2023年上海市高考數(shù)學(xué)考前20天復(fù)習(xí)-05 三角函數(shù)小題綜合教師版

05三角函數(shù)小題綜合

一、填空題

1.（2023?上海普陀?統(tǒng)考二模）若兀＜。＜型且SinO=-』，則tan仿-；］=______.

2514；

【答案】

【分析】先根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求田cos，,tan",再利用兩角差的正切公式即可得

解.

3TT3/4

【詳解】因?yàn)棣校?。＜』且Sino=所以cos。=—Jl—siι√9=——,

255

所以tan。=。，

4

八兀31

/?tan6/-tan———11

則tan=---------------=?-r=

IJ1+tan0tan—1+-

44

故答案為：-〒

2.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）函數(shù)y=4cos2x+3的最小正周期為.

【答案】π

【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可得到答案.

【詳解】直接根據(jù)余弦函數(shù)周期公式得T=與=π,

故答案為：π.

TT4

3.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）已知兀，且COSe=-不則tan26=

【答案】*24

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合二倍角公式即可.

［詳解］cosθ--,Sine=±V1-cos2θ=±-∣,

-<θ<π:.sin0=—.

295

CSine3

.,.tanθ=------=——，

cos，4

_3

CC2tan6^o24

tan2/9=--------=-?-=——.

ITan72。97

1--------

16

24

故答案為：-^—.

4.（2023?上海長寧?統(tǒng)考二模）已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為胃，底面周長為2π,

則這個圓錐的體積為.

［答案］巫LI迥兀

33

【分析】利用圓的周長和扇形弧長公式可構(gòu)造方程求得圓錐底面半徑和母線長，由勾股

定理可得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為/，高為肌

2πr=2π（

7*=1I---------_

2π’解得：?.o,.,.h=y∣l2-r2=2&'

——I=2π/=3

31

.?.圓錐體積V=J仃2?∕?=還E.

33

故答案為：2√2π

3

5.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模）己知0cR,o>O,函數(shù)N=Gsins-Coss在區(qū)間。2］上

有唯一的最小值-2,則O的取值范圍為

'5πl(wèi)lπ^l

【答案】,τ,^rJ-

【分析】先用輔助角公式得到y(tǒng)=2sin(s-Ej,結(jié)合x∈[0,2]得到

ωx~~~7e'求出2G-g∈即,?],得到答案.

6Lθ6J6L227

【詳解】y=√3sintyχ-cosωx=2sinωx--,

TCjrTt

因?yàn)閄∈[0,2],69>O,所以GX-∕e_~∑,2cθ一二,

6L66

因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin"-j在尤∈[0,2]上有唯一的最小值-2,

__.,-7Γ3兀7TcI..

所以2。-Ne—,解得oe

oL22)

5πIEl

故0的取值范圍是,^6^,-Γj,

'5πl(wèi)lπ)

故答案為:

~6,~6^)

6.（2023?上海崇明?上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知｛《,｝為等差數(shù)列，若

al+a5+a9=π,則tan（α2+afs）的值為.

【答案】-√3

【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出生=］,進(jìn)而得見+6=弓，再代入所求即可.

【詳解】因?yàn)椋?,｝為等差數(shù)列，且q+G+α9=π,

山等差數(shù)列的性質(zhì)得見=］，

2π

所以生+火

T

?tan(?+?)=tan

故答案為：-G.

7.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)在AABC中，角A、B、C的對邊分別記為〃、b、c,

若SacosA=〃CoSC+ccosB,則Sin2A=.

【答案】延

25

【分析】由正弦定理得到COSA=g,求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【詳解】54cosA=0COSC'+ccosB,由正弦定理得

因?yàn)锳∈(0,7Γ),所以SinAW0,故COSA=

由于A∈(O,π),故sinA=Vi-cos2A=，

則sin2A=2sinAcosA=2×-×=.

5525

故答案為：述

25

8.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系XQy中，若角6的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)。為圓心的單位圓交于點(diǎn)Pm則

Sin(20-幻的值為.

7

【答案】^z0-28?

