第22講 圓錐曲線解答題中的弦長面積問題3種?？碱}型（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

第22講圓錐曲線解答題中的弦長面積問題3種?？碱}型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：弦長公式設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．注意：①設(shè)直線為上，代入化簡，得;②設(shè)直線方程為，代入化簡，得③，其中為直線與圓錐曲線聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式，為二次項(xiàng)系數(shù)考點(diǎn)二：三角形的面積處理方法①底·高（通常選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高）②水平寬·鉛錘高或③在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．考點(diǎn)三：四邊形面積處理方法①若四邊形對角線與相互垂直，則②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積進(jìn)行解決【題型目錄】題型一：求弦長及范圍問題題型二：三角形面積及范圍問題題型三：四邊形面積及范圍問題【典型例題】題型一：求弦長及范圍問題【例1】已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)1)，直線經(jīng)過且與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)求此時(shí)直線的方程；【答案】(1)；(2)或?yàn)?【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓過點(diǎn)列方程求解即可；（2）分直線的斜率是否存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)驗(yàn)證知不符合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，利用弦長公式求出斜率k即可得解.(1)，，即，，又經(jīng)過點(diǎn)1)，，解得，所以橢圓方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程，此時(shí)，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組可得消可得，其判別式，，，整理可得，解得即此時(shí)直線方程為或?yàn)?【例2】已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，由離心率可得的關(guān)系，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到橢圓方程；（2）根據(jù)題意，先討論兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，再討論兩條弦斜率均存在且不為0，此時(shí)設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓與直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式分別表示出弦長與弦長，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，所以.設(shè)橢圓方程為，將代入，得.故橢圓方程為.（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，易得其中一條弦為長軸，另一條弦長為橢圓的通徑為，即；②當(dāng)兩條弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得：，∴，，∴，同理，，∴，令，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴.綜合②可知，的取值范圍為.【例3】已知橢圓的左焦點(diǎn)，長軸長與短軸長的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過作兩直線交橢圓于四點(diǎn)，若，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由題可知，即可求解的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，得到的值，利用弦長公式得到的值，同理可得的值，計(jì)算即可.(1)解：由題可知，，又，故，所以橢圓的方程為：.(2)證明：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得．設(shè)，則有，，因?yàn)?，所以直線的方程為，

同理，所以，綜上為定值．【題型專練】1．橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用橢圓的離心率，過點(diǎn)，及，列方程解出即可得橢圓方程；（2）由已知可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解.（1）解：由題意得，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．2.已知橢圓：過點(diǎn)且與拋物線：有一個(gè)公共的焦點(diǎn)．(1)求橢圓與拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)．是否存在這樣的直線，使得？若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)，；(2)存在，【分析】（1）由題意橢圓與拋物線共焦點(diǎn)，由焦點(diǎn)得出基本量，即可求出橢圓與拋物線的方程.（2）分直線的斜率存在與不存在，在直線斜率不存在時(shí)求出直線方程，并驗(yàn)證是否成立，再求直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得當(dāng)滿足時(shí)直線的斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）由，，得，，所以橢圓的方程：，由，得，所以拋物線的方程：．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，得，，不符合；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，由得，，，，由得，，，，，由，得，，，經(jīng)檢驗(yàn)符合.故存在直線，方程為.3.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若是上兩點(diǎn)，直線與圓相切，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此可求得橢圓的方程.（2）對直線斜率分成不存在、直線的斜率為、直線的斜率不為三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合弦長公式、基本不等式求得的取值范圍.（1）由題意得，，解得，所以的方程為.（2）圓的圓心為，半徑圓.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為或，于是有或解得，所以.

②當(dāng)直線的斜率為時(shí)，方程為或，于是有或解得，所以.

