中考數(shù)學幾何模型專項復習 模型11 全等三角形- K型模型-（原卷版+解析）

全等三角形模型（十一）——K型模型◎結(jié)論1：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.則△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.【證明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，∴∠C=∠BAD=∠E=90°，∴∠1+∠3=∠1+∠2=90o，∴∠2=∠3在△ABC和△DAE中，∠C=∠E=90°∠2=∠3AB=DA,∴△ABC≌△DAE（AAS），∴AC=DE，BC=AE，∴CE=CA+AE=BC+DE.eq\o\ac(○,eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)長手+短手◎結(jié)論2：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.則△ABC≌△DAE，CE=DE-BC.【證明】證明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AECE=AC-AE=DE-BC.eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)長手-短手1．(2023·福建·福州教院二附中八年級期末）一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm2．(2023·全國·八年級專題練習）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm3．(2023·江西上饒·八年級期中）課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm21．(2023·江蘇·八年級單元測試）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則__________．2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，且點C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為_____．3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，一個等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點C離地面的距離是____cm．1．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，ABAC，AF是過點A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；DE與BD、CE的數(shù)量關系為．（2）類比延伸：如圖②，，BA=BC，點A，B的坐標分別是(-2，0)，(0，3)，求點C的坐標．（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標平面內(nèi)找一點P（不與點C重合），使與△ABC全等．直接寫出點P的坐標．2．（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．全等三角形模型（十一）——K型模型◎結(jié)論1：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.則△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.【證明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，∴∠C=∠BAD=∠E=90°，∴∠1+∠3=∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3在△ABC和△DAE中，∠C=∠E=90°∠2=∠3AB=DA,∴△ABC≌△DAE（AAS），∴AC=DE，BC=AE，∴CE=CA+AE=BC+DE.eq\o\ac(○,eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)長手+短手◎結(jié)論2：如圖所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.則△ABC≌△DAE，CE=DE-BC.【證明】證明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AECE=AC-AE=DE-BC.eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)長手-短手1．(2023·福建·福州教院二附中八年級期末）一天課間，頑皮的小明同學拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學老師看見了，于是有了下面這道題：如果每塊磚的厚度a＝8cm，則DE的長為（

）A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm答案:C【詳解】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考慮證明△ACD和△CBE全等，可以證明DE的長為7塊磚的厚度的和．分析解：由題意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．2．(2023·全國·八年級專題練習）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm答案:B分析根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關鍵．3．(2023·江西上饒·八年級期中）課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2答案:A分析設每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．1．(2023·江蘇·八年級單元測試）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則__________．答案:7分析根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)相等線段之間的關系，從而進行計算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的證明三角形全等．2．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，且點C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為_____．答案:13分析先根據(jù)AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【詳解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CE=AD=5，CD=BE=8，∴DE=CD+CE=13，故答案為：13．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．3．(2023·全國·八年級課時練習）如圖，一個等腰直角三角形ABC物件斜靠在墻角處（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，則點C離地面的距離是____cm．答案:28分析作CD⊥OB于點D，依據(jù)AAS證明,GMF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：過點C作CD⊥OB于點D，如圖，∴∵是等腰直角三角形∴AB=CB，∴又∴在和中，∴∴故答案為：28．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關鍵．1．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，ABAC，AF是過點A的一條直線，且B，C在AE的同側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，則圖中與線段AD相等的線段是；DE與BD、CE的數(shù)量關系為．（2）類比延伸：如圖②，，BA=BC，點A，B的坐標分別是(-2，0)，(0，3)，求點C的坐標．（3）拓展遷移：在（2）的條件下，在坐標平面內(nèi)找一點P（不與點C重合），使與△ABC全等．直接寫出點P的坐標．答案:（1）CE，DE=BD+CE；（2）（?3，5）；（3）存在，P點坐標分別為(5，2)，(3，1)，(1，2)．分析（1）由BD⊥AE，∠BAC90°，推進而得到即可求解；（2）作軸于點E，得出（AAS）即可求解；（3）分兩種情況，①當時，；②當時，，討論并構(gòu)造全等三角形即可求解．【詳解】解：（1）∵BD⊥AE，，CE⊥AE∴，，∴．在和中，，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+CE．故答案為：CE，DE=BD+CE；（2）作軸于點E，∵軸，OA⊥OB，，∴，，，∴∠ABO=∠BCE．又∵，∴（AAS），∴，∵點A，B的坐標分別是(-2，0)，(0，3)，∴，∴，∴(-3，5)；（3）分類討論：①當∠PAB=90°時，，∴，．∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，∴，，設P(x，y)，∴，，∴，解得：，，∴(?5，2)，(1，?2)，如圖；②當∠ABP=90°時，，∴AP=AC，BP=AB，∵B(0，3)，A(?2，0)，C(?3，5)，∴，，設P(x，y)，∴，，∴，解得：，，∵點P與點C不重合，∴(?3，5)舍去，∴(3，1)，如圖．綜上，存在這樣的P點，坐標分別為(5，2)，(3，1)，(1，2)．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，兩點間距離公式，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理等知識．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵．2．（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）①ED=EA－BD；②1分析（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS證得△AEC≌△CDB，即可；（2）分別過點E、G向HI作垂線，垂足分別為M、N，由（1）可證得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，從而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，從而得到EI=IG，即可求證；（3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②過點C作CP⊥AD交AD延長線于點P，過點E作EQ⊥AD交AD延長線于點Q，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意得：∠CDE=90°，CD=DE，