．7.已知，則的取值范圍為_____．8．比較大?。?x＋5)(x＋7)與(x＋6)2.能力提升9.已知，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．10．某校的一個(gè)志愿者服務(wù)隊(duì)由高中部學(xué)生組成，成員同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）高一學(xué)生人數(shù)多于高二學(xué)生人數(shù)；（2）高二學(xué)生人數(shù)多于高三學(xué)生人數(shù)；（3）高三學(xué)生人數(shù)的3倍多于高一高二學(xué)生人數(shù)之和若高一學(xué)生人數(shù)為7，則該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為__________．11．已知，均為正實(shí)數(shù)，求證：.素養(yǎng)達(dá)成12.“綠水青山就是金山銀山”。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國更加重視對生態(tài)環(huán)境的保護(hù)，2018年起，政府對環(huán)保不達(dá)標(biāo)的養(yǎng)雞場進(jìn)行限期整改或勒令關(guān)閉。一段時(shí)間內(nèi)，雞蛋的價(jià)格起伏較大（不同周價(jià)格不同）。假設(shè)第一周、第二周雞蛋的價(jià)格分別為元、元（單位：kg）；甲、乙兩人的購買方式不同：甲每周購買3kg雞蛋，乙每周購買10元錢雞蛋.（Ⅰ）若，求甲、乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格；（Ⅱ）判斷甲、乙兩人誰的購買方式更實(shí)惠（平均價(jià)格低視為實(shí)惠），并說明理由.2.1等式關(guān)系與不等式關(guān)系答案解析基礎(chǔ)鞏固1．據(jù)天氣預(yù)報(bào)可知明天白天的最高溫度為13℃,則明天白天的氣溫t與13℃之間存在的不等關(guān)系是______A．t≤13℃B．t＜13℃C．t＝13℃D．t＞13℃【答案】A【解析】∵明天白天的最高溫度為13℃,∴明天白天的氣溫t與13℃之間存在的不等關(guān)系是t≤13℃故選：A2.已知，則下列不等式成立的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】A.，取，不滿足，排除B.，取，不滿足，排除C.，當(dāng)時(shí)，不滿足，排除D.，不等式兩邊同時(shí)除以不為0的正數(shù)，成立故答案選D3．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，故錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)，故選C。4．已知，記，則M與N的大小關(guān)系是()A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】由題意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N故選B.5．已知突數(shù)，則_____，_____(用>，<填空).【答案】<<【解析】∵，∴，∴，∴．，∴．故答案為＜；＜．6．設(shè)，則的大小順序是______．【答案】【解析】∵，∴，，而，，，∴，∴，故答案為：．7.已知，則的取值范圍為_____．【答案】【解析】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式運(yùn)算的性質(zhì)得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范圍為[﹣9，0].故答案為：[﹣9，0]8．比較大?。?x＋5)(x＋7)與(x＋6)2.【答案】見解析【解析】(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0，所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.能力提升9.已知，則的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，所以，又，所以，，易得，因此，，故選：D.10．某校的一個(gè)志愿者服務(wù)隊(duì)由高中部學(xué)生組成，成員同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）高一學(xué)生人數(shù)多于高二學(xué)生人數(shù)；（2）高二學(xué)生人數(shù)多于高三學(xué)生人數(shù)；（3）高三學(xué)生人數(shù)的3倍多于高一高二學(xué)生人數(shù)之和若高一學(xué)生人數(shù)為7，則該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為__________．【答案】18【解析】設(shè)高二學(xué)生人數(shù)為x，高三學(xué)生人數(shù)為y，則y由②可知，y≥結(jié)合①可知，4≤x≤6，取法6,3,逐一代入②驗(yàn)證，可得只有6,5滿足，∴x=6,y=5該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為7+6+5=18人，故答案為18.11．已知，均為正實(shí)數(shù)，求證：.【答案】見證明【解析】解：方法一：因?yàn)椋鶠檎龑?shí)數(shù)，所以由基本不等式可得，，兩式相加，得，所以.方法二：.所以.素養(yǎng)達(dá)成12.“綠水青山就是金山銀山”。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國更加重視對生態(tài)環(huán)境的保護(hù)，2018年起，政府對環(huán)保不達(dá)標(biāo)的養(yǎng)雞場進(jìn)行限期整改或勒令關(guān)閉。一段時(shí)間內(nèi)，雞蛋的價(jià)格起伏較大（不同周價(jià)格不同）。假設(shè)第一周、第二周雞蛋的價(jià)格分別為元、元（單位：kg）；甲、乙兩人的購買方式不同：甲每周購買3kg雞蛋，乙每周購買10元錢雞蛋.（Ⅰ）若，求甲、乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格；（Ⅱ）判斷甲、乙兩人誰的購買方式更實(shí)惠（平均價(jià)格低視為實(shí)惠），并說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為，乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為，（Ⅱ）甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為，乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格為，由（Ⅰ）知，時(shí)，乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格低，猜測乙的購買方式更實(shí)惠。證法一（比較法）：依題意，且，，，所以乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格低，即乙的購買方式更實(shí)惠。證法二（分析法）：依題意，且，要證：，只需證：只需證：只需證：（已知）。所以乙兩周購買雞蛋的平均價(jià)格比甲兩周購買雞蛋的平均價(jià)格低，即乙的購買方式更實(shí)惠?！?.1.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》同步練習(xí)二（第1課時(shí)）選擇題1．下列說法正確的是(