【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意知，cos。=-1,

所以sin(26>-3)=-cos2e=-(2cos2(9-l)=l-2cos2e=l-2x(-3)2」.

2525

故答案為：?.

9.(2023?上海普陀?統(tǒng)考二模)設(shè)ABC的三邊”,b,C滿足a:A:c=7:5:3,且

SABC=15√3，則此三角形最長的邊長為.

【答案】14

【分析】由a：0：c=7:5:3,得邊。最長，不妨設(shè)α=7x,)=5x,c?=3x,利用余弦定理求

出角A,再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

【詳解】由a:b:c=7:5:3,得邊“最長，

不妨設(shè)α=7x,6=5x,c=3x,

25x2+9x2-49x2_1

則cosA=

2bc30X2~~2

又Ae（O,兀），所以sin4=?^?,

則SABCCSinA==156,解得x=2,

所以三角形最長的邊長為7尤=14.

故答案為：14.

10.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖所示，要在兩山頂M、N間建一索道，需測量兩山

頂M、N間的距離.已知兩山的海拔高度分別是MC=IOOG米和NB=50&米，現(xiàn)選擇

海平面上一點(diǎn)A為觀測點(diǎn)，從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∕M4C=60。，點(diǎn)N的仰角

ZNAB=30。以及ZMAN=45°,則MN等于米.

【答案】100√Σ

【分析】先求得4”，加，再利用余弦定理求得MN.

.,?100√3...100√3.

Lτ≠?r?Jsin60o=--------,AM=---------=20n0n，

AMsin600

.50&50>∕2/T

sinq3π0o=-------,AN=------=100√2,

ANsin30°

在三角形AMN中，

由余弦定理得MN=100匹『-2x200x100夜XCoS45。=100√Σ米.

故答案為：1000

11.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模）若函數(shù)y=AX）的圖像可由函數(shù)y=3sin2x-百cos2x的

圖像向右平移例0＜。＜兀）個單位所得到，且函數(shù)y=∕（χ）在區(qū)間（）卷上是嚴(yán)格減函數(shù),

貝IJe=________

【答案】一/一加

33

[分析]利用三角恒等變換化簡y=3sin2x-6cos2x,根據(jù)圖象平移變換得到y(tǒng)=/(%)

的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定e(()<e<W,即可求得答案.

【詳解】由題意得丫=3$布2》-6<:。$2*=265111(2》-巴)，

則f(x)=2√3sin[2(x-^>)--]=sin(2%-2φ--),

66

當(dāng)Xe0,3時，2x-2φ--e[-2φ--,---2φ},

L2J666

函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間[。，京上是嚴(yán)格減函數(shù)，

故工+2E≤—2°一四<型一2°≤型+2?π,Z∈Z,即φ≤---kιι^φ≥---kjι,k∈Z,

266233

貝1」@=_1_也,左wZ,而0<°<π,故￠=笄，

故答案為：—

12.(2023?上海青浦?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)N=廬m(-g≤x≤g)的圖像繞著原點(diǎn)按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)e(o≤e≤乃)弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則e可取值的集合為

【答案】

【分析】題中函數(shù)為圓Y+/=1的一段劣弧，在旋轉(zhuǎn)過程中，只需根據(jù)函數(shù)的定義考

慮一個X只有唯一確定的y與之對應(yīng)，即圖形與X=W只有一個交點(diǎn)時旋轉(zhuǎn)的角度符合題

,.

懸?.

【詳解】畫出函數(shù)y=Jiz7]-g≤χ≤;)的圖象，如圖1所示：

_1O

2

圓弧所在的圓方程為八4總,B(g當(dāng)，在圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中,

當(dāng)A從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到(TQ)點(diǎn)時，根據(jù)函數(shù)的定義知這個旋轉(zhuǎn)過程所得的圖形均為

函數(shù)的圖象，如圖2所示:

此時繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度為0≤9≤];

若函數(shù)圖象在圖2位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在X軸上方，點(diǎn)A在X軸下方時，根

據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形不是函數(shù)的圖象，如圖3所示：

若函數(shù)的圖象在圖3位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)整個圖象都在X軸下方時，根據(jù)函數(shù)的

定義知，所得圖形是函數(shù)的圖象，如圖4所示：

Jr9JT

故答案為：。，4Dy,π.