③當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)斜率為，方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，得建立方程組，消并化簡得，.設(shè),,則,，所以=而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.4.已知橢圓，，分別為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓E上.(1)求橢圓E的離心率；(2)過左焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為M，O為原點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，求取最大值時(shí)直線l的方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓過點(diǎn)的坐標(biāo)，求出橢圓方程，即可求出橢圓的離心率；（2）設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，即可得到的坐標(biāo)，表示出、，即可得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；（1）解：將，代入橢圓方程，解得，所以橢圓的方程為，又，所以（2）解：設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立可得；則，且，，設(shè)的中點(diǎn)，則，，∴坐標(biāo)為，，因此直線的方程為，從而點(diǎn)為，又，，所以，令，則，因此當(dāng)，即時(shí)，最大值為3.所以的最大值為，此時(shí)，直線l的方程為.題型二：三角形面積及范圍問題【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，，且右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過橢圓左焦點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】根據(jù)題意可得，，所以，即可求得橢圓的方程；設(shè)，，過且斜率為的直線方程為：，直線與橢圓方程聯(lián)立，消得的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求的面積．（1）橢圓的焦點(diǎn)為，，半焦距，橢圓的右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為，，橢圓的方程為．（2）設(shè)，，過且斜率為的直線方程為：，代入橢圓的方程，化簡可得，，則，.【例2】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對稱軸分別為x軸、y軸，且過，兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)F為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，M，N為橢圓E上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，當(dāng)M，O，N三點(diǎn)不共線時(shí)，求△MON的面積的最大值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；(2)根據(jù)題意可得：，進(jìn)而得到直線的斜率，設(shè)直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求出面積的最值.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，，所以，解得：，所以橢圓的方程為：.（2）不妨設(shè)為橢圓的下焦點(diǎn)，由(1)可知：點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，所以，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則，即（*），由韋達(dá)定理可得：，，由弦長公式可得：，點(diǎn)到直線的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大為.【例3】已知橢圓：的離心率，短軸長為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，，是軸上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的面積分別為，，若，求直線的斜率．【答案】(1)；(2)【分析】（1）列方程組解得a、b、c的值即可.（2）設(shè)出直線AB的方程，可得直線AD的方程、點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB方程與橢圓方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo)、點(diǎn)E的坐標(biāo)，由可得直線CH的方程，聯(lián)立直線CH的方程與直線AD的方程可得點(diǎn)H的坐標(biāo)，由各點(diǎn)的坐標(biāo)可求得、、、，代入面積之比方程中可得結(jié)果.【詳解】（1）∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示，由（1）知，，由題意知，直線AB的斜率存在且不為0，所以設(shè)：，則：，設(shè)，令x=0，分別代入直線AB的方程與直線AD的方程可得：，，，∴

即：∴，∴AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，∴又∵∴∴∴：，

即：∴∴∴又∵∴∴，∴【例4】已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率存在且不為0，點(diǎn)在軸上的射影分別為，且三點(diǎn)共線，求證：與的面積相同.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及通徑的長度即可聯(lián)立求解的值，（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)斜率公式可證明三點(diǎn)共線，根據(jù)，所以，進(jìn)而可證明與面積相等.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.依題意，，故①.聯(lián)立解得，故②.聯(lián)立①②，解得，故橢圓的方程為.（2）易知橢圓的右焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為.由得，設(shè)，則.因?yàn)檩S，所以.直線的方程為，所以.因?yàn)檩S，所以.因?yàn)椋?，所以三點(diǎn)共線.因?yàn)?，所以，而，所以與的面積相同.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：聯(lián)立直線與曲線的方程得到韋達(dá)定理是常用和必備的步驟.由韋達(dá)定理以及弦長公式，點(diǎn)到直線的距離即可求解面積以及長度以及最值，最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.