)A.某人月收入不高于元可表示為""B.小明的身高,小華的身高,則小明比小華矮表示為""C.某變量至少是可表示為""D.某變量不超過可表示為""2．已知,記,,則與的大小關(guān)系是(

)A.B.C.D.不確定3.某同學(xué)參加期末模擬考試，考后對自己的語文和數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了如下估計(jì)：語文成績高于85分，數(shù)學(xué)成績不低于80分，用不等式組可以表示為． ． ． ．4．有一家三口的年齡之和為65歲，設(shè)父親、母親和小孩的年齡分別為、、，則下列選項(xiàng)中能反映、、關(guān)系的是． ． ． ．5.若且,則的值與的大小關(guān)系是(

)A.B.C.D.6．某公司從2016年起每人的年工資主要由三個(gè)項(xiàng)目組成并按下表規(guī)定實(shí)施：項(xiàng)目計(jì)算方法基礎(chǔ)工資2016年1萬元，以后每年逐增住房補(bǔ)貼按工齡計(jì)算：400元工齡醫(yī)療費(fèi)每年1600元固定不變?nèi)粼摴灸陈毠ぴ?018年將得到的住房補(bǔ)貼與醫(yī)療費(fèi)之和超過基礎(chǔ)工資的，到2018年底這位職工的工齡至少是．2年 ．3年 ．4年 ．5年二、填空題7．若x∈R，則eq\f(x,1＋x2)與eq\f(1,2)的大小關(guān)系為________．8.一輛汽車原來每天行駛，如果該汽車每天行駛的路程比原來多，那么在8天內(nèi)它的行程將超過，用不等式表示為．9．如圖所示的兩種廣告牌,其中圖(1)是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的,圖(2)是一個(gè)矩形,從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系,并將這種關(guān)系用含字母的不等式表示出來__________10．近來雞蛋價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周雞蛋價(jià)格分別為元/斤、元/斤，家庭主婦甲和乙買雞蛋的方式不同：家庭主婦甲每周買3斤雞蛋，家庭主婦乙每周買10元錢的雞蛋，試比較誰的購買方式更優(yōu)惠（兩次平均價(jià)格低視為實(shí)惠）__________．（在橫線上填甲或乙即可）三、解答題11．有一公園，原來是長方形布局，為美化市容，市規(guī)劃局要對這個(gè)公園進(jìn)行規(guī)劃，將其改成正方形布局，但要求要么保持原面積不變，要么保持原周長不變，那么對這個(gè)公園選哪種布局方案可使其面積較大？12．某家庭準(zhǔn)備利用假期到某地旅游,有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案,甲旅行社的方案是:如果戶主買全票一張,其余人可享受五五折優(yōu)惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集體票,可按七五折優(yōu)惠.如果這兩家旅行社的原價(jià)相同,請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算?2.1.2等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第2課時(shí)）選擇題1．若a＞b，c＞d，下列不等式正確的是（）A． B． C． D．2．若，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．3．設(shè)，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．4．已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5.已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A． B． C． D．6已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題7．已知不等式：①a2b<b3；②1a>0>1b8．已知a，b，x均為正數(shù)，且a＞b，則____（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．已知,,則的取值范圍為__________.10．已知，則的取值范圍為_____．三、解答題11．已知下列三個(gè)不等式：①ab>0；②ca>db以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可組成幾個(gè)正確命題？12．已知fx等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)答案解析（第1課時(shí)）一、選擇題1．下列說法正確的是(

)A.某人月收入不高于元可表示為""B.小明的身高,小華的身高,則小明比小華矮表示為""C.某變量至少是可表示為""D.某變量不超過可表示為""【答案】C【解析】對于應(yīng)滿足故錯(cuò);對于應(yīng)滿足,故不正確;正確;對于與的關(guān)系可表示為,故錯(cuò)誤.2．已知,記,,則與的大小關(guān)系是(

)A.B.C.D.不確定【答案】B【解析】由題意得,故.故選B3.某同學(xué)參加期末模擬考試，考后對自己的語文和數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了如下估計(jì)：語文成績高于85分，數(shù)學(xué)成績不低于80分，用不等式組可以表示為． ． ． ．【答案】A【解析】語文成績高于85分，數(shù)學(xué)成績不低于80分，，故選：．4．有一家三口的年齡之和為65歲，設(shè)父親、母親和小孩的年齡分別為、、，則下列選項(xiàng)中能反映、、關(guān)系的是． ． ． ．【答案】C【解析】一家三口的年齡之和為65歲，設(shè)父親、母親和小孩的年齡分別為、、，，，．故選：．5.若且,則的值與的大小關(guān)系是(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】,∵,∴,,因此.故.6．某公司從2016年起每人的年工資主要由三個(gè)項(xiàng)目組成并按下表規(guī)定實(shí)施：項(xiàng)目計(jì)算方