13.（2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模）如圖，線段A8的長為8,點(diǎn)C在線段AB上，AC=2.點(diǎn)

P為線段C8上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B繞著點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn).若它

們恰重合于點(diǎn)。，則ACDP的面積的最大值為.

【答案】2√2

?6-PC-DP

【分析】由已知可推得PC+PB=6,根據(jù)余弦定理知示推COSNCPD「°;二;廠,進(jìn)

2

而得出sinNCpz)=T6-+:2∕>C?∕)∕)表示出5^=8PC?DP-64,根據(jù)基本不等式,

2

即可求出SΔCDP<8,從而得出答案.

【詳解】由題意可知，BC=AB-AC=6,即PC+PB=6.

在△€■￡>「中，有CD=AC=2,DP=PB,

所以PC+OP=6.

由余弦定理可得，cos/。。=尸廠十0.一8?=(PC+°P)2"PCQP-4

2PCDP2PCDP

36-2PC?DP-4T6—PCDP

2PCDP-PCDP

-?62+32PCPP

所以sin?NCPD=1-cos2NCPD=1-1、二℃久

(PCDPPC2-DP2

所以有SM0J=(3尸CPOsinNCPDj=；，0力產(chǎn)?≡^∣∣∣^^=8PC?OP-64

.(PC÷DP)N.0

≤8ol-----------I-64yJ=8o×9-64r=8,

當(dāng)且僅當(dāng)PC=PB=3時，等號成立.

所以，5ΔC√≤8,

所以，SΔCDP≤2√2,即ACOP的面積的最大值為2夜.

故答案為：2√L

14.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)已知ABC中，SinA=3sinCtos8,且AB=2,則ABC

面積的最大值為.

【答案】3

【分析】利用正弦定理，角轉(zhuǎn)邊得到α=68sB,再利用面積公式得到SztBc=3sin28,

從而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镾inA=3sinCcosB,FLA8=2,由正弦定理得：a=3ccosB=6cosB,

所SABc=?0csinB=??(6cosβ)?2sinB=3sin2B≤3,

故答案為：3.

15.(2023?上海金山?統(tǒng)考二模)若函數(shù)y=sin"?)(常數(shù)。>0)在區(qū)間(0,兀)沒有

最值，則。的取值范圍是.

【答案】O<ω≤y

6

【分析】根據(jù)題意先求出5-三的取值范圍，然后根據(jù)題意列出不等式，解之即可求解.

【詳解】因?yàn)镚>0,X∈(0,71),所以—q<GX—Q<(vπ-］，

又因?yàn)楹瘮?shù)y=sin(sq)(常數(shù)0>0)在區(qū)間(0,π)沒有最值，

所以°π-2≤C,解得0<切4±,所以0的取值范圍是0<o≤±

3266

故答案為：O<0≤;.

16.(2023?上海楊浦?統(tǒng)考二模)若存在實(shí)數(shù)。，使函數(shù)/(x)=COS(ox+*)-：?〉。)在

XG［兀,3兀］上有且僅有2個零點(diǎn)，則0的取值范圍為

【答案】黑

【分析】利用y=cosx的圖像與性質(zhì)，直接求出函數(shù)/(X)的零點(diǎn)，再利用題設(shè)條件建立

兀71117Γ7C

不等關(guān)系hi?_一寸夕+2E?2兀且『*+2E_丁…尿>2π，從而求出結(jié)

ωωωω

果.

e)-g(G>O),由/(x)=0,得到CoS(GX+9)=；,

【詳解】因?yàn)?(x)=CoS(GX+

TC、TL

所以<υx+0=§+2kπ(k∈Z)5^ωx+φ=--+2kπ(k∈Z)

π…

----(P4^2Λ7Cp.--~φ+2kπ

所以X&-------------(XeZ)或X=U-------------(?∈Z)

ωω

又因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)。，使函數(shù)/(X)在xe［π,3π］上有且僅有2個零點(diǎn)，所以

∕πC,3兀c,11?！！?π

-----φ+2kπ一—0+2E∣.―--φ+2kπ——φ+2kπ即一

ωωωωω

15

工?2/解得尸-<§?