在處理共線問題是，要借助于向量以及兩點(diǎn)斜率公式.【例5】已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，且直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．已知．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)的面積為的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)條件列式求，可求橢圓方程；（2）利用直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示，并根據(jù)的范圍，求的取值范圍．【詳解】（1），,，因?yàn)?，所以，解得：，所以橢圓方程；（2），所以直線方程是，聯(lián)立，，得或，即，所以直線方程是，聯(lián)立，得，得或，,，直線的方程，令，得，即,,，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，又，得，，設(shè)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓方程聯(lián)立的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是計(jì)算繁瑣，尤其求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程時(shí)，注意化簡的準(zhǔn)確性.【題型專練】1.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在上.(1)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；(2)過的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)結(jié)合焦距及點(diǎn)坐標(biāo)，求得橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)，得，結(jié)合橢圓有界性解得范圍即可；(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得，，利用等面積法求解內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求得內(nèi)切圓面積.【詳解】（1）由題意知，所以.將點(diǎn)代入，解得，所以橢圓的方程為：.設(shè)點(diǎn)，則.又因?yàn)?，所以的范圍?（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得.所以，，所以，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以.又因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓半徑滿足.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)皆為曲線上點(diǎn)，為曲線上異于的任意一點(diǎn)，且滿足直線的斜率與直線的斜率之積為.(1)求曲線的方程：(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為（其中），的面積為，以為直徑的圓的面積分別為、，若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】(1)設(shè)，由題意可知，化簡即可；(2)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程得，由可得，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理、點(diǎn)到線的距離公式及三角形的面積公、圓的面積公式可得，，，由成等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】（1）解：設(shè)，則有所以，所以，化簡得：，所以曲線的方程為：；（2）解：設(shè)直線的方程為：，則由，可得，則，所以，即，設(shè)，則有，，所以，又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)?，所以，同理可得，又因?yàn)橐?，，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，所以，即，即有，又因?yàn)椋?，所以，，解得，所以，所以，?dāng)時(shí)取等號.又因?yàn)?，即，所以，?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于解答直線與圓錐曲線問題的題，常用的方程是設(shè)而不解，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，再利用韋達(dá)定理、弦長公式進(jìn)行解答即可.3.已知橢圓：的長軸為4，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)如圖，過點(diǎn)的直線與交于，，過，作直線：的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)時(shí)，定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出等式，即可求解；（2）設(shè)，，：，由題意可得，聯(lián)立與，得到，代入即可求解【詳解】（1）因?yàn)闄E圓：的長軸為4，離心率為，所以，解得，，故，所以橢圓的方程為（2）設(shè)，，：，則，，，則①，聯(lián)立與，消去得，則，得，代入①得則當(dāng)即時(shí)，為定值【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)且焦距為4，點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(3)是橢圓上的兩點(diǎn)，且不在坐標(biāo)軸上，滿足，，問的面積是否是定值？如果是，請求出的面積；如果不是，請你說明理由.【答案】(1)；(2)；(3)是，.【分析】（1）根據(jù)題意建立方程，聯(lián)立解出即可，（2）由題意，是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，，設(shè)，然后表示出直線的斜率，化簡即可得.（3）利用（2）中的結(jié)論，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組消元，寫出韋達(dá)定理，找出參數(shù)變量間的關(guān)系，利用三角形面積公式表示出，化簡求出面積為定值即可.【詳解】（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)且焦距為4，得，即，①，②，③解得，，所以橢圓方程為．（2）由題意，是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，，設(shè)，則.（3）因?yàn)椋?，所以，設(shè)直線的方程為，由，得，④設(shè)，則，，，所以，得，又，即的面積為定值.5．