ω

故答案為：—≤6y

33

二、單選題

17?&。23?上海崇明?上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測)函數(shù)f(x)=>2sin2(xj)是

A.最小正周期為"的偶函數(shù)

B.最小正周期為燈的奇函數(shù)

π

C.最小正周期為￡的偶函數(shù)

D.最小正周期為的奇函數(shù)

【答案】B

【詳解】試題分析：?=1—2sin^l≡cos21X-??l|■COS∣2x—?|≡Sm_.

I4)?4√∣k2)

周期為;T的奇函數(shù)，故答案為B.

考點(diǎn)：1、三角函數(shù)的化筒；2、三角函數(shù)的性質(zhì).

18.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A.y=cosxB.y=sinx

C.y=VD.y=2'

【答案】A

【分析】對四個選項(xiàng)一一驗(yàn)證：

對于A：利用奇偶性的定義進(jìn)行證明；

對于B：取特殊值/圖JES否定結(jié)論；

對于C：取特殊值/⑴J(T)否定結(jié)論；

對于D：取特殊值/(1)J(T)否定結(jié)論.

【詳解】對于A:y=8SX的定義域?yàn)镽.

因?yàn)?(—x)=COS(—x)=CoSX=/(x),所以N=COSX為偶函數(shù).故A正確；

對于B：對于y=sinX,/圖=Si吟=IjL=SinH=T,不滿足/(-X)=/(x),

故y=sinX不是偶函數(shù).故B錯誤；

對于C：對于y=χ3,/(I)=I3=I,/(-1)=(-1)3=-1,不滿足/(r)=√(x),故y=/

不是偶函數(shù).故C錯誤；

對于D：對于y=2"/(1)=2]=2,/(-1)=21=1,不滿足/(r)=∕(x),故y=2，不

是偶函數(shù).故D錯誤；

故選：A.

19.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知∕J∈R則"sin(α+0=sin2a”是

“∕7=α+2?τr(%eZ)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用正弦函數(shù)性質(zhì)得出C,尸的關(guān)系，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】由sin(α+夕)=sin2α,

可得α+Q=2c+2kπ,kwZ或a+β=兀-2a+1kπ,ksZ,

即β=a+2kπ{keZ)或夕-2kπ+π-3＞a(k∈Z),

所以由“sin(α+夕)=sin2α”推不;X“以=α+2kπ(k∈Z)",由"/?=α+2kπ(k∈Z)”可推出

“sin(α+〃)=sin2a”,

所以“sin(α+7?)=sinIa”是“β=a+1kπ(keZ)”的必要不充分條件.

故選：B.

20.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)半徑為3的圓的邊沿有一點(diǎn)A,半徑為4的圓的邊沿有

一點(diǎn)B,A、8兩點(diǎn)重合后，小圓沿著大圓的邊沿滾動，A、B兩點(diǎn)再次重合小圓滾動

的圈數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】設(shè)A、B兩點(diǎn)再次重合小圓滾動的圈數(shù)為〃，由已知可得出關(guān)于〃的等式，即

可得解.

【詳解】設(shè)A、8兩點(diǎn)再次:重:合小圓滾動的圈數(shù)為",貝∣J,χ2萬χ3=6"Tr=%χ2τχ4=8Qr,

其中k、〃eN”,

Alc

所以，n=—,則當(dāng)々=3時，n=4.

故A、8兩點(diǎn)再次重合小圓滾動的圈數(shù)為4.

故選：D.

21.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模)己知/(x)=Sin"+小(。＞0),且函數(shù)y=∕(x)恰有

兩個極大值點(diǎn)在0,(,則。的取值范圍是()

A.(7,13]B.[7,13)C.(7,10]D.[7,10)

【答案】B

【分析】運(yùn)用整體思想法，求得ox+J的范圍，再運(yùn)用正弦函數(shù)圖象分析即可.

O

TT

【詳解】?.?0≤x≤],。＞0,

又,.,fM在［0,?恰有2個極大值點(diǎn)，

二由正弦函數(shù)圖象可知，=≤W+F<駕，解得：7≤3<13.

2362

故選：B.

22.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）摩天輪常被當(dāng)作一個城市的地標(biāo)性建筑，如靜安大悅城

的“S。R%g”摩天輪是上海首個懸臂式屋頂摩天輪.摩天輪最高點(diǎn)離地面高度106米，轉(zhuǎn)

盤直徑56米，輪上設(shè)置30個極具時尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野.游客從

離樓頂屋面最近的平臺位置進(jìn)入轎艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，分鐘后，游客距離地

面的高度為人米，∕7=-28cos（5）+78.若在乙，r?時刻，游客距離地面的高度相等，則

，1+，2的最小值為（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)分析即可.

【詳解】由力=-28CoS+78可知,

當(dāng)t=0時，λmin≈-28cos^×θj+78=50,

當(dāng)段=πnr=6時，L=-28COS尋6)+78=106,

若在％,為時刻，游客距離地面的高度相等,

則由對稱性可知此時t?+12的最小值為A+t2=?l.

故選：B.

23.（2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，以兀為周期且在區(qū)間πj單調(diào)遞增的

是（）

A./(X)=∣COS2Λ∣B./(x)=∣sin2Λ∣

C./(x)=∣cosx?D./(x)=∣sinx?

【答案】C

【分析】從周期來看，A、B選項(xiàng)排除；從單調(diào)性來看，C選項(xiàng)正確.

【詳解】

對于A選項(xiàng)，由于/（x）=∣cos2χ的周期為:年=5,故A選項(xiàng)不正確;

對于B選項(xiàng)，由于〃X）=卜in2x∣的周期為=故B選項(xiàng)不正確；

對于C選項(xiàng)，由于/（x）=∣8N的最小正周期為：2兀=兀，在區(qū)間停,兀）上，

/（x）=∣CosΛ∣=-COSX單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)正確；;

對于D選項(xiàng)，由于/（X）=卜時的最小正周期為?兀=π,在區(qū)間（半O上,

/（x）=binx∣=sinx單調(diào)遞減，故D選項(xiàng)不正確.

故選：C.

24.（2023?上海普陀?統(tǒng)考二模）設(shè)<υ>0,若在區(qū)間［私2π）上存在小b^a<b,使得

sin（即）+cos（癡）=2,則下列所給的值中0只可能是（）

【答案】D

1+4AW

ISin（.）=1n<ω-

【分析】由題設(shè)得/二JLG>0,結(jié)合己知可得1且m〃∈Z,分類

COS（勵）=1IC

4

討論求。范圍，即可得答案.

(1÷4∕n)π

a=-----------

sin(69β)=12ωr

【詳解】由題意知:cos(?)=l且口>°'則',∕77,n∈Zj,

.2nπ

D-----

ω

...「c,(1+4/77)兀2nπC1+4/HIn?

又4∕∈[π,2π)且，貝IJ?！?-------<----<2π,u即rl1≤---------<一<2,gneZ,

2ωω2ωω

1+4zn

n<ω≤-------

2

所以?且八〃∈Z,

n>m+->0

4

/??=（）,〃=1（或〃為其它大于1的整數(shù)）不滿足；E=1,〃=2時2<G≤∣?;相=2,九二3時

9

3<G≤一,

2

所以￥滿足要求，其它不符合.

故選：D

25.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)已知/(X)=8S2Aαsinx,若存在正整數(shù)〃，使函數(shù)

y=∕(x)在區(qū)間(0,加)內(nèi)有2023個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”所有可能的值為()

A.1B.-1C.0D.1或一1

【答案】B

【分析】根據(jù)題意令SinX=r分析可得關(guān)于，的方程2r+G-I=O有兩個不相等的實(shí)根,

結(jié)合韋達(dá)定理可得品=-g，分類討論乙名的分布，結(jié)合正弦函數(shù)分析判斷.

【詳解】令/(x)=cos2x-αsinx=l-2sin2x-αsinx=0,

令SinX=rw[T,l],則l-2∕-w=0,即2∕+“f-l=0,

△=/-4x2x(—1)=/+8>