已知圓：，點(diǎn)，是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中垂線交于點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與C交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，過原點(diǎn)且與平行的直線與C交于P、G兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)幾何圖形，結(jié)合橢圓的定義，即可求解；（2）首先轉(zhuǎn)化，再利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長，即可求解比值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由橢圓的定義可知：Q的軌跡C的方程為：.（2）設(shè)過原點(diǎn)且與平行的直線和距離為，則由題意可知直線AM的斜率一定存在.則設(shè)直線AM的方程為，直線OP的方程為，則，由，得.則-2，是方程的兩個(gè)根，，所以，所以，又，所以.由得.設(shè)，則，，所以.所以，.6.若橢圓與橢圓滿足，則稱這兩個(gè)橢圓為“相似”，相似比為m.如圖，已知橢圓的長軸長是4，橢圓的離心率為，橢圓與橢圓相似比為.(1)求橢圓與橢圓的方程；(2)過橢圓左焦點(diǎn)F的直線l與、依次交于A、C、D、B四點(diǎn).①求證：無論直線l的傾斜角如何變化，恒有.②點(diǎn)M是橢圓上異于C、D的任意一點(diǎn)，記面積為，面積為，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)橢圓的方程，橢圓的方程是；(2)①證明見解析；②或.【分析】（1）由已知可得，結(jié)合相似比及的離心率、橢圓參數(shù)關(guān)系求出橢圓參數(shù)，進(jìn)而寫出、的方程.（2）①討論l與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，設(shè)l為，聯(lián)立橢圓方程判斷AB和CD的中點(diǎn)是否重合即可；②由弦長公式求、，根據(jù)面積比可得，結(jié)合①的結(jié)論及題圖有，進(jìn)而求出參數(shù)t，即可得直線l的方程.(1)由已知，則，又，故.又橢圓的離心率，所以，由，則，從而，所以橢圓的方程，橢圓的方程是.(2)①要證明，即證明線段AB和CD的中點(diǎn)重合，當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸重合時(shí)，由對稱性知：結(jié)論成立.當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸不重合時(shí)，不妨設(shè)直線l為，，，，，代入橢圓C1方程得，即，故，，代入橢圓方程得，即，故，，由，可得線段AB和CD的中點(diǎn)重合，故.綜上，恒成立.②由①得：，，而，則，由①知：，所以，即，可得.所以直線l的方程為或.7.已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，P為橢圓上任意一點(diǎn)，的周長為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于Q，R兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)Q1與R的直線交x軸于T點(diǎn)，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值：若不存在，請說明理由【答案】(1)；(2)存在，【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的方程.(2)設(shè)直線的方程為并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得三角形的面積的表達(dá)式并利用基本不等式求得最大值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題可知.，聯(lián)立，解得，故橢圓C的方程為.（2）不妨設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l方程為，設(shè)，則，聯(lián)立，消x得，，即，由韋達(dá)定理有，直線1的方程為，令，得，將①②)代入上式得，則，又(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)所以面積的最大值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.題型三：四邊形面積及范圍問題【例1】已知橢圓C：＋＝1，過A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求四邊形ABNM的面積.【答案】(1)，，(2)2【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本量求解即可；（2）設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，再分別求得直線PA和PB的方程，進(jìn)而得到的表達(dá)式，再代入面積的公式，結(jié)合橢圓的方程化簡即可(1)由題意知，a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為，因?yàn)閏＝＝，所以橢圓C的離心率.(2)設(shè)P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，則因?yàn)锳(2，0)，B(0，1)，所以直線PA的方程為，令x＝0，得，從而|BM|＝1－yM＝直線PB的方程為y＝x＋1，令y＝0，得xN＝－，從而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四邊形ABNM的面積S＝|AN|·|BM|＝·＝＝＝2，所以四邊形ABNM的面積為2.【例2】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為P，離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合離心率及橢圓的關(guān)系列出方程即可得到結(jié)果；（2）當(dāng)，中有一條斜率不存在時(shí)，；當(dāng)，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：，直線：，聯(lián)立求出與，所以代入整理成關(guān)于的式子，求式子的值域即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，所以因?yàn)?，所以，又，，所以，即所以所以?）當(dāng)，中有一條斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，此時(shí)直線與軸重合，即，所以；當(dāng)，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：，直線：由得此時(shí)，，則.把上式中的換成得：則四邊形的面積為令，則，且，，，，所以四邊形的面積的取值范圍是.【例3】橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率為；直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓過的點(diǎn)以及橢圓的離心率，可列出等式，求得a,b，即得答案；（2）分類討論直線AB的斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程，聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)條件求出參數(shù)之間的關(guān)系式，進(jìn)而表示出四邊形的面積，進(jìn)行化簡，可求得答案.（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，,橢圓的離心率為，則，即,即，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為，則，則不妨取，故，解得，故方程為，直線過中點(diǎn)，即為軸，得，，故；直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，可得，則①，②，

③，以為直徑的圓過原點(diǎn)即，化簡可得，將②③兩式代入，整理得，即④，將④式代入①式，得恒成立，則，設(shè)線段中點(diǎn)為，由，不妨設(shè)，得，又∵，∴，又由，則點(diǎn)坐標(biāo)為，化簡可得，代回橢圓方程可得即，則，綜上，四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時(shí)的四邊形的面積的最大值問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答的關(guān)鍵是表示出四邊形ACBD的面積，并能進(jìn)行正確的化簡，求得最值.【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)，(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切列出圓心距與半徑的關(guān)系，即可發(fā)現(xiàn)圓心的軌跡滿足橢圓的定義，進(jìn)而可求其方程，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可得方程，進(jìn)而代入韋達(dá)定理即可求出坐標(biāo)，根據(jù)弦長公式可求長度，進(jìn)而得長，根據(jù)垂直，即可表示四邊形的面積，根據(jù)不等式即可求解最值.（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：為一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，即時(shí)，（法二）令，則當(dāng)，即時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，綜合性較強(qiáng).利用幾何法求軌跡方程時(shí)，要多注意圖形位置間體現(xiàn)的等量關(guān)系，可通過先判斷軌跡，再求其方程.直線與橢圓相交問題，聯(lián)立方程是常規(guī)必備步驟，韋達(dá)定理得弦長，求面積或者長度最值時(shí)，往往需要先將其表達(dá)出來，再利用不等式或者函數(shù)的知識進(jìn)行求解.【題型專練】1．已知橢圓，離心率為，其左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為5．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的上半部分取兩點(diǎn)M，N（不包含橢圓左右端點(diǎn)），且，求四邊形的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題得，，，即得的值，即得解；（2）延長交橢圓于點(diǎn)，連接,四邊形的面積等于的面積.求出弦長和到直線的距離，即得解.【詳解】（1）解：由題意知：，即，又由橢圓定義可得：，又∵，且，故可得，，．即橢圓的方程為.（2）解：延長交橢圓于點(diǎn)，連接,由，根據(jù)橢圓的對稱性可得，過原點(diǎn)，，所以四邊形的面積等于的面積.設(shè)，，則．顯然，．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，∴①，②，又，得③，由①②③得．得直線的方程為，即，設(shè)到直線的距離為，則由距離公式得，又由弦長公式得：將代入上式得，設(shè)四邊形的面積為，易知.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是把四邊形的面積利用橢圓的對稱性轉(zhuǎn)化為的面積，這樣便可以利用公式求三角形的面積了.2．已知的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線（不與x軸重合）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作，垂足為D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)①求四邊形OAHB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；②證明直線BD過定點(diǎn)E，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②證明見解析，【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由離心率與三參數(shù)之間的關(guān)系，可得方程，進(jìn)而解得答案；（2）①設(shè)過定點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立方程，消元整理一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，將四邊形分割成兩個(gè)頂?shù)椎娜切?，根?jù)面積公式，可得答案；②由題意設(shè)出兩點(diǎn)，整理出直線方程，由①中的直線與韋達(dá)定理，進(jìn)行等量代還，可得答案.（1）由題可知：，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由題，設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去x，得，因?yàn)椋?，，則所以四邊形OAHB的面積，令，∴，∴因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號），所以，所以四邊形OAHB的面積取值范圍為；②∵，，所以直線BD的斜率，所以直線BD的方程為，令，可得，①由（1）可得，，∴化簡①可得則直線BD過定點(diǎn)．3．已知過點(diǎn)的橢圓：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)已知過橢圓：上一點(diǎn)的切線方程為.已知點(diǎn)M為直線上任意一點(diǎn)，過M點(diǎn)作橢圓的兩條切線，為切點(diǎn)，與（O為原點(diǎn)）交于點(diǎn)D，當(dāng)最小時(shí)求四邊形的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，即可求得答案；（2）設(shè)，，，，根據(jù)題意結(jié)合切線方程求得方程，設(shè)AB與x軸交于點(diǎn)E，則有，利用兩角和正切公式表示出，結(jié)合基本不等式確定其最小值，即可求得，進(jìn)而確定，從而聯(lián)立方程和橢圓方程，得根與系數(shù)關(guān)系，求得弦長，借助于三角形面積即可求得四邊形的面積.【詳解】（1）依題意有，，，則,由得，即，整理得，解得，